高考一轮复习文科数学 参数方程.ppt

y
r r
cos（, sin.
为参数）
θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时 ，OM0转过的角度.
圆的参数方程的一般形式
圆心在点（x0,y0），半径为r的圆的参数方程
x {
x0
r
cos
( 为参数)
y y0 r sin
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r2
4 cos 3 sin t
t
,
(t为参数），
C2： xy
8 cos 3sin
,
(
为参数）.若C1上的点P对应的
参数为t
2
,Q为C2上的动点，求PQ中点M 到
直线C3： xy
3 2
2t（, t为参数）距离的最小值. t
高三（11）班高考数学第一轮复习
考点3 参数方程与极坐标方程的综合应用
1、参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般 方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解. 当然，还是要结合题目本身特点，确定选择何种方 程.
例4、在椭圆 x2 y2 1上求一点M，使M到直线l : 94
x 2y 10 0的距离最小.
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决.
1 例5、已知A,B两点是椭圆
x2 9
y2 4
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上
求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2、解题时要注意数形结合的应用，即充分利用参数 的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解， 化繁为简.
例3、（2016全国）在直角坐标系xoy中，曲线C1的
参数方程为
x
y
a cos t, 1 a sin
t
(t为参数，a
0).在以坐标
原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C 2
:
4 cos.
高考数学第一轮复习
复习三十一 参数方程
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段
AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
这时点P的坐标为( 3 2
,
2)
2
四、直线的参数方程
问题：已求这知条一直条线直的线方过程点.M0(x0,y0 )，倾斜角，
uu解uu:uur 在直线上任取一点M(x,y),则
Mr0M （ x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0)
设r e是直线l的单位方向向量，则 y
e (cuuousuuur,sirn )
(1)说明C
是哪种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；
1
1
（2）直线C3的极坐标方程为 =0，满足tan0 =2，若
曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
《新坐标》P162 例3
练习：《新坐标》P165 例3、 变式训练3
设过点M(x 0
,y 0
)的直线L与曲线C交于A,
B两点，
对应的参数分别为t1, t2，则
(1) AB = t1 t2 ;
（2）MA MB t1 t2 ;
(3)线段AB的中点对应的参数值是 t1+t2 . 2
练习：《新坐标》P164. 变式训练2
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点1 参数方程与普通方程的互化
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
M0(x0,yr0)
(x x0, y y0) t(cos,sin)
e
即所，以xxxx00
t
t
cos ,
cos ,
y
y
y0
y0
t sin
t sin
(cos , sin )
所以，该直线的参数方程为 O
（1）
x y
3 2t, (2)
1 4t.
x y
1
t
2
1, t
.
(3)
x y
t t
1, t (4)
1. t
x
y
5 cos , 3 sin .
x cos ,
(5)
y
cos
2
1.
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点2 参数方程的应用
利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题 是行之有效的好方法.
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
500
o
x
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
1、将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、 加减消元法、三角恒等变换消去参数；
2、把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量 是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的 取值范围的影响，要保持同解变形.
高三（8）班高考数学第一轮复习
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们是 什么曲线.
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
解 :由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin )
三角形ABO面积一定,需求 SABP最大即可
即求点P到直线AB的距离的最大值。
直线AB的方程为：x y 1 2x 3y 6 0
32
d | 6cos 6sin 6 | 6 2 sin( ) 1
22 32
13
4
当
=
4
时, d有最大值,面积最大.
x2 y2 1,
的参数方程.
a2 b2
在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭
圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外 称为离心角,规定参数 的取值
范围是 [0, 2 )
焦点在X 轴 xy
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
归纳比较
椭圆的标准方程:
x2 y2 1
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
二、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
x
y
r r
cost（, t为参数） sin t.
t的物理意义是质点作匀速圆周运动的时刻
x
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例1:
已知曲线C的参数方程是
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段 AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。 （1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3） AB、MA MB 与t1，t2有什么关系？
分析：设M点的坐标为（x,y)
点A 的横坐标与M点的横坐 标相同, 点B 的纵坐标与M点的纵坐标 相同.
y
B O
A
M
Nx
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连 接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N， 过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋 转时点M的轨迹参数方程.
高三（11）班高考数学第一轮复习
例2、已知曲线C: x2 4
y2 9
1,
直线l
:
x
y
2 2
t, 2t
(t为
参数）.
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为300的直线，
交l于点A,求 PA 的最大值与最小值.
《新坐标》P196例2
练习、已知曲线C1：xy
a2 b2
椭圆的参数方程:yx
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称离心角
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x y
r cos r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ，是旋转角
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
例3、把下列普通方程化为参数方程.
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
Baidu Nhomakorabea
2
.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
一、参数方程的概念：
解： 设∠XOA=φ, 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由此:
x y
a b
scions(为参数)
O
Nx
即为点M轨迹的参数方程.
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M轨迹的普通方程. a2 b2
参数方程
x y
a b
scions(为参数)是椭圆
r e
t
M0
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直
r e
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
O
x
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
x
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
思考:
uuuuuur 由M 0 M
r te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
解:
Q
uuuuuur M0M
r te
uuuuuur M0M
r te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
M
这意就义是,要tMu的u牢u0几uM记uu何r t
例2、(1)已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
2、指出参数方程{x 2cos 5(为参数)所 y 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
三、椭圆的参数方程
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连 接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N， 过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋 转时点M轨迹的参数方程.
(1) x2 y2 1 (2) x2 y2 1
49
16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x
y
3cos 5sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.