试验五Z变换
试验五Z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z 变换和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的 系统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
c1
(z2)X(z) z
z2
1
c 2 (2 1 1 )! d d z(z 1 )2X z (z) z 1 (z 1 2 )2z 1 1
c 3 (2 1 2 )! (z 1 )2X z (z) z 1 (z 12 )z 1 1
即 X(z)z z2zz1(z z1)2 x(n)[2n1n]u(n)
用matlab求其部分分式
X(z)(z2)z (z1 )2(1z 1)z 2 (1 22z 1)
b=[0,0，1]; a=poly([1,1,2]); [r,p,k]=residuez(b,a);
%初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数 %求三个系数[r,p,k]
得到 r= 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i
C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法； 如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。
三、实验原理
例4
用部分分式法求逆z变换：X(z)
3z2
z 4z
1
z
1 3
X(z) z z1 3z24z1 34z1z2
MATLAB程序：
b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a);
Z变换及Z传递函数
上式中符号 G1G2 ( z) 是 ZG1 (s) G2 (s) 的 缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与 G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。
另一种是两个环节之间有同步采样开关 存在，如图所示。
G ( z) U ( s) T U ( z) G 1 ( s) T Y 1 ( z) G 2 ( s) Y ( z)
制性能越好。
3．对象的纯滞后时间对控制性能的影响
设扰动通道的纯滞后时间 n 、控制通道的纯 滞后时间 。 设扰动通道纯滞后时间 n 对控制性能无影 响，只是使输出量yn (t)沿时间轴平移了 n ，如 图所示。
yn(t) yn(t),τn＝0
yn(t),τn≠0 τn
t
n
被控对象的传递函数与性能指标
计算机控制系统的被控对象是指所要 控制的装置或设备，如工业锅炉、水泥立 窑、啤酒发酵罐等。
被控对象用传递函数来表征时，其 特性可以用放大系数K、惯性时间常 数 Tm ，积分时间常数 Ti 和纯滞后时 间 来描述。被控对象的传递函数可以归 纳为如下几类。
1．放大环节 放大环节的传递函数
由Z变换定义得： F ( z) f (0) f (T ) z 1 f (kT ) z k 比较两式得： 则：
*
f (0) c0 , f (T ) c1 ,, f (kT ) ck ,
f (t ) c0 c1 (t T ) c2 (t 2T ) ck (t kT )
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
5．正弦信号
f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
5 z变换理论
注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )， 则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0， 则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值 证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0
k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第五次实验心得体会
心得体会今天我们做的实验是离散信号与系统的Z 变换分析, Z 变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段, 实验前我书上和资料上了解到Z 变换它是由拉氏变换而来的, 属于一种线性坐标变换, 它将差分方程化为代数方程, 是分析采样系统的主要数学工具。
在离散系统分析中为简化运算而建立的对函数序列的数学变换, 其作用与拉普拉斯变换在连续系统分析中的作用很相似。
在采样控制理论中,Z 变换是主要的数学工具。
Z 变换还在时间序列分析、数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。
在MATLAB 语言中有专门对信号进行正反Z 变换的函数ztrans( ) 和itrans( )。
离散信号f(k)的Z 变换定义为:()()k k F z f k z ∞-=-∞=∑反Z 变换的定义为:11()()2k f k F z z dz j π-=⎰（1）求离散序列的Z 变换:1122()()cos()()k k f k k πε=程序：syms k zf=0.5^k*cos(k*pi./2);Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =4*z^2/(4*z^2+1)（2）离散序列:3()()(5)f k k k εε=--程序: syms k z f=('Heaviside(k)-Heaviside(k-5)')Fz=ztrans(f)运行结果:f =Heaviside(k)-Heaviside(k-5)(3)但在离散序列:[]4()(1)()(5)f k k k k k εε=---程序: syms k z f=k*(k-1)*('Heaviside(k)-Heaviside(k-5)')Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =2/z^4*(z^2+3*z+6)在两个离散序列出现了不同的结果, 前者直接输出原来的函数, 猜想是不是因为后者系数K （K-1）有关。
执行下列程序: syms k zf=k*(k-1)Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =z*(1+z)/(z-1)^3-z/(z-1)^2(4)而3()()(5)f k k k εε=--的z 变换为: Fz=(z/z-1)-(z^（-5）*z/z-1)=(z-z^(-4))/z-1 和用MATLAB 仿真的f =Heaviside(k)-Heaviside(k-5)显然不符。
什么是z变换
什么是z变换
z变换
◆z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。
￡
若设，并将写成F(Z),则得
F(z)就叫做的z变换，并且以表示的z变换。
在z变换中，只考虑采样时的信号值。因此，f(t)的z变换与f*(t)的z变换有相同的结果。即:
(7-4)
因为F(z)只取决于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的数值，所以F(z)的z反变换，只给出了f(t)在采样瞬间的信息。
注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内收敛，则在
应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。
例7-2 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=eωt(t≥0)
解：
例7-3 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)
解：
7
ω/(s2+ω2)
sinωt
zsinωT/(z2-2zcosωT+1)
8
s/(s2+ω2)
cosωt
z(z-cosωt)/(z2-2zcosωT+1)
9
1/(s+a)2
Te-at
TzeaT/(z-eaT)2
10
ω/[(s+a)2+ω2]
e-atsinωt
zeaTsinωT/(z2-2ze-aTcosωt+e-2aT)
⒉部分分式法
当给定某连续函数f(t)的拉氏变换F(s)时，欲求其z变换，可利用本法，因为许多函数F(s)利用部分分式可以化成如下形式：
通过其中的每一项拉氏反变换得到原函数f(t)为：
z变换实验报告
南昌大学实验报告(信号与系统)学生姓名：肖江学号：6100210030 专业班级：电子103班实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：2012/6/1 实验成绩：Z变换、离散时间系统的Z域分析一、实验目的1、学会用matlab求解z变换与逆z变换。
2、学会离散系统零极点分布图的绘制，理解离散系统零极点分布图的含义。
3、求解离散系统的频率响应特性。
二、实验说明1、一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n),若激励为x(n)=a n u(n)，起始值y(-1)=0,求响应y(n)。
2、当H(s)极点位于z平面中各方框附近的位置，画出对应的h(n)波形填入方框中。
3、求系统差分方程为y(n)-1.1y(n-1)+0.7y(n-2)=x(n-1),的系统的频率响应特性。
三、实验内容1、syms n a b z%定义符号n a b zx=a^n; %定义激励信号X=ztrans(x); %计算激励信号的变换H=1/(1-b*z^(-1)); %写出系统z变换式Y=H*X; %计算输出的变换式y1=iztrans(Y); %计算输出时域表达式y=simplify(y1) %化简表达式2、pos=[26,19,18,17,24,27,13,11,9,23,28,7,4,1,22];figure,id=1; %生成新图框，子图id初始化为1for r=0.8:0.2:1.2 %极点的幅度依次为0.8,1.0,1.2for theta=0:pi/4:pi %极点的弧度依次为0，Π/4，Π/2，3Π/4,Πp=r*exp(j*theta);if theta~=0&theta~=pip=[p;p']; %如果极点不在实轴上添加一个共轭极点end[b a]=zp2tf([],p,1); %由零极点得到传递函数subplot(4,7,pos(id));[h,t]=impz(b,a,20); %计算20个点的单位样值响应stem(t,h,'k-','MarkerSize',5);%绘制单位样值响应id=id+1; %子图序号加1end%退出弧角循环end%退出幅度循环3、a=[1,-1.1,0.7];b=[0,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a) %绘制频率特性4、a=[1,-1.1,0.6];b=[0.6,-1.1,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a); %绘制频率响应n=[0:40]'; %生成时间点x1=sin(0.1*pi*n); %生成单频信号x2=0*n; %准备方波信号x2(mod(n,10)<5)=1; %生成周期为10的方波信号y1=filter(b,a,x1); %分别对两个信号滤波y2=filter(b,a,x2);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x1); %绘制单频信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y1);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x2); %绘制方波信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y2);四、实验结果1、y =(a^(1+n)-b^(1+n))/(a-b)2、输出波形如下3、输出波形如下：4、输出波形如下：五、实验总结通过本次实验的学习，对离散系统有了更多的了解，通过用matlab画出离散系统的零极点分布图，使我对离散系统的零极点分布与其对用的频响特性有了深刻的了解；同时对全通网络的相频失真有了进一步了解，幅度没有失真，但对不同的频率信号的相移不同，因此单频信号输入时，其输出信号的波形没有失真，只是整个波形发生了移位，但对于方波信号，由于其中包含了各种频率的信号，因此不同频率的信号相频失真不同，因此输出波形不再是方波。
Z变换知识点
Z变换知识点咱今儿就来好好唠唠 Z 变换这个听起来有点玄乎的玩意儿。
先来说说啥是 Z 变换。
你就想象啊，有一堆数字信号，就像一群调皮的小精灵，在时间轴上蹦跶来蹦跶去。
Z 变换呢，就是给这些小精灵穿上一件神奇的魔法袍，让我们能更清楚地看清它们的规律和特点。
比如说，有个简单的序列 x(n) ＝｛1, 2, 3, 4, 5} ，通过 Z 变换，就能把它变成一个数学表达式，方便我们去分析和处理。
那 Z 变换咋算呢？这就像是解一道有点复杂的数学谜题。
咱得先找到一个公式，就像找到了一把神奇的钥匙。
常见的 Z 变换公式就像一个万能的解题模板，把序列往里一套，就能得出结果。
我记得有一次，我给学生讲 Z 变换的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这 Z 变换到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想，你要预测未来几天的气温变化，是不是得先找到气温变化的规律？Z 变换就是帮我们找到数字信号里的规律，这样就能做出更准确的预测啦！”那孩子听了，眼睛一下子亮了起来。
再来说说 Z 变换的性质。
这就好比是小精灵们的各种特殊技能。
比如线性性质，就像是把几个小精灵的力量加起来，变得更强大；位移性质呢，就像是让小精灵们集体向前或者向后移动一步，看看有啥变化。
还有 Z 变换的逆变换。
这就像是把穿上魔法袍的小精灵再变回原来的样子。
通过一些特定的方法和技巧，我们就能把经过 Z 变换后的表达式，变回原来的数字序列。
在实际应用中，Z 变换可是大有用处。
比如说在通信系统里，它能帮助我们优化信号的传输，让信息传递得更清晰、更准确；在控制系统中，它能让我们更好地设计控制器，让系统运行得更稳定、更高效。
总之啊，Z 变换虽然听起来有点复杂，但只要咱静下心来，一步一步去理解，就会发现它其实就像我们身边的好朋友，能帮我们解决好多数字信号处理的难题。
希望大家都能跟 Z 变换成为好朋友，让它为我们的学习和工作助力！。
Z变换
0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ
z变换的基本知识
z变换基本知识1z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为OOf*(t)=1，f(kT)、(t-kT)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)•f(2T)、(t-2T)k Of(3T)5(t-3T)+|||(1)对式(1)作拉普拉斯变换F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'sT f(3T)e4T lMod=£f(kT)e3r(2)k0从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令z=e sT(3)代入式(2)并令F*(x)i=F(z),得s平lnzF(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)k 0式(4)定义为采样信号£*("的2变换，它是变量z 的幕级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以F(z)=L[f*(t)]表示。
由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z=e sT 的变量置换。
f*(t)的z 变换的符号写法有多种，如Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等,不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变 换。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
实验五 Z变换
实验五 Z 变换一、实验目的利用MATLAB 进行序列的Z 变换及Z 反变换的计算。
二、实验原理及实验内容z 变换是时域离散信号和系统分析及设计的重要数学工具。
对于一个序列x(n)，其z 变换定义为()()nn X z x n z∞-=-∞=∑这是个无穷级数，它存在着是否收敛和收敛条件的问题。
MA TLAB 作数值分析时，是无法求无限长度序列的z 变换的，这个问题要靠MATLAB 中的符号运算（Symbolic ）工具箱才能解决。
如果z 变换是z 的有理分式，虽然其逆z 变换是无限序列，但求它的系数和指数都是数值计算的范畴，可以用MATLAB 解决。
如果序列x 的长度，即length(x)有限，其n=ns:nf ，则其z 变换为()()nfnn nsX z x n z-==∑它是一个z 的多项式，不存在收敛问题。
用MATLAB 的表达式可写成：()(1)^(1)(2)^(2)()^()X z x z n x z n x end z n end =*-+*-++*-这是MATLAB 中信号序列z 变换的典型形式。
它的逆z 变换一目了然，就是其系数向量x 和指数向量n 。
这也是和连续系统拉氏变换的不同之处。
在s 域，纯粹分子上的s 多项式属于非物理系统，分母上的s 的次数必定高于分子。
在z 域，有限长信号序列的z 变换必定是（纯粹分子上的）z 的多项式，无限长信号序列的z 变换则是z 的有理分式，而且其分母上的z 的次数可以低于分子。
用z 变换很容易求离散信号X(z)通过线性离散系统H(z)的输出Y(z)：()()()()()B z Y z X z H z A z == 它必然是z 的有理分式1(1)1(1)()(1)(2)()(1)()()(1)(2)()(1)M MN NB z B B z B N z B N z Y z A z A A z A N z A N z --------+++++==+++++ （1） 通过长除或逆z 变换可求出其对应的时域序列。
《Z变换的性质》ppt课件
3
例 1 求coshn0u(n)的z变换。
解：
已知
Z anu(n) z
za
并且
coshn0
1 2
e n0 e n0
Z
co s hn 0 u(n)
1Z 2
en0 u(n)
1Z 2
en0 u(n)
1z 1 z 2 z e0 2 z e0
解：
x(0) lim X (z) 0 z
1 2
x(1) limzX (z) x(0) lim
z
1
z
z
1
0.5
1 z
1 z2
7 z3
另外，因为分子比分母低一次，所以x(0)=0。
19
六．终值定理
若 x(n)为因果序列，已知X z Zxn xnz n
n0
则 limx(n) lim(z 1)X (z)
例：anu(n), a 1，终值为0
(2)若极点位于单位圆上，只能位于 z 1 ，并且是一阶
极点. 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有 第一条。
22
七．时域卷积定理
已知 则
X (z) Zx(n)
Rx1 z Rx2
H (z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max(Rx1 , Rh1 ) z min(Rx2 , Rh2 )
描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中 两序列z变换的乘积。
注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点 相抵 消，则收敛域可能扩大。
实验四_Z变换
实验四 Z 变换【实验目的】 通过MATLAB 仿真离散时间系统，研究其时频域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零极点分布概念和理解。
【实验原理】1.Z 变换原理（1）.Z 变换 在数字信号处理的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域分析方法。
后者通常指Z 变换和傅里叶变换法。
变换域分析的最大优点是将离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化，也使得对系统的特性分析更为方便。
对于离散时间信号，设序列为x (n )，则其Z 变换定义为： ，其中z 为复变量，是一个以时部为横坐标，虚部为纵坐∑+∞-∞=-=n n z n x z X )()(标构成的平面上的变量。
Z 变换记作，X (z )存在的z 的集合称为收敛域])([ )(n x z X Z =（ROC ），一般为+-<<x x R z R 由于ROC 是由定义的，因此一般为环形区域。
根据ROC 的特点，可以判定序列是右边序z 列、左边序列、双边序列等。
Z 变换具有一些重要的特性，是傅里叶变换的推广，包括线性、时移特性、频移特性、尺度变换、共轭、翻褶、Z 域微分、序列相乘、序列卷积等一系列性质。
（2）.系统函数离散线性时不变（LTI ）系统的系统函数H (z )定义为：H (z ) = Z[h (n )] = (4.4)∑+∞-∞=-n n z n h )(若用差分方程表示系统，则有 )k -n (b )k -n (a M 0k k N0k x y k ∑∑===如果系统起始状态为零，直接对上式的两边Z 变换，并利用移位特性，有 ∑∑=-=-==N 0M 0)()()(k k k k k k z a z b Z X z Y z H 因此，系统函数H (z )的分子和分母的系数正好等于差分方程的系数。
归一化，即使得0a y (n )前的参数为1，此时可以对上式的分子、分母进行因式分解，可得∏∏=-=-=N k k M m z z z H 1111m )p -(1)c -(1K )(得到系统的增益函数K 、零点、极点。
5z变换
X ( z ) = Z x ( n ) = ∑ x ( n) z
n=0
双边Z变换定义为： 双边Z变换定义为：
X ( z ) = Z [ x( n)] =
本质？ 本质？
n =−∞
∑ x ( n) z
∞
−n
2.2
定义
Z变换的收敛域
使序列x(n)的Z变换定义式 的 变换定义式 使序列 级数收敛的所有z值的集合称作 级数收敛的所有 值的集合称作 Z变换的收敛域。 变换的收敛域。 变换的收敛域
Z变换的基本性质 变换的基本性质
( 3 ) z域 微 分 性 ：
若 x(n ) Z → X ( z )
d 则 nx ( n ) − z → X (z) dz
Z
d n x(n ) − z X ( z ) → dz
m Z
m
可见:时域序列乘 等效于 域中求导且乘以(-z). 等效于z域中求导 可见 时域序列乘n等效于 域中求导且乘以 时域序列
n z
x(n)=a u ( n) − a u ( n − 1) 1 →
n n z
线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大到全平面。 线性叠加后，序列的 变换收敛域扩大到全平面。 变换收敛域扩大到全平面
举例
已知双曲余弦序列 x(n) = cosh(nω 0 )u (n) 求其z变换
1 解： Q cosh ( nω 0 ) = 2
z > R x1
3.4
左边序列
X (z) =
n = −∞
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
1) n2≥0 ， 0 < z < Rx 2 2) n2<0 ， z < R x2
第5章Z变换
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到：
X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可 看作一个左边序列和一个右边序列之和。 其Z变换为
X ( z)
n
nz
n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0
(az )
n 0
1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az
z变换
1. z平面与s平面的映射关系
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2.采样控制系统的零、极点
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3. 采样控制系统稳定的充要条件
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七、采样控制系统的稳态误差
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六、系统的稳定性分析
• 采样控制系统的稳定性是系统分析的前提。 从z平面与s平面的映射入手，讨论z平面与 s平面稳定域的映射关系，进而讨论采样控 制系统的稳定条件及判定方法。
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• 最少拍无波纹系统设计需要满足稳态误差为零的条件、稳 定性条件和无波纹条件。 • 改进的最少拍系统设计可采用阻尼因子法和非最少拍有限 拍控制方法。 • 针对被控对象含有纯滞后环节的情况可采用达林算法。在 使用达林算法过程中，需要注意振铃现象。
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7.2 微机控制系统的设计步骤 一、系统总体方案设计 （一）确定控制任务 （二）硬件软件功能分配与协调 （三）接口设计 （四）通道设计
控制算法选择原则: （五）控制台设计 对于一般简单的生产过程常采用P、PI或 二、微型计算机选择 PID控制； （一）微型计算机系统构成方案选择 对于快速随动系统，可选用最少拍控制； 对具有纯滞后的控制对象，可选用纯滞后补 （二）微型计算机系统性能指标选择 偿或大林控制算法； 三、控制算法设计 对具有时变、非线性特性的控制对象以及难 以建立数学模型的控制对象，可选用模糊控 四、硬件设计 制； 五、软件设计 其他有特殊要求的还可以考虑随机控制、智 能控制等控制算法。 六、系统联调
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
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z ( z 2)( z 1) 2
X ( z) c1 ( z 2) z
c2
1
z 1
1 d 2 X ( z) ( z 1) (2 1)! z dz
1 ( z 2) 2
z 1
1
c3
1 2 X ( z) ( z 1) (2 2)! z
B，A X(z)的分子与分母多项式的系数向量 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。
三、实验原理
R= 0.3600 0.2400 0.4000
P=
0.5000 -0.3333 -0.3333 K= []
从运行结果可知
p2 p3
表示系统有一个二重极点。 所以，X(z)的部分分式展开为
n
n x ( n ) z
其中，符号表示取z变换，z是复变量。 相应地，单边z变换定义为：
X ( z ) Z[ x(n)] x(n) z
n 0
n
三、实验原理
1. 求z变换 a. 使用ztrans和iztrans MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式 分别为 Z=ztrans(x) x=iztrans(z) 上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表 示，可通过sym函数来定义。
【例1】 试用ztrans函数求下列函数的z变换。
x(n) a cos(n)u(n)
n
x=sym('a^n*cos(pi*n)'); Z=ztrans(x); simplify(Z) % simplify(S) 对表达式S进行化简 ans= z/(z+a)
【例2】 试用iztrans函数求下列函数的z反变换。
R1 X (z) K 1 1 P1 z
Rn 1 Pn z 1
三、实验原理
例3 用MATLAB命令进行部分分式展开，并求出其z反变换。
X ( z) 18 18 3z 1 4 z 2 z 3 | z | 0.5
解：MATLAB源程序为
B=[18]; A=[18,3,-4,-1]; [R,P,K]=residuez(B,A)
19 x(n) (n) (5 3 n 1 3 2 n 1 )u (n) 6
三、实验原理
b. 使用部分分式展开求逆z变换
如果信号的z域表示式是有理函数，进行z反变换
的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后 求各简单分式的z反变换.如果X(z)的有理分式表 示为：
X ( z)
0.36 0.24 0.4 1 0.5 z 1 1 0.3333z 1 （1 0.3333z 1 ) 2
x(n) [0.36 (0.5) n 0.24 (0.3333 ) n 0.4(n 1)(0.3333 ) n ]u(n)
三、实验原理
1 z X ( z) 2 z 例4 用部分分式法求逆z变换： 3z 4 z 1 3
z z 1 X ( z) 2 3z 4z 1 3 4z 1 z 2
MATLAB程序： b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a); 得到 r =[0.5, -0.5]’ p =[1, 1/3]’ k =[] %初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数
z 1
1 ( z 2)
z 1
1
即 X ( z)
z z z z 2 z 1 ( z 1) 2
x(n) [2n 1 n]u(n)
用matlab求其部分分式
z z 2 X ( z) 2 ( z 2)( z 1) (1 z 1 )2 (1 2 z 1 )
b0 b1 z 1 b2 z 2 bm z m B( z) X ( z) 1 2 n A( z) 1 a1 z a2 z an z
r A Ck n k X ( z) Bn z 1 1 k 1 z z [ 1 z z ] n 0 k 1 k 1 k i M N M r
三、实验原理
MATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式
展开的函数residuez，其语句格式为： [R,P,K]=residuez(B,A) 其中: B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量， z 1 分子与分母多项式按照 升幂排列，从 z0的系数开始 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。
8 z 19 X ( z) 2 z 5z 6
| z | 3
Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); x=iztrans(Z); simplify(x) ans= -19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1) charfcn[0](n)是(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表 示，反变换后的函数形式为：
实验五 z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换
和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的系
统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X ( z ) Z [ x(n)]
X ( z)
0.5 0.5 1 z 1 1 (1 3) z 1
பைடு நூலகம்
结合其ROC，可以得到信号为
x(n) 0.5 u(n 1) 0.5(1/3)nu(n 1)
三、实验原理
例5 用部分分式法求逆z变换：X ( z ) 解：
c3 c1 c2 X ( z) 1 z ( z 2)( z 1)2 z 2 z 1 ( z 1) 2