Matlab数值计算
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
Matlab中的数值计算方法简介
Matlab中的数值计算方法简介引言：Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于工程、科学、金融等领域。
它拥有丰富的数值计算方法库，可以帮助研究者和工程师解决各种数值计算问题。
本文将简要介绍几种常见的数值计算方法，并说明它们在Matlab中的实现和应用。
一、插值法插值法是一种通过已知数据点之间的插值，估计未知数据点的数值的方法。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数进行插值计算。
该函数可以根据给定的数据点，计算出在指定位置的插值结果。
我们可以通过设置插值的方法和插值节点的数目来调整插值的精度与计算效率。
二、数值积分数值积分是一种通过近似求解定积分的方法。
在Matlab中，我们可以使用quad和quadl函数进行数值积分。
这些函数可以自动选择合适的数值积分方法，并提供了较高的精度和计算效率。
我们只需提供被积函数和积分区间，即可获得近似的积分结果。
对于一些特殊形式的积分，如复杂函数或无穷积分，Matlab还提供了相应的函数供我们使用。
三、线性方程组求解线性方程组的求解是数值计算中的一个重要问题。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模线性方程组的求解问题。
在Matlab中，我们可以使用矩阵运算功能和线性方程组求解函数来解决这类问题。
Matlab提供了一系列的求解函数，包括直接法和迭代法。
其中，直接法适用于小规模线性方程组，迭代法则适用于大规模线性方程组。
我们可以根据具体情况选择合适的方法和函数来求解线性方程组。
四、微分方程求解微分方程是许多科学和工程问题的数学模型，求解微分方程是数值计算中的常见任务。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程的初值问题。
该函数采用龙格-库塔方法，对微分方程进行数值积分，并给出近似的解析结果。
对于偏微分方程和其他更复杂的微分方程问题，Matlab还提供了更多的求解函数和工具箱供我们使用。
五、最优化问题求解最优化问题是指在特定约束条件下，求解给定目标函数的最大值或最小值的问题。
Matlab中常见的数值计算问题及解答
Matlab中常见的数值计算问题及解答Matlab是一款强大的科学计算软件，被广泛应用于工程、物理、数学等领域的数值计算和数据分析。
然而，由于其高度灵活和多样化的功能，使用者可能会遇到一些数值计算问题。
在本文中，我们将讨论一些在Matlab中常见的数值计算问题，并提供解答。
1. 数值稳定性在进行数值计算时，一个重要的问题是数值方法的稳定性。
数值不稳定性可能导致计算结果不准确，甚至无法得到有意义的结果。
为了解决这个问题，我们可以采取以下措施：(1) 使用兼容的数值方法：在选择数值方法时，应考虑到数值方法是否适用于问题的特性和约束条件。
例如，对于矩阵运算，可以使用特殊的数值方法，如LU分解或QR分解，以提高计算的稳定性。
(2) 限制数值范围：在进行计算之前，可以通过对数据进行归一化或缩放，将数据限制在一个合理的范围内。
这样可以减小计算中的数值误差，并提高计算的稳定性。
2. 数值误差数值计算中常常会出现数值误差。
这些误差可能来自于浮点运算的舍入误差，计算中的截断误差，或者数值方法的近似误差。
为了最小化数值误差，可以采取以下措施：(1) 使用高精度计算：Matlab提供了许多高精度计算的工具，如sym工具箱。
通过使用这些工具，可以进行更精确的计算，并减小数值误差的影响。
(2) 选择适当的数值方法：在选择数值方法时，应考虑到这些方法是否适用于所求解的问题。
例如，在解决微分方程时，可以根据方程的特性选择合适的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
3. 数值积分在数值计算中，求解积分是一项重要的任务。
然而，对于复杂的函数或高维问题，常规的积分方法可能无法得到准确的结果。
为了解决这个问题，可以采取以下措施：(1) 适当选择积分方法：Matlab提供了多种积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
在进行数值积分时，可以根据问题的特性选择适当的积分方法，以提高计算的准确性。
(2) 使用自适应积分方法：自适应积分方法可以根据需要对积分区域进行自适应划分，以提高计算的准确性。
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能下面将详细介绍MATLAB数值计算功能的一些主要方面：1. 矩阵运算和线性代数：MATLAB具有强大的矩阵操作功能，可以直接对矩阵进行加减乘除、求逆矩阵、求特征值等运算。
MATLAB中的线性方程组求解函数（如`linsolve`和`inv`）可以更轻松地解决各种线性代数问题。
2. 数值积分和微分：MATLAB提供了多种数值积分和微分函数，用于求解一元和多元函数的定积分、不定积分、数值微分和数值求导。
例如，可以使用`integral`函数计算函数的定积分，并使用`diff`函数计算函数的导数或`gradient`函数计算梯度。
3. 方程求解：MATLAB提供了一系列函数，用于解决非线性方程和代数方程组。
这些函数包括`fsolve`（用于求解非线性方程），`roots`（用于求解多项式方程的根）和`solve`（用于求解代数方程组）等。
4. 曲线拟合和数据拟合：MATLAB提供了多个函数用于曲线拟合和数据拟合，包括`polyfit`（多项式拟合），`lsqcurvefit`（非线性最小二乘曲线拟合），`interp1`（一维插值）和`griddata`（多维数据插值）等。
这些函数可以帮助用户找到数据之间的模式和关系。
5. 常微分方程（ODE）求解：MATLAB提供了用于求解常微分方程组（ODE）的函数，既可以用传统的数值方法求解，也可以用符号计算求解。
用户可以使用`ode45`、`ode23`或`ode15s`等函数来求解初值问题或边界值问题。
6. 线性最小二乘拟合：MATLAB中的`lsqnonlin`函数可以用于线性最小二乘问题的求解，包括曲线拟合、数据拟合、参数估计等。
用户可以使用该函数来找到使得拟合曲线和观测数据之间残差最小的参数。
7. 数值优化：MATLAB包含一系列优化函数，可以求解常规优化问题、无约束优化问题、约束优化问题等。
用户可以使用函数`fminsearch`、`fminunc`和`fmincon`等来找到函数的最小值或最大值。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能
MATLAB是一种非常强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、
工程计算和数据分析等领域。
它提供了丰富的数值计算功能，包括基本的
数学运算、线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法等。
下面将详
细介绍一些常见的数值计算功能。
1.数学运算：
MATLAB提供了丰富的数学函数，可以进行各种基本的算术运算，如
加减乘除、幂运算、取模运算等。
同时，它还提供了一些高级的数学函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
通过这些函数，用户可以进行各种
复杂的数学运算。
2.线性代数：
3.数值积分：
4.微分方程求解：
5.优化算法：
MATLAB提供了各种优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划等。
用户可以通过设定目标函数和约束条件，利用MATLAB的优
化函数寻找最佳的解。
这对于优化问题的求解非常有用，如工程设计、生
产调度等。
6.统计分析：
7.数据可视化：
总之，MATLAB的数值计算功能非常丰富，可以满足各种数学计算和数据分析的需求。
它不仅提供了各种基本的数学运算功能，还提供了高级的线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法和统计分析等功能。
同时，其强大的数据可视化功能也是很多用户选择MATLAB作为数值计算工具的重要原因之一。
matlab数值计算方法
Matlab提供了多种数值计算方法，以下是其中一些常用的方法：
1. 整数计算：Matlab中的计算方式和计算器类似，可以直接输入数值然后加上运算符进行运算。
2. 小数计算：小数计算的方式和整数相似。
3. 分数计算：Matlab可以切换至分数模式，这一点较计算器等具有较大优势。
4. 赋值运算：Matlab中除了和计算器一样直接运算，还能进行赋值运算，直接将其中一个值赋值后，带入运算即可。
5. 多重赋值运算：Matlab在数值计算的时候，还支持多重赋值计算。
这样可以很方便的求解列出的问题。
以上内容仅供参考，建议查阅Matlab官方文档获取更全面和准确的信息。
《MATLAB的数值计算》课件
误差的传播遵循一定的规律，可以通过误差分析 来预测和控制误差的大小和影响。
数值计算的稳定性分析
稳定性的定义
01
如果一个数值方法的解在舍入误差的影响下保持稳定，则称该
方法具有稳定性。
不稳定性的表现
02
不稳定的数值方法可能导致解的振荡、发散或失去物理意义。
稳定性分析的方法
03
稳定性分析可以通过数值实验、数学分析和图形绘制等方法来
GPU加速计算概述
GPU加速计算是一种利用图形处 理器（GPU）进行通用计算的技 术。通过将计算任务分配给GPU 处理，可以显著提高程序的运行 速度。在Matlab中，GPU加速计 算可以利用Matlab的GPU数组和 GPU函数实现。
GPU加速计算的优点
GPU加速计算可以显著提高程序 的运行速度，特别是对于大规模 数据和高维度的计算任务。由于 GPU具有大量的并行处理单元， 可以同时处理多个数据，因此 GPU加速计算在处理大规模数据 时具有很高的效率。
数据分析和机器学习
Matlab提供了大量的数据分析工具和机器学习算法库。
控制系统设计
Matlab具有强大的控制系统设计和分析功能。
信号处理和通信
Matlab在信号处理和通信领域有广泛应用。
02
CATALOGUE
数值计算基础
数值计算的基本概念
数值计算的定义
数值算的应用领域
数值计算是使用数学方法对实际问题 进行近似求解的过程，涉及数学建模 、算法设计、编程实现等方面。
数值计算广泛应用于科学、工程、经 济和社会等领域，是现代科学和技术 发展的重要支撑。
数值计算的特点
数值计算具有高效性、精确性和可重 复性，能够解决许多实际问题，如物 理模拟、金融分析、数据处理等。
MATLAB的数值计算
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
a./b=b.\a a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元 素除 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
—— 给出a,b对应元素间的商.
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a.^b z = 1.00 32.00 729.00
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150
2. 数组乘除(，./，.\） ab —— a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a.*b ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
数值计算方法matlab程序
数值计算⽅法matlab程序function [x0,k]=bisect1(fun1,a,b,ep)if nargin<4ep=1e-5;endfa=feval(fun1,a);fb=feval(fun1,b);if fa*fb>0x0=[fa,fb];k=0;return;endk=1;while abs(b-a)/2>epx=(a+b)/2;fx=feval(fun1,x);if fx*fa<0b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;k=k+1;endendx0=(a+b)/2;>> fun1=inline('x^3-x-1');>> [x0,k]=bisect1(fun1,1.3,1.4,1e-4)x0 =1.3247k =7>>N=500;endif nargin<3ep=1e-5;endx=x0;x0=x+2*ep;while abs(x-x0)>ep & kx0=x;x=feval(fun1,x0);k=k+1;endx0=x;if k==Nwarning('已达最⼤迭代次数')end>> fun1=inline('(x+1)^(1/3)');>> [x0,k]=iterate1(fun1,1.5)x0 =1.3247k =7>> fun1=inline('x^3-1');>> [x0,k]=iterate1(fun1,1.5)x0 =Infk =9>>Steffesen加速迭代（简单迭代法的加速）function [x0,k]=steffesen1(fun1,x0,ep,N) if nargin<4N=500;endx=x0;x0=x+2*ep;k=0;while abs(x-x0)>ep & kx0=x;y=feval(fun1,x0);z=feval(fun1,y);x=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0);k=k+1;endx0=x;if k==Nwarning('已达最⼤迭代次数')end>> fun1=inline('(x+1)^(1/3)');>> [x0,k]=steffesen1(fun1,1.5)x0 =1.3247k =3>> fun1=inline('x^3-1');>> [x0,k]=steffesen1(fun1,1.5)x0 =1.3247k =6Newton迭代function [x0,k]=Newton7(fname,dfname,x0,ep,N) if nargin<5N=500;endendx=x0;x0=x+2*ep;k=0;while abs(x-x0)>ep & kx0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);k=k+1;endx0=x;if k==Nwarning('已达最⼤迭代次数')end>> fname=inline('x-cos(x)');>> dfname=inline('1+sin(x)');>> [x0,k]=Newton7(fname,dfname,pi/4,1e-8) x0 =0.7391k =4⾮线性⽅程求根的Matlab函数调⽤举例：1.求多项式的根：求f(x)=x^3-x-1=0的根：>> roots([1 0 -1 -1])ans =1.3247-0.6624 + 0.5623i-0.6624 - 0.5623i2.求⼀般函数的根>> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x')fun =Inline function:fun(x) = x*sin(x^2-x-1)>> fplot(fun,[-2 0.1]);grid on-1.5956>> x=fzero(fun,[-1 -0.1])x =-0.6180[x,f,h]=fsolve(fun,-1.6)x =-1.5956f =1.4909e-009h =1（h>0表⽰收敛，h<0表⽰发散，h=0表⽰已达到设定的计算函数值的最⼤次数）第三章：线性⽅程组的数值解法1. ⾼斯消元法function [A,x]=gauss3(A,b)%本算法⽤顺序⾼斯消元法求解线性⽅程组n=length(b);A=[A,b];for k=1:n-1A((k+1):n,(k+1):(n+1))=A((k+1):n,(k+1):(n+1))-A((k+1):n,k)/A(k,k)*A(k,(k+1):(n+1)); A((k+1):n,k)=zeros(n-k,1);A;endx=zeros(n,1);%上⾯为消元过程x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(A(k,n+1)-A(k,(k+1):n)*x((k+1:n)))/A(k,k);end%上⾯为回代过程>> A=[2 3 4;3 5 2;4 3 30];>> b=[6,5,32]'b =>> [A,x]=gauss3(A,b)A =2.00003.00004.0000 6.00000 0.5000 -4.0000 -4.00000 0 -2.0000 -4.0000x =-1382列选主元的⾼斯消元法：function [A,x]=gauss5(A,b)%本算法⽤列选主元的⾼斯消元法求解线性⽅程组n=length(b);A=[A,b];for k=1:n-1%选主元[ap,p]=max(abs(A(k:n,k)));p=p+k-1;if p>kt=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=t;end%消元A((k+1):n,(k+1):(n+1))=A((k+1):n,(k+1):(n+1))-A((k+1):n,k)/A(k,k)*A(k,(k+1):(n+1)); A((k+1):n,k)=zeros(n-k,1);end%回代x=zeros(n,1);x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);>> A=[2 3 4;3 5 2;4 3 30]; b=[6,5,32]';>> [A,x]=gauss5(A,b)A =4.0000 3.0000 30.0000 32.00000 2.7500 -20.5000 -19.00000 0 0.1818 0.3636x =-1382三⾓分解法：Doolittle 分解function [L,U]=doolittle1(A)n=length(A);U=zeros(n);L=eye(n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for k=2:nU(k,k:n)=A(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n);L(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,n)/U(k,k); End y=zeros(n,1);x=y;y(1)=b(1);for i=2:ny(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1);endx(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i);end>> A=[1 2 3;2 5 2 ;3 1 5];b=[14 18 20]';>> [L,U,x]=doolittle1(A,b)3 -8 1U =1 2 30 1 -40 0 -36x =2.83331.33332.8333平⽅根法：function [L,x]=choesky3(A,b)n=length(A);L=zeros(n);L(:,1)=A(:,1)/sqrt(A(1,1));for k=2:nL(k,k)=A(k,k)-L(k,1:k-1)*L(k,1:k-1)';L(k,k)=sqrt(L(k,k));for i=k+1:nL(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*L(k,1:k-1)')/L(k,k); endendy=zeros(n,1);x=y;y(1)=b(1)/L(1,1);for i=2:ny(i)=(b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1))/L(i,i);endx(n)=y(n)/L(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-L(i+1:n,i)'*x(i+1:n))/L(i,i);end>> A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]-1.0000 4.2500 2.75001.00002.75003.5000>> b=[4 6 7.25]'b =4.00006.00007.2500[L,x]=choesky3(A,b)L =2.0000 0 0-0.5000 2.0000 00.5000 1.5000 1.0000x =111>>迭代法求⽅程组的解Jacobi迭代法：function [x,k]=jacobi2(a,b,x0,ep,N)%本算法⽤Jacobi迭代求解ax=b,⽤分量形式n=length(b); k=0;if nargin<5N=500;endif nargin<4ep=1e-5;endif nargin<3x0=zeros(n,1);y=zeros(n,1);while norm(x-x0,inf)>ep & kk=k+1;x0=x;for i=1:ny(i)=b(i);for j=1:nif j~=iy(i)=y(i)-a(i,j)*x0(j);endendif abs(a(i,i))<1e-10|k==Nwarning('a(i,i) is too small');returnendy(i)=y(i)/a(i,i);endx=y;enda=[4 3 0;3 4 -1; 0 -1 4];b=[24 30 -24]'；[x,k]=jacobi2(a,b)x =3.00004.0000-5.0000k =59Gauss-seidel迭代法：function [x,k]=gaussseide2(a,b,x0,ep,N)%本算法⽤Gauss-seidel迭代求解ax=b,⽤分量形式n=length(b); k=0;if nargin<5N=500;endendif nargin<3x0=zeros(n,1);y=zeros(n,1);endx=x0;x0=x+2*ep;while norm(x-x0,inf)>ep & kk=k+1;x0=x;y=x;for i=1:nz(i)=b(i);for j=1:nif j~=iz(i)=z(i)-a(i,j)*x(j);endendif abs(a(i,i))<1e-10|k==Nwarning('a(i,i) is too small');returnendz(i)=z(i)/a(i,i);x(i)=z(i);endend[x,k]=gaussseide2(a,b)x =3.00004.0000-5.0000k =25最速下降法function [x,k]=zuisuxiajiang(A,b,x0,ep,N)N=500;endif nargin<4ep=1e-8;endif nargin<3x0=ones(n,1);endx=x0;x0=x+2*ep;r=b-A*x;d=r;k=0;while norm(x-x0,inf)>ep & kk=k+1;x0=x;lamda=(d'*d)/(d'*A*d);x=x0+lamda*d;r=b-A*x;d=r;endif k==Nwarning('已达最⼤迭代次数')end共轭梯度算法function [x,k]=gongertidufa(A,b,x0,ep,N) %本算法⽤共轭梯度算法求解正定⽅程组Ax=b,,n=length(b);if nargin<5N=500;endif nargin<4ep=1e-8;x0=x+2*ep;r=b-A*x;d=r;k=0;while norm(x-x0,inf)>ep & kx0=x;lamda=(r'*r)/(d'*A*d);r1=r;x=x0+lamda*d;r=b-A*x;beta=(r'*r)/(r1'*r1);d=r+beta*d;endif k==Nwarning('已达最⼤迭代次数') end常微分⽅程数值解function [x,y]=Euler1(fun,xspan,y0,h)%本算法⽤欧拉格式计算微分⽅程y'=f(x,y)的解。
MATLAB课件-第三讲数值计算
6347 C=
371 D=A+B D=
14 5 5 12
E=A+C ??? Error using ==> plus
%因为A和C阶数不相同,提示错误 Matrix dimensions must agree. E=A+[0 C]
%补0改成此输入再试一次 E=
8586
Y1=poly2sym(A) Y1 = 8*x^3+2*x^2+x+5 Y2=poly2sym(B) Y2 = 6*x^3+3*x^2+4*x+7
39 41
矩阵除法解超定方程组
1 求正则方程 Normal equations) 的解. 2 用Householder 变换 (Householder transformation) 直接求
原超定方程的最小二乘解。 由于第二种方程法采用的是正交变换,根据最小二乘理论可知
第二种方法所得的解的准确性及可靠性都比第一种方法好 得多, MATLAB 解超定方程组用的就是第二种方法
3.在第二种形式中等号右边的表达式是被演绎后产生的矩 阵将被赋给等号左边的变量存入内存,并显示在屏幕上；
4.书写表达式时,运算符号 “=”,“+”,“-”以及“*” 等 两侧允许有空格,以增加可读性,但在复数或符号表达式中要 尽量避免装饰性空以防出错；
5 变量名函数名以一个字母打头后面最多可接 19 个字母 或数字, 注意 MATLAB是区分字母的大小写的；
[例4] 除运算解欠定方程的简单算例 a=[1 2 3;4 5 -6;7 8 9;10 11 12]; b=a'; c=[1 3 3]'; x=b\c x=
2.0000 0.1667
第2章 MATLAB数值计算
第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。
2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。
以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。
▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。
▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。
▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。
复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。
复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。
a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。
MATLAB数值计算功能(向量、矩阵、数组、稀疏矩阵)
数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1）、直接输入向量元素用“ [ ]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18]a2=[11;14;17;18]%列向量用“ ’”能够进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1'%a1 行向量,a4 列向量也能够用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B]（2）、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=Vec0:n:Vecn,此中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn 表示最后一个元素使用 linespace 函数： Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),此中 Vec 表示生成地向量 ,Vec0 表示第一个元素 ,n 表示生成向量元素个数（默认 n=100） ,Vecn 表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=linspace(10,50,6)2、向量地基本运算（1）、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只好作为被除数,数只好作为除数）vec1=linspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数平分向量vec2/100（2）、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=linspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2（3）、点积、叉积和混淆机点积： dot 函数 ,注意愿量维数地一致性x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还能够采纳sum 函数计算向量地址积叉积： cross 函数 ,注意愿量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只好为3）x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2)%报错 ,维数只好为3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混淆积：结果为一个数,先求 cross,再求 dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格划分同一行不一样元,分号划分不一样行素1、矩阵地生成4 种方法：在command window直接输入；经过语句和函数产生；M 文件中成立；外面数据文件中导入（1）、直接输入：把矩阵元素直接摆列到方括号中 ,每行元素用逗号或空格相隔 ,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)（2）文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入： File—Import Data2、矩阵地基本数值运算（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只好作为除数）matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2（2）、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,一定是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m2=m1+matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6]m4=matrix-m1m5=m3+m1 %报错 ,非同型矩阵乘法：用 *, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1111;2222;3333;4444]B=[1592;6357;2589;4563]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]3*3矩阵相乘E=A*D% 报错 ,4*4 矩阵不可以与除法：左除（ AX=B 则 X=A\B,相当于 X=inv(A)*B, 可是左除稳固性好）右除 / （ XA=B 则 X=B/A,相当于 X=B*inv(A)）个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解 ,本列中 A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1]B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵能够使用比较运算符：结果矩阵地对应地点为0 或1数据变换：floorceilroundfixrem[n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d 3、矩阵地特点参数运算（1）、乘方与开方乘方： A^p 计算 A 地 p 次方p>0： A 地 p 次方p<0： A 逆矩阵地abs(p)次方A=[1234;4567;4567;891011]B=A^10开方：如有X*X=A,则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)B^2 %考证正确性（2）、指数与对数指数： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V （ [V,D]=eig(X)）对数： L=logm(A),与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)（3）、逆运算inv函数 ,充要条件：矩阵地队列式不为0A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)广义逆矩阵（伪逆）：pinv(A)非奇怪矩阵地pinv 与inv 相同（4）、队列式det函数A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y（5）、特点值E=eig(X)：生成由X 地特点值构成地列向量[V,D]=eig(X)： V 是以 X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X 地特点值构成地列向量（eigs 函数使用迭代法求解矩阵地特点值和特点向量 ,X 一定是方阵,最好是大型稀少矩阵）[V,D]=eig(X)： V 是以X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)（6）、矩阵（向量）地范数norm(X) ： 2-范数norm(X,2) ： 2-范数norm(X,1) ： 1-范数norm(X,inf) ：无量范数norm(X,’fro ’)： Frobenius 范数normest(X) ：只好计算2-范数 ,而且是 2-范数地预计值,用于计算norm(X) 比较费时地状况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)（7）、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个胸怀,矩阵 A 地条件数越大,表示 A 越病态 ,反之 ,表示 A 越良态 ,Hilbert矩阵就是闻名地病态矩阵cond(X)：返回对于矩阵X 地 2-范数地条件数cond(X,P)：对于矩阵X 地 P-范数地条件数（P 为 1、 2、 inf rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值,该值越靠近0 就越病态condest(X)：计算对于矩阵X 地 1-范数地条件数地预计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1)c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H)h2=cond(H,inf)h3=rcond(H)h4=condest(H)或’fro’）,越靠近 1 就越良态由以上结果能够看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地（8）、秩rank 函数T=rand(6)rank(T) %6,满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵（9）、迹trace 函数 ,主对角线上全部元素地和,也是特点值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算（1）、三角分解（lu）非奇怪矩阵 A（ n*n ）,假如其次序主子式均不为 0,则存在独一地单位下三角 L 和上三角阵 U, 进而使得 A=LU[L,U]=lu(X)：产生一个上三角矩阵U 和一个下三角矩阵L,使得 X=LU,X能够不为方阵[L,U,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U 和互换矩阵P,PX=LUY=lu(X)：假如 X 是满矩阵 ,将产生一个lapack’s地 dgetrf 和 zgetrf 地输出常式矩阵Y；假如 X 是稀少矩阵 ,产生地矩阵Y 将包含严格地下三角矩阵L 和上三角矩阵U,这两种状况下,都不会有互换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)（2）、正交分解（qr ）对于矩阵 A（ n*n ）,假如 A 非奇怪 ,则存在正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R,使得 A 知足关系式 A=QR, 而且当 R 地对角元都为正时 ,QR 分解是独一地[Q,R]=qr(A) ：产生一个与 A 维数相同地上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q,使得知足A=QR[Q,R,E]=qr(A)：产生一个互换矩阵E、一个上三角矩阵R 和正交阵[Q,R]=qr(A,0) ：对矩阵 A 进行有选择地QR分解 ,当矩阵 A 为 m*n 前 n 列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,而且知足R=chol(A’*A)Q,这三者知足 AE=QR 且m>n, 那么只会产生拥有A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8] [Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j)：去除第[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j 列求 QR分解j 列插入 x 后求QR分解（3）、特点值分解（eig）[V,D]=eig(X)：V 是以矩阵X 地特点向量作为列向量构成地矩阵,D 是矩阵X 地特点值构成地对角阵 ,知足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵 A、B 做广义特点值分解 ,使得 AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D（4）、 Chollesky 分解（ chol）当矩阵A（ n*n ）对称正准时,则存在独一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得 A=R’*R,当限定 R 地对角元素为正地时候 ,该分解是独一地当矩阵 A 为非正定阵时 ,会提示犯错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A) %报错 ,A 为非正定阵（5）奇怪值分解（svd）[U,S,V]=svd(X)：与矩阵 X 维数相同地对角阵 S、正交矩阵 U 和正交矩阵 V,使得知足 X=USV’[U,S,V]=svd(X,0)：X 为 M*N 矩阵 ,当 M>N 时 ,生成地矩阵 U 只有前 N 列元素被计算出来 ,而且 S为 N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解（正交阵和schur阵）[U,T]=schur(A)： A=UTU’schur阵是主对角线元素为特点值地三角阵5、矩地一些特别理size(A)：求矩 A 地行数、列数diag(A):求出矩 A 地角元素repmat(A)：将矩 A 作位 ,成 m*n 矩 ,此中每个元素都是cat(k,A,B)： k=1 归并后形如 [A;B]（ A,B 列数相等）； k=1 归并后形如（1）、矩地A 矩[A,B]（ A,B 行数相等）reshape(X,M,N) ：将矩X 地全部元素分派到一个M*N地新矩,当矩X 地元素不是M*N ,返回reshape(X,M,N,P,⋯)：返回由矩X 地元素成地M*N*P*⋯多矩,若果M*N*P*⋯与X 地元素数不一样 ,将返回reshape(X,[M,N,P,⋯]) ：与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)（2）、矩地向rot90(A) ： A 按逆旋rot90(A,K) ： A 按逆旋filpud(X) ：将 X 上下翻90 度90*K度fliplr(X) ：将X 左右翻flipdim(X,DIM) ：将 X 地第 DIM 翻X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻6、特别矩地生成（1）、零矩和全 1 矩地生成A=zeros(M,N)：生成 M*N 地零矩A=zeros(size(B))：生成与 B 同型地零矩A=zeros(N)：生成 N 零矩仿真全 1 矩地生成与零矩地生成似,使用ones 函数A=zeros(4,5)B=[12345;23456;98765;87654]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)（2）、角矩地生成A=diag(V,K)： V 某个向量 ,K 向量 V 偏离主角地列数,K=0 表示 V 主角 ,K>00 表示 V 在主对角线以上,K<0 表示 V 在主对角线以下A=diag(V)：相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)（3）、随机矩阵地生成rand(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素值在 (0.0,1.0) 之间rand(M,N)randn(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素之听从正态散布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)（4）、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V)：有 A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)（5）、魔术矩阵地生成它是一个方阵 ,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（ 2 阶方阵除外）magic(N)：生成N 阶魔术矩阵 ,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2 除外）magic(2)magic(3)magic(4)（6）、 Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert 矩阵地第i 行、第 j 列地元素值为1/(i+j-1), 反 Hilbert 矩阵是 Hilbert 矩阵地逆矩阵hilb(N) ：生成 N 阶地 Hilbert 矩阵invhilb(N) ：生成 N 阶地反 Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机摆列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： Pascal矩阵hankel(c)： Hankel 矩阵wilkinson(n)： wilkinson 特点值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注： diag 函数地输入参数只好有一个（能够为向量）compan(u)：友矩阵hadamard(n)： hadamard 矩阵toeplitz(c,r)：托布列兹阵数组及其运算1、数组寻址和排序（1）、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %接见 A 地第 4 个元素A(2:6)%接见 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4])%接见 A 中 1、3、 7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾（2）、数组地排序sort(X)：将数组X 中地元素按升序排序X 是多维数组时 ,sort(X)命令将 X 中地各列元素按升序排序X 是复数时 ,sort(X)命令将 X 中地各个元素地模abs(X)按升序排序X 是一个字符型单元数组,sort(X)命令将 X 中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)：DIM 选择用于摆列地维,MODE 决定了排序地方式（’ascend’升序 ,’descend’降序） ,该命令生成地数组Y与 X 是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X,1) %纵向升序排序sort(X,2) %横向升序排序sort(2)2、数组地基本数值运算（1）、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y（2）、数组地乘除法乘法用“ .* ”： X、 Y 有相同维数 ,X.*Y 表示 X 和 Y 中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./ ”：注意“ ./ ”和“ ”完整不一样X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z%报错 ,维数问题Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.\Y %Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.\Z%报错 ,维数问题（3）、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.^Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.^3乘方运算时底数为标量X=[456789]Z=3.^X数组和矩阵也能够进行exp、 log、 sqrt 等运算 ,是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于（ <）,小于等于（ <=） ,大于（ >）,大于等于（ >=） ,等于（ ==） ,不等于（ ~=） ,结果为 1, 则关系式为真 ,结果为 0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数 ,X 为被除数 ,n 为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算,非运与（ &）,或（ | ）,非（ ~）,此中与、或能够比较两个标量或许两个同阶数组（或矩阵）算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat：串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute：重组repmatreshaperot90稀少型矩阵1、稀少矩阵地生成（1）、 speye 函数：生成单位稀少矩阵speye(size(A))speye(M,N) ：维数为M 和N 中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)（2）、 sprand 函数：生成随机稀少矩阵（元素听从0-1 之间地随机散布）R=sprand(S)：产生与稀少矩阵S 构造相同地稀少矩阵,但它地元素都是0-1 上地随机数Rsprand(M,N,D) ：产生一个M*N 地随机稀少矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D, 注意D 地值在 0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)（3）、 sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵 X 转变为稀少矩阵SS=sparse(I,j,s,m,n,nzm)：生成 m*n 地稀少矩阵 S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上 ,此中 nzm=length(s)S=sparse(I,j,s)：生成 m*n 地稀少矩阵S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上,此中 m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2]s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错 ,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认 nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀少矩阵地操作（1）、 nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S)：返回 S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S))：表示稀少矩阵S 中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))（2）、 sponse 函数R=sponse(S)：生成一个与稀少矩阵 S 构造相同地稀少矩阵 R,可是在矩阵 S 中地非零元素地地点上用元素 1 替代S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)（3）、 spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm)：生成一个全部元素都为0 地m*n阶稀少矩阵,计算机利用这些空间来存储 nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) s=spalloc(n,n,1*n)%生成%分派3*13*3地稀少列向量地空间 ,最后能够储存 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v)%v 为含有一个非零元素地稀少列向量end（4）、 full 函数S=full(X)：将稀少矩阵（三元组表示）变换为满矩阵（矩阵表示）s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)（5）、 find函数I=find(X)：返回矩阵X 地非零元素地地点,如 I=find(X>100) 返回X 中大于100 地元素地地点[I,J]=find(X) ：返回 X 中非零元素所在地行I 和列 J 地详细数据[I,J,V]=find(X)：除了返回I 和 J,还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X) 和 find(X~=0)会产生相同地I 和 J,可是后者会生成一个包含全部非零元素地点地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)（6）、 issparse 函数issparse(S)：返回值为 1 说明矩阵S 是一个稀少矩阵,返回值为0 时说明矩阵S 不为稀少矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回 0,不为稀少矩阵Y=issparse(R) %返回 1,为稀少矩阵。
matlabMATLAB的数值计算
4. 矩阵的其它运算
inv —— 矩阵求逆 det —— 行列式的值 eig —— 矩阵的特征值 diag —— 对角矩阵
’ —— 矩阵转置 sqrt —— 矩阵开方
5.矩阵的一些特殊操作
矩阵的变维
a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:上翻; flipud:下翻 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角;
2. 数组乘除(，./，.\）
ab —— a，b两数组必须有相同的行
和列两数组相应元素相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a.*b
ans =
2
8
18
4
15
30
49
72
90
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
save data a b ——将工作空间 中a和b变量存到data.mat文件中。 下次运行matlab时即可用load指 令调用已生成的mat文件。
load —— load data —— load data a b ——
即可恢复保 存过的所有 变量
mat文件是标准的二进制文件， 还可以ASCII码形式保存。
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂
例:
a=[1 2 3];b=[4 5 6];
z=a.^2
z=
1.00
4.00
9.00
z=a.^b
z=
1.00 32.00 729.00
四、 多项式运算
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算1.基本数学操作：-加法、减法、乘法、除法：使用+、-、*、/操作符进行基本算术运算。
-幂运算：使用^或.^(点乘)操作符进行幂运算。
- 开平方/立方：可以使用sqrt(或power(函数进行开平方和立方运算。
2.矩阵操作：- 创建矩阵：可以使用矩阵构造函数如zeros(、ones(、rand(等创建矩阵。
- 矩阵运算：使用*操作符进行矩阵相乘，使用transpose(函数进行矩阵转置。
- 矩阵求逆和求解线性方程组：使用inv(函数求矩阵的逆，使用\操作符求解线性方程组。
3.数值积分和微分：- 数值积分：使用integral(函数进行数值积分。
可以指定积分函数、积分上下限和积分方法。
- 数值微分：使用diff(函数进行数值微分。
可以指定微分函数和微分变量。
4.解方程：- 一元方程：使用solve(函数可以解一元方程。
该函数会尝试找到方程的精确解。
- 非线性方程组：使用fsolve(函数可以求解非线性方程组。
需要提供初始值来开始求解过程。
-数值方法：可以使用牛顿法、二分法等数学方法来求解方程。
可以自定义函数来实现这些方法。
5.统计分析：- 统计函数：MATLAB提供了丰富的统计分析函数，如mean(、std(、var(等用于计算均值、标准差、方差等统计量。
- 直方图和密度估计：使用histogram(函数可以绘制直方图，并使用ksdensity(函数进行核密度估计。
- 假设检验：使用ttest(或anova(函数可以进行假设检验，用于比较多组数据之间的差异。
6.数值优化：- 非线性最小化：使用fminunc(函数可以进行非线性最小化。
需要提供目标函数和初始点。
- 线性规划：使用linprog(函数可以进行线性规划。
需要提供目标函数和限制条件。
- 整数规划：使用intlinprog(函数可以进行整数规划。
需要提供目标函数和整数约束。
7.拟合曲线：- 线性拟合：使用polyfit(函数进行线性拟合。
如何使用Matlab技术进行数值计算
如何使用Matlab技术进行数值计算概述：Matlab是一种强大的数值计算和数据分析工具，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
本文将介绍一些基本的Matlab技术，以帮助读者了解如何使用Matlab进行数值计算。
一、矩阵运算Matlab最大的优势之一是其强大的矩阵运算功能。
通过建立和操作矩阵，可以进行向量运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算等。
例如，假设我们需要解决一个线性方程组Ax=b，其中A是一个3x3的已知系数矩阵，b是一个已知向量，x是未知向量。
我们可以使用Matlab的“\”运算符来求解：x = A \ b;除此之外，Matlab还提供了许多其他的矩阵运算函数，如矩阵乘法（*）、矩阵转置（'）、求逆矩阵（inv(A)）等。
二、绘图和数据可视化Matlab提供了丰富的绘图函数，可以帮助我们对数据进行可视化分析。
通过绘制线图、散点图、柱状图、等高线图等，我们可以更直观地理解数据的规律和趋势。
例如，我们可以使用Matlab的“plot”函数来绘制一个简单的二维线图：x = linspace(0, 2*pi, 100);y = sin(x);plot(x, y);此外，Matlab还支持自定义图形的样式、添加标题、轴标签和图例等。
通过适当的数据可视化，我们可以更好地理解和解释数据。
三、数值积分和微分在数学和工程领域，积分和微分是常见的数值计算问题。
Matlab提供了许多函数来计算数值积分和微分，如“quad”和“diff”。
例如，我们可以使用Matlab的“quad”函数来计算一个函数在给定区间上的数值积分：f = @(x) x^2 + 2*x + 1;integral = quad(f, 0, 1);类似地，我们可以使用“diff”函数来计算一个函数在给定点上的数值导数：f = @(x) exp(x);x = linspace(0, 1, 100);dx = diff(f(x))./diff(x);四、非线性方程求解非线性方程的求解在科学和工程中经常遇到。
Matlab数值计算方法简介
Matlab数值计算方法简介Matlab 数值计算方法简介数值计算方法在科学计算、工程模拟、数据处理以及其他领域中扮演着至关重要的角色。
其中，Matlab 是一个强大且广泛使用的数值计算工具。
本文将对数值计算方法以及如何在 Matlab 中应用进行简要介绍。
一、数值计算方法概述数值计算方法是一种通过近似计算来解决数学问题的方法。
它通常涉及到将连续问题离散化，从而将其转化为可以通过数值计算解决的离散问题。
数值计算方法可以分为以下几类：1. 近似计算法：该类方法通过一系列近似计算来逼近问题的解。
其中最简单的方法是通过多项式拟合将连续函数转化为离散点的集合，并利用这些点进行计算。
2. 数值积分法：数值积分法用于近似计算函数在一个区间内的积分。
常见的方法包括 Simpson 规则和复化梯形规则。
3. 数值微分法：数值微分法用于获取函数在某一点的导数近似值。
常用的方法包括前向差分和中心差分。
4. 数值代数方程组求解法：该类方法用于求解线性或非线性代数方程组。
常见的方法包括高斯消元法、迭代法和牛顿法。
5. 线性和非线性最小二乘法：最小二乘法用于拟合数据和参数估计。
其中线性最小二乘法通过最小化误差的平方和实现拟合，而非线性最小二乘法则通过最小化非线性函数的误差实现拟合。
二、Matlab 在数值计算中的应用Matlab 是一个强大的数值计算工具，它提供了丰富的数值计算函数和工具箱，可以用于解决各种数值计算问题。
下面将介绍一些常见的数值计算方法在 Matlab中的应用。
1. 数值积分在 Matlab 中，可以使用 `quad` 函数对函数进行数值积分。
该函数使用了自适应求积方法，可以精确地计算函数在给定区间上的积分值。
例如，下面的代码演示了如何使用 `quad` 函数计算函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0, pi] 上的积分值：```matlabf = @(x) sin(x);integral = quad(f, 0, pi);disp(integral);```2. 数值微分Matlab 提供了多种数值微分的方法。
matlab数值计算代码
matlab数值计算代码Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
在Matlab中，我们可以使用代码来进行各种数值计算，包括数值积分、数值求解方程、数值解微分方程等。
本文将介绍一些常见的数值计算代码，并说明其原理和应用。
一、数值积分数值积分是利用数值方法求解定积分的过程。
在Matlab中，我们可以使用simpson函数或trapz函数进行数值积分计算。
这两个函数分别采用辛普森公式和梯形公式进行数值积分近似。
例如，下面的代码使用simpson函数计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分：```matlaba = 0;b = 1;n = 100;x = linspace(a, b, n);y = f(x);integral = simpson(y, x);```其中，a和b分别是积分区间的上下限，n是划分区间的个数，x是划分后的区间点，y是函数在各个区间点处的函数值，integral是计算得到的定积分值。
二、数值求解方程数值求解方程是指利用数值方法求解方程的近似解。
在Matlab中，我们可以使用fzero函数或fsolve函数进行数值求解方程。
这两个函数采用不同的求解算法，可以用于求解单变量方程或多变量方程。
例如，下面的代码使用fzero函数求解方程f(x)=0：```matlabx0 = 0;x = fzero(@f, x0);```其中，x0是求解初始值，@f是函数句柄，表示要求解的方程。
x 是求解得到的近似解。
三、数值解微分方程数值解微分方程是指利用数值方法求解微分方程的近似解。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数或ode23函数进行数值解微分方程。
这两个函数采用不同的数值方法，可以用于求解常微分方程或偏微分方程。
例如，下面的代码使用ode45函数求解常微分方程dy/dx=f(x,y)：```matlabx0 = 0;y0 = 1;xspan = [0, 1];[t, y] = ode45(@f, xspan, y0);```其中，x0和y0分别是初始条件，xspan是求解区间，@f是函数句柄，表示要求解的微分方程。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算MATLAB是一种用于数值计算和科学计算的程序设计语言和环境。
它提供了各种函数和工具箱，用于处理数值计算问题，包括线性代数、数值积分、数值微分、常微分方程求解、优化、插值等。
下面将介绍如何在MATLAB中进行数值计算的基本步骤和常用函数。
首先，启动MATLAB软件，创建一个新的脚本文件（.m文件），用于编写和保存MATLAB代码。
1.数值计算基础在MATLAB中进行数值计算的基本单位是矩阵和向量。
可以使用MATLAB提供的各种函数来创建和操作矩阵和向量。
例如，可以使用"zeros"函数创建一个全零的矩阵，使用"ones"函数创建一个全一的矩阵，使用"rand"函数生成一个随机矩阵。
2.线性代数计算MATLAB提供了丰富的线性代数函数，用于处理线性方程组、矩阵运算和特征值计算等问题。
例如，可以使用"inv"函数计算矩阵的逆，使用"det"函数计算矩阵的行列式，使用"eig"函数计算矩阵的特征值和特征向量。
3.数值积分MATLAB提供了多种数值积分方法，用于计算函数的定积分。
可以使用"quad"函数进行一维数值积分，使用"quad2d"函数进行二维数值积分，使用"quad3d"函数进行三维数值积分。
4.数值微分MATLAB提供了多种数值微分方法，用于计算函数的导数和偏导数。
可以使用"diff"函数计算函数的导数，使用"gradient"函数计算函数的梯度，使用"hessian"函数计算函数的Hessian矩阵。
5.常微分方程求解MATLAB提供了多种数值方法，用于求解常微分方程组。
可以使用"ode45"函数求解一阶常微分方程，使用"ode15s"函数求解刚性常微分方程。
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多项式的四则运算 多项式的加减法与一维数组的加减法类 似，只不过要注意多项式的阶数与行向 量元素个数的关系。
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乘除法：MATLAB提供了卷积和解卷函数
• 乘法：p = conv(p1,p2)，它表示多项式p 为多项式p1与多项式p2的积。 • 除法（带余除法）： [q, r] = deconv(p1, p2)，它表示多项式p1 被p2除的商为多项式 q而余项是多项式r， 即满足p1 = q*p2+r。
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【例A.2.2】多项式求根及其逆问题
R=[1,-2, -0.3+0.5*i,-0.3-0.5*i]; P=poly(R) PR=real(P) PPR=poly2str(PR,'x') Rr=roots(P)
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结果依次为
P = 1.0000 1.6000 -1.0600 -0.8600 -0.6800 PR = 1.0000 1.6000 -1.0600 -0.8600 -0.6800 PPR=x^4+1.6 x^3 - 1.06 x^2 - 0.86 x - 0.68 Rr = -2.0000 1.0000 -0.3000 + 0.5000i -0.3000 - 0.5000i
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曲线拟合与函数的数值逼近(c1)
[P,Pexpr]=plegendre(7,1); format rat celldisp(P); celldisp(Pexpr); format short g
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曲线拟合与函数的数值逼近(c2)
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曲线拟合与函数的数值逼近(c3)
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曲线拟合与函数的数值逼近(c4)
可得出这八个正交多项式为：ep{1} = 1； ep{2} = x；ep{3} = 1.5 x^2 - 0.5； ep{4} = 2.5 x^3 - 1.5 x；ep{5} = 4.375 x^4 - 3.75 x^2 + 0.375； ep{6} = 7.875 x^5 - 8.75 x^3 + 1.875 x； ep{7} = 14.4375 x^6 - 19.6875 x^4 + 6.5625 x^2 0.3125； ep{8} = 26.8125 x^7 - 43.3125 x^5 + 19.6875 x^3 2.1875 x ▲BACK
线性代数方程组的数值解法
A= 1 4 7
x=
2 5 8 3 6 0 3.0000 5.0000 8.0000
▲BACK
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2.多项式和矩阵的特征系统
• 2.1多项式
MATLAB约定：用系数行向量 P=[a0,a1,…,an-1,an] 来表示多项式
P( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an
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【例A.2.1】求下列多项式的“商”及“余”
( s 2)(s 4)(s 1) s3 s 1
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p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1])); p2=[1 0 1 1]; [q,r]=deconv(p1,p2); cq='商多项式为 '; cr='余多项式为 '; disp([cq,poly2str(q,'s')]); disp([cr,poly2str(r,'s')]);
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矩阵的特征系统
D=
-3.5995 0 0 0 4.7296 0 0 0 8.8699 D 的对角线上的元素为对应的特征值，即 对应V的每一个列向量。 P =1.0000 -10.0000 -7.0000 151.0000
▲BACK
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3.函数的插值
• Lagrange多项式插值 【例A.3.1】已知 y f ( x) 的三个数据点 ( 1,4) ，(0,1) 和 (1,2) 。求二次 Lagrange插值函数L2。
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6.常微分方程（组）数值解
• 解算子是指MATLAB提供的各种常微分 方程初值问题数值解法程序,如ode45和 ode15s等； • ODE文件是指被解算子调用的，由用户 自己编写的，计算导数的函数f(t,y)的M函数文件（f(t,y) 也称为ODE函数）； • Options 选项是可用odeset指令来设置一 些可选的参数值.
▲BACK
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6.常微分方程（组）数值解
MATLAB求解的一阶常微分方程（组） 应具有形式(初值问题)：
dy1 f1 (x,y1 , y 2 ,, y m ) dx dy 2 f 2 (x,y1 , y 2 ,, y m ) dx dy m f m (x,y1 , y 2 ,, y m ) dx
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5.数值积分与数值微分
【例A.5.1】计算椭圆积分,控制精度10－6。
E (0.8, 2 )
2 0
1 0.8sin t d t
2
解：程序如下： fun = inline('sqrt(1-0.8*sin(x).^2)' ,'x'); [v1, fcn1] = quad(fun, 0, 2*pi); [v2, fcn2] = quadl(fun, 0, 2*pi);
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%绘图，折线图，准备数据点对(x,y)
xi=0:0.01:1; yi=polyval(pp,xi);%计算多项式在xi处的值 %调用绘图函数：原始数据,二阶曲线 plot(x,y,'o',xi,yi); %图形修饰 legend(‘原始数据’,‘二阶曲线’); title('多项式拟合') axis equal; axis equal; xlabel('x');ylabel('y=p(x)');
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【例A.4.2】已知一组实验数据如下:
xk
0
1.0000
0.25
1.2840
0.50
1.6487
0.75
2.1170
1.00
2.7183
yk
用二阶多项式曲线进行拟合。编写 MATLAB程序，计算此二阶多项式表达式. 并绘出拟合图形。
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程序如下：
%准备数据 x=[0 0.25 0.50 0.75 1.00]; y=[1.0000,1.2840,1.6487,2.1170, 2.7183]; %调用拟合函数 pp=polyfit(x,y,2); %将多项式行向量形式转成字符串形式 p2=poly2str(pp,'x')
1.线性代数方程组的数值解法
【例A1.1】求解方程组 Ax b
1 2 3 这里 A 4 5 6 ， b 7 8 0 37 85 . 61
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线性代数方程组的数值解法 (1) 在键盘上输入下列内容 A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,0]%节尾没有分号； b = [37;85;61]; %节尾有分号； x=A\b %节尾没有分号； (2) 每按一次【Enter】键，指令就被马上 执行（逐行执行）。由于第二条指令节 尾有分号，其结果不被显示出来，其它 两条指令的结果被马上显示出来。最后 在指令窗中将显示以下结果： 2015-3-27 5
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y1 ( a ) s1 , y 2 ( a ) s2 , , y m ( a ) sm , x [a , b]
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或写成向量形式：
dY F ( x, Y ) dx Y ( a ) Y0
y1 f1 ( x,y1 ,y2 , ,ym ) f ( x,y ,y , ,y ) y2 2 1 2 m , Y 其中 F ( x,Y ) , yn f m ( x,y1 ,y2 , ,ym ) Y0 [s1 ,s2 , ,sn ]T .
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2.2 多项式求根及其逆问题
n次多项式具有n个根（实根或成对的 共轭复根）。MATLAB提供的roots函数用 于求多项式的全部根，其调用格式为： x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，根赋给向量x， 即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。 反之，P = poly( x ) 函数poly生成以向量x为根的多项式.
【例A.4.1】编写MATLAB程序，构造 [1,1] 上的Legendre正交多项式。 解：本题的目的是为用正交多项式进行函 数的最佳平方逼近提供正交多项式子函数。 同时进一步增加对正交多项式的感性认识。 该程序利用两个 cell 数组：正交多项式的 行向量形式（ P）和正交多项式的字符串 形式（ Pexpr ）来存放多项式，程序如下：
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MATLAB在数值分析中的应用举例
• 数值积分与数值微分
– 解算子quad, quadl。 – 计算椭圆积分
常微分方程（组）数解
– 解初值问题的解算子 ODE23,ODE45,ODE113
• 非线性方程和方程组的数值解法
– 解算子FZERO，FSOLVE
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MATLAB与数值计算
刘东毅 数学与应用数学系 天津大学理学院