考研数学高数强化

考研数学-高数强化-

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

ﻩ

Ｎ项和数列：夹逼原理,定积分定义,级数求和 无穷级数

常数项级数：(两大问题:敛散性，和是多少)

概念与性质:

定义:

n n n n

S u

∞→∞

==∑lim 1

部分和数列

性质：1.若

∑∑∞

=∞

=1

1

n n

n n v

u 和分别收敛与ｓ,a 则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

收敛于a s ±

２.改变级数前有限项不影响级数的敛散性 ３.收敛级数加括号仍收敛且和不变。 4．

⇒∑∞

=收敛1

n n u 0lim =∞

→n

n u

敛散判定方法

正项级数（

0,1

≥∑∞

=n

n n u

u ）：只有正项级数可以用等价无穷小替换

基本定理:

上有界收敛n

1

S ⇔∑∞

=n n

u

1.比较法则,n n

v u ≤收敛收敛∑∑∞=∞=⇒1

1

u v n n n n ;发散发散∑∑∞

=∞=⇒1

1

v u n n n n

2.比较法极限形式)0(lim

+∞≤≤=∞→l l v u n

n

n :

若０＜l <∞+,

∑∑∞

=∞=11

n n

n n v

u 和同敛散

若l =０：

收敛收敛∑∑∞

=∞=⇒1

1

u v n n

n n

;发散发散∑∑∞

=∞=⇒1

1

v u n n

n n

若l =∞+：

发散发散∑∑∞=∞=⇒1

1

u v n n

n n

；收敛收敛∑∑∞

=∞=⇒1

1

v u n n

n n

例子：)11(:n 11发散收敛；≤>∑∞

=p p n p ；)11(:1

发散收敛；≥<∑∞=q q aq n n

3.比值法n n n

n n u u u ∞

→+∞→=lim ,lim

1

则ρ:ρ＜1收敛；ρ>1发散;ρ＝１无法判断

4.根植法n n n

n n u u ∞

→∞

→=lim ,lim

则ρ:ρ<１收敛；ρ＞1发散；ρ=1无法判断

比值法和根植法比较方便,但使用范围比较窄，若通项中有n n

n n a

;!;则用比值或根植法。

若只有的特定方次

n n

p

;用比较法。

交错级数（

0,)

1(1

1

≥-∑∞

=-n n n n u u )

收敛的充分条件：１.n u 单调减；2.0lim =∞

→n

n u

任意项级数（

n n n

u u

,1

∑∞

=为任意实数,即正负项均无数个）

收敛的充分条件:

收敛收敛∑∑∞

=∞

=→1

1

u |u

|n n n n

绝对收敛:

收敛∑∞

=1

|u

|n n

,条件收敛：∑∞

=1

|u |n n 发散且收敛∑∞

=1

u n n

条件收敛的级数的所有的正项或负项构成的级数一定发散

收敛和收敛绝对∑∑∑∞=∞

=∞=+⇔1112|

u |-u 2|u |u u n n n n n n n n 发散和收敛条件∑∑∑∞=∞

=∞

=+→1

112|u |-u 2|u |u u n n n n n n n n 题型

判断敛散性

∑∞

=>+1)0()1

(n n

a n na 根值法 ∑∞

=>1

)0(n n

n

a n a n ！比值法∑∞

=-1)cos 1(n n πﻩ等价代换 ∑∞

=+-+1

)1

1ln()1(n p

n n n ∑⎰

∞

=+1

1

2

1

x n n dx

x 放大缩小把积分积出来，然后判定 ∑∞

=+-11

1

)1(2

n n

n 利用基本几轮:0ln lim

n =∞→ε

n n

（0>ε)

∑∞

=+-1

))11(ln 1(n n n 将)11(ln n +写成泰勒公式 设1*lim

1

sin

2=∞

→n n

n n u n

讨论∑∞

=1

u n n 敛散性