苏州大学2019届高考考前指导卷

（第5题图）苏州大学2019届高考数学指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,}A a =，若2a A ∈，则a = ▲ ． 2．复数z 满足11i z=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,1)，则实数p 的值为 ▲ ．4．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ▲ ．5．运行右图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．6．设集合B 是集合{1,2,3,4}A =的子集，若记事件M 为“集合B 中的元素之和为5”，则事件M 发生的概率为 ▲ ． 7．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则实数a 的值是 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912216, 42a a a =+=，则数列1{}nS 的前10项的和为 ▲ ． 9．已知函数()log )a f x x b =+，若(2)(2)1f f --=-，则实数a 的值是 ▲ ． 10．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径是40mm ，满盘时直径是120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m ．（π取3.14，精确到1m ）11．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x =π对称，则cos2ϕ= ▲ ．12．过点(1,1)P -作圆22:()(2)1()C x t y t t -+-+=∈R 的切线，切点分别为, A B ，则PA PB⋅uu r uu r 的最小值为 ▲ ．13．已知函数22, 0,()e , 0,x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤ 若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是 ▲ ．14．在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，若, ,a b c 成等差数列，则cos 2cos A C +（第10题图）的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）将射线1(0)3y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos ,sin )A θθ．（1）求点A 的坐标；（2）若向量(cos2,sin 2)x x =m ，(2cos ,sin )θθ=n ，当[0,]2x π∈时，求函数()f x =⋅m n的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，, M N 分别为11, AB B C 的中点． （1）求证：MN ∥平面11AA C C ；（2）若11, C CC C C B A B ==，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN ．A 1ABC B 1C 1MN（第16题图）如图，, OA OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径2OA =km 的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与, A B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路, MB MN ，切点分别是, B P ．设POA θ∠=，公路, MB MN 的总长为()f θ． （1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）求()f θ的最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）, A B 是椭圆的左右顶点，, P Q 是椭圆上与, A B 不重合的两点，若满足2AP QB k k =，求证：直线AP 与BQ 的交点在定直线上；（3）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k +∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*1(1)()2n n n n T b n +=-∈N ，且52d a b ==．若实数*23{|}(,3)k k k m P x a x a k k -+∈=<<∈N ≥，则称m 具有性质k P ． （1）请判断12,b b 是否具有性质6P ，并说明理由；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的*(,3)k k k ∈N ≥，实数λ都不具有性质k P ；（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，21n H -都具有性质k P ，求所有满足条件的k 的值．苏州大学2019届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．1-或0 2．12 3．2 4．4 5．5 6．18 7．2- 8．1011 9．5 10．100 11．3512．214 13．3ln22- 14．154解答与提示：1．由2a A ∈知，21a =或2a a =，解得1a =-或0a =． 2．由11i z =+得11i 1+i 2z -==，所以1i 2z +=，虚部为12． 3．因为抛物线焦点坐标为(0,)2p，所以2p =．4．30x =，222221[3(3)(1)1]45s =+-+-+=．5．当012342+2+2+2+215S =>，所以5n =．6．集合A 的子集个数共有4216=个，满足条件的子集{1,4}B =和{2,3}，所以概率为18.7．由22(1)y x -'=-，所以曲线在点(3,2)处的切线的斜率为12-，所以2a -=，得2a =-． 8．2217(10)6222n a d a d d a n +=++⇒=⇒=，(22)(1)2n n nS n n +==+．1111(1)1n S n n n n ==-++，1210111111111110()+()()1122310111111S S S +++=--++-=-=L L ． 9．510．总长22(6020)32000321000.1l mm m m π-==π=π≈.11．由()f x 图象关于直线x =π对称，所以()()f f ϕϕπ+=π-，所以sin 22cos22ϕϕ-+=，所以22(sin 2)4(1cos2)ϕϕ-=-， 因为22sin 2cos 21ϕϕ+=，所以25cos 28cos230ϕϕ-+=， 得3cos25ϕ=或cos21ϕ=，因为022ϕ<<π，所以3cos25ϕ=． .12．如图，设∠APC =θ，则1sin PCθ=， 22222||||cos 2||cos 22(1)(12sin )(1)(1)PA PB PA PB PA PC PC PC θθθ⋅=⋅⋅=⋅=--=--uu r uu r uu r uu r uu r =2223PC PC +-，由于2222(1)(3)24102(1)88PC t t t t t =--+-=-+=-+≥，所以PA PB ⋅uu r uu r 的最小值为214．13．函数()f x 的值域为[0,+)∞，所以由方程2[()]f x a =得()f x =(1)a >，由2212e x x =得21ln 22ln()x x =+-， 所以1211ln 22ln()x x x x +=++-， 令221x =，得x =，所以1x <1t x =-，则t > 则12ln 22ln (()x x t t t h t +=-++>= 则2'()1h t t=-+，易知函数()h t 在(2上递增，在(2,)+∞上递减， 所以()h t 的最大值为(2)3ln 22h =-． 14．由, , a b c 成等差数列知，2a cb +=， 所以22253cos 24b c a c a A bc c +--==，22253cos 24b a c a cC ab a+--==， 所以535315331515cos 2cos ()4244244c a a c a c A C c a c a --+=+=-+--≤ 当且仅当222a c =即a =时取等号． 二、解答题15．解：（1）设射线1(0)3y x x =≥与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则1tan 3α=，因为1tan 1tan 34απ=<=，所以(0,)4απ∈， 所以11tan 13tan tan()2141tan 13αθαα+π+=+===--且(,)42θππ∈，由22sin cos 1,sin 2,cos θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点A的坐标为． （2）()cos2sin 2)4f x x x x π=⋅==+m n ， 因为[0,]2x π∈，所以当8x π=时，()f x当2x π=时，()f x的最小值为16．证明：（1）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝P A 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，故NP ∥AB ，且NP ＝12AB ．因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB ．所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ． 所以四边形AMNP 为平行四边形． 所以MN ∥AP ．因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C ． （2）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． 因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC ．因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ．因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． 17．解：（1）连结OM ．在Rt OPN △中，2OP =，POA θ∠=，故2tan PN θ=．据平面几何知识可知，MB MP =，1242BOM BOP πθ∠=∠=-，在Rt BOM △中，2OB =，42BOM πθ∠=-，故2tan()42BM θπ=-． A 1ABCB 1C 1MN（第16题图）P所以()22tan 4tan()42f PN BM θθθπ=+=+-．显然(0,)2θπ∈，所以函数()f θ的定义域为(0,)2π．（2）令42θαπ=-，则22θαπ=-，且(0)4απ∈,． 所以2sin(2)2()2tan(2)4tan 4tan 2cos(2)2f αθααααπ-π=-+=+π- 2cos24tan sin 2ααα=+24tan tan 2αα=+21tan 4tan tan ααα-=+ 13tan tan αα=+=≥， 当且仅当13tan tan αα=，即tan α=此时tan (0,)4ααπ=∈，故, 66αθππ==． 答：当6θπ=时，()f θ的最小值为 18．解：（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）设BQ k k =，则2(0)AP k k k =≠，由2((y k x y k x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得2(x x -+，所以x =- 所以直线AP 与BQ的交点在定直线x =-（3）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(1)G ±；②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=， 由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠，由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤综上所述，m的取值范围为[-． 19．解：（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为(1)0f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()10f x x'=-=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m ∈R ； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x xm x +>-， 令ln ()1x x xg x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x xm x +<-， 由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{1,2,3}． 20．解：（1）由1111122T b b +=+=-得114b =-， 又3123341234411,8811,1616T b b b b T b b b b b ⎧+=+++=-⎪⎪⎨⎪+=++++=⎪⎩得3116b =-，214b =，可得5114(5)(5)444n n a a n d n -=+-=+-=，从而65{|0}4P x x =<<． 故1b 不具有性质6P ，2b 具有性质6P ．（2）23(1)14(74)162()242448n n n n n n n S a n λλλλ---++-=-+⋅-=，因为数列{2}n n S a λ-单调递增，所以74322λ+<，即1λ<-， 又数列{}n a 单调递增，则数列{}n a 的最小项为1314a =->-， 则对任意*(,3)k k k ∈N ≥，都有2314k a λ-<-<-≤，故实数λ都不具有性质k P ． （3）因为1(1)2n n n n T b +=-，所以1*1111(1)(2,)2n n n n T b n n ----+=-∈N ≥， 两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n T T b b -----+-=---*(2,)n n ∈N ≥， 即11(1)(1)2n n n n n n b b b --=-+-*(2,)n n ∈N ≥， 当n 为偶数时，112n n n n b b b --=+，即112n nb -=-，此时1n -为奇数； 当n 为奇数时，112n n n n b b b --=--，则1112n n b --=，此时1n -为偶数；11则11(),21 (),2n n n n b n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 11(),20 (),n n n T n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为奇数故2112342221n n n H T T T T T T ---=++++++L2246822211(1)1111111124(1)12222223414n n n n --=-------=-=---L ， 因为114n -对于一切*n ∈N 递增，所以311144n-<≤，所以211134n H --<-≤． 若对任意的*n ∈N ，21n H -都具有性质k P ，则1161(,]{|}3444k k x x ----⊆<<， 即61,4311,44k k -⎧-⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩≤ 解得1403k <≤，又*3,k k ∈N ≥，则3k =或4， 即所有满足条件的正整数k 的值为3和4．。