信号与系统笔记

离散时间F
5.3 离散时间傅氏变换的性质
1、 周期性
2 、线性 If then
3、 时移和频移性质 If then
4、共轭及共轭对称性 (1
)
(2 )
(3) If then
是ω的偶函数 是ω的奇函数
5、差分与累加 6、时间反转
10、 卷积性质 11、 相乘性质
傅氏变换性质和基本傅氏变换对列表 表 5.1 、5.2
对于信号的组合，其周期性的判断以及基本周期的求取：
（1）连续信号的情况：对于基波周期为T1的信号x1(t)和T2的信号x2(t)，其和 x1(t)+x2(t)的周期性的判断以及基本周期的求取：
最小公倍数（Least Common Multiple，缩写
L.C.M.）
则x1(t)+x2(t)是周期的，其基波周期为T0=LCM(T1,T2)
❖ 如何求卷积积分——图解法
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以 及求解步骤，以x(t)*h(t)为例：
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ）
4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
一些重要的性质
注：
当t=0时
对 当ω =0
时
二、时移性质
若 则
一、线性
若
频移性质
为傅立叶变换的频移性质。该性质表明：时间函 数在时域中被频率为ω0的虚指数函数加权，等效于 频域中将其傅立叶变换沿频率轴右移ω0 。
基于频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理 中得到了广泛的应用，例如，载波幅度调制、同步 解调、变频和混频等技术！
• 离散时间复指数信号 对于任意的 0值，不一定
是 n 的周期函数，只有当 为有理数时它才是 n的 周期函数
一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，这样的系统就是可逆的。
❖ 记忆系统与无记忆系统
定义：对任意的输入信号，如果每一个时刻系统的输出信号 值仅取决于该时刻的输入信号值,这个系统就是无记忆系统
对于离散信号：
➢周期复指数
令a=j0，得：x(t) = e
j0t
所有 x(t) 都满足 x(t) = x(t+T0) , 因此 x(t) 是周期 信号。
连续周期复指数
具有两个性质：
➢ 愈大， 振荡频率愈高； ➢对任何 ， 都是周期的。
➢正弦信号
欧拉公式（Euler’s Relation）: e j0t = cos0t + jsin 0t
h(t) *h1(t) =δ(t)
x(t) h(t)
x(t) h1(t)
x(t)
x(t)*(t)=x(t)
(t)
因此，满足条件: h(t)*h1(t)=(t) or h[n]*h1[n]=[n]
傅立叶变换（CFT）
傅立叶正变换： 傅立叶反变换：
4.3 连续时间傅立叶变换性质
x(t)和X(jω)这对傅立叶变换对用下列符号表示：
即：在一个LTI系统中，只有满足下列条件时，LTI系统才是无记忆的。
无记忆系统: DT: y[n]=kx[n], h[n]=k[n] CT: y(t)=kx(t), h(t)=k(t)
2.3.5 LTI系统的可逆性
• 给定一个系统的冲激响应为h(t)，逆系统的冲激响应 为h1(t) ，则必定有：
和
cos0t = (e j0t + e -j0t ) / 2
sin0t = (e j0t - e -j0t ) / 2
得
取实部则为正弦信号
➢离散时间复指数信号的周期性
由定义: e j0n = e j0(n+N) 有 e j0N = 1 or 0N = 2 m
因此： N = 2m/0
连续时间: x(t)*{h1(t)*h2(t)}={x(t)*h1(t)}*h2(t)
x(t)
y(t)=x(t)*{h1(t)*h2(t)}
h1(t)*h2(t)
x(t) h1(t)
y(t)=x(t)*h1(t)*h2(t) h2(t)
2.3.4 有记忆和无记忆LTI系统
系统的无记忆性意味着，任何时刻的输出信号值仅取决于 同一时刻的输入信号值，而与其他时刻的输入信号值无关。
x(t)*{h1(t)+h2(t)}=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)
x(t)
y(t)=x(t)*{h1(t)+h2(t)}
h1(t)+h2(t)
x(t)
h1(t)
y(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)

h2(t)
2.3.3 结合律性质
离散时间: x[n]*{h1[n]*h2[n]}={x[n]*h1[n]}*h2[n]
（1）函数x(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结 果仍然是x(t)本身。即：
证明：
证明：
系统:
x(t) x[n]
2.3 LTI系统性质
h(t) h[n]
y(t)=x(t)*h(t) y[n]=x[n]*h[n]
交换律 分配律 结合律 有记忆和无记忆 可逆性 因果性 稳定性
2.3.1 交换律
离散时间: x[n]*h[n]=h[n]*x[n] 连续时间: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
x(t) h(t)

h(t)

பைடு நூலகம்
x(t)
y(t)=x(t)*h(t) y(t)=h(t)*x(t)
2.3.2 分配律
离散时间:
x[n]*{h1[n]+h2[n]}=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n] 连续时间:
无记忆系统的例子 y(t) =k x(t)
记忆系统的例子： 累加器：延迟单元：y[n] =x[n-1]
所有的非记忆系统都是因果系统；所有的非因果系统都是记忆系统。 如果一个系统在任何时刻的输出只与系统当前时刻的输入和过去的输入 有关，而与系统未来的输入无关，则这个系统就是因果系统。
如果系统的输入和输出之间满足叠加性和齐次性，则该系统就是线性系统。
（2）离散信 号的情况：对于基波周期为 N1的信号x1[n]和N2的信号x2[n],其和 x1[n]+x2[n]的周期性的判断以及基本周期的求取：
x1[n]+x2[n]始终是周期的， 其基波周期为： N0=LCM(N1,N2)
❖信号的奇偶分解
对于连续信号： （注：e：even缩写；o：odd缩写）