图的联通

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图连通性算法及应用

图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。

在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。

图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。

一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。

强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。

本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。

二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。

它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。

通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。

2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。

它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。

通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。

三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。

通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。

2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。

通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。

3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。

通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。

离散数学中的图的连通度与割点

在离散数学中，图是一种重要的数据结构，它能够描述事物之间的关系和连接性。

图由顶点和边组成，顶点表示事物，而边表示两个事物之间的连接。

图的相关概念包括连通度和割点，它们在图的理论中起着重要的作用。

连通度是指图中任意两个顶点之间，存在一条路径相连。

如果一个图的连通度为1，那么这个图是连通的；如果连通度大于1，就代表这个图是非连通的。

连通度可以用来衡量图的强度和与外部环境的联系程度。

例如，在社交网络中，某个用户是否能够和其他用户通过共同的朋友连接在一起，就与图的连通度相关。

割点是指删除一个顶点及其相连的边后，图变为非连通的点。

换句话说，如果一个顶点是一个图中唯一的桥，那么这个顶点就是一个割点。

割点的存在会影响图的连通性和强度。

当我们删除一个割点时，原本连通的图会变得不连通。

因此，割点常常用来识别图中的脆弱点和瓶颈。

考虑一个简单的例子：一个城市的地图可以用图来表示，每个交叉路口是一个顶点，而街道则是相连的边。

在这个图中，连通度可以描述这个城市的整体交通情况。

如果城市的连通度较高，那么无论从哪个交叉路口出发，都能方便地到达其他任意交叉路口；而如果城市的连通度较低，那么有些交叉路口可能只有一条街道与之相连，这样就会导致交通流量堵塞和不便利。

割点则可以识别出城市中的环形路口或者重要的交通枢纽，当这些关键节点被破坏或者发生故障时，城市的交通系统可能会受到严重影响。

除了城市地图以外，连通度和割点还可以应用于其他领域。

例如，在计算机网络中，一台计算机与其他计算机之间的连通度可以用来评估网络的稳定性和传输速度。

在电力网络中，连通度可以用来研究电力供应的鲁棒性和可靠性。

在社会网络中，连通度和割点的概念可以揭示人际关系的紧密程度和信息传递的效率。

总结来说，离散数学中的图的连通度和割点是图的关键概念。

连通度可以衡量图的强度和连接程度，割点可以识别图中的脆弱点和瓶颈。

在不同领域中，这些概念都有着重要的应用。

通过研究和理解连通度和割点，我们能够更好地分析和优化图及相关问题。

3图的连通性

• 设G=<V,E>为无向图，对于任意的 v∈V，为无向图，为无向图对于任意的u, ∈ ，是连通的，若u和v是连通的，则称 v之间长度最短的通和是连通的则称u, 之间长度最短的通路为u, 之间的短程线短程线的长度为u, 之间的短程线，路为 v之间的短程线，短程线的长度为 v 距离，之间的距离记为d(u, v)。规定当和v不连。规定当u和不连之间的距离，记为通时，通时，d(u, v) = ∞ 。 • 在无向图中，任何两点之间的距离最大值在无向图G中称为G的直径，记为d(G)。称为的直径，记为。在下图中，【例】在下图中，d(2, 6)=2，d(2, 7)=3，而d(G) ，， = 4正是图中的最大距离正是图中的最大距离d(1, 7)。正是图中的最大距离。
存在一条通路，到vj (vi≠vj)存在一条通路，则从 i到vj存在一条长存在一条通路则从v 度不大于n 的通路的通路。度不大于 −1的通路。设在一个具有n个顶点的图中存在一条长度证明设在一个具有个顶点的图中存在一条长度的通路v 其中v 为m的通路 0v1…vm，其中 0=vi，vm=vj。的通路若m ≤n − 1，则存在所求的通路；，则存在所求的通路；若m >n − 1，则通路上的顶点数 +1 >n，因，则通路上的顶点数m ，为图中只有n 个顶点，所以必然有m 为图中只有个顶点，所以必然有 +1 − n个顶点个顶点在通路中重复出现，即存在回路。在通路中重复出现，即存在回路。在通路中去掉的通路，回路所得到的仍然是从v 回路所得到的仍然是从 i到v j的通路，且长度至少比原通路少1。重复以上过程，比原通路少。重复以上过程，将通路中的所有回路去掉，必然可得到一条长度不多于n 的通路。路去掉，必然可得到一条长度不多于 − 1的通路。的通路

图的连通度问题

图的连通度问题研究1．图的连通度的定义图要么是连通的，要么是不连通的。

但对于任意连通图来说，它们的连通程度也可能是不同的。

为了精确地体现连通的程度，下面将引入两个概念：边连通度和顶点连通度。

设G = (V, E)是一个n阶图。

如果G是完全图K n，那么我们定义它的顶点连通度为κ(K n) = n– 1否则，定义它的顶点连通度为κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}即最小顶点数，删除这些顶点便是非连通图。

图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数，用λ(G)表示。

这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图，且没有自环和重边。

下面将主要讨论无向图的边连通度，有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。

2．无向图的边连通度在无向图G中，令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。

无向图G的最小度δ(G)定义为：δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。

考虑有向图G中，v 的入度表示为in-deg(v)，v的出度表示为out-deg(v)，相应的最小度为：δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。

在整篇文章中，图的点数用n表示，边数用m表示。

另u和v表示图G中的一对不相同的点。

定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边，使得u和v之间不存在任何路径。

在有向图G中，λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边)，使得不存在任何从u到v的有向路径。

注意到，在无向图中，有λ(u, v) =λ(v, u)，在有向图中却不符合这个等式。

显然，λ(u, v)就是图中u和v的最小割。

求两点之间的最小割，根据最大流最小割定理，可以用最大流算法求解：令u为网络的源点，v为网络的汇点，每条边的容量为1，u到v的最大流便是u和v之间的最小割。

预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。

另外，每条边的容量都为1，可以用Hoproft算法在)O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。

图-连通的概念

三、连通性3.1 连通性和Whitmey定理定义V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。

最小顶剖分集中顶的个数，记成K (G)叫做G的连通度；规定K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。

由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。

没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。

定义E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通，则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃|v|E则称|E '为G的边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。

规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。

定义K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。

k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。

k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。

上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2：S =min{d(v)})证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过即K' (G)=<T证K =<K'分情形讨论之。

若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。

于是删除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。

设此桥为e=uv，我们对于上述K'条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不边能，则K =<K-1；若仍连通，则再删去u或v,即可使G变得不连通，于是K =<K'证毕。

这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种友好”的面目出现。

F面就是Whitmey定理定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。

图的连通性

图的连通性一、求一个图的连通分支1 设图G=（V，E）是一个无向图，G的一个连通分支是一个最大的连通子图，即一个连通分支是不包含在任何更大的连通子图中。

2 对DFS稍作改变，就可用来求无向图的连通分支。

从任意一点出发，作DFS，则就可找出在同一个分支中的其它顶点和边。

3 算法3.4：DFS（深度优先搜索）G=（V，E）是一个图或有向图，v∈V。

从顶点v开始搜索，其中S是一个栈，初始为空，栈顶用top来表示。

算法：访问，标志并让v进栈while S 非空do〖while有一个邻接于top而未作标记的顶点 w do【访问，标记以及w进栈;】出栈S〗4“有一个邻接于top而未作标记的顶点 w”可用链接表来实现，而且每次寻找邻接于top而未作标记的顶点 w时，无必要从头开始寻找，只要记住上次寻找时的位置便可，故链表中每一个单元只被访问过一次。

故算法在最坏情况下复杂性最多也只是θ(n+e)。

算法3.6 CONNECTED COMPONETNTS（连通分支）输入：G=（V，E）是一个用连接表表示的图。

假设V为{1，2，…，n}。

输出：MARK个连通分支中的边表，而且对每个顶点加上编号来指明顶点是在哪一个分支中。

注：一个MARK数组用于对顶点编号，PTR是一个数组（有个项），使PTR指向的邻接表中下一个顶点，而搜索将从开始，下一次力图从分叉出去。

算法：for v←1 to n do【MARK(v)←0; PTR(v) ←ADJLIST(v);】j←1 [j用于对一个分支中顶点编号]for v←1 to n do〖if MARK(v)=0 then do【output 第j个分支的标题;DFS(v,j);j←j+1;】〗DFS(v,j)算法：MARK(v)←j;v进栈;while S 非空do〖while PTR(top)≠∧ do【w←VTX(PTR(top));OUTPUT(top,w); []PTR(top) ←LINK(PTR(top));If MARK(w)=0 then do〖MARK(w) ←jw进栈；〗】出栈S〗最坏情况下复杂性可能是θ(n+m)二、深度优先生成森林1概念树边：对一个有向图进行深度优先搜索，在这个过程中，如果某条边所到达的顶点是未被访问过的，则称这条边为树边。

图的连通性

图的连通性图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性第十三章图的基本概念第三节图的连通性一.连通性概念图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。

连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。

图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。

注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。

(2)图G连通当且仅当w=1。

例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。

证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。

问题化为：已知图G有2n 个顶点，且δ(G) ≥n，求证G连通。

事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。

在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。

这与δ(G)≥n 矛盾。

证毕例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。

证明：用反证法。

假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。

将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。

这与推论13.1 矛盾。

证毕在连通图中，连通的程度也有高有低。

例如后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。

二.割点定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。

( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。

例如定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点v。

推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。

图论常考知识点总结

图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。

顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。

若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。

图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。

2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。

强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。

弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。

3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。

广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。

4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。

5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。

6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。

以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。

当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。

图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。

离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题

离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究对象是图。

图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

在图论中，连通性和欧拉路径问题是两个基本概念，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。

一、连通性在图论中，连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。

如果一个图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图；如果一个图不是连通图，那么它可以被分解为多个连通的子图，这些子图称为连通分量。

连通性在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在社交网络中，连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链；在计算机网络中，连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。

二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。

如果存在这样的路径，则称图具有欧拉路径。

欧拉路径问题有两种情况：1. 欧拉回路：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后回到起点，则称该图具有欧拉回路。

2. 半欧拉路径：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后到达终点，但不回到起点，则称该图具有半欧拉路径。

欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。

欧拉定理指出，一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数；一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外，其它顶点的度数都是偶数。

深度优先搜索算法（DFS）是一种用来遍历图或树的算法，它可以用来解决欧拉路径问题。

DFS从起点开始遍历图，当遍历到某个顶点时，选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历，直到无法继续遍历为止。

通过DFS算法，可以找到图中的欧拉路径。

三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。

连通性用来描述图中顶点之间的连接情况，欧拉路径问题则是要找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。

这两个概念在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。

图论课件第三章图的连通性

Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。

图论+第3章+图的连通性

直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。树是具有最小连通度的图。若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。空图的边连通度定义为0。边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中，故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同

图的连通性

有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当它有不止一个儿子点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早（序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子，使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分）后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成为割顶当且仅当存在U的某一个儿子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖先点之间不存在后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径，则称V和V’是强连通的。如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。

如何判断图的连通

如何判断图的连通判断图是否连通，可⽤dfs和bfs遍历图算法，注意点数⽬较多，⼜是稀疏图的话，最后使⽤邻接表的⽅法存储。

另外推荐采⽤的是并查集的⽅法。

初始化时将每个节点看作⼀个集合，则每给出⼀条边即把两个集合合并。

最后遍历所有点，有⼏个集合便有⼏个连通分量，若只有⼀个集合说明图连通。

并查集⽅法通常情况下时间效率较⾼，还能判断⼀个图是否有回路，在kruskal算法中也可以使⽤。

（1）DFS判断int count = 0;void DFS(MGrap G. int i){int j = 0;visited[i] = 1;count++;for(j=0; j<G.numVertexes; j++){if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])//i和j有关系相邻，并且j顶点没有被访问过{DFS(G, j);}}}从某⼀点出发开始DFS，到最后，只需要判断最后count的值是否是全部的节点就可以，如果⼩于总节点数，则证明是不连通的，如果相等，则证明是连通的。

还可以访问完⼀个节点，就将其删除掉，可提⾼遍历速度void dfs(int s){ //递归深搜vis[s]=true;for(int i=0;i<g[s].size();++i){if(vis[g[s][i]]) g[s].erase(g[s].begin()+i);//删除图中已经遍历过的点，可提⾼遍历速度else dfs(g[s][i]);}}bool judge(){ //判断是否所有点已被遍历过for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])return false;return true;}（2）BFS判断void bfs(int s){ //⽤队列⼴搜queue<int> q;q.push(s);while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();vis[x]=true;for(int i=0;i<g[x].size();++i){if(vis[g[x][i]]) g[x].erase(g[x].begin()+i);//删除图中已经遍历过的点，可提⾼遍历速度else q.push(g[x][i]);}}}bool judge(){ //判断是否所有点已被遍历过for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])return false;return true;}同样如果从某⼀个节点⼴度搜完，有未访问到的节点，那么该图⼀定是不连通的。

数据结构——图的连通性

稀疏图、稠密8.4 图的连通性判定一个图的连通性是图的一个应用问题，我们可以利用图的遍历算法来求解这一问题。

本节将重点讨论无向图的连通性、有向图的连通性、由图得到其生成树或生成森林以及连通图中是否有关节点等几个有关图的连通性的问题。

8.4.1 无向图的连通性在对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有顶点。

对非连通图，则需从多个顶点出发进行搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。

例如，图8.5 (a)是一个非连通图G3，按照图8.18 所示G3 的邻接表进行深度优先搜索遍历，需由算法8.5调用两次DFS（即分别从顶点A 和D出发），得到的顶点访问序列分别为：A B F E C E这两个顶点集分别加上所有依附于这些顶点的边，便构成了非连通图G3的两个连通分量，如图8.5(b) 所示。

因此，要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通分量，就可设一个计数变量count，初始时取值为0，在算法8.5的第二个for循环中，每调用一次DFS，就给count增1。

这样，当整个算法结束时，依据count的值，就可确定图的连通性了。

序号图8.18 G3的邻接表8.4.3 生成树和生成森林在这一小节里，我们将给出通过对图的遍历，得到图的生成树或生成森林的算法。

设E(G)为连通图G中所有边的集合，则从图中任一顶点出发遍历图时，必定将E(G)分成两个集合T(G)和B(G)，其中T(G)是遍历图过程中历经的边的集合；B(G)是剩余的边的集合。

显然，T(G)和图G 中所有顶点一起构成连通图G 的极小连通子图。

按照8.1.2节的定义，它是连通图的一棵生成树，并且由深度优先搜索得到的为深度优先生成树；由广度优先搜索得到的为广度优先生成树。

例如，图8.17(a)和(b)所示分别为连通图G5的深度优先生成树和广度优先生成树。

图的连通性检测方法

图的连通性检测方法图论是数学的一个分支，研究图形结构以及图形之间的关系。

在图论中，连通性是一个重要的概念，用于描述图中的节点或顶点之间是否存在路径相连。

连通性检测方法是用来确定一个图是否是连通图的方法。

本文将介绍几种常用的图的连通性检测方法。

一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，也可以用来检测图的连通性。

该方法从图中的一个顶点开始，沿着一条路径尽可能深的搜索，直到到达无法继续搜索的节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。

具体步骤如下：1. 选择一个起始节点作为根节点。

2. 遍历该节点的邻接节点，并标记为已访问。

3. 递归的访问未访问过的邻接节点，直到所有节点都被访问过。

4. 如果所有节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是不连通的。

DFS算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。

二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，同样可以用来检测图的连通性。

该方法从图中的一个顶点开始，先访问其所有邻接节点，然后再依次访问它们的邻接节点。

具体步骤如下：1. 选择一个起始节点作为根节点。

2. 将该节点加入一个队列中。

3. 从队列中取出一个节点，并标记为已访问。

4. 遍历该节点的邻接节点，将未访问过的节点加入队列中。

5. 重复步骤3和步骤4，直到队列为空。

6. 如果所有节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是不连通的。

BFS算法的时间复杂度同样为O(V+E)。

三、并查集并查集是一种数据结构，常用于解决图的连通性问题。

它可以高效地合并集合和判断元素是否属于同一个集合。

具体步骤如下：1. 初始化并查集，每个节点都是一个独立的集合。

2. 遍历图中的每条边，将边的两个节点合并到同一个集合中。

3. 判断图是否连通的方法是查找两个节点是否属于同一个集合。

并查集的时间复杂度为O(V+E)。

四、最小生成树最小生成树是指一个连通图的生成树，其所有边的权值之和最小。

§6.2 图的连通与割集

§6.2 图的连通与割集1、图的连通图 G 中路：一个点和边交替序列 ),,,,,,(l kl k j ij i n e n n e n 称为 G 中由 i n 到 l n 的路，记为 },{l i n n 。

若图 G 是简单图时，路),,,,,,(l kl k j ij i n e n n e n 可以用点的序列 ),,,,(l k j i n n n n 。

简单路：边不重的路初级路：点不重的路回路：在G 中，一条至少包含一条边并且l i n n 的 },{l i n n 路简单回路：边不重的回路初级回路：点不重的回路)6,5,3,2,4,3,2,1()6,4,3,5,4,2,1()6,5,3,2,1()1,3,5,4,2,3,4,2,1()1,3,5,4,3,2,1()1,3,5,4,2,1(点i 和j 点是连通的：G 中存在一条（i ，j ）路G 是连通的：G 中任意两点都是连通的连通分支T ：G 的极大连通子图 T （即在G 中找不到真包含 T 的连通子图）寻找G 的连通分支：从任一点i 出发，寻找与i 连通的所有点，构成集合N 1，则G[N 1]是G 的一个连通分支。

再在剩下的点中类似地寻找其它连通分支。

命题6.2.1 设G 有p 个连通分支，则G 的邻接矩阵可以表示成分块矩阵p A A A A 0021 有向图 G 中有向路：一个点和弧交替序列 ),,,,,,(l kl k j ij i n a n n a n 称为 G 中由 i n 到 l n 的有向路，记为 },{l i n n 。

若图 G 是简单有向图时，路),,,,,,(l kl k j ij i n a n n a n 可以用点的序列 ),,,,(l k j i n n n n 。

简单有向路：弧不重的有向路初级有向路：点不重的有向路有向回路：在G 中，一条至少包含一条边并且l i n n 的 },{l i n n 路简单有向回路：弧不重的有向回路初级有向回路：点不重的有向回路点i 和点j 是强连通的：G 中存在一条(i,j)有向路，也存在一条(j,i)有向路 G 是强连通的：G 中任意两点都是强连通的G 的强连通分支：G 的极大连通子图寻找G 的强连通分支：从任一点i 出发，寻找与i 强连通的所有点，构成集合N 1，则G[N 1]是G 的一个强连通分支。

离散数学中的图的连通分量和最小生成树

在离散数学中，图是研究的重要对象之一。

图由节点和连边组成，可以用来描述许多实际问题，比如社交网络、交通网络等等。

在图的研究中，连通分量和最小生成树是两个重要的概念。

首先，我们来介绍连通分量。

在一个图中，如果任意两个节点之间存在路径，那么这个图被称为是连通的。

如果一个连通图的任意两个节点之间不存在路径，并且如果将其中的任何一个节点移除后，剩下的子图也不再连通，那么这个图的连通部分被称为是连通分量。

连通分量可以将一个复杂的图分割为若干个互不相交的子图，每个子图都是一个连通图。

连通分量在许多应用中有着重要的意义。

例如，在社交网络中，每个人可以看做是一个节点，而他们之间的关系可以用边来表示。

如果某个社交圈的人之间相互认识，那么他们就属于同一个连通分量。

通过分析连通分量，可以了解社交网络中的人际关系、信息传递等情况。

另一个重要的概念是最小生成树。

最小生成树是指一个连通图的最小权重的生成树，其中每个节点都连接在一起，并且总权重达到最小。

生成树是保留了原图中部分边的子图，该子图包含了原图的所有节点，但是其中的边数比原图少一。

最小生成树则是在所有生成树中权重最小的一种。

最小生成树可以用来优化资源分配、路径规划等问题。

最小生成树的算法有很多种，其中一种常用的算法是Prim算法。

Prim算法从一个起始节点开始，逐步扩展生成树的边。

每次选择与已经生成的树相连的边中权重最小的边。

然后，继续选择与生成树相连的边中权重最小的边，直到生成树包含了所有的节点。

另一个常用的算法是Kruskal算法。

Kruskal算法从边的权重最小的边开始，依次将未加入生成树中且不会形成环的边加入生成树中。

然后，继续选择权重次小的边，直到生成树包含了所有的节点。

最小生成树可以用来解决一些实际问题。

例如，在一个城市的交通网络中，每个路口可以看成是一个节点，而道路可以看成是边。

通过最小生成树算法，可以找到将所有路口连接起来的最短路径，从而优化城市交通的规划。

图的连通性判断算法

图的连通性判断算法图是离散数学中一个重要的概念，它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。

在图理论中，连通性是一个基本的性质，它描述了图中是否存在一条路径将所有的顶点连接起来。

本文将介绍一些常用的图的连通性判断算法。

1. 深度优先搜索算法（DFS）深度优先搜索算法是一种经典的图遍历算法，也可以用于判断图的连通性。

该算法从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地搜索图，直到无法再继续下去。

然后回溯到上一个未访问的顶点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问过。

如果在搜索过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。

2. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法也是一种常用的图遍历算法，可以用于判断图的连通性。

该算法从一个起始顶点开始，按照广度优先的顺序逐层遍历与当前节点相邻的顶点。

如果在遍历过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。

3. 并查集算法并查集是一种用于解决"动态连通性"问题的数据结构，也可以用于判断图的连通性。

并查集通过维护一个森林（或称为集合）来表示各个顶点之间的关系，其中每个集合表示一个连通分量。

并查集提供了合并集合和查找集合的操作，通过这些操作可以判断图的连通性。

4. 可连通性矩阵可连通性矩阵是一种基于矩阵的图表示方法，用于判断图的连通性。

对于一个有n个顶点的图，可连通性矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条路径。

如果对于所有的顶点对(i,j)，可连通性矩阵中的元素都为1，则图是连通的；否则，图是不连通的。

5. 最小生成树算法最小生成树算法是用于求解连通图的一种常用算法，它通过选取图中的一些边来构建一棵树，该树包含图中的所有顶点，并且总权值最小。

如果最小生成树的边数等于顶点数减1，则原图是连通的；否则，原图是不连通的。

总结：本文介绍了几种常用的图的连通性判断算法，包括深度优先搜索算法、广度优先搜索算法、并查集算法、可连通性矩阵和最小生成树算法。