第六章 2正态总体均值的假设检验

，Xn1取自正态总体X
~
N
(u1，
2 1
);
Y1，
，Yn2 取自正态总体Y
~
N
(u2，
2 2
)，
两样本独立，给定检验水平，由观测值x1， ，xn1；
y1， ,yn2检验假设 H0：1 2；H1：1 2
1o
假定
2 1
,
2已知
2
由于X─ , Y─ 分别是1, 2的无偏估计量,
,
Sw Sw2 .
由 P{H0 为真, 拒绝 H0}



P1 2


(X Sw
Y 1 n1
)
1 n2

k




可得 k t / 2(n1 n2 2). 故得拒绝域为
(x y)
t
sw
11 n1 n2
t / 2(n1 n2 2).
一、 单个正态总体的假设检验
设 X1, …, Xn 是总体 X ~ N( , 2)的样本,
─
X,
S 2，S *2
分别是其样本均值、样本方差和修正的样本方差.
1.已知方差 2 时均值 的假设检验
① 提出假设
H0 : = 0 , H1: ≠0 ; ② 构造 的检验统计量
U
X 0 / n
发生 .
得否定域 W: |t |>4.0322 第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值,
| t |=2.997<4.0322 故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
2、两个总体
N
(1
,
2 1
),
N
(
2
,
2 2
)
的情况
利用t 检验法检验具有相同方差的两正态总
称为T检验
例5 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度 是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
从正态分布 N (, 2 ), 2 未知，现从该厂生
产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
关于均值差的其他两个检验问题的拒绝域
例10 比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分 成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的 时数分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4; 另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.若服用两种安眠 药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问 两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)
要特别注意的是，这里假设两总体的方差相等.
现在来求检验问题 ：
H0 : 1 2 , H1 : 1 2 ( 为已知常数)的拒绝域 . 取显著性水平为 .
引入 下述t 统计量作为检验统计量 :
t (X Y ) ,
Sw
11 n1 n2
其中
S
2 w

n1S1*2 n2 S2*2 n1 n2 2
~ N(0,1),
并确定其函数的分布
对给定的水平 ,求分位数 u / 2 ,
使得 P ( |U| u /2 ) ,
③ 由 确定拒绝域
由|U|>u/2可得 H0 的拒绝域: W (, u/2) (u/2 , )，
数值 u / 2 是确认小概率事件是否已经发生的数量
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成问题的总体X.
现在要检验E(X)是否为32.5.
…
已知 X~N (, 2 ), 2 未知.
第一步： 提出原假设和备择假设
H0 : 32.5 H1 : 32.5
第二步： 取一检验统计量，在H0成立下 求出它的分布
t X 32.5 ~ t(5)
界限，称为临界值
/2
(x) / 2
拒绝域| O |拒绝域 x
在这个检验问题中，我们都是利用统计量 U X 0 来确定拒绝域的 , 这种检验法称为
/ n U检验法.
例2 某化学日用品厂用包装机包装洗衣粉. 包装机正常工作时, 包装量 X ~ N(500, 22),
每天开工后须先检查包装机工作是否正常.某天开工后, 在装好的洗衣粉中任取了 9 袋,称得重量的平均值
解：设X
，
1
，X100取自正态总体X
~
N (u1，952 );
Y1， ，Y75取自正态总体Y ~ N (u2，1202 )，
X ~ N (1，190502 )，Y ~ N (2，172502 )
X
Y
~
N (1

2，190502

1202 75
)，
X
Y
~
N (1
2，190502

P( |T| t(n 1) ) ,
由|T|> t(n-1), 可得 H0 的拒绝域: W ( , t) (t, )，
由样本观测值算出 T 的值
T0
x 0 S* / n
,
检验：若 T0 落入拒绝域 W 内, 则拒绝 H0 ,
/2
f (x) / 2
拒绝域| O |拒绝域 x10 75二、 未知方差 2 时的均值检验（T检验）
1. 单个正态总体的假设检验
H0 : = 0 , H1: ≠0 ; 应用 2 的无偏估计量 S* 2 去估计 2,
T X 0 ~ t(n -1),
S* / n 对给定的水平 ,求分位数 t (n-1), 使得
1202 )， 75
若原假设成立 H0 : 1 2 则 ＝0.1
X Y ~ N (0，1)， 952 1202 100 75
查标准正态分布表得临界值
U 1.65 拒绝域：W ( , 1.65) (1.65, )，
2
1180 1220
U0
952 1202
U0
XY
12
m

22
n
,
检验：若 T0 落入拒绝域 W 内, 则拒绝 H0 ,
例10 比较甲,乙两厂生产的灯泡使用寿命。已知甲 厂生产的灯泡的使用寿命X服从正态分布， 且方差 为95 2， 乙厂生产的灯泡的使用寿命Y服从正态分 布，且方差为120 2， 在两厂分别抽取了100只和75 只样本，测得平均寿命分别为1180小时和1220小时， 问两厂灯泡的平均寿命有无显著性差异(=0.10)
能衡量差异
S* 6
大小且分布
已知
第三步：
对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t (5) t0.01(5) 4.032 ,使
P{| t | t (5)}
即“| t | t (5)”是一个小概率事件 .
得否定域 W: |t |>4.0322
小概率事件在一次 试验中基本上不会
U X Y (12)

2 1
m


2 2
n
~ N(0, 1),
对给定的水平 ,求分位数 使得
P ( |U | U 2 ) ,
由|U|>U/ 2可得 H0 的拒绝域:
U XY
12
m


2 2
n
W

(

,
U

)
2
(U 2, )，
由样本观测值算出 U 的值
体均值差的假设.
设 X1, X2 ,, X n1 为来自正态总体N (1, 2 ) 的样本, Y1,Y2 ,,Yn2 为来自正态总体N (2 , 2 )的 样本 , 且设两样本独立 .又设 X ,Y 分别是总体的
样本均值, S1*2 , S2*2是修正样本方差 , 1 , 2 , 2均为未知,
Sw
10S12 10S22 18
1.898
| t | | x y | 1.86 1.7341
sw 1 10 1 10
拒绝H0 认为两种安眠药的疗效有显著性差异
返回
解: H0 : 1 2 ; H1 : 1 2
T
X Y
~ t(18)
Sw 1 10 1 10
由P{ T t0.1(18)} 0.1，即得拒绝域 T t0.1(18) 1.734.
即拒绝域 W=, 1.734 1.734,
x 2.33, s1 2.002 y 0.75, s2 1.789
─x = 502 (g) . 设总体方差不变, 问包装机工作是否正常.
由题意可设这天包装重量 X ~ N( , 2). 如果工作
正常, 则 X 服从的分布应与平常的一样, 即 X ~ N(500, 22).
为此, 我们提出假设
H0： = 0 = 500 和 H1： ≠ 0
①
H0： = 0 = 500 和, H1： ≠ 0
② U

X 0 / n
~ N(0, 1),
对小概率 =0. 05 , 令
③ 查表得 u0. 025 = 1. 96 ,
P( |U| u/2 ) 0.05 ,
④

| U0
| |
502500 2/ 9
|
3
1.96,
⑤
拒绝 H0 成立.
2 两个正态总体均值差的假设检验
设X1，