函数与方程练习题及答案 (1)

函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的

________．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

3.

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，

通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源]

1．函数的零点不是点

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间

________．

2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.

题型一判断函数在给定区间上零点的存在性

例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．

(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

(2)设函数f (x )＝1

3x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )

A ．在区间⎝⎛⎭⎫

1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点

C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点

D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 题型二 二次函数的零点分布问题

例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．

数形结合思想在函数零点问题中的应用

试题：(12分)已知函数f (x )＝－x 2

＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2

x (x >0)．若y ＝g (x )－m 有零点，求

m 的取值范围；

A 组 专项基础训练题组

一、选择题

1．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x

，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0

2．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则 ( ) A ．a

3．函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 2

＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 二、填空题

4．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零

点的个数为________． 三、解答题

5．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．

6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．

B 组 专项能力提升题组

一、选择题

1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是

(

)

A ．函数f [g (x )]的零点有且仅有6个

B ．函数g [f (x )]的零点有且仅有3个

C ．函数f [f (x )]的零点有且仅有5个

D ．函数g [g (x )]的零点有且仅有4个

二、填空题

4．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．

三、解答题 8．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.

有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；