A题：西安市经开区公共自行车服务系统设计之欧阳家百创编

西安工业大学数学建模竞赛欧阳家百（2021.03.07）承诺书我们仔细阅读了西安工业大学数学建模竞赛的参赛规则与竞赛纪律。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛纪律的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守参赛规则和竞赛纪律，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛纪律的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权西安工业大学数学建模竞赛组委会，可将们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

西安市经开区公共自行车服务系统设计模型摘要本文主要研究了西安市经开区公共自行车服务系统设计的问题。

主要运用了蚁群算法得出了较为合理的调度车辆运行路径，并采用了离散概率模型对需要调度的公共自行车情况进行了估计。

在三期建设的规划选点问题上，我们建立了层次分析法模型（AHP），较为科学的确定了新增点的数目及其位置。

针对问题一，利用matlab把各站点位置经纬度坐标转换为更便于求解的距离矩阵，并由此通过建立离散概率模型的方式得出较为合适的各站点还车数目，最终通过蚁群算法实现了最优路径的筛选，得出合理的车辆分配方案及调度方案，求得最优的调度耗时。

针对问题二，对带筛选站点位置进行了合适的区域划分，又通过线性规划模型得到的新增租赁点数目及车辆总数。

以此为基础，建立了AHP模型，得出了各区域建租赁点合理的重要性程度，按权重确定了各点所在位置及其分配的车辆数目。

针对问题三，在前两问求解的基础上得知必须要增加调度车辆。

通过大量的计算机模拟，在尽量保证调度时间少和增加车辆数少的前提下，应用蚁群算法，反复的求解，最终得出了较为合适的新增调度车辆数目和自行车调度方案。

关键词：蚁群算法层次分析法离散概率模型最优化问题1问题的重述公共自行车租赁服务系统纳入城市公共交通体系，有助于解决公交出行“最后一公里”问题，使公共交通服务网络趋于更加完善。

西安经开区公共自行车服务系统于2011年4月开始建设，到目前为止已建成租赁点30个，自行车总量达到850辆。

为便于调度调配各租赁点的放置车辆以便更好地服务民众，以及建设覆盖面积更广受益人群更多的公共自行车租赁网络，本文将解决如下问题：(1)建立合适的数学模型，针对已有的30个租赁点设计最优车辆分配方案、调度方案，并保证完成调度所耗费时间最少；(2)用合适的数学模型确定经开区公共自行车服务系统三期建设新增租赁点的数目、位置以及合适的放置车辆数目；、(3)讨论在新增租赁点后是否需要增加调度车辆以保证在150min内完成调度。

2问题分析1.针对问题一，在调配平均耗时尽量少的条件下，可简单地把问题拆分为最短路径和车辆最优分配两类问题。

通过蚁群算法可求得最优的车辆调配路径，而通过对租赁点的距离矩阵的归一化，可求得一个较为可信的还车概率矩阵。

由此，可将两者结合，以获得最优的车辆分配方案及调度方案。

2.针对问题二，以最优地花费建设经费为目标，通过线性规划可以求得新增租赁点的数目。

为了选取的租赁点位置能最大程度的便捷市民的生活，可建立一个层次分析法的模型，确定其位置及所放置车辆数目。

3.针对问题三，可参考问题一的求解结果可以得出现有调度车数目是否满足在150min内完成调度的条件。

如果不能，我们应采用前两问数据，通过分析各站点需求量情况及其所在位置，用蚁群算法模拟调度车可能通过的路径，从中找出最优的调度路径，并作出合适的调度方案。

3假设与符号3.1模型假设i.假设附件二中提供的各租赁点每天的需求量不变；ii.假设车辆调动过程中各租赁点车辆数目不再变化；iii.忽略调度车在行驶过程中遇到红绿灯而损耗的时间；iv.假设调度车的路径为租赁点间的直线路径；v.假设两辆调度车同时开始调度；vi.假设有足够经费新增调度车辆；vii.忽略从事调度人员的费用。

3.2符号说明1)T 单次调度耗时（min）；2)S 单次调度总路程（m）；3)n 新增租赁点数；4) A 两两判断矩阵；5)CR 一致性比率。

4模型的建立与求解4.1问题一由附件一中的30个租赁点位置、经纬度坐标以及附件二中各租赁点早中晚不同时间段的需求信息，可以简单的描述出30个租赁点每天不同的服务状况。

为了方便求解，我们分别用蚁群算法和归一化的方式处理数据，并得出了较为准确的最短路径和早中晚不同时段的还车数。

4.1.1问题一最短路径模型的建立1)模型建立的准备利用matlab软件将30个租赁点的位置信息（经纬度）转换为30×30的距离矩阵（见附录一）；并按照居民在某个租赁点还车的概率与租车点和还车点的距离成反比的关系，以及居民骑行距离不超过2km的条件，通过对距离矩阵归一化的方式得出30×30的概率矩阵（见附录一）。

2)蚁群系统基本原理在蚂蚁群找到食物时，它们总能找到一条从食物到巢穴之间的最优路径。

这是因为蚂蚁在寻找路径时会在路径上释放出一种特殊的信息素（phero-mone）。

当它们碰到一个还没有走过的路口时，就随机地挑选一条路径前行。

与此同时释放出与路径长度有关的信息素。

路径越长，释放的激素浓度越低。

当后来的蚂蚁再次碰到这个路口的时候，选择激素浓度较高路径概率就会相对较大。

这样形成了一个正反馈。

最优路径上的激素浓度越来越大，而其它的路径上激素浓度却会随着时间的流逝而消减。

最终整个蚁群会找出最优路径。

在整个寻径过程中，虽然单个蚂蚁的选择能力有限，但是通过激素的作用，整个蚁群之间交换着路径信息，最终找出最优路径。

3)基于MATLAB的蚁群算法求解最短路径问题最短路径问题描述如下：设有n个城市C=（1，2,...,n），任意两个城市i，j之间的距离为dij，求一条经过每个城市的路径π=（π（1），π（2），...，π（n）），使得距离最小。

蚂蚁算法求解最短路径问题的过程如下：（1）首先初始化，设迭代的次数为NC。

初始化NC=0（2）将m个蚂蚁置于n个顶点上（3）m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游每个蚂蚁按照状态变化规则逐步地构造一个解，即生成一条回路。

蚂蚁的任务是访问所有的城市后返回到起点，生成一条回路。

设蚂蚁k当前所在的顶点为i，那么，蚂蚁k由点i向点j移动要遵循规则而不断迁移，按不同概率来选择下一点。

（4）记录本次迭代最佳路线（5）全局更新信息素值应用全局信息素更新规则来改变信息素值。

当所有m个蚂蚁生成了m个解，其中有一条最短路径是本代最优解，将属于这条路线上的所有弧相关联的信息素值进行更新。

全局信息素更新的目的是在最短路线上注入额外的信息素，即只有属于最短路线的弧上的信息素才能得到加强，这是一个正反馈的过程，也是一个强化学习的过程。

在图中各弧上，伴随着信息素的挥发，全局最短路线上各弧的信息素值得到增加。

（6）终止若终止条件满足，则结束；否则NC=NC+1，转入步骤（2）进行下一代进化。

终止条件可指定进化的代数，也可限定运行时间，或设定最短路长的下限。

（7）输出结果4)基于蚁群算法得出的最短路径（具体算法，程序包请见附录一）图1调度车路径调度车1途经站点：1，2，3，4，5，6，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，27，29总路程10.200km；调度车2途经站点：7，8，9，10，21，22，23，24，25，26，28，30总路程8.753km。

5)由概率矩阵得到的分配方案及调度结果表格1分配方案及调度表租赁点分配方案/辆早上调度/辆中午调度/辆下午调度/辆127 -13-13-13233 009339 1436437 17111527 -13-13-10622 -2-13-18733 -71212831 110-6926 12441035 1427301128 813161235 171141325 -15-2-51418 -15-7-121527 -10-13-131618 -14-17-221733 -38-31837 01481927 -12-13-132026 -11-14-152133 -7882219 0-14-152329 -5-182421 14232517 3-6-22626 30-12740 148132824 1215142921 -16-14-183035 11217图中带负号为需要装载，不带符号表示需要卸载。

6)调度方案及调度耗时调度车一：11→18→29→19→5→20→27→6→4→17→3→2→1→15→16→13→14→12；调度车二：8→7→30→9→28→10→24→22→23→21→25→26定义每次调度耗时为t(单位min)S为调度一次总里程；v为平均速度30km/h;为装卸次数；ti为装卸平均耗时1min。

本文得出单次调度耗时取T=max{t}早上中午下午平均实际装卸次数143 117 135 131调度耗时t/min163 137 155 152调度平均耗时minT=152（min）4.2问题二4.2.1模型的准备假设经开区公共自行车服务系统三期建设准备投入建设200万元。

由于建设一个租赁服务网点需要5万元，在使用周期内，购买，养护一辆自行车需要1000元。

我们不妨设建设n个租赁点，一共投入C辆自行车;为后70个可选的租赁点的平均需求量。

则只需满足以下条件即可：目标函数：maxZ={5n+0.1}约束条件：则用lingo易得到此线性规划问题的最优解为n=29个，=539辆；对于剩余70个租赁点的选取，我们可以利用二号地铁线中的北苑站（一区），城市运动公园站（二区），行政中心站（三区），凤城五路站（四区）将经济开发区化为四个区域，图见附件。

然后用层次分析法来确定每个区域应该分配的自行车租赁点的数目，其次根据每个站点的平均日需求量来分配每个站点的自行车放置数目。

（区域一）（区域二）（区域三）（区域四）4.2.2模型二的建立1) AHP 建模的步骤a) 建立递阶层次结构模型将问题所包含的因素按属性不同而分层,可以划分为最高层、中间层和最低层.同一层次元素作为准则,对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一层次元素的支配,这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次.最高层 通常只有一个元素, 它是问题的预定目标,表示解决问题的目的,因此也称目标层.中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则，因此也被称为准则层。

最底层为实现目标可供选择的各种措施、解决方案等，用于解决问题的各种途径和方法。

b) 构造两两比较判断矩阵 设要比较n 个因素X={x1,x2, ⋯,xn}对目标Z 的影响,确定它们在 Z 中所占的比重.每次取两个因素xi和xj,以aij 表示xi 和xj 对Z 的影响之比,得到两两比较判断矩阵: A= (aij)n×n(1)其中,aij> 0,aji =1(i≠j) aij = 1(i,j = 1,2,⋯,n) (2)使式(2)成立的矩阵称为正负反矩阵.确定aij 采用1～9及其倒数作为标度的标度方法。