第一节集合及其表示方法

典例解析
【例1】 已知集合M＝{a，b，c}中的元素分别对应着
某个三角形的三条边长，那么这个三角形一定不是( D )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【解析】 由集合中的元素具有互异性可知， 集合中的元素不能相同，所以a，b，c必是三个互 不相等的数，故选D.
【举一反三1】 下列各对象不可以组成集合的是( B )
a－1≠3a＋2，所以a≠－ 3 .
2
同步精练
三、解答题
10．已知(1，2)∈{(x，y)|ax＋by＝1且bx＋ay＝1}，求a，b
的值．
解：由题意知
a b
2b=1 2a=1，
解得
a=
1 3
b=
1
，
∴a，b的值为 a= 1，b= 1 .
33
3
D．{x|x＝2k＋1，k∈N＋}
同步精练
6．下列关系中正确的是( D )
A．∅＝{0}
B．0⊆∅
C．0∈∅
D．0∈{0}
7.在平面直角坐标系内，第四象限的点的集合可表示 为( A ) A．{(x，y)|x>0且y<0} B．{(x，y)|x>0且y>0} C．{(x，y)|x<0且y>0} D．{(x，y)|x<0且y<0}
.
典例解析
【举一反三5】 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R}， 若集合A至少含有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，
此时方程有唯一解x＝ 2 , 符合题意；
3
当a≠0时，根据题意有Δ＝(－3)2－4a·2≥0，解得a 9 .
8
综上所述，a的取值范围是a
【例3】 用适当的方法表示下列集合． (1)大于3.5且小于8.5的整数构成的集合； (2)不等式x－1<2的解集．
(1){4，5，6，7，8} (2){x|x<3}
【解析】 集合常用 的两种表示方法为列举法 和描述法．
典例解析
【举一反三3】 用适当的方法表示下列集合． (1)方程x2＋x－2＝0的解集； (2)不大于5的正实数构成的集合；
【提示】 π是无理数，不是整数， 2．给出下列关系式： |－3|＝3是自然数，故选B. ①π∈Z；② 3 ∈R；③|－3|∉N；④0.53∉Z.
其中正确关系式的个数为( B ) A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
同步精练
3．集合{x∈N|－1<x－3<1}的另一种表示方法为( D ) A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2，3，4} D．{3}
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数学总复习
第一章 集合与常用逻辑用语
思维导图
第一节 集合及其表示方法
13:52:49
知识梳理
1．集合的有关概念 (1)一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就形 成一个___集__合___，构成集合的每个对象都叫做这个集合的 __元__素____． (2)集合中的元素的特征是__确__定__性__和__互__异__性__． (3)集合按元素的个数可分为__有__限____集和___无__限___集．
【举一反三4】 设－3 a 2, 2a2 5a,12，求a的值．
解：∵－3∈{a－2,2a2+5a,12}，
∴ －3必是a－2，2a2＋5a，12中的一个．
若－3＝a－2，则a＝－1，此时2a2＋5a＝－3，
与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若－3＝2a2＋5a，则a＝－1(舍去)或a＝ 3 .
综上，a＝ 3 .
(5)－3____∈____Z； (6) 2 ____∉____ Q； (7)0.5____∉____Z；
【解析】 注意常用数集
的范围， 2 ，e，π是无理数， 不是有理数，但它们是实数．
(8)e____∉____ Q；
(9)π____∈____ R.
典例解析
【举一反三2】 (1)用∈或∉填空．
①－5____∈____Z；
【提示】 集合的元素是大于2小于4的自然数．
4．方程组
4x 3x
3y 4y
25 的解集为(
0
C
)
A．(4，3)
B．{4，3} C．{(4，3)} D．{(3，4)}
5．在下列表示正奇数的全体构成的集合中，正确的是( C )
A．{x|x＝2k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
C．{x|x＝2k－1，k∈N＋}
② 3 ____∉____ Q； ③0____∈____Z； ④3.14____∈____ Q； ⑤－π____∈____ R.
【思路点拨】 本题 重点考查集合中元素和集 合的关系．
(2)已知集合M＝{x|－2<x<1}，则下列关系正确的是( D )
A. 5∈M
B．0∉M
C．1∈M
D． 1 ∈M
2
典例解析
元素个的数的问题实际上是求方程解的个数的问题．已知集
合A中至多含有一个元素，即方程有唯一解或无解． 当 a＝0时，方程为－3x＋2＝0，方程有唯一解x＝ 2 ,符合
3
题意；
当a≠0时，根据题意有Δ＝(－3)2－4a·2＝9－8a≤0，解得
a≥ 9 .
8
综上所述，实数a的取值范围是
a
|
a
0或a
9 8
|
a
9 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
【思路点拨】 本题考查的是集合与方程解集的关
系．集合中的元素的个数即为方程的解的个数，集合中
至少含有一个元素，即方程含有一个解或两个解．
同步精练
一、单项选择题
1．下列各对象不能构成集合的是( C ) A．绝对值等于本身的实数全体 B．不小于2的实数全体 C．与0非常接近的实数的全体 D．偶数的全体
A．某学校计算机教室中的所有计算机
B．某学校素质好的学生全体 【思路点拨】 本题重
C．某菜地里的所有黄瓜
点考查集合中元素的特征．
D．某学校所有女老师
典例解析
【例2】 用∈或∉填空． (1)0____∈____{0}； (2)0____∉____∅； (3)0____∈____N；
(4)a____∈____{a，b}；
(4)__不__含__任__何__元__素__的__集__合__叫做空集，记作____∅____．
(5)常用的数集符号
数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
知识梳理
2.元素与集合的关系 如果a是集合A中的元素，就说元素a属于集合A，记作 __a_∈__A___，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A， 记作__a_∉__A___． 3．集合的表示方法有_列__举__法___、__描__述__法__和图示法(即 文氏图法)三种．
∵x2∈{0，1，x}，∴x2必是0，1，x中的一个． 若x2＝0，则x＝0，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 若x2＝1，则x＝1或x＝－1，其中x＝1与集合中元素的互 异性矛盾，舍去，则x＝－1； 若x2＝x，则x＝0或 x＝1，与集合中元素的互异性矛盾， 舍去． 综上所述，x＝－1.
典例解析
同步精练
二、填空题 8．用∈或∉填空．
(1)7____∈____Z；
(2) 3 ____∈____R； (3) 2 ____∉____Z；
3
(4)5.87____∈____ Q；
(5)0____∉____ N＋.
9．已知集合A＝{a－1，3a＋2}，则实数a满足的条件是
__a____32__．
【提示】 由集合中的元素的互异性，知
(3)方程组
x x
y y
5 1
的解集．
(1){－2，1}
【思路点拨】 本 题重点考查集合的表示 方法．
(2){x|0<x≤5}
(3){(3，2)}或{(x，y)|x＋y＝5且x－y＝1}
典例解析
【例4】 已知x2∈{0，1，x}，求实数x的值．－1
【解析】 本题考查的重点是元素与集合的关系及集合 中元素的特征．从x2是集合{0，1，x}中的一个元素为切入点， 注意集合中元素的互异性．
2
2
【思路点拨】 本题考查的重
点是元素与集合的关系及集合中元
素的特征．解决含有字母的问题时，
常用到分类讨论的思想．在进行分
类讨论时，必须明确分类的标准．
典例解析
【例5】 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R}，且集合
A中至多含有一个元素，求实数a的取值范围．a
|
a
0或a
9 8
【解析】 集合A中的元素即为方程的解，所以求集合中