五年级奥数 等积变换

第二十一讲等积变换

一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变

性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图

形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化

为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重

叠在一起，求阴影部分的面积。

解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形

DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC

面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2

÷2=17（厘米2）。

答：阴影部分的面积是17厘米2。

例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角

三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯

形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即

平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四

边形ABCD的面积等于

10×8÷2+10=50（厘米2）。

答：平行四边形ABCD的面积是50cm.

例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。

解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。

梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），

三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），

EC=18÷6×2=6（厘米），

ED=6-4=2（厘米）。

答：ED的长2厘米。

例4：下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF 的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF 的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

答：三角形BCO与三角形EFO的面积之差是3.

例题5：左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

解：连结AD（见右上图），三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。

因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。

答：三角形ABC的面积是8厘米2。

练习

1、下左图中，已知BD长是10，DC长是15，E是AD的中点，如果三角形ABD的面积是100，三角形DEC的面积是多少？

2、上右图中,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE 的长是ED的长的2倍,那么三角形CDE的面积是多少平方厘米？

3、如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC 延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍.

4、如图，三角形BDE的面积是54平方厘米，三角形ABC是平行四边形CDEF面积的3倍，求三角形ABC的面积。

5、下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影

部分的面积是多少平方厘米。

6、如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，F为CD

的中点。如果四边形ABCD的面积是120平方厘米，求

四边形BEDF的面积是多少？

7、左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？

8、右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

9、左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14）

10、在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。

11、下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

12、右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

13、如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AE=ED,BD=BC，求阴影部分的面积和。