初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第18讲 圆的基本性质

第十八讲 圆的基本性质
到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．
圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：
1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用；
3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．
熟悉如下基本图形、基本结论：
【例题求解】
【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和
2
，则∠BAC 度数为 ．
作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．
注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．
圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．
【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．
2
B ．
2
5 C ．
4
5 D ．
16
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思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．
【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．
思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．
【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数；
(2)求证：△FDM ∽△COM ；
(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=2
1OA=
2
1OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO=
∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．
注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．
【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ；
(2)求∠AED 的余弦值；
(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．
思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝
AE
EN ，设FE=4x ，FD
＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．
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注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．
学历训练
1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；
(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；
(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．
(2003年南京市中考题) 3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．
(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有
(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．
(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．
a．是轴对称图形但不是中心对称图形．
b．既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( )
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )
A ．2
B ．
2
5 C ．3 D ．
3
16
6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）
A ．AB+CD ＝EF
B ．AB+CD=F
C ． AB+CD<EF
D ．不能确定
7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．
8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．
9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．
(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
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10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2
＝AC ×BC ， 则∠CAB= ．
11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则
折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．
12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．
13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．
14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2
，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．
(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ； (2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )
A ．一个圆
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．
15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．
16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．
17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多
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少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)
18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根． (1)求线段OA 、OB 的长；
(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标； (3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案。