第17章 勾股定理小结与复习
第十七章 小结与复习
勾股定理的验证 全品27页5题：
C
b
a
b a
勾股定理的验证
D 全品27页6题： C c b
C’
B’
美国总统证法：
D’
A a B
S梯形ABCD
1 1 1 2 (a b)( a b) ab 2 c 2 2 2
∴a ² +b ² =c²
勾股定理及其应用：勾股数 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都 是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是2，4，1，3．求最大正方形E 的面积． SF= SA+ SB = 6
5、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半 径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯 口外面至少要露出4.6㎝，问吸管至少要做 17.6 ______cm 。
5题变式： 如图，将一根 24cm 的筷子，置于底面直径 为 15cm ，高 8cm 的圆柱形水杯中，设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm，则 h的取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范 围是（ D ） A、h≤17cm B、h≥8cm C、15cm≤h≤16cm D、7cm≤h≤16cm
八年级
下册
第17章 勾股定理 小结与复习
• 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理， 进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在 距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与 它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定 理解决简单的实际问题．
• 学习目标： 1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知 识结构； 2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程， 体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在 解决数学问题中的作用. • 学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用．
9题变式：题单14题
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
17章勾股定理小结与复习(课件)
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三
角形?你作判断的依据是什么?
4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?
5.一个命题成立，它的逆命题未必成立。请举例说明.
知识点梳理： 一、勾股定理
A
A
17
17
10
8
B
D
C
10
B
C
本章思想方法： 二、方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的
等量关系，利用勾股定理列方程。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿
直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
∆ SAB，其中SA=SB，AB是圆维底面圆O的直径，已知SA=7cm,AB=4cm,
求截面∆SAB的面积.
∆ =
考题分类：
[题型一]：勾股定理的实际应用
教材38页复习题17
3.如图，车床齿轮箱党要钻两个圆孔，两孔中心的距离是 134 m，两
孔中心的水平距离是77mm.计算两孔中心的垂直距离(结果保留小数点后
[题型二]：勾股定理的直接应用
教材38页复习题17
7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 +1和2 -1，求斜边c的
长.
c=
8.如图，在∆ABC中，AB=AC=BC，高AD=h.求AB
AB=
考题分类：
[题型三]：勾股定理的逆定理应用
教材38页复习题17
5.一个三角形三边的比为1: :2，这个三角形是直角三角形吗?
第十七章 勾股定理小结与复习
第十七章 勾股定理小结与复习知识梳理1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________.（2）表示方法：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. 温馨提示：①勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系；②勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. （3）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边. 2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.考点呈现考点1 勾股定理例1 如图1，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形， 连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上 的高是错误！未找到引用源。
___________.解析：由题意知，B ，C 分别为EF ，FD 的中点，所以S △ABC= S 正方形AEFD ﹣S △AEB ﹣S △BFC ﹣S △CDA =2×2-2121⨯⨯-1121⨯⨯- 2121⨯⨯=23.又BC=21122=+，所以△ABC 中BC 边上的高是23．故填23或错误！未找到引用源。
．考点2 勾股定理的逆定理例2 如图2，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形 的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接AC ，因为每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，所以分别由勾股定理求得AC 2＝5，BC 2＝5，所以AC ＝BC .又AB 2＝10，所以AC 2+BC 2＝AB 2，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，图1CBA图2故选C.考点3 勾股定理的实际应用例3 如图3，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m解析：因为BC ∥AD ，所以∠DAE=∠ACB.因为BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，所以∠ABC=∠DEA=90°. 又AB=DE=400，所以△ABC ≌△DEA. 所以EA=BC=300. 在Rt △ABC 中，AC=50022=+BC AB ，所以CE=AC ﹣AE=200.从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700；②BC+CE= 500.所以最近的路程是500 m ．故选B ． 考点4 确定最短线路例4 如图4，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ，若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm ；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，那么所爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm.图4 图5分析：这是求立体图形上两点间的最短路线问题，需要将立体图形展开，转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短求解．解：如图5是长方体的侧面展开图，其中OP =4×2+2×2=12，OQ =5．在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22OP OQ +=22125+=13(cm )；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，则OP =（4×2+2×2）n=12n. 在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22OP OQ +=251445)12(222+=+n n （cm ）.故填13，251442+n .图3误区点拨一、错在添加条件例1 在△ABC 中，三边的长分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c 为质数，求c. 错解:由勾股定理，得.5432222=+=+=b a c剖析:因△ABC 是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能根据三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”思维定势的影响.正解：由三角形的三边关系定理，得b-a ＜c ＜b+a ，即4-3＜c ＜4+3，则1＜c ＜7.因为c 为质数，所以c=2，或c=3，或c=5.二、未弄清最大边，出现错判例2 △ABC 中，已知a=n 2-1,b=n 2+1,c=2n(n ＞1)，试判断△ABC 是否为直角三角形.错解:因为a 2+ b 2=（n 2-1）2+（n 2+1）2=n 4-2n 2+1+n 4+2n 2+1=2n 4+2,而c 2=(2n)2=4n 2,所以a 2+ b 2≠c 2.故这个三角形不是直角三角形.剖析：错因在于没有弄清楚哪条边是最大边,只是简单地考查了其中两边的平方和是否等于第三边的平方就得出结论.在运用勾股定理的逆定理判断能否组成直角三角形时,应先确定最大边,再考查最大边的平方是否等于其他两边的平方和.正解: 因为n ＞1，所以b ＞a ，b ＞c.又a 2+c 2=（n 2-1）2+(2n)2=n 4+2n 2+1，b 2=（n 2+1）2=n 4+2n 2+1，所以a 2+c 2=b 2.故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.三、忽视分类讨论，出现漏解例3 等腰三角形中，一边长是6，另一边长是8，求一腰上的高．错解：如图1，作BD ⊥AC 于点D ，则在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以82－AD 2＝62－(8－AD)2，则AD＝234，所以BD ＝22AB AD -＝222384⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16495．剖析：对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因是只对图1中的一种情况计算，而忽视了如图2的情形．正解：分两种情况讨论：①若以6 cm 为底，8 cm 为腰，则如图1，得BD ＝16495； ②若以8 cm 为底，6 cm 为腰，则如图2，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以62－AD 2＝82－(6－AD)2，则AD8图1 A D C B 6 图2B D C6 8 A＝23，所以BD ＝22AB AD -＝22263⎛⎫- ⎪⎝⎭＝9320．所以一腰上的高为16495或9320.勾股趣题一、鸟儿捉鱼（11世纪阿拉伯民间趣题）小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵棕榈树之间的距离是50尺，每棵树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树根有多远？分析：在Rt △ABE 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2，AE 2＋BE 2＝AB 2．于是，由AB ＝AC ，即AB 2＝AC 2可列方程求解．解：如图1，CD ＝20尺，BE ＝30尺，DE ＝50尺．设所求的距离AE=x 尺，则AD=（50－x ）尺.根据勾股定理，得AB 2＝302＋x 2，AC 2＝202＋（50－x ）2． 因为飞行速度相同，又同时到达，所以AB ＝AC ．所以302＋x 2＝202＋（50－x ）2，解得x ＝20．所以这条鱼出现的地方与较高的棕榈树根的距离为20尺． 二、孔雀捕蛇（12世纪印度趣题）有一根木柱，木柱下有一个蛇洞．柱高15尺，柱顶站有一只孔雀，孔雀见一条蛇正向洞口游来，现在与洞口的距离还有三倍柱高．就在这时，孔雀猛地向蛇扑过去．问在离蛇洞多远处，孔雀与蛇相遇？（假定孔雀与蛇的速度相同）分析：如图2，假设蛇自D 点向洞口C 爬去，孔雀从柱顶B 向蛇扑去，它们相遇于A 处，若设蛇与孔雀相遇时离洞口x 尺，则AD ＝3×15－x ＝45－x ．由AB ＝AD ，在Rt △ABC 中应用勾股定理便可列方程求解． 解：如图2，设离蛇洞x 尺处孔雀与蛇相遇，则AD=（45－x ）尺，AB ＝AD ．由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋152＝（45－x ）2，解得x ＝20． 所以在离蛇洞20尺处孔雀与蛇相遇．三、折竹抵地（源自《九章算术》） 今有竹高一丈（1丈=10尺），末折抵地，去本三尺（竹尖与根之间相距三尺）．问折者高几何（即折后直立的竹子高为多少）？分析：将问题转化为图3，在Rt △ABC 中，应用勾股定理求解．解：因为AB 2－AC 2＝BC 2＝32＝9，所以（AB ＋AC ）（AB －AC ）＝9．因为AC ＋AB ＝10，所以AB －AC ＝109，即AB ＝109＋AC ．所以AC ＋109＋AC ＝10， B CE D A图1BC DA 图 2 CB A 图3解得AC ＝4.55．所以折后直立的竹子高为4.55尺．跟踪训练1.三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是 （ ）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2.一个直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长是 （ ）A.5B.13C.7D. 5或133.Rt△ABC 中，∠C =90°，若a+b=14 cm ，c=10 cm ，则Rt△ABC 的面积是 （ ）A.24 cm 2B.36 cm 2C.48 cm 2D.60 cm 24.在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知 a=2.4，b=3.2，则c= ；（2）已知c=17，b=15，则△ABC 面积等于 .5.如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5 cm ，BC=6 cm ，则AD= cm ．6.要做一个如图2所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？7.两种规格的钢板原料，图3-（1）的规格为1 m ×5 m ，图3-（2）是由5个1 m ×1 m 的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）， 分别在图3-（1）和图3-（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）.（1）（2）图3AC DB 图1 2471520DC BA第十七章勾股定理小结与复习知识梳理：1. a2+b2=c2 平方和平方2. a2+b2=c23. 逆命题逆定理跟踪训练：1.C 2.D 3.A4.（1）4 （2）605.46.解：符合要求.理由是：因为AB=24，BC=7，AC=25，所以AB2+BC2=242+72=252=AC2，则△ABC是直角三角形，且∠B是直角；因为AD=20，DC=15，AC=25，所以AD2+CD2=202+152=252=AC2，所以△AC D 是直角三角形，且∠D是直角.所以这个零件符合要求.7.解：。
人教版八年级下期第十七章 《勾股定理小结与复习》共17张PPT
考点二 勾股定理的逆定理及其应用 a b c 例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ， 3 4 5 2c-b=12，求△ABC的面积． 解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k， ∵2c-b=12， ∴10k-4k=12， ∴k=2， ∴a=6，b=8，c=10， ∵62+82=102， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形， 1 ∴△ABC的面积为 2 ×6×8=24．
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中
一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点讲练
考点一 勾股定理及其应用 例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB AC2 BC2 202 152 25; 1 1 （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= 2 AB•CD， 2 ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 a 2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理 b 如果三角形的三边长a，b，c满足 C a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角43;b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题
考点三 勾股定理与折叠问题
例6 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求 △ABE的面积. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=(9-x)2， 解得x=4. 1 ∴△ABE的面积为3×4× 2 =6(cm2).
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习优秀教学案例
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习说课稿
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
第十七章 《勾股定理》小结与复习 课件
小结与复习
知识结构图 回顾整个单元的学习内容，补充知识结构图：
角
直 性质
角
边
三
角
角
形 判定
边
勾股定理
互逆 定理
勾股定理 的逆定理
知识回顾 一、勾股定理
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边
为 c，那么__a_2_+__b_2_=_c_2___. 2. 勾股定理的应用条件：
∵ 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm，
C
∴ 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3.
∴ AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm.
Q
∵ AB2 + BC2 = AC2，∴ △ABC 是直角三角形，
过 3 秒时，BP = 9 - 3×2 = 3 (cm)， BQ = 12-1×3 = 9 (cm)，
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例1 判断：满足下列条件的△ABC 是否一定是直角三
角形？(一定是的打“√”，不确定的打“×”)
(1) AB = 1 ，b = 3
1 4
，c =
1 5
；
(2) ∠A = 35°，∠B = 55°；
(× ) (√ )
(3) ∠A = 45°，BC = 5； (4) AB = 8，AC = 17，BC = 15.
值为 ( A )
A. 8
B. 4
C. 6
D. 无法计算
分析：在 Rt△ABC 中，BC2 = AB2 + AC2 B
AB2 + AC2 + BC2 = 2BC2 = 8
第17章勾股定理小结与(教案)
-勾股数的概念及其性质，学生需要了解什么是勾股数，并能够辨识和运用勾股数。
-实际问题中的应用，通过解决具体问题，使学生体会数学知识在现实生活中的重要性。
举例解释：在讲解勾股定理的应用时，教师可以给出一个具体直角三角形的例子，如直角边分别为3和4，要求学生计算斜边的长度，强调这是重点知识。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出浓厚的兴趣。他们对于直角三角形边长计算的问题感到好奇，这也是我们这节课的重点。在导入新课的时候，通过日常生活中的例子引起学生的兴趣，确实起到了很好的效果。看到他们积极地参与到课堂讨论和实验操作中，我感到很欣慰。
然而，我也注意到在讲解勾股定理的证明过程时，尤其是面积法和代数法的证明，部分学生显得有些困惑。这说明这部分内容是我们的教学难点，需要我在今后的教学中更加注意方法的讲解，用更直观的方式帮助学生理解。
第17章勾股定理小结与（教案）
一、教学内容
第17章勾股定理小结：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的应用：直角三角形的边长计算；
3.勾股定理的证明：拼图法、面积法、代数法；
4.勾股数及其性质；
5.勾股定理在实际问题中的应用；
6.与勾股定理相关的数学文化及历史背景。
二、核心素养目标
1.理解并掌握勾股定理，能运用定理解决直角三角形边长计算问题，培养几何直观和空间想象力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，如面积法和代数法的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
人教版初中数学八年级下册《第17章勾股定理小结与复习》
要求：以小组为单位，借助课本，把 本章的知识内容进行整理。
练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，
则第三边c的长为 2 2．
变式 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c
的长为 2 2或 10 ．
练习2、线段a=7，b=24，c=25，能否搭建一个直角 三角形吗？72 + 242 = 625,252 = 625
A 12cm B 13cm C 2 61 cm D 24cm
B
C
A
练习4 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上 的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后， 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ C ）．
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使 它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
D C
A
B
B
E
D
C
A
利用勾股定理建立方程解决问题
例2 在△ABC中，AB=20, AC=13, BC边上的高 为12，求△ABC的面积是多少？
当已知条件中没有明确高在三角形内部 或外部时，要注意分类讨论。
例3、如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
第17章勾股定理小结与复习
创设情境 引出课题
人们为了纪念毕达哥拉斯 这位伟大的科学家，在他的家 乡建了这个雕像．这是矗立在 萨摩斯岛上的雕像. 这个雕像给你怎样的数学联想？
毕达 哥拉 斯拼 图
（2）
（1）
由图（1）得到大正方形 的面积 =c2+4*1/2ab 与图（2）的面积 =a2+b2+4*1/2ab, 比较两式得出c2=a2+b2
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
第十七章勾股定理知识归纳总结(教案)
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。
人教版数学八年级下册说课稿：第17章勾股定理小结复习(一)
人教版数学八年级下册说课稿：第17章勾股定理小结复习（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第17章勾股定理是小结复习的内容。
本章主要通过复习和巩固学生已经学过的勾股定理及其应用。
教材从勾股定理的定义、证明、应用等方面进行了详细的讲解，并通过大量的例题和练习题，帮助学生巩固和提高对勾股定理的理解和运用能力。
本章内容在整个初中数学中占有重要的地位，是学生进一步学习几何和其他数学分支的基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了勾股定理的相关知识，并掌握了一定的解题技巧。
但由于时间的推移，部分学生可能对勾股定理的理解和运用有所遗忘。
因此，在教学过程中，需要引导学生回顾和复习勾股定理的基本概念和性质，并通过适当的练习题，激发学生的学习兴趣和主动性。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过复习，使学生能够准确地掌握勾股定理的定义、证明和应用，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等学习方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和自信心，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：勾股定理的定义、证明和应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的解题能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法，引导学生主动参与学习过程，提高学生的学习效果。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，生动形象地展示勾股定理的概念和性质，帮助学生更好地理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过复习勾股定理的定义和性质，引导学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：详细讲解勾股定理的证明过程，并通过示例题引导学生理解勾股定理的应用。
3.练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和解答。
4.巩固：通过小组讨论和合作交流，让学生共同探讨勾股定理在不同情境下的应用，提高学生的解题能力。
人教版数学八年级下 第十七章勾股定理知识点总结
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得bacbac cabcab cbaHG F EDCBAa bccbaE D CBA诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD ∴MD=222(3)3AD AD -=33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
第17章勾股定理小结和复习
第17章勾股定理小结和复习教学目标1-理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 2. 勾股定理的应用.3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程 一•复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边尖系，并在此基础上得到了勾股定理， 并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习 了勾股定理的逆定理以及它的应用•其知识结构如下：勾 般 定 理 的 逆 毎 用1・勾股定理：(1) ______________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方•就是 说,对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a b,斜边为c,那么一定有：•这就是勾股定 理.面(2)勾股定理揭示了直角三角形一之间的数量矣系，是解决有尖线段计算问题的重要依据.(22|2«2222«2 . --------------------------------------------- -------------------a二c・b\ 二c・a,c = .ab a = v c2 _b2,b = vC2 -a22.勾股定理逆定理若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_____________ •这一命题是勾股定理的逆定理•它可以帮助我们判断三角形的形状•为根据边的尖系解决角的有尖问题提供了新的方法•定理的证明采用了构造法•利用已知三角形的边a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边，求第三边；(2)在数轴上作出表示川(n为正整数)的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的•勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.2十2 2⑶ 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若玄13“，则三角形是直角三角形；若* b °,则三角形是锐角三角形；若玄b ” ：°「，则三角形是钝角三角形•所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边•考点一、已知两边求第三边1 •在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为__________ .2._____________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________________________ ・3.在数轴上作出表示的点.4 •已知，如图在△ ABC 中，AB=BC=CA=2cm , AD 是边BC±的高.考点二、利用列方程求线段的长1・如图，铁路上A ，B 两点相距25km, C ，D 为两村庄，DA 丄AB 于A , CB 丄AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购 站 E,使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2.如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1 •分别以下列四组数为一个三角形的边长： （D 3、4、5（2） 5、12、13 （3） 8求©AD 的长；②厶ABC 的面积.15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有 ______________2. __________________________________________________________ 若三角形的三别是a+b2,2ab,f ・b%a>b>0),则这个三角形是 ___________________ ・23.如图1，在厶ABC 中，AD 是高，且AD 二BD CD ，求证：△ ABC 为直角三角考点四、灵活变通1-在RtAABC 中，a,b, c 分别是三条边‘ / B=90°,已知a=6, b=10,则边长2.边为边长的两个正方形的面积为边为边长的正方形的面积为 ___________ cm 2.柱'底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到4- ___________________________________ 如图：带阴影部分的半圆的面积是直角三角形中，以直角7cm 2 , 8cm 2‘ 则以斜3.如图一个圆—只蚂蚁B 点，那團IB 点，则最少要爬行 _______ cm(二取3) 5.从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到么它所爬行的最短路线的长是 _________________6若一个三角形的周长12、.3cm—边长为3cm,其他两边之差为3 cm,则这个二角形是_______________________ :.7•如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米考点五、能力提升1.已知：如图，△ ABC中，AB> AC, AD是BC边上的高.2 2求证：AB -AC =BC(BD-DC).2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE二丄BC •你能说明/ AFE是直角吗?3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？B A三、随堂检测1.已知△ ABC 中，/ A= / B= / C,则它的三条边之比为（）.A. 1 ： 1 ： 1B. 1： 1 : 2C. 1： 2 ： 3D. 1： 4： 1 下列各组线段中，能够组成 ）・A. 6, 7, 8B. 5, 6, 7C. 4, 5, 6D. 3, 4, 5 3.若等边△ ABC 的边长为2cm,那么△ ABC 的面积为（）.— 2222A . 3 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 4cm 4.角形的两直角边分别为5cm, 12cm,其中斜边上的高为（A . 6cmB . 8 . 5cmC . 30/ 13cm5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ______ 米.6・一座桥横跨一江，桥长12m, 一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶 __________ m .7.个三角形的三边的比为5 ： 12 ： 13,它的周长为60cm,则它的面积是 _________8•已知直角三角形一个锐角60。
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张大爷的房子吗？（ A ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
2.在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？ D B.
C A
利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？ 1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形， 所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得 BC及S△ABC . 答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2 .∵在△ABD中， ∠ADC=90°，∠C=60°，AD= 2 ，
五 勾股定理及其逆定理的综合应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积. 分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助 线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的 形状为直角三角形，再利用勾股定理解题. 答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5 .∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形； ∴四边形的面积为1+ 5.
图1
图2
答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股 定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14． 故S△ABC＝84（cm2）． 第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
二 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大 树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒 下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担 心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到
2．解决折叠的问题. 1.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？
请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
互逆定理
勾股定理 勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
一 勾股定理的直接应用 （一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a， 2 斜边为b，则另一直角边c满足c = .
答案： c 2 b2 a 2
【思考】为什么不是 c 2 a 2 b 2 ？
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ，
AB＝x ，AC=8-x，则AB=
3 ,AC= 5 .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则
a= 16 , c= 30 .
3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,cb=8,求b,c.
答案： b=5，c=13.
2 ∴CD= 3 3 ,∴BC=
2 2 3 3
，S△ABC =
1
6 的是（ D ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= 5 ，b= 3 ，c= 2 D．a：b：c=2：3：4 2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形 三边的是（ B ） B E C Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH H Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF F A G D
5
C
B
20
15
A
10
四. 布置作业
1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边 长为______. 2.已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm. 求⑴等边△ABC的高; ⑵S△ABC.
3.（选做题）如图，AB=AC=20,BC=32， ∠DAC＝90°，求BD的长.
（三）分类讨论的题型 1. 对三角形边的分类.
已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，求 第三条边的长．
答案：5 cm或 7 cm. 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以 4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．
2. 对三角形高的分类.
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm， 求S△ABC．
答案：因为∠B 所对的边是斜边.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c=
（2）如果a=6，c=10， 则b= （3）如果c=13，b=12，则a=
5 8 5
；
； ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
答案:（4）a=
3
， c=
2 3
.
（二）知一边及另两边关系型
BC=10, 求BE的长.
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定 理建立方程？你建立的方程是 .
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x，
∴
4 (8 x) x
2 2
2
.
3.做高线，构造直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
六 勾股定理与路径最短问题
1. 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬 到 点 B 处 吃 食 , 要 爬 行 的 最 短 路 程 ( 取 3 ） 是 ( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
O 蛋糕 B
C
周长的一半 ６
B
8
A
８
A
2. 如 图 ， 长 方 体 的 长 为 15 cm，宽为 10 cm，高 为 20 cm ，点 B 离点 C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A 爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
直角三角形.
2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
三 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形. 分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段 AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10， AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中， AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.