微分方程传递函数共29页
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传递函数
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章(概念,微分方程,传递函数)
取一次近似， 取一次近似，且令
y( x) = y( x) y( x0 )
≈ E0 sin x0 ( x x0 )
既有
≈ E0 sin x0 ( x x0 )
y = E0 sin x0 x
12
第二章 控制系统的数学模型
控制系统三域的数学模型关系
微分方程 t （时域）
L L
1
F F 1
系统
《自动控制理论》 自动控制理论》
江苏大学电气学院自动化系 张军
1
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 控制系统数学模型的概念 微分方程描述 传递函数 结构图
2
第二章 控制系统的数学模型
2.1 数学模型的概念
数学模型: 数学模型: 是描述系统特性或状态的数学表达式。它表达了系统输入 是描述系统特性或状态的数学表达式。它表达了系统输入 输出及系统各变量之间的定量关系 关系。 输出及系统各变量之间的定量关系。是系统内部本质信息的反 是系统内在客观规律的写照或缩影。 举例:电路模型) 映。是系统内在客观规律的写照或缩影。(举例:电路模型) 建模目的： 建模目的： 可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 动静态性能 1. 可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 可以用于定量的控制计算 对系统行为进行预测, 定量的控制计算, 2. 可以用于 定量的控制计算 , 对系统行为进行预测 , 并加以控 制。控制精度与模型精度有关。 控制精度与模型精度有关。 3. 利用模型可以进行有关参数的寻优 。
①标准形式
K W (s) = S
N
∏
m
(T i S + 1) (T j S + 1)
4-传递函数
第二章 系统的数学模型
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
第2章 微分方程+传递函数
dx
(x x0 )
x x0
写成增量形式:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 )
y k x
9
2.2.3 微分方程的线性化
例2-15 微分方程线性化
f (h) h
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
其中包含非线性项 h(t) ，单独将其线性化:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 ) f (x) k x
b1
dr(t) dt
b0r(t)
式中nm, n是系统阶次, r(t), c(t)是系统输入量和输出量。
例2-12 RC无源网络，输入电压ei(t)和输出电压eo(t)
R
解：由基尔霍夫定律
标准式： 左出右入降阶
ei (t) i C
eo (t)
ei (t) i(t)R eo (t)
eo
(t)
1 C
16
知识巩固
传递函数和微分方程一样, 也是用于描述系统的( ); 本课程使用的三种数学模型是( ), 其中( )是最主要的; 传递函数的定义是( ); 传递函数是代数表达式吗? 传递函数的求取方法一般有二种,分别是( ); 传递函数的成立条件是( ); 系统的阶次符号为( ), 它是传递函数的( )多项式的次数; 使传递函数分子为零的点, 称为传递函数的( ); 使传递函数分母为零的点, 称为传递函数的( ), 数学上称为( ),
2
a h0
h(t)
qi (t)
线性化方程已经把系统的工作坐标
从原点移至平衡工作点(h0 , qi0 ) 10
2.2.3 微分方程的线性化
具有两个自变量x、y的非线性函数 z=f (x, y)小偏差线性化的方法:
系统传递函数
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
§2.2 传递函数
一.拉氏变换
1.定义
F (s) L[ f (t )]
11
jik03
2.讨论
(1)传递函数的分母是系统特征多项式，分子 反映系统与外界的关系。 G(s) Xi (s) X (2) X o (s) G(s) X i (s) o( s)
时域函数 xo (t ) L [ X o (s)] L [G(s) X i (s)]
（3）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
0
f (t )e dt
1
st
jik03
2.讨论：
(1)零初始条件。 (2) f(t)∶原函数，时间域。 F(s)∶象函数，复数域。S=σ+jω且σ>0。
F (s) L[ f (t )] :
拉氏变换将原函数变换成象函数
(3)拉氏逆变换将象函数变换成原函数 f(t)=L-1[F(s)]
(4)s的量纲是时间的倒数[T]-1
稳态响应 0 t
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03
6
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
传递函数
设系统的微分方程为：
an y(n) (t) an1y(n1) (t) a1y(t) a0 y(t)
bm
x(
m)
(t
)
b x(m1) m1
(t
)
b1x(t) b0x(t)
式中x(t) - 输入，y(t) - 输出，ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m)为常系数
将上式求拉氏变换，得(令初始值为零）
入信号。 y(t) x(t ) 如右图所示。
其传递函数为：G(s) es
y(t)
t
延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有
延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起
见，化简如下：es
1 es
1 1
1s ... 1s
或 es 1s
t
es
es / 2 es / 2
1s / 2 1s / 2
4/29/2021 8:53:37 PM
4/29/2021 8:53:37 PM
4
3、传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无 关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的 关系。
4、传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
5、传递函数忽略了初始条件的影响。
6、传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母 的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。
衰减振荡。 越小，振荡越厉害。
4/29/2021 8:53:37 PM
15
（五）微分环节：
微分环节的时域形式有三种形式： 相应的传递函数为：
① y(t) Kx(t)
① G(s) Ks
② y(t) K(x(t) x(t))
② G(s) K(s 1)
第2章 2-1物理系统的微分方程
共计58页
20
此外，在工程实践中，控制系统都有一 个额定的工作状态和工作点，当变量在 工作点附近作小范围的变化,且变量在给 定的区域间有各阶导数时，便可在给定 工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒 级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就 可得到只包含偏差的一次项的线性方程。 这种线性化方法称为小偏差法。
共计58页 21
例如，设非线性函数y=f(x)如图所示， 其输入量为x，输出量为y，如果在给定工 作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在 y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：
共计58页
22
如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项， 上式可写为
K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点 的切线方程线性化。
N1
2
(2 - 9)
[ f f ( N 1 ) 2 ] ( N 1 )T T [J1 J 2 ( ) ] 1 1 2 1 L M N2 N2 N2 N2 N 2 N 2 2 ) J 1 J 2 ]2 [ f 1 ( 2 ) f 2 ]2 T L ( 2 ) T M N1 N1 N1
共计58页
24
附录： 用拉普拉斯变换求解线性微分方程
建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解 就可以得到表示系统动态性能的时间响应。微分方 程的求解可以用经典方法或借助于计算机进行，也 可以采用拉普拉斯变换法。 一、拉普拉斯变换定义：设有函数f (t), t为实变量， s=ζ+jω为复变量。 如果线性积分
共计58页 1
第二章 控制系统的数学模型
§2.1物理系统的微分方程 §2.2传递函数 §2.3系统框图及其简化 §2.4典型信号分析 §2.5信号流程图 §2.6线性系统的状态方程
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1相加点c前移再相加点交换第二章传递函数2内环简化3内环简化1g1g2h1图2321g1g2h1g2g3h2图2334总传递函数1g1g2h1g2g3h2g1g2g3图2341分支点e前移h2g3h1图230第二章传递函数2内环简化3内环简化g2图236第二章传递函数4总传递函数图238含有多个局部反馈的闭环系统中当满足下面条件时1只有一条前向通道2各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块递函数之和每一反馈回路的开环传结论
i
式中：a n…a 0, b m…b 0 均为常系数
x 0 (t)为系统输出量，x i(t)为系统输入量
第二章 传递函数 若输入、输出的初始条件为零，即 (K ) x 0 (0 ) 0 K = 0, 1 ,…, n－1
x i(
K)
(0 ) 0
K = 0, 1 ,…, m－1
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t ) 对微分方程两边取拉氏变换得： bm x(i m)( t ) + bm 1 x( m 1)( t ) + L + b0 xi( t )
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
2.3传递函数
20
三、传递函数的物理意义
如果系统输入为 r (t ) (t ) ，那么R(s)=1, 此时的输出即为脉冲响应，用g(t)表示。 那么
g (t ) L [C(s)] L [G(s) R(s)] L [G(s)]
由此可知系统的传递函数就是该系统脉 冲响应的拉氏变换。因此说传递函数可 以表征系统的动态性能。
8
四、正弦函数
正弦函数也称谐波函数，表达式为
r (t )
0
0 ASint
t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的 正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R ( s ) L[r (t )]
ASinte
st
dt
0
A (e jt e jt )e st dt 2j
15
根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传 递函数为
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 N ( s ) G(s) n n 1 R ( s ) a n s a n 1s D( s) a1s a0 (2 15)
19
3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映 系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有 相同的传递函数。若传递函数已知，针对不同的输 入，可以求出系统的输出响应： C (s) G(s) R(s) 再通过反拉氏变换求出 c(t ) 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 5.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此 传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性 能。
如何用梅逊公式求传递函数
有九条前向通道，分别是：
P1G1G2G3G4 P2G1G2G7G4
P3G1G2G8G4
2/8/2022
P4G5G2G3G4 P5G5G2G7G4 P6G5G2G8G4
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4 P 9G 6H2G 2G 7G 4
22
第22页，本讲稿共29页
梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
C
E(s)
-
G1(s)
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
2/8/2022
2
第2页，本讲稿共29页
信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
信号流图的绘制和等效变换；
梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间的关系。
2/8/2022
24
第24页，本讲稿共29页
G1
G2
+
H1
+ -
G3
C
H2
解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：
G4
R
EG1 G2 H1
G3 H2
C
H1H2
2/8/2022
18
第18页，本讲稿共29页
梅逊公式||例2-14
G4
C (s) R
求
：
R (s)
EG1
G2
H1
G3 H2
C
H1H2
前向通道有二，分别为: P1G1G2G3, P2 G3G4
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
P1G1G2G3G4 P2G1G2G7G4
P3G1G2G8G4
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P4G5G2G3G4 P5G5G2G7G4 P6G5G2G8G4
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4 P 9G 6H2G 2G 7G 4
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梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
C
E(s)
-
G1(s)
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
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信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
信号流图的绘制和等效变换；
梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间的关系。
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G1
G2
+
H1
+ -
G3
C
H2
解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：
G4
R
EG1 G2 H1
G3 H2
C
H1H2
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梅逊公式||例2-14
G4
C (s) R
求
：
R (s)
EG1
G2
H1
G3 H2
C
H1H2
前向通道有二，分别为: P1G1G2G3, P2 G3G4
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
五、传递函数
LCs 2U o ( s ) RCsU o ( s ) U o ( s ) U i ( s )
Uo ( s) 1 G( s) U i ( s ) LCs 2 RCs 1
3
几点结论
传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
10
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
X o ( s) K G( s) X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性
传递函数为：
G( s)
式中，T—积分环节的时间常数。
15
积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0 时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。
Uo ( s) 1 G( s) U i ( s ) LCs 2 RCs 1
3
几点结论
传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
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惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
X o ( s) K G( s) X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性
传递函数为：
G( s)
式中，T—积分环节的时间常数。
15
积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0 时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。
微分方程传递函数
扰动 输入信号 检测环节 e 受控量
控制装置
受控对象
4
复合控制1 —— 按扰动作用补偿
扰动 补偿装置 给定值 测量 e 受控量 控制装置 受控对象
特点：开环与闭环结合，改善抗扰性能，控制精度高， 但结构较复杂。
5
复合控制2 —— 按输入作用补偿
扰动 受控量
补偿装置 给定值 测量 e
控制装置
j 1 i 1 n- ν m
1 对 R( s ) l , l s 有 e sr 0
中的积分环节数。 对于扰动输入，系统的 型一般对应扰动作用点 前的
积分环节数。
R(s) E(s) Gc(s) U(s)
D(s) G o(s)
Y(s)
H(s)
21
第四章 根轨迹法
一、根轨迹的定义及分类
c o
不能利用终值定理时如 何求稳态误差 将E(s) 分解为暂态 稳态分量 正弦输入时利用频率分 析法
（只用于E(s)在虚轴上有原点以外的极点）
j
20
控制系统的型， 与稳态误差的关系
对于参考输入，系统的 型对应 Gk (s) K (τ i s 1 ) s ν (Tj s 1 )
n
时间常数形式：G(s)
K ( i s 1 )
m
(T s 1 )
i 1 i
10
i 1 n
三、典型环节的传递函数
K 比例环节：G(s) K， 惯性环节：G(s) Ts 1 1 积分环节：G(s) ， 微分环节：G(s) s s 一阶微分：G(s) s 1 二阶微分：G(s) T 2 s 2 2 Ts 1
高阶系统近似为低阶系统： “主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概
控制装置
受控对象
4
复合控制1 —— 按扰动作用补偿
扰动 补偿装置 给定值 测量 e 受控量 控制装置 受控对象
特点：开环与闭环结合，改善抗扰性能，控制精度高， 但结构较复杂。
5
复合控制2 —— 按输入作用补偿
扰动 受控量
补偿装置 给定值 测量 e
控制装置
j 1 i 1 n- ν m
1 对 R( s ) l , l s 有 e sr 0
中的积分环节数。 对于扰动输入，系统的 型一般对应扰动作用点 前的
积分环节数。
R(s) E(s) Gc(s) U(s)
D(s) G o(s)
Y(s)
H(s)
21
第四章 根轨迹法
一、根轨迹的定义及分类
c o
不能利用终值定理时如 何求稳态误差 将E(s) 分解为暂态 稳态分量 正弦输入时利用频率分 析法
（只用于E(s)在虚轴上有原点以外的极点）
j
20
控制系统的型， 与稳态误差的关系
对于参考输入，系统的 型对应 Gk (s) K (τ i s 1 ) s ν (Tj s 1 )
n
时间常数形式：G(s)
K ( i s 1 )
m
(T s 1 )
i 1 i
10
i 1 n
三、典型环节的传递函数
K 比例环节：G(s) K， 惯性环节：G(s) Ts 1 1 积分环节：G(s) ， 微分环节：G(s) s s 一阶微分：G(s) s 1 二阶微分：G(s) T 2 s 2 2 Ts 1
高阶系统近似为低阶系统： “主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概
01.08传递函数
方框图：
R( s )
1/(Ts+1) Y ( s)
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输 入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环 节的惯性越大，则延迟的时间也越长。
2019年1月7日
EXIT
第2章第15页
例 设输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变 换 R( s) 1 s ，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为
U o (s) 1 G (s) U i ( s ) RCs 1
2019年1月7日 EXIT 第2章第5页
2. 关于传递函数的几点补充说明 （1）传递函数只适用于线性定常系统。
（2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于 系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的 系数相对应。 （ 3 ）实际系统传递函数中分母多项式的阶数 n 总 是大于或等于分子多项式的阶数 m ，即 n≥m。通常 将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。
当τ<<1时，才近似为纯微分环节。
2019年1月7日 EXIT 第2章第23页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 延迟环节
r (t )
微分环节：y(t ) r (t ) 传递函数：G(s) e s
方框图：
R( s )
0
t
e
s
Y ( s)
y(t )
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G( s ) e
T LC
2
R
r (t )
i (t )
C
y(t )
2T RC
2 n 1 /( LC ) 2 n R / L
T LC
R LC 2L
n 1/( LC )
R( s )
1/(Ts+1) Y ( s)
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输 入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环 节的惯性越大，则延迟的时间也越长。
2019年1月7日
EXIT
第2章第15页
例 设输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变 换 R( s) 1 s ，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为
U o (s) 1 G (s) U i ( s ) RCs 1
2019年1月7日 EXIT 第2章第5页
2. 关于传递函数的几点补充说明 （1）传递函数只适用于线性定常系统。
（2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于 系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的 系数相对应。 （ 3 ）实际系统传递函数中分母多项式的阶数 n 总 是大于或等于分子多项式的阶数 m ，即 n≥m。通常 将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。
当τ<<1时，才近似为纯微分环节。
2019年1月7日 EXIT 第2章第23页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 延迟环节
r (t )
微分环节：y(t ) r (t ) 传递函数：G(s) e s
方框图：
R( s )
0
t
e
s
Y ( s)
y(t )
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G( s ) e
T LC
2
R
r (t )
i (t )
C
y(t )
2T RC
2 n 1 /( LC ) 2 n R / L
T LC
R LC 2L
n 1/( LC )