由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m %调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(t)(t)=?0.39120.012340.0220H(t)(t)+0.033440.012340.0008960u1(t)u2(t) y1(t)y2(t)=11H(t)(t)+00u1(t)u2(t)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
控制理论中的传递函数与状态空间
传递函数和状态 空间都是控制系 统分析的重要工 具，它们提供了 不同的视角和工 具来研究系统的 行为。
状态空间模型通 常比传递函数更 直观和易于理解， 因为它直接描述 了系统内部状态 的变化。
传递函数和状态 空间之间存在一 定的联系，可以 通过数学转换进 行相互转换。
传递函数与状态空间在控制系统中的应用比较
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闭环控制系统：输入信号受输出信 号影响的控制系统
非线性控制系统：系统各环节之间 不满足线性关系的控制系统
传递函数
传递函数的定义
传递函数是线性时不变系统的数学模型 它描述了输入信号与输出信号之间的关系 传递函数通常表示为有理分式的形式 传递函数的定义基于系统的输入-输出关系
传递函数适用于线性时不变系统，描述系统的频率响应特性
状态空间模型描述系统的动态行为，包括状态方程和输出方程
传递函数主要关注系统的外部输入和输出关系，而状态空间模型更全面地描述系 统内部状态的变化 在控制系统分析和设计中，传递函数和状态空间模型各有优缺点，选择合适的模 型取决于具体问题和应用场景
传递函数与状态空间在不同控制问题中的选择
线性时不变系统：传递函数适用于 描述系统的动态行为
多输入多输出系统：状态空间方法 更适合描述系统的动态行为
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非线性系统：状态空间方法更适用 于描述系统的动态行为
控制系统设计：根据具体问题选择 合适的描述方法
传递函数与状态空间在控制系统设计中的互补性
传递函数和状态空间是控制理论中的两种重要工具，它们在描述和分析线性时不变系统方面具有各自的优势。
状态空间的实现方式
传递函数写状态空间表达式
传递函数写状态空间表达式【导言】在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。
在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。
本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。
【一、传递函数和状态空间表达式概述】首先我们需要了解一些基本概念。
传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。
它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。
状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。
它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。
传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。
传递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。
状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。
【二、传递函数转化为状态空间表达式】将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。
假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。
2、用连分式的形式表示传递函数：G(s) = D + C(sI - A)⁻¹ B3、将上式展开，得到：G(s) = D + CB⁻¹(sI - A)⁻¹ B4、令P(s) = (sI - A)，则：G(s) = D + CB⁻¹P⁻¹(s)B5、对P(s)进行分解：P(s) = (s - λ1)Q1(s) ... (s - λn)Qn(s)其中λ1,λ2,...,λn是P(s)的特征值，Q1(s),Q2(s),...,Qn(s)是与特征值相关的特征向量矩阵。
传递函数到状态空间的实现
实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：计算机仿真一、实验目的1、理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、理解状态初值的计算方法二、实验内容1、应用MATLAB编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的m文件。
并用相应例题验证程序的正确性。
2、完善该程序使其可以用来计算状态初值。
并用相应的例题验证程序的正确性。
3、程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、报告内容1、给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、如果做了程序的状态初值得求解，请给出相应的验证结果，及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
四、实验理论1、传递函数为那么其状态空间模型能控标准型为：A=B=C=D=能观标准型为：2、计算状态变量初值：（1）不含u的导数项时，则有：（2）系统微分方程不仅包含u的输入项，而且包含u的导数项，则：五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1且分子分母不同阶传递函数：程序运行结果：能控标准型：A =0 1 0 00 0 1 00 0 0 1-2 -4 -5 -2B =1C =5 3 4 2D =能观标准型：A =0 0 0 -21 0 0 -4 0 1 0 -50 0 1 -2B =5342C =0 0 0 1D =初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1;1;1]请输入系统输入的初值=[0;0;0]x0 =12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2且分子分母同阶传递函数：程序运行结果：能控标准型：A =0 1.0000 -1.5000 -2.5000 B =1C =1.5000 1.5000D =0.5000能观标准型：A =0 -1.50001.0000 -2.5000B =1.50001.5000C =1.5000 1.5000D =0.5000初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1] 请输入系统输入的初值=[0] x0 =3.50001.0000运行结果正确六、流程图七、实验小结通过本次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式传递函数是描述线性系统的重要工具，但有时我们需要将其转换为状态空间表示以便于分析和实现。
本文将介绍已知传递函数如何求解状态空间表达式的方法。
首先，我们将传递函数表示为分子多项式$N(s)$除以分母多项式$D(s)$的形式：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$接下来，我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一阶系统的和：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} +frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$其中，$a_1, a_2, cdots, a_n$ 是传递函数的极点，$K_1, K_2, cdots, K_n$ 是对应的系数。
接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：$$begin{aligned} dot{x}_i &= a_ix_i + b_iu y_i &= c_ix_i + d_iu end{aligned}$$其中，$x_i$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入信号，$y_i$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是系统的系数。
注意，每个一阶系统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。
最后，将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统的状态空间表示：$$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1dot{x}_2 vdots dot{x}_n end{bmatrix} = begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 0 & a_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_n end{bmatrix} + begin{bmatrix} b_1 b_2 vdots b_nend{bmatrix} u y &= begin{bmatrix} c_1 & 0 & cdots & 0 0 & c_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_nend{bmatrix} + d_1u end{aligned}$$其中，$dot{x}$ 是整个系统的状态向量，$y$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 在矩阵中的位置与之前相同。
现代控制理论第1章_控制系统状态空间表达式
L di(t ) u(t ) dt
i(t )
t t0
1 u( )d
L
i0
i0
t0 1 u( )d
L
另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组 初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的 关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻 以前系统所存储的输入信息的体现。
动力学系统：能够储存输入信息的系统。
u
x3
图 1 1 例：C、L 为 两 独 立 储 能 元 件，故 应 有 两 个 独 立 状 态 变量， 不妨取：x1 uc，x2 i。根据电路机理构建微分方程如下：
C d uc dt
•
i，即 Cuc
•
i uc
1i，也 即： C
•
x1
1 C
x2；
L
di dt
R
i
u
c
•
u,即i
1 L
uc
LRi
1
x2
0
1x3 - 1
2 1 0
u1 u2
y1 y2
1 1
0 1
1 0
x1 x2 x3
2
0
1u1
1
u
2
关于状态空间表达式的几点说明
系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，前者是 完全描述系统动态行为的一组变量信息，后者是人们希 望从系统中获得的结果信息。但两者也有联系，输出是 关于状态的函数(在线性系统中，输出常常是状态向量中 某一个分量或几个分量以及输入量的线性组合）。
x1
x
(t)
x2 (t
)，也可简写为：x
x2
xn
(t
)
xn
状态空间表达式
an 1 (h0u
( n 1)
h1u
( n2)
hn 1u )
an 2 (h0u
( n2)
h1u
( n 3)
hn 2u )
( n)
a1 (h0 u h1u) a0 h0u bnu
bn 1u
( n 1)
b1u b0u
可写成向量-矩阵的形式：
x Ax bu y cx du
即：
1 0 x1 0 x 0 2 0 1 x 0 n1 0 0 x n a0 a1 a 2
c 1 0 0
例1 设
...
y 5y8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
.
解：选
x1 y
x2 y
x3 y
..
则：
x1 x 2
.
x 2 x3
.
x3 y 3u 6 x1 8x2 5x3
.
...
y x1
状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 x 0 u 2 0 1 2 x3 6 8 5 x3 3
h2 b1 a2 h1 a1h0 3 h3 b0 a 2 h2 a1h1 a0 h0 13
状态空间表达式为
1 0 x1 1 x1 0 x 0 x 3u 2 0 1 2 x3 1 2 4 x3 13 x1 x y 1 0 0 2 x3
状态空间模型
引言状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。
在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u（t）和输出量y（t）之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)]和输出量Y(s)=L[y(t)]之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
标准四阶龙格——库塔法的基本思想龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
一、实验原理龙格——库塔法龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。
它以泰勒展开公式为基础，用函数f的线性组合代替f的高阶导数项，避免了高阶导数的运算，又提高了精度。
泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。
最常用的是四阶龙格—库塔法，它虽然有一定的时间损耗，但比梯形法要快，而且与其它方法比较，其误差比欧拉法高三个数量级，比预估—校正法高两个数量级，是自启动的。
matlab根据传递函数矩阵求状态空间方程
MATLAB根据传递函数矩阵求状态空间方程在探讨MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程之前，首先需要了解传递函数和状态空间方程的概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的数学方法，通常用于描述信号处理、控制系统等领域中的系统行为。
而状态空间方程则是另一种描述系统动态行为的方法，它能够全面描述系统的状态随时间的变化。
在工程领域中，状态空间方程常常用于分析系统的稳定性、控制系统的设计等问题。
在MATLAB中，我们可以利用控制工具箱提供的函数来求解传递函数矩阵对应的状态空间方程。
我们需要用tf函数将传递函数表示为MATLAB中的传递函数对象，然后利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象，从而得到对应的状态空间方程。
接下来，我们以一个具体的例子来演示MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程。
假设有如下传递函数矩阵：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2} &\frac{3s+2}{s^2+s+1} \\ \frac{s+1}{s^2+2s+1} &\frac{4s+1}{s^2+4s+3} \end{bmatrix} \]我们希望利用MATLAB求解对应的状态空间方程。
我们可以利用tf函数将传递函数矩阵表示为MATLAB中的传递函数对象：```matlabnum = {[2 1; 3 2]; [1 1; 4 1]}; % 分子矩阵den = {[1 3 2; 1 1 1]; [1 2 1; 1 4 3]}; % 分母矩阵G = tf(num,den);```接下来，我们可以利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象：```matlabsys = ss(G);```通过以上步骤，我们就可以得到对应的状态空间方程。
值得注意的是，状态空间方程通常表示为如下形式：\[ \dot{x} = Ax + Bu \]\[ y = Cx + Du \]其中，\[ A \]、\[ B \]、\[ C \]、\[ D \] 分别是状态方程的系数矩阵，\[ x \] 是系统的状态向量，\[ u \] 是系统的输入向量，\[ y \] 是系统的输出向量。
北航自动控制原理-第8章状态空间分析法
s 1 0 1
[sI
A]1
0
s
1
adj[sI A] det[sI A]
5 3 s 2
s2 2s 3 s 2 1
s3
1 2s2
3s
5
5
5s
s(s 2) s
(3s 5)
s
2
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
G(s) C[sI A]1b
3 2
1
s3 2s2
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
例 已知系统的传递函数为
G(s)
2s3
s2 2s 4s2
3 6s
10
试写出其能观测标准型。
解:
1 s2 s 3
G(s) 2
2
s3 2s2 3s 5
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
直接写出系统的能观测标准型:
3
x1 0
x2
1
0 0
5 3
2s3
s2 2s 4s2
3 6s
10
试求出其对应的能控标准型。
解: 首先把G(s)分母中s最高次项系数变成 1,用2除G(s)的分母与分子,得
1 s2 s 3
G(s)
s3
2
2s2
2 3s
5
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
直接写出系统的能控标准型:
x1 0 1 0 x1 0
Y1 G11(s)U1(s) G12 (s)U2(s)
Y2 G21(s)U1(s) G22 (s)U2(s)
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
用矩阵方程表示为
Y1 (
x2
传递函数到状态空间的实现
实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：计算机仿真一、实验目的1、理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、理解状态初值的计算方法二、实验内容1、应用MATLAB编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的m文件。
并用相应例题验证程序的正确性。
2、完善该程序使其可以用来计算状态初值。
并用相应的例题验证程序的正确性。
3、程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、报告内容1、给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、如果做了程序的状态初值得求解，请给出相应的验证结果，及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
四、实验理论1、传递函数为那么其状态空间模型能控标准型为：A= B=C= D=能观标准型为：2、计算状态变量初值：（1）不含u 的导数项时，则有：（2）系统微分方程不仅包含u 的输入项，而且包含u 的导数项，则：五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1且分子分母不同阶传递函数：程序运行结果： 能控标准型： A =0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 -4 -5 -2 B = 0 0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-)0()0()0()0()0()0()1(21n n y y y x x x 1)1( )1( 1 1 )0()0()0()0()0(000)0()0()0()0()0(00101011)0()0()0()0()0()2()3(13121221)1()2(133********⨯--⨯⨯⨯⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------n n n n n n n u u u u u c c c c c c c c y y y y y a a a a a a a x x x x x n n n n n n n n n n n n n n n1C =5 3 4 2D =能观标准型：A =0 0 0 -21 0 0 -40 1 0 -50 0 1 -2B =5342C =0 0 0 1D =初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1;1;1] 请输入系统输入的初值=[0;0;0] x0 =12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2且分子分母同阶传递函数：程序运行结果：能控标准型：A =0 1.0000-1.5000 -2.5000B =1C =1.5000 1.5000D =0.5000能观标准型：A =0 -1.50001.0000 -2.5000B =1.50001.5000C =1.5000 1.5000D =0.5000初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1] 请输入系统输入的初值=[0]x0 =3.50001.0000运行结果正确六、流程图七、实验小结通过本次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
由传递函数转换成状态空间模型(1)
由传递函数转换成形态空间模型——方法多!!!之杨若古兰创作SISO 线性定常零碎高阶微分方程化为形态空间表达式内部描述←—实现成绩：有了内部结构—→模拟零碎内部描述实现成绩解决有多种方法，方法分歧时结果分歧.一、 直接分解法由于对上式取拉氏反变换，则按以下规律选择形态变量，有写成矩阵方式A 系数阵称之为友阵.只需零碎形态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的方式，c 阵的方式可以任意，则称之为能控尺度型.则输出方程写成矩阵方式.在须要对实际零碎进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出形态空间模型的A、b、c矩阵的所有元素.例：已知SISO零碎的传递函数如下，试求零碎的能控尺度型形态空间模型.解：直接得到零碎进行能控尺度型的转换，即（如何考虑？）考虑式二式求导，并带入第三式；顺次类推，便得到写成矩阵方式.只需零碎形态空间表达式的A阵和c阵具有上式的方式，b阵的方式可以任意，则称之为能观尺度型从方式上看，能控尺度型和能观尺度型的系数阵A是互为转置，能控尺度型输入阵b和能观尺度型输出阵c互为转置，这类互为转置的关系被称为对偶关系.将在第六章进一步讨论.通过以上对传递函数阵的能控尺度型或能观尺度型转换的讨论，对单输入零碎而言，应留意如下成绩：（1）传递函数转化成能控尺度型的形态空间表达式，形态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式有关，零点多项式只影响输出方程的结构.（2）从能观尺度型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素.（3.解：直接得到能观尺度型的形态空间模型，即二、串联分解法若SISO零碎的传递函数极点互异，零碎传递函数分子分母写成因式相乘方式图示！！三、并联分解法（对角尺度型/约旦尺度型——特征值尺度型）（一）若SISO零碎的传递函数极点互异，则可求得对角尺度型的模型.当零碎的极点互异时，零碎传递函数分子分母写成因式相乘方式写成部分分式选择形态变量为（画图示意形态变量的取法）即对上式拉氏反变换，得即写成矩阵方式式中，系数矩阵A为对角阵.对角线上的元素是传递函数G （s）的极点，即零碎的特征值.b阵是元素全为1的n×1矩阵.求对角尺度型模型的输出方程中c的结构对上式拉氏反变换，得如果零碎的形态方程的A阵是对角阵，暗示零碎的各个变量之间是解耦的.多变量的零碎解耦是复杂零碎实现精确控制的关键成绩，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论.零碎的形态结构图如图所示.例：设零碎的闭环传递函数如下，试求零碎对角尺度型的转换得对角尺度型的转换为（二）对SISO零碎式，当其有重特征值时，可以得到约当尺度型的形态空间模型.此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值绝对应的约当块，即j，而其余为互异的.画图示意形态变量的取法：例：设零碎的闭环传递函数如下，试求零碎对约当准型的形态空间模型重极点，重数为j=2，有两个互异的极点，即按部分分式睁开可得约当尺度型的模型为。
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)
1
R R2C1 1 1 1 1 x1 x2 u1 x R1 R2C1 R2C1 R2C1 1 1 1 2 x1 x2 u1 x R2C2 R2C2 R2C2 y u2 u1 x1
即:
R1 R2C1 1 R1 R2C1 x x 2 1 R2C2
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 (2)在零初试条件 下取拉氏变换得：
2s 3Y ( s ) 3sY ( s ) s 2U ( s ) U ( s ) 1 2 1 s Y (s) s 1 2 2 U ( s ) 2s 3 3s s 3 3 s 2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
2
状态方程为：
1 x3 x x 2 x4 B B K 3 x1 1 x3 1 x4 x M1 M1 M1 B B B 1 4 1 x3 ( 1 2 ) x4 u x M2 M2 M2 M2
1 1 R2C1 x1 R2C1 u1 x2 1 1 R C R2C2 2 2
传递函数到状态空间方程
传递函数到状态空间方程传递函数和状态空间方程是控制工程中的两个重要概念，传递函数通过输入输出信号之间的关系描述系统的动态特性，而状态空间方程则是通过描述系统的状态和状态变化来描述系统的行为。
在某些情况下，需要将传递函数表示为状态空间方程的形式，以便更方便地进行系统分析和控制设计。
要将传递函数转换为状态空间方程，首先需要确定系统的状态变量和输入输出变量。
状态变量是描述系统动态特性的内部变量，通常是系统的未知变量，可以通过测量输出信号来估计。
例如，机械系统的状态变量可以是位置、速度和加速度。
输入输出变量是系统的已知变量，输入变量是控制器向系统输入的信号，输出变量是从系统输出的信号。
例如，机械系统的输入变量可以是轴向力和扭矩，输出变量可以是位置传感器和速度传感器测量的信号。
假设传递函数为G(s)，表示输出y与输入u之间的关系。
则根据控制理论，传递函数可以表示为状态空间方程的形式。
首先，将传递函数G(s)表示为分子多项式和分母多项式的比值形式。
G(s) = Y(s) / U(s) = b0 + b1s + b2s^2 + ... / a0 + a1s + a2s^2+ ...然后，将传递函数拆分为几个单元，并确定每个单元的状态空间方程形式。
常见的单元包括一阶系统、二阶系统、零阶系统和常数项。
一阶系统的传递函数为：G(s) = K / (T*s + 1)其中K代表系统的增益，T代表系统的时常常数。
将其表示为状态空间方程为：ẋ = -1/T * x + 1/T * uy = K * x其中x为状态变量，y为输出变量，u为输入变量。
ẋ表示状态变量的一阶微分，即状态变量随时间的变化率。
二阶系统的传递函数为：G(s) = K / (T1 * T2 * s^2 + (T1 + T2) * s + 1)其中K代表系统的增益，T1和T2代表系统的两个时常常数。
将其表示为状态空间方程为：ẋ1 = -1/T1 * x1 - (1/(T1 * T2)) * x2 + 1/T1 * uẋ2 = x1y = K * [1 0] * [x1; x2]其中x1和x2为状态变量，y为输出变量，u为输入变量。
微分方程与状态空间表达式之间变换
Y 1 0 0 X
其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一 行元素与方程系数对应，而其余各元为零或为单位阵（A阵，对角线上 方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B 阵，最后一行元素为1，其他元素为0。）D=0无直联通道，
6 y 6u 例：D-E. y 6 y 11y S-E
1、传递函数中没有零点时的变换 传递函数为：
b G( s) n s a1 s n 1 a n 1 s a n
系统的微分方程为：
a n y bu y ( n ) a1 y ( n1) a n1 y
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
二.输入项中包含有导数项：
D-E y a1 y
n n 1
an y b0u b1u
n
n 1
bnu bn 1u
若按相变量法选状态, 则出现解的不唯一性
x1 y x y 2 x y n 1 n
0 1 x x 2 n x an
1
an 1
0 x1 0 x 2 u 0 1 xn 1 a1
能控标准形实现的模拟图
b G (s) n s a1s n 1 an 1s an bs n 1 a1s 1 an 1s1 n an s n
• 其状态变量图为
1 s 1 1 s 1 s 1 1 s 1 b u (s) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ y ( s)
0 即X 0 an 1 0 0 x1 x 0 2 u 1 0 xn a1 b
传递函数到状态空间方程
传递函数和状态空间方程引言传递函数和状态空间方程是控制系统工程中常用的数学模型和分析工具。
它们用于描述和分析动态系统的行为和性能，对于控制系统的设计和优化起着关键作用。
传递函数定义在控制系统中，传递函数是一个描述输入和输出之间关系的数学函数。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复数变量，表示系统的复频域特性。
传递函数描述了一个线性、时不变系统对输入信号的响应。
传递函数的一般形式如下：b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bnG(s) = ---------------------------------------s^m + a1*s^(m-1) + ... + am其中n和m分别是传递函数的分子和分母的最高次幂。
用途传递函数可用于描述系统的频率响应和稳定性特性。
传递函数可以反映系统对不同频率的输入信号的放大或衰减情况，帮助工程师了解系统的动态特性。
传递函数还可以用于控制系统的设计和分析。
通过对传递函数进行数学运算和变换，可以获得系统的稳定性、动态响应以及频域特性等关键性能指标。
工作方式传递函数的输入是一个复数变量s，代表系统的频域特性。
通过将s带入传递函数的表达式中，可以得到系统的输出。
传递函数的输出代表了系统对输入信号的响应。
通过对传递函数表达式进行分析和计算，可以获得系统的稳定性、频率响应和动态响应等关键性能指标。
状态空间方程定义在控制系统中，状态空间方程是一种用状态变量表示系统状态的数学模型。
状态空间方程描述了系统的状态和状态变化随时间的规律。
状态空间方程的一般形式如下：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，表示系统的状态变量；u是系统的输入向量，表示系统的输入信号；y是系统的输出向量，表示系统的输出信号；A、B、C和D是系统的系数矩阵。
用途状态空间方程可以用于描述和分析系统的动态行为和稳定性特性。
状态空间方程是一种直观、物理意义明确的模型，可以帮助工程师理解系统的内部状态和相互关系。
控制系统的状态空间表达式
0 1
1
s 5
s 5 1
1
6
s2 5s
s 6
0 1
s2
s 1 5s
6
状态空间表达式求传递函数矩阵
多输入-多输出系统 状态空间表达式为
进行拉普拉斯变换
x Ax Bu y Cx Du
sx(s) x(0) Ax(s) Bu(s)
sI - Ax(s) Bu(s) x(0)
如果 sI A 1 存在，则 x(s) sI A 1 Bu(s) sI A 1 x(0)
根据牛顿第二定律
F
F ky
f
dy dt
m
d2 dt
y
2
即：
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
状态空间表达式的建立
机械系统的系统方程为
x1 x2
状态空间表达式的建立
三种途径：
由系统方块图建立
首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直 接列写。
由系统物理或电气特性出发进行推理 由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
状态空间表达式的建立
由系统物理或电气特性出发进行推理
例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
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b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
0
0
0 1
0
a n
an1
a1
b
传递函数也可分解成下图所示的结构。
❖ 选状态变量为：
0 , B 0
1
C b1 b0 0 1 2 0
1.4.3 由传递函数部分分式法求状态空间表达式
本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态 空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。 下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以 讨论。
1.传递函数无重极点的情况：
G(s)
Y (s) U (s)
0
A
0
an
1 0 an1
0
1
a1
0
,
B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
式中
x1
z
1 b
y
x2
z
1 b
y
xn
z (n1)
1 b
y (n1)
对应的状态空间表达式为：
0 1 0
0
A
0
0
,
B , C b
0
0
1
0
a n
an1
a1
1
其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准 形实现。它的模拟电路图如下图所示：
能控标准形实现的模拟图
二、传递函数中有零点时的变换
注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将 T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。
即：
Y (s) G(s) d U (s)
y c1 L
x1
cn
M
du
xn
例：已知
G(s)
s2 s2
2s 1 5s 6
，求S-E。
解： 先化为真有理式
G(s)
3s 5 s2 5s 6
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：将传递函数整理成标准形式
G(s)
2s 1
b0s b1
s3 7s2 14s 8 s3 a1s2 a2s a3
按上式写出能控标准为：
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0
1
a3 a2 a1 8 14 7
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
nm
式中 bi (i 0,1, m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
C b2 a2b0 b1 a0b0 5 3 , D b0 1
若将传递函数化成严格真有理分式，则 3s 5
G(s) 1 s2 5s 6
按简化公式可得：
0 1 A 6 5
0 B 1
，
C b1 b2 5 3
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
§1.4 由传递函数求状态空间表达式
根据前面介绍的微分方程与状态空 间表达式之间的变换关系，若已知传递 函数，可首先把传递函数变成微分方程， 然后由微分方程与状态空间表达式的变 换关系。求出状态空间表达式。
1.4.1 与微分方程形式直接对应的变换法
一、传递函数中没有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
1
(s
3s 5 2)(s
Z(s)
1
U (s) s n a1s n1 an1s an
Y (s) Z (s)
b0 s n
b1s n1
bn1s bn
分解式第一部分是系统结构决定的。当选
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。 显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
传递函数为：
G(s)
b0 s n b1s n1 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y b0u (n) b1 u (n1) bn1u bnu
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
s 1
s 2
s n
c1x1(s) c2 x2 (s) L cn xn (s)
y c1x1 c2 x2 L cn xn
x&1 1
M
O
xn 0
0 x1 1
M
M u
n xn 1
y c1 L
x1
cn
M
xn
对角线标准形
各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：由公式写出能控标准形为：
0 1 0 1
0
A a2
a1
6
5
, B 1