第二章--控制系统状态空间表达式的解

第2章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 线性时变系统的解 2.5 离散时间系统状态方程的解 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
本章要求
要求理解及掌握内容： 正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。线性
2）状态转移矩阵满足状态方程本身：(t t0 ) A (t t0 ) 说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指
数函数本身。 说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断 作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。
x2
x(0) x(t1 )
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
3、形态 自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一
决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从 而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵 包含了自由运动形态的全部信息。
4、趋向平衡状态x=0属性 自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指
数函数最终趋向于0；（渐近稳定）
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
二、状态转移矩微分阵性的和基交换本性性质
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
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1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
x(t) e At x(0) , t 0
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
线性定常系统齐次状态方程为
x(t) Ax(t)
这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法
x ax
假设其解为一幂级数
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
将（3）式代入（2）式
由于系统没有输入向量，x(t)是由初始状态 x(t0 )激励的。因此，这
时的运动称为自由运动。x(t)的形态由 eA(tt0 ) 决定，即是由矩阵A
唯一决定的。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
已知：线性定常系统的齐次状态方程：x Ax
满足初始状态 x(t) |t0 的x(解0)是： 满足初始状态 x(t) |tt0 的x(解t0 )是：
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1
a(b0 b1t b2t 2 bkt k )
（1） （2） （3）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0
b2 bk
1 2
1 k
ab1
abk
1 2!
a
2b0
1 k!
a
k
b0
而 b0 x(0)
则解为 x(t) (1 at 1 a2t 2 1 akt k )x(0) eat x(0) （4）
2!
k!
因为
eat 1 at 1 a2t 2 1 akt k
2!
k!
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程
（1）的解为
x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bkt k
定常系统状态方程的求解方法 要求了解内容：
线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。 重点：
状态转移矩阵和状态方程的求解。
本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。
由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出 方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的 解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的 性能。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解： x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
2、齐次状态方程：
x Ax
满足初始状态 x(t ) |tt0 的x解(t0是) ： x(t) e A(tt0 ) x(t0 ) , t t0
满足初始状态 x(t) |t0 的x解(0是) ：
0
t1
x(t2 )
t
t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
自由运动也即零输入响应的属性：
1、几何表征 为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成
的一条轨迹；
2、运动属性 状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始
状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱 落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由 运动。）
如果 t0 0 则 x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x(t)
d dt
x(t)
A e A(tt0 )
x(t0 )
Ax(t)
和
x(t) t t0
e A(t0 t0 )
x(t0 )
x(t0 )
矩阵指数函数 e A(tt0 ) 又称为状态转移矩阵，记作 (t t0 )
（5）
将（5）式代入（1）式
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1
A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
A2b0
1 k!
Ak
b0
而 b0 x(0)
则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
x(t) (1 At 1 A2t 2 1 Akt k ) x(0)
记作
2!
k!
eAt 1 At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
则 x(t) eAt x(0)
（6） （7）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
x(t) e At x(0) x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
令：
e e
At (t) A(tt0 )
(t
t0
)
x(t) (t)x(0)
则有：
x(
t
)
(
t
t0
)
x(t0
)
线性定常系统的状态转移矩阵
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件： 1）状态转移矩阵初始条件： (t0 t0 ) I