2016中国西部数学邀请赛

2016中国西部数学邀请赛1.设实数a b cd 、、、满足0abcd >，证明：存在a b c d 、、、的一个排列x y z w 、、、，有()()222222()xz yw x y z w +>++.1．取,x z 为a b c d 、、、中最大的两个，y w 、为a b c d 、、、中最小的两个。

下面证明这样的排列满足要求。

事实上，由()()222222()()x yzw xz yw xw yz ++-+=-，只需证明：22()()xz yw xw yz +>-，即证：||||xz yw xw yz +>-.① 因为0xyzw >，所以，x z 、的符号相同，y w 、的符号相同。

注意到，当同时改变x z 、或y w 、的符号时，式①不变。

因此，可不妨设x y z w 、、、均大于0.此时，||max{,}||xz yw xz yw xz xw yz xw yz +=+>>>-2.如图1，设1O 与2O 交于点P Q 、，它们的一条外公切线分别与1O 、2O 切于点A B 、，过点A B 、的圆Γ分别与1O 、2O 交于点D C 、. 证明：CP DPCQ DQ= 2.如图3，联结,,,,,,AD PQ BC AP AQ BP BQ ,由蒙日定理，知AD QP BC 、、交于一点，设为K .由DP KPKPDC KAQ AQ KA∆∆⇒=∽,由AP KAKPA KDQ DQ KQ∆∆⇒=∽ 于是，AP DP KPAQ DQ KQ ⋅=⋅同理：BP CP KPBQ CQ KQ ⋅=⋅，从而AP DP BP CPAQ DQ BQ CQ⋅⋅=⋅⋅①延长PQ ，与AB 交于点M 由AQM PAM ∆∆∽2AQ AM QM AQ AM QM QM AP PM AM AP PM AM PM ⎛⎫⇒==⇒=⋅= ⎪⎝⎭同理：2BQ QMBP PM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而AQ BQ AP BP = ② 由式①，②得DP CPDQ CQ=3.给定正整数2n k k n ≤-、（）.设实数集{}12,,,n a a a 的任意k 元子集的元素和的绝对值不超过1，证明：若1||1a ≥，则对任意的(2)i i n ≤≤，有12i a a +≤3.不妨设11a ≥，此时要证结论成立，只要证明对任意的(2)j j n ≤≤， 有12j a a ≥-，且12j a a ≤-记[]{}12,,n n =，.先证12j a a ≥-，设2j n ≤≤，取[]n 的两个k 元子集I J 、，使得\{1},\{}I J J I j ==.由条件知11,1ss s Is Jaa ∈∈≤≥-∑∑.将这两个不等式作差得：1122j j a a a a -≤⇒≥-. 再证12j a a ≤-记{[]|0}i S i n a =∈>.则1S ∈，假设||S k ≥，取S 的一个k 元子集I ，使得1I ∈. 由条件知：{}1\1010ss I aa ∈<≤-≤∑矛盾，则||1S k ≤-.从而，[]\({})|2n Sj n k ≥-≥.这样，存在[]\{1,}i j n j ''≠∈，使得0,0i j a a ''≤≤.现选取[]n 的两个k 元子集I I '、，使得{}\{1,},\,I I j I I i j ''''==. 由条件知1,1ss s Is I aa '∈∈≤≥-∑∑.以上两个不等式相减得：12j i j a a a a ''--≤+ 故1122j i j a a a a a ''+≤-+-≤.4.定义n 元整数组的一次变换为()()121122311,,,,,,,,n n n n n a a a a a a a a a a a a --→++++.求所有的正整数对()()2n k n k ≥，、，满足对任意的n 元整数数组()12,,,n a a a ，在有限次变换后所得数组中每一个数均为k 的倍数（张新泽供题）4.()()(,)2,2,p qn k p q +=∈Z .先证明一个引理引理：记n 元整数数组()12,,,n a a a经过t 次变换后所得的数组为()()()()12,,,t t nt a a a，则()0(1,2,,)tt j ii j t j aa C i n +===∑.证明：用数学归纳法.当1t =时，结论显然成立.设()0(1,2,,)tt j ii j t j aa C i n +===∑.则(1)()()110C C ttt t t j j ii i i j ti j t j j aa aa a +++++===+=+∑∑()101111tt jj t j i ti j t ti iti j t j j a C a C C aC a C +-+++++===+++=∑∑引理得证.接下来证明,n k 均为2的幂。

注意到，每次变换后所得的n 个数之和为原n 个数之和的2倍. 令1231,0n a a a a =====，由题设，经过有限次（不妨设为m 次）变换后所得的每个数均为k的倍数，由前可知m 次变换后所得的n 个数之和为2m .故|2m k ，即k 为2的幂。

于是，m 次变换后所得的每个数均为2的倍数.进而，以后的每次变换后所得的数均为2的倍数. 取()2s m s +>∈Z .注意到，()412212121s s i i s C C i i--=≤≤-为偶数 ① 则经过2s次变换后，()211120(mod 2)ss a a a +≡+≡所以：1121s a a +==于是，即|2sn ，从而n 为2的幂 下面说明当：()()(,)2,2,p qn k p q +=∈Z 时，任意n 元整数数组()12,,,n a a a 均能经过有限次变换后使得到的每个数均为k 的倍数.事实上，结合引理与结论①，对数组()12,,,n a a a 经过2p n =次变换后，有()0(mod2)(1,2,,)n i i i n a a a i n +≡+≡=再将()()()12111,,,222n n n n a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭经过2pn =次变换得到的每个数也均为偶数， 即(2)0(mod4)(1,2,,)n ia i n ≡=.由归纳原理有：()()0mod 2(1,2,,)qn q ia i n ≡=，即每个数均为2q k =的倍数.综上，结论成立.5.证明：存在无穷多个正整数数组(),,a b c ，满足a b c 、、两两互素，且ab c bc a ca b +++、、两两互素.（张端阳供题）5.取正整数k 满足1k -不为5的倍数.下面证明正整数数组()21221k k k -+，，满足题中要求.事实上，显然21221k k k -+、、两两互素， 222(21)2(21)41,2(21)(21)441,(21)(21)2421k k k k k k k k k k k k k k -++=+++-=+-+-+=+- 而241k +为奇数，则()()()222241,44141,4241,21(2,21)1k k k k k k k k ++-=+-=+-=-= 又1k -不为的倍数，所以：()()()222241,42141,2241,1(5,1)1k k k k k k k k ++-=+-=+-=-=注意到：()()222441,421441,21k k k k k k k +-+-=+-= 从而(21,2,21)k k k -+确实满足题中要求.因此，满足题中要求的正整数数组有无穷多个.6.设12,,,n a a a 为n 个非负实数，记1(1)k k i i S a k n ==≤≤∑.证明：()2211nn n i i j i i i j i i a S a a S ===⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑①6.注意到：22111j nn n i i j j i i i j i j i a S a a a S ====⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑故要证不等式①，只要证明222111j nn j i i j j j i j a a S a S ===⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑.对1j n ≤≤，比较上式两端2j a的系数，要使得上式成立，只要21ji ij i a SS =≤∑ ②事实上：211jj i i i j j i i a S a S S ==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑∑，所以②成立，从而，不等式①成立.7.如图2，在圆内接四边形ABCD 中，BAC DAC ∠=∠，设1O 、2O ，分别为ABC ADC ∆∆、 的内切圆。

证明：1O 与2O 的某一条外公切线与BD 平行.7.如图4，设I 为ABD ∆的内心，联结BI .过I 作1O 的一条切线，切点为E ，与AB 交于点M . 由熟知的结论及圆外切四边形对边长度之和相等，知,CI CB CI MB CB MI MB MI MBI MIB =+=+⇒=⇒∠=∠注意到，I 为ABD ∆的内心.则//MBI DBI MIB DBI IE BD ∠=∠⇒∠=∠⇒. 类似地，过点I 作2O 的一条切线，切点为F ，有//IF BD .因此，E I F 、、三点共线，即1O 与2O 的一条外公切线EF 与BD 平行.8.给定整数()()21m n m n m n ≤<=、，，，求最小的整数k ，满足对集合()1,2,,n 的任意m 元子集I ，若i Ii k ∈>∑，则存在n 个实数12n a a a ≤≤≤，使得111ni i i I i a a m n ∈=>∑∑8.满足条件的最小整数为12mn m n k +-+=先证明：当12mn m n k +-+=时满足条件.对集合{}12,,n ，的满足i Ii k ∈>∑的m 元子集I ，设{}()1212,,,1m m I i i i i i i n =≤<<<≤.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.由(),1m n =，得：1111111(1)()(1)(1)22mm m i r r n n n r r m r n m m m m --===⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⋅+-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑∑11(1)1mmr r r n r k i m ==⎛⎫⎡⎤⇒-+=< ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑从而，存在1r m ≤≤，使得(1)1r n i r m⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦取1110,1r r i i i i n a a a a a -+=======，则11i i I m r a m m ∈-+=∑，111nr i i n i a n n=-+=∑ 由(1)1r n i r m⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦及r i 为整数得：(1)1r ni r m >-+，于是111ni i i I i a a m n ∈=>∑∑结论成立再证明：当12mn m n k +-+<时不满足条件取(1)1(1,2,,)r n i r r m m⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，则{}12,,,{1,2,,}m I i i i n =⊆，且与前面类似得112i mn m n i k ∈+-+=>∑对n 个实数12n a a a ≤≤≤，有()()111111111r r m r mi nm nm i i i i r r i m i r i i i i r a a a a i i a n i +---+=====⎛⎫=+≥-+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑1mij j n a m ==∑ 于是，111n i i i i Ia a n m =∈≥∑∑，结论不成立，综上，所求最小整数12mn m n k +-+=附本届邀请赛预选题1.证明：存在无穷多个正整数n ，使得12n n n ++、、均无平方因子.1.考虑集合()A n = {1,m m n m +≤≤∈Z ，存在奇素数p ，使得2|p m }， 则2222|()|11111111135711A n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2282448111925491113⎛⎫≥⨯⨯--- ⎪⎝⎭8244811111925491011131482448931925491041000⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥⨯⨯-----⋯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦>⨯⨯⨯>+其中，第二个不等式用到了伯努利不等式 所以：|()|1141000A n n <- ① 考虑所有1(mod 4)k ≡的正整数（,1,2k k k ++均不大能被4整除）下面用反证法证明：形如1(mod 4)k ≡的数中，存在无穷多个使得,1,2k k k ++均无平方因子。