第二章平面和连接面
《建筑制图与识图》经典教案第二章
《建筑制图与识图》经典教案第⼆章第⼆章平⾯⽴体⼀.教学⽬的了解空间形体的分类，掌握基本平⾯形体的投影特性及形体表⾯上求点的⽅法。
能够补绘由基本平⾯体演变的简单平⾯体组合体的第三⾯投影。
⼆.教学重点重点掌握基本形体的投影特性和形体表⾯上求点的⽅法。
三.教学难点根据形体的三⾯投影，正确建⽴形体的空间模型。
通过空间想象正确判断形体表⾯上点的投影的可见性。
四.布置作业习题集§2-1 2-2概述及平⾯体的投影在建筑⼯程中的建筑物及其构配件，如果从⼏何体型⾓度来分析，它们总可以看作由⼀些形状简单，形成也简单的⼏何体组合⽽成。
在制图中常把这些⼯程上经常使⽤的单⼀⼏何形体如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球和圆环等称为基本⼏何体，简称基本体。
基本体有平⾯体和曲⾯体。
由平⾯围成的基本⼏何体称为平⾯体。
⼯程中常见的平⾯体主要有棱柱、棱锥和棱锥台。
⼀、棱柱体棱柱由两个相互平⾏的底⾯和若⼲个侧棱⾯围成，相邻两侧棱⾯的交线称为侧棱线，简称棱线。
棱柱的棱线相互平⾏。
1.棱柱体的投影从三棱柱的投影图中可看到：其⽔平投影是⼀个三⾓形，它是三棱柱上、下底⾯的投影，三⾓形的三条边分别是左、右、后三个棱⾯的投影（有积聚性），三⾓形的三个顶点分别是三条棱线的⽔平投影；正⾯投影中两个并⽴的矩形是三棱柱左、右两个棱⾯的投影；正⾯投影的外形轮廓则是三棱柱后棱⾯的投影（反映实形）；正⾯投影中上、下两条⽔平线是三棱柱上、下底⾯的投影（有积聚性）；侧⾯投影只是⼀个矩形，左、右⼆棱⾯在此重影，上、下两条⽔平线仍是上、下底⾯有积聚性的投影，矩形的两条竖边中靠⾥⾯的⼀条还是三棱柱后棱⾯的投影（有积聚性）。
2.棱柱体表⾯上求点棱柱体表⾯上求点可以利⽤柱体表⾯的积聚投影来求得。
例1 已知三棱柱的三⾯投影及其表⾯上的点M和N的正⾯投影m'和n'，求作它们的另两个投影。
分析：根据已知条件，M点必在三棱柱前右侧的棱⾯上（因m'可见），⽽N 点必在三棱柱的后棱⾯上（因n'不可见）。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
房屋建筑学第二章 建筑平面设计
第三十二页，共90页。
第二章 建筑平面设计
2.3 辅助使用房间设计
4. 厕所的平面位置
设计要求：位置隐蔽、使用方便、隔绝气味
布置方式：水平集中、上下对齐
公共建筑---前室
住宅建筑---通风设备
第三十三页，共90页。
第二章 建筑平面设计
2.3.章 建筑平面设计
2.3.2 厨房设计---专用厨房
1.厨房设备---洗涤池、案台、灶台及排烟装置等
2.设计要求 足够的面积，保证必要的操作空间、储藏空间； 墙面、地面考虑防水，便于清洁； 使用方便，应有直接采光和自然通风
3.布置方式---- 单排、双排、L形、U形
第三十五页，共90页。
第二章 建筑平面设计
第十二页，共90页。
第二章 建筑平面设计
2.2.3 房间的形状
第十三页，共90页。
第二章 建筑平面设计
2.2.3 房间的形状：特殊功能的房间
第十四页，共90页。
第二章 建筑平面设计
2.2.3 房间的形状
房间形状的确定，不仅仅取决于功能、结构和施工条件，也要考 虑房间的空间艺术效果，使其形状有一定的变化，形成强烈的对比，丰 富建筑造型。
2.2.3 房间的尺寸
2.房间尺寸的确定
1）房间的使用要求---家具设备的布 置要求、良好的视听效果
2）采光通风等室内环境的要求
3）精神和审美要求 1：1~1：2 4）技术经济方面的要求--结构布置 和施工方便、符合模数
第十八页，共90页。
50座中学教室
第二章 建筑平面设计
2.2.3 房间的尺寸：家具的布置及人们活动要求
交通联系部分：水平交通空间
垂直交通空间
高速铁路运输设备第二章 第二节 线路的平面与纵断面
从铁路运营角度考虑，铁路线路最好是既平又直，这样可提高列车运行速度，增大牵引重量，节省运营费 用，提高运输能力。但由于地形、地物和地质条件等的限制，如将线路设计成既平又直，势必会增大土石方 工程量，从而大大提高造价。所以，铁路线路的平面与纵断面必须结合线路的具体情况，并按线路等级和 《铁路线路设计规范》所规定的技术标准进行设计。 一、线路平面 （一）线路平面组成 线路平面的组成包括直线与曲线，其曲线又由圆曲线和缓和曲线所组成。 在线路平面设计时，为缩短线路长度并改善运营条件，应尽可能地设计为直线。但当线路遇到地形、地质 与地物等障碍时，为躲避障碍并减少工程量或进行展线降坡以及实现线路控制点的连接等，都需要通过设置 线路曲线来实现。如图2-2-2所示。
图2-2-2
线路平面示意
1．圆曲线 铁路线路在转向处所设的曲线应为圆曲线（如图2-2-3所示），其基本要素有：曲线半径（R）、曲线转 角（α）、曲线长度（L）、切线长度（T）。
图2-2-3
圆曲线要素图
曲线半径（R）是铁路线路平面设计非常重要的技术标准，影响它大小的主要因素有列车运行速度、地形 地质条件、机车类型等。其中列车运行速度是决定线路最小曲线半径（R）的主要依据。
式中 H——段坡道两端点的高差（m）； L——段坡道两端点的水平距离（m）； i ——坡度值。
铁路线路根据地形的变化，可分为上坡、下坡和平道。上、下坡是按列车运行方向来区分的，通常用 “﹢”号表示上坡，用“﹣”号表示下坡，平道用“0”表示。例如，+6‰是表示线路每1000m的水平距离 升高6m；-6‰则表示线路每1000m的水平距高降低6m。 2．竖曲线 （1）变坡点与最小坡道段 线路纵断面上坡度的变化点叫做变坡点；相邻变坡点间的距离叫做坡段长度。从运营角度来看，纵断面 坡段一般应尽量长些，以有利于行车平稳，但也应考虑地形条件及工程量的大小。一般情况下，纵断面坡 段长度不短于远期列车长度的1/3，使一个列车长度范围内不超过两个变坡点，以减少变坡点附加力的叠加 而引起列车运行的不平稳。所以《铁路线路设计规范》规定了铁路线路的最短坡道段，见表2-2-3。 表2-2-3 最小坡道段长度
工程制图04第二章 平面
侧垂面的迹线表示法
V S Sw W X
Z β
O
Sw α
Y
Y
1．水平面 ．
a′ b" a" C b a c c a c" b b' c′ b" a" c"
a' A
b' c' B
投影特性： 投影特性：
(1) 正面投影和侧面投影积聚为直线； 正面投影和侧面投影积聚为直线； (2) 水平投影反映∆ ABC实形。 水平投影反映∆ 实形。 实形
二、一般位置平面
1．铅垂面 ．
b' P B A a b C PH c a a' c' a" c" b"
β
b
γ
c
投影特性： 投影特性：
(1) 水平投影积聚为直线，且反映β、γ角的真实大小 ； 水平投影积聚为直线， (2) 另外两投影具有类似性。 另外两投影具有类似性 类似性。
铅垂面迹线表示法
P
β
PH PH
投影特性： 投影特性：
(1) 正面投影和水平投影积聚为直线； 正面投影和水平投影积聚为直线； (2) 侧面投影反映∆ ABC实形。 侧面投影反映∆ 实形。 实形
二、一般位置平面
b' a' B b" a' c' A C c" b c a a c a" b c" b' b" a"
投影特性： 投影特性：
[例题 例题1] 例题
已知点D 两点在∆ 已知点 、E两点在∆ ABC上，试求其另一投影。 两点在 上 试求其另一投影。
[例题 试判断点 是否属于∆ ABC平面。 例题2] 试判断点D是否属于 是否属于∆ 平面。 例题 平面
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
工程制图第二章平面
02 平面图形的尺寸标注
尺寸标注的基本规则
尺寸线应与所标注的线段平行
尺寸线应与所标注的线段保持平行，避免交 叉或斜线标注。
尺寸数字应清晰、准确
尺寸数字应书写清晰、准确，字体大小适中， 方便阅读。
尺寸界线应清晰、准确
尺寸界线应清晰、准确，与所标注的线段保 持一定距离，避免模糊不清或过短。
平面图形的尺寸分析
01
中心投影变换
通过一个共同的投影中心将平面 图形从一个投影转换为另一个投 影。
02
平行投影变换
03
透视投影变换
将平面图形从一个投影面平行移 动到另一个投影面，并进行相应 的缩放和旋转。
通过透视变换将平面图形从一个 投影转换为三维空间中的立体图 形，再将其转换回另一个投影。
投影变换的应用实例
机械制图
平面图形的尺寸分析
确定平面图形的尺寸
根据已知的尺寸和比例关系，确定平面图形的实际尺寸。
பைடு நூலகம்
尺寸标注
在平面图形上标注必要的尺寸，以便于后续的加工和制造。
平面图形的绘制方法
几何作图法
利用几何原理和规则，通过一系列的 作图步骤绘制平面图形。
坐标法
通过建立平面坐标系，利用坐标值确 定点的位置，进而绘制出平面图形。
在机械制图中，常常需要对装配图进行投影变换，以便更好地理解 和分析机械部件的结构和装配关系。
建筑制图
在建筑制图中，为了更好地表现建筑的外观和内部结构，常常需要 进行投影变换，以便更准确地表达建筑物的三维特征。
电子工程制图
在电子工程制图中，为了更好地表示电路板上的元件和线路，需要进 行投影变换，以便更准确地表达电路板的实际结构和连接关系。
投影变换的基本概念
平面连杆机构ppt
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以摇杆3为原动件，曲柄1为从动件，当摇杆摆到极限位置C1 D和C2D 时，连杆2与曲柄1共线。若不计各杆的质量，则这时连杆加给曲柄的 力将通过铰链中心A。此力对A点不产生力矩，因此不能使曲柄转动。 机构的这种位置称为死点位置。为了消除死点的不良影响，通常是对 从动曲柄施加外力或利用飞轮及自身的惯性作用，使构件通过死点位 置。死点对传动不利，但可以用于夹紧装置的防松。
运动不确定的点； 压力角：作用于从动件上的力的方向与该点运
动方向之夹角，用表示。 传动角：压力角之余角，用表示。
急回运动
•急回运动特性可用行程速度变
化系数（或称行程速比系数） K表示，式中为摇杆处于两极 限伎置时，对应的曲柄所夹的 锐角．称为极位夹角。
•极位夹角可以从行程速比系数
推出
死点位置
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铣工工艺第二章平面和连接面的铣削
一、平面的铣削方法
1．周铣平面
用圆柱形铣刀铣平面
2. 端铣平面
在立式铣床上用面铣刀铣平面
在卧式铣床上用面铣刀铣平面
端铣时铣床主轴轴线与进给方 向垂直
端铣时铣床主轴轴线与进线方 向不垂直
3. 铣床主轴轴线与工作台进给方向垂直
度的校正
（1） 立式铣床主轴轴线与工作台纵向进给方
向垂直度（立铣头“零位”） 的校正 立式铣床的立铣头有固定式和回转式两种。前 者是不能调整的， 现仅介绍回转式立铣头的校正 方法。
（8） 铣削时因条件限制所用圆柱形铣刀的宽度或
面铣刀的直径小于工件被加工面的宽度而接刀， 产生
接刀痕。
2. 影响表面粗糙度的因素
（1） 铣刀磨损， 刀具刃口变钝。
（2） 铣削时， 进给量太大。
（3） 铣削时， 工件切削层深度（周铣时的铣削
宽度ae或端铣时的铣削深度ap ）太大。 （4） 铣刀的几何参数选择不当。
工件基准面与工作台台面平行用端面刃铣削斜面 （立铣头扳转角度α ＝ β）
工件基准面与工作台台面垂直用圆周刃铣削斜面 （立铣头扳转角度α ＝ β）
工件基准面与工作台台面垂直用端面刃铣削斜面 （立铣头扳转角度α ＝90°-β）
3.用角度铣刀铣斜面
用角度铣刀铣斜面 ａ） 铣单斜面 ｂ） 铣双斜面
三、斜面的铣削质量分析
平面检测
§ 2-3
斜面的铣削
一、斜面及其在图样上的表示方法
1. 用倾斜角度β 的度数（°） 表示
斜度的表示方法
2. 用斜度S 的比值表示
两种表示方法的相互关系为：
S ＝ tanβ
式中 S——斜度， 用符号或和比值表示； β——斜面与基准面之间的夹角， （°）。
第二章平面和球面
(a)插入光楔前
(b)插入光楔后
图 2-13 光楔在光路中的作用
13
第二章 平面和球面
光楔的用途 2：转动光楔，可以微调光线角度或图像倾角，如图 2-14 所示。 偏向角的变化量 Δδ 与入射角的变化量 Δθ1 之间的关系为
Δδ =
∂δ Δθ 1 ∂θ 1
(2-15)
利用式(2-13)求偏向角 δ 关于入射角 θ1 的偏导数，并代入式(2-15)
14
第二章 平面和球面
(a)光楔对齐，光束会聚在屏上
(b)光楔反向平移，光束会聚在屏左侧
图 2-15 双光楔轴向微调图像原理图
例 光楔顶角 α = 1° ， n=1.5 ，光楔移动 0.1mm 后，等效平行平板玻璃的厚度变化了 0.0035mm，图像向左移动 0.0012mm。 光楔的用途 4：将双光楔分离，可以垂轴微调图像 光路中有两块相同的光楔，光线垂直光楔入射，从第一块光楔出射的光线发生偏转。如 果两块光楔非常接近，如图 2-16(a)所示，间隙可以忽略，则光线经过第二块光楔反向偏转 相同的角度， 可以认为光线通过的是一块等效的平行平板玻璃， 光线的传播方向和高度都没 有发生变化；如果将两块光楔之间的距离拉大，如图 2-16(b)，在光楔之间光线偏转，但是 经过第二块光楔是折射后，出射光线的方向与入射光线的方向相同，而高度却发生的变化。
图 2-2 平面镜对虚发光点的成像
图 2-3 平面反光镜成像原理
物体经过平面镜成像，成镜像（右手坐标系变成左手坐标系） ，如图 2-3 所示。 2.反射棱镜 反射棱镜有很多种，物被棱镜奇数次反射，成镜像；物被棱镜偶数次反射，成正像或倒 像。 直角棱镜是一种最简 单的反射棱镜，经过一次 全反射，光线方向变化 90 °，如图 2-4 所示；经过 两次全反射，光线方向变 化 180°。与平面反光镜 相比，这种反射镜具有光 能量损失小，容易安装定 位的优点。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
![[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理](https://img.taocdn.com/s3/m/bd436cdecaaedd3382c4d387.png)
第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
机械设计基础第二章平面连杆机构
(4)AC1=L2－L1, AC2=L2+L1→ L1=1/2(AC2－AC1)
→无数解
以L1为半径作圆,交B1,B2点 →曲柄两位置
M
N
在圆上任选一点A
C1M与C2N交于P点
作∠C1C2N=90－θ,
P
2.导杆机构: P.33
→取决于机构各杆的相对长度
A
D
B
B’
B”
C
C’
C”
三式相加 → ┌ l1≤l2 │ l1≤l3 └ l1≤l4
当杆1处于AB ”位置→ △AC ”D
→ l1＋l2≤l3＋l4 (2-3)
→┌(l2－l1) ＋l3 ≥l4 →┌l1＋l4≤l2＋l3 (2-1) └(l2－l1) ＋l4 ≥l3 └l1＋l3≤l2＋l4 (2-2)
图2-4
曲柄摇杆机构
φ1
φ2
ψ
(2-4)
（二）压力角和传动角 P.30
1.压力角α－
2.传动角γ
：BC是二力杆,驱动 力F 沿BC方向
作用在从动件上的驱动力F与该力作用点绝对速度VC之间所夹的锐角。
工作行程: 空回行程:
B2→B1 (φ 2) →摇杆C2→C1 (ψ) ∵ φ 1＞ φ 2 , 而ψ不变
B1→B2 (φ1) → 摇杆C1→C2 (ψ)
→ 工作行程时间＞空回行程时间
曲柄(主)匀速转动(顺) 摇杆(从)变速往复摆动
图2-4
曲柄摇杆机构
φ1
φ2
ψ
极位:
缺点:
2.应用:
优点
1.手动冲床： ← 两个四杆机构组成 （双摇杆～+摇杆滑 块机构）
2.筛料机构： 六杆机构←两个四杆 机构组成（双曲柄～ +曲柄滑块～）
2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面课时作业解析版新人教A版必修2
2.1.1 平面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α解析:直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b⊂β(C)A⊂b,b⊂β(D)A⊂b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1(C)1或4 (D)无法确定解析:四点可以确定平面的个数为1个;四点不共面,可以确定平面的个数是4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个.5.如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )(A)点A(B)点B(C)点C但不过点D(D)点C和点D解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,所以γ与β的交线必过点C和D.6.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )解析:在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.7.以下三个命题:①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③依次首尾相接的四条线段一定共面,其中正确命题的个数是( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①正确;对于②,当A,B,C三点共线,如图(1)所示,A,B,C,D,E不一定共面,故②不正确;对于③,如图(2)所示的AB,BC,CD,DA依次首尾相连,但四条线段不共面,故③不正确.8.(2017·金华九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )(A)8 (B)10(C)12 (D)14解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.9.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β;(3)a⊄α,a∩α=A ;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B10.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:011.已知α,β为不重合的平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理中错误的是(填序号).①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;③A∈α,A∈β⇒α∩β=A.解析:由公理1知①正确;②中,易知M,N为平面α与β交线上的点,故②正确;易知③错误. 答案:③12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析:①O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,即A,C,O,D四点共面;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案:①③④13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F为所在棱的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.证明:如图,在BB1上取中点M,则BM=AE,连接EM,C1M,因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以ME∥AB且ME=AB,所以ME∥C1D1且ME=C1D1,所以四边形C1D1EM是平行四边形,所以D1E∥C1M.同理可得C1M∥FB且C1M=FB,所以D1E∥FB且D1E=FB,所以四边形EBFD1是平行四边形.所以D1,E,F,B四点共面.14.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.证明:因为E,H分别是AB,AD中点,所以EHBD,因为==,所以GF∥BD,GF=BD,所以EH∥GF且EH≠GF,所以四边形EFGH为梯形,所以两腰EF,GH交于一点,记为P.因为EF⊂平面ABC,所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,所以三条直线EF,GH,AC交于一点.15.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,判断过A,Q,B1三点的截面图形的形状. 解:由于点Q是线段DD1上的动点,故当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图1所示.当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图2所示.当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为梯形AQRB1,如图3所示.图1 图2 图316.下列各图是正方体,A,B,C,D分别是所在棱的中点,这四个点中共面的图有( C )(A)①②③(B)①③④(C)①③ (D)①②④解析:如图所示,正方体中A,B,C,D分别是所在棱的中点.图①中,因为AD∥EF,BC∥EF,所以AD∥BC,所以A,B,C,D四点共面.图②中,因为CD∥EF,EF∥MN,所以A,B,C,D四点不共面.图③中,因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB,所以A,B,C,D四点共面.图④中,因为CD∥EF,所以A,B,C,D四点不共面.所以这四个点中共面的图有①③.故选C.17.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH交于点M,则( A )(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在AC上,也可能在BD上(D)M既不在AC上,也不在BD上解析:如图所示,HG∩EF=M,HG⊂平面ACD,EF⊂平面ACB,所以M∈平面ACD,M∈平面ACB.又平面ACD∩平面ACB=AC,所以M∈AC.故选A.18.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是.①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.答案:④19.如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S.当CQ=时,S的面积为,若S为五边形,则此时CQ的取值范围为.解析:如图1所示,当CQ=时,截面S为等腰梯形,易求得上、下底边长分别为, ,腰为,所以底边上的高为,所以S的面积为.当CQ=时,可知截面是等腰梯形,当CQ=1时,易得截面是一个菱形.所以,只有<CQ<1时,截面是一个五边形,如图2所示.答案: (,1)20.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD,平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.解:(1)如图,连接MP并延长交AB的延长线于R,连接NR交BC于点Q,则NQ就是过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线,连接PQ,则过M,N,P三点的平面与平面BB1C1C的交线是PQ.(2)易知Rt△MPB1≌Rt△RPB,所以MB1=RB=1.因为BQ∥AN,所以△BQR∽△ANR,所以==,可得BQ=.在Rt△PBQ中,PQ===.。
平面构成—第2章 平面构成的三个基本要素
1
二、点与线
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三、点与面
线是点移动的轨迹，很多点的聚集又形成了面 的感觉。通过点的面化，点的不同形态的变化， 可以表现出面的转化，表现出阴影、空间立体 感等，如图2-12所示。
15
一、线的形态
1．线的分类
1) 直线(几何线形) 2) 自由线形(曲线)
第二节 线
16
一、线的形态
2．不同的线所呈现的不同效果
23
二、面与空间
在二维空间中，面的存在可使空间有纵深的三维感。斜面、具 有特殊透视效果的面和具有深浅变化的面，使空间的体积存在 感更强烈；而具有明暗效果的面和具有体积感的透视面的存在 给平面空间的视觉感受增加了一份体感和空间重量感。 在二维空间中，面的实与虚也会制造出不同的视觉表现效果， 体现三维空间的效果，以面的力量影响整个设计造型活动。实 而重的面具有更强的存在感；虚而轻的面常用于进行虚实对比 手法以衬托主题的一种表现方式。在平面设计构成中，可以通 过对某一面的虚化、柔化等来减轻面的存在感，从而使整个画 面和谐，富有美感，如图2-26所示。
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二、几何图形
在艺术设计中，几何图形是 指从普通图形及实在物体元 素中抽象概括出的各种图形， 主要运用点、线、面以及通 常所说的正方形、圆形、三 角形、多边形等几何图形来 表现各种具有审美视觉效果 的形象。
我国古代时期传统的造型艺 术中，几何图形同样也出现 在常用的织物、房屋建筑及 器物上，如图2-28所示。
铣削平面及连接面
不可以。因为没有消除丝杠与丝母的配合间隙。 当刻度值摇过后，应反摇一圈消除丝杠与丝母间隙后再重新摇到预定刻度。 3．什么叫端面铣削？什么叫周边铣削？ 用分布于铣刀端平面上的刀齿进行铣削的称为端铣。 用分布于铣刀圆柱面上的刀齿铣削工件表面，称为周铣。 4．什么叫顺铣？什么叫逆铣？ 铣削时，铣刀切入工件时的切削速度方向与工件进给方向相反，称为逆铣。 铣削时，铣刀切出工件时的切削速度方向与工件进给方向相同，称为顺铣。 5．简述顺铣和逆铣的优缺点。
3．预检工件，精铣各面 （1）预检工件 （2）精铣各面
4．去毛刺，检验铣削质量 （1）卸下工件，用锉刀清除毛边 （2）按图中要求检验工件质量。
§ 2.3 铣削长方体
2.3.1 相关工艺知识
1．定位基准选择 （1）基准的分类 （2）定位基准的选择原则
① 粗基准的选择 ② 精基准的选择 2．铣削长方体平面顺序
§ 2.4 铣削斜面
3．用角度铣刀铣斜面
（a）铣单斜面
（b）铣双斜面
§ 2.4 铣削斜面
2.4.2 实训项目1——倾斜装夹工件铣斜面
1．分析图样 2．倾斜装夹工件铣斜面的工艺准备 3．斜面工件铣削加工 4．质量分析及注意事项
§ 2.4 铣削斜面
2.4.3 实训项目2——转动立铣头铣斜面
1．转动立铣头铣斜面工艺准备 （l）分析图样 （2）制定加工工艺与工艺准备 2．斜面铣削加工 （1）加工准备 （2）斜面工件铣削加工 3．质量分析及注意事项
长方体铣削顺序
§ 2.3 铣削长方体
2.3.2 实训项目——铣削长方体
铣工工艺学第二章
垂直 ? 粗铣和半精铣时，固定钳口应处于承受
切削力的方向上
固定钳口的校正
? 用划针校正固定钳 口
? 将划针夹持在铣刀杆垫 圈间。调整工作台位置， 使划针靠近固定钳口铁 平面，纵向移动工作台， 观察并调整钳口平面与 划针针尖的距离大小均 匀，并在钳口全长范围 内一致
周铣时顺铣和逆铣的特点
优点
缺点
1.铣刀作用在垂直方向的分力 FN始终向下，1. 会拉动工作台，使工作台发
对工件起压紧的作用。因此铣削平稳，对 生间歇性窜动，导致铣刀刀齿
不易夹紧的工件及细长的薄板形工件的铣 折断、刀杆弯曲、工件与夹具
顺 削尤为合适。
产生位移，甚至严重的事故。
铣 2.铣刀刃切入工件时的切屑厚度最大，并 逐渐减小到为零。刀刃切入容易，故工件 的被加工表面质量较高。
立铣——主轴“零位”的校正
? 用直角尺校正
视频
主轴零位校正
立铣——主轴“零位”的校正
? 用百分表校正
卧铣——工作台“零位”的校 正
? 用回转盘刻度校正 ? 用百分表校正
周铣与端铣的比较
——由于端铣的优点远多于周铣，故生产中多用端铣加工平面
端铣
圆周铣
1.铣刀的刀杆短，刚性好，且参与切 1.能一次切除较大的铣
平面的铣削方法——圆周铣
? 圆周铣（简 称周铣） 用分布在铣 刀圆柱面上 的刀刃来铣 削并形成平 面的铣削方
式。
周铣特点
? 周铣时，平 面度主要取 决铣刀的圆 柱度误差； 表面粗糙度 主要取决于 切削每齿进 给量。
平面的铣削方法——端铣
? 用分布在铣刀端面上的齿刃铣削并 形成平面的铣削方法，称为端铣。
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学
2.点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
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符号语言表达
A∈l .
A∉l
.
A∈α .
点 A 在平面α外 直线 l 在平面α内
直线 l 在平面α外
平面α,β相交于 l
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解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线(zhíxiàn)l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
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题型二 点线共面
【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平 行直线呢? 提示(tíshì):由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.
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②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳(guīnà)出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
学
知识(zhī shi)探
究
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的
高中数学必修2《第2章：点线面的位置关系(2.1空间点、直线、平面之间的位置关系)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级高一授课时间课时 3 授课老师教学目标重点难点第二章：点线面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面平面[导入新知]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[化解疑难]从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l ⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l 1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．[活学活用]2．下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A．①②B．②③C．②④D．③④共线问题[例3]已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．[类题通法]点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．2.证明三线共点问题[典例]如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[解题流程]欲证EF、GH、BD交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3可得GE∥FH且GE≠FH，即EFHG是梯形，由此得到GH与EF交于一点．证明E 、F 、H 、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和EF 交于一点O ―→证O ∈平面ABD ―→O ∈平面BCD ―→平面ABD ∩平面BCD ＝BD ―→O ∈BD ―→得出结论.[规范解答]因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点，所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，所以FH ∥AC ，从而FH ∥GE .∴GE ≠FH .(4分)故E ，F ，H ，G 四点共面．又因为GE ＝12AC ，FH ＝25AC ，所以四边形EFHG 是一个梯形，设GH 和EF交于一点O .(6分)因为O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，所以O 在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，(9分)且交线只有这一条，所以点O 在直线BD 上．(10分)这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上，所以EF ，GH ，BD 交于一点．(12分)[名师批注]如何证明四点共面？,根据公理2的推论可知，本题可利用HF ∥GE 即可确定E ，F ，H ，G 四点共面.为什么GH 和EF 交于一点？,因为E ，F ，H ，G 四点共面，且GE 綊12AC ，HF 綊25AC ，所以GE ∥HF 且GE ≠HF ，即EFHG 为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过GH 和EF 的两个平面的交线.[活学活用]如图所示，在空间四边形各边AD ，AB ，BC ，CD 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，求证：点P 在直线BD 上．[随堂即时演练]1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对3．下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；③四边形确定一个平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是________．4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 5．将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内，有且只有一个公共点平行 同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a 、b 两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB 与B 1C 1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线，无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线，异面直线.②若从是否共面的角度看，也可分两类：直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，不共面直线：异面直线.平行公理及等角定理[导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． (2)符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________.[解析] 直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”；直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面．所以②④应该填“异面”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．(2012·台州高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A．6B．4C．5 D．82．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是________．平行公理及等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用]3．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .两异面直线所成的角[例3] 如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E 、F 分别是BD 1和AD 中点，求异面直线CD 1，EF 所成的角的大小．[解] 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ，∵E 是BD 1的中点，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴DF ∥BC ，DF＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形， ∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角．又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. [类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是(0°，90°]． [活学活用]4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，求异面直线A 1C 1与B 1C 所成角的大小．2.探究空间中四边形的形状问题[典例] 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． [证明] 连接BD .因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG . 又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ， 因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形． 2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ， 所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形， 所以EFGH 为菱形． 3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由探究1与2可知， EFGH 为正方形． 4．梯形的判断若本例中，E 、H 分别是AB 、AD 中点，F 、G 分别是BC ，CD 上的点，且CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝1∶2，那么四边形EFGH 是什么形状？证明：由题意可知EH 是△ABD 的中位线，则EH ∥BD 且EH ＝12BD .又CF FB ＝CG GD ＝12， ∴FG ∥BD ， FG BD ＝FC BC ＝13， ∴FG ＝13BD ，∴FG ∥EH 且FG ≠EH ， ∴四边形EFGH 是梯形． [方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．[随堂即时演练]1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．相交或异面2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是________．4．正方体AC1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．5.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．2．1.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示[化解疑难]1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点(在一条直线上)[化解疑难]1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．直线与平面的位置关系[例1]下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[活学活用]2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．3．如图所示，平面ABC 与三棱柱ABC －A 1B 1C 1的其他面之间有什么位置关系？3.有关截面图形的形状问题[典例] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，判断过A ，Q ，B 1三点的截面图形的形状．[解题流程]欲判断过A ，Q ，B 1三点的截面图形的形状，需分析Q 点的位置.点Q 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上的动点，首先讨论Q 位置.⎭⎪⎬⎪⎫点Q 与D 1重合点Q 与D 重合点Q 不与D ，D 1重合―→分别判断―→得出结论.[规范解答]由点Q 在线段DD 1上移动，当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图甲．(4分)甲 [名师批注]因为Q是棱DD1上的动点，所以当Q与D1重合时，D1B1，AB1，AD1均为正方形的对角线，即D1B1＝AB1＝AD1，所以，△AB1D1为正三角形.当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙．(8分)乙[名师批注]点Q在DD1上，两个端点是特殊位置，所以Q与D重合时，由DC1∥AB1知，截面是矩形AB1C1D.当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)丙[名师批注]当Q在DD1两点之间时，延长AQ交A1D1延长线于O点，连接B1O交C1D1于R点，则AB1RQ为截面图形.[活学活用]如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.[随堂即时演练]1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．4．(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．。
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影响表面粗糙度的因素
刀具磨损、变钝 进给量过大 工件切削层深度过大 铣刀几何参数选择不当 没加切削液或切削液选择不当 铣削时有振动、积屑瘤、粘刀、
拖刀及深啃等现象发生
平面的检测
视频
平面的检测
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§2-2垂直面和平行面的铣削
教学目的
➢ 了解垂直面、平行面的要领和铣削技术要求 ➢ 掌握垂直面、平行面的铣削方法 ➢ 掌握长方体工件的加工顺序 ▪ 重点难点 位置精度的保证，其关键在于基准的正确选择和
❖ 夹紧时活钳口上翘
带锥度
长方体工件的加工顺序
长方体工件的加工顺序
铣基准面1 将毛坯装夹在平口钳上铣成基准面面1， 作好标记。上一张幻灯片
铣面2 以面1为精基准装夹工件铣削面2。 铣面3 以面1为精基准装夹工件铣削面3。 铣面4 将面1紧靠平行垫铁装夹，铣削面4。 铣面5 用90°角尺校正面2（或面3）与钳体导轨
第二章 平面和连接面的铣削
§2-1平面的铣削 §2-2垂直面和平行面的铣削 §2-3斜面的铣削
§2-1平面的铣削
教学目的
➢ 了解平面的技术要求 ➢ 掌握平面的铣削方法及特点 ➢ 掌握铣削平面时工件的装夹方法 ➢ 了解平面铣削的加工步骤和影响平面质量的因素
▪ 重点难点
➢ 重点 是本节所涉专业性术语、基本概念和校正、 调整的方法
“拖刀”现象
铣削时，若主轴与进给方向不 垂直，且进给方向从端铣刀刀 尖高的一侧移向刀尖低的一侧， 就会造成铣刀随切削力大小的 变化发生轴向窜动，而造成表 面粗糙度增大，这一现象称为 “拖刀”
铣床主轴轴线与工作台 进给方向垂直度的校正
▪立铣——主轴“零位”的校正 ➢用直角尺校正 ➢用百分表校正 ▪卧铣——工作台“零位”的校正 ➢用百分表校正
➢ 以钳体导轨平面作为定位基准时，将工件的基 准面靠向钳体导轨面。在工件与导轨面之间有 时要加垫平行垫铁。
用平口钳装夹工件的注意事项
安装工件时，应将各接合面擦净。 工件的装夹高度，以铣削时铣刀不接触钳
口上平面为宜。 工件的装夹位置，应尽量使平口钳钳口受
力均匀。必要时，可以加垫块进行平衡。 用平行垫铁装夹工件时，所选垫铁的平面
用周铣铣削垂直面和平行面
垂直面 的铣削
➢ 在卧式 铣床上用 平口钳装 夹铣削垂 直 面 —— 铣好的基 准面紧贴 固定钳口
影响垂直度的因素
基准与固定钳口贴合 不紧——有杂物
对面不平行而未加圆 棒装夹
铣刀圆柱度误差过大
夹紧力过大，造成固 定钳口外翘
基准面平面度误差过大 固定钳口本身与工作台
圆周铣时的顺铣和逆铣
圆周铣时的顺铣和逆铣 对工作台的影响
由于铣床工作台是通过丝杠螺母副来实现传动 的，要使丝杠在螺母中能轻快地旋转，在它们 之间一定要有适当的间隙。根据对传动结构的 分析可知：当铣削力的方向与工作台移动的方 向相反时，工作台不会被推动，而铣削力的方 向与工作台移动的方向一致时，则工作台就会 被拉动（或推动）
产生位移，甚至严重的事故。
铣 2.铣刀刃切入工件时的切屑厚度最大，并 2.铣刀刀刃从工件外表面切入 逐渐减小到为零。刀刃切入容易，故工件 工件，当工件表面有硬皮或杂
的被加工表面质量较高。
质时，容易折损铣刀。
3. 进给运动方面消耗的功率小较小
1.在铣刀中心进入工件端面后，铣刀刃沿 1.铣刀在垂直方向的分力FN始终
用平口钳装夹工件
毛件的装夹
➢ 选择毛坯件上一个大而 平整的毛坯面作粗基准， 将其靠在固定钳口面上。 最好在钳口与工件之间 垫上铜皮，以防损伤钳 口。用划线盘校正毛坯 上平面位置，符合要求 后夹紧工件。校正时， 工件不宜夹得太紧
用平口钳装夹工件
经粗加工的工件在平口钳上的装夹
➢ 选择工件上一个较大的经粗加工的表面作基准 面将工件的基准面靠向固定钳口面，并在其活 动钳口与工件间放置一圆棒。圆棒要与钳口的 上平面平行，其位置应在工件被夹持部分高度 的中间偏上。通过圆棒夹紧工件，能保证工件 的基准面与固定钳口面的密合。
面不垂直 ➢ 解决方法：
• 固定钳口上垫铜皮 • 底座下垫铜皮 • 修磨固定钳口护铁
用周铣铣削垂直面和平行面
以角铁装夹铣削垂直 ——以宽面为基准加工窄平面 ▪ 在立铣上用立铣刀直接在工作台
面上装夹工铣削垂直——基准面 紧贴工作台
➢ 不垂直原因：
❖ 纵进——铣刀圆柱度误差过大 ❖ 横进——铣刀圆柱度误差+主轴零位
立铣——主轴“零位”的校正
用直角尺校正
视频
主轴零位校正
立铣——主轴“零位”的校正
▪ 用百分表校正
卧铣——工作台“零位”的校 正
用回转盘刻度校正 用百分表校正
周铣与端铣的比较
——由于端铣的优点远多于周铣，故生产中多用端铣加工平面
端铣
圆周铣
1.铣刀的刀杆短，刚性好，且参与切 1.能一次切除较大的铣
等，均为ae/2。
非对称铣削
铣 铣方削式宽，度称ae为不非对对称称于铣铣削刀。轴线的端
➢ 按切入边和切出边所占铣削宽度的比例的 不同，非对称铣削又分为非对称顺铣和非 对称逆铣两种
➢ 非对称顺铣 顺铣部分（切出边的宽度） 所占的比例较大的端削形式
➢ 非对称逆铣 逆铣部分（切入边的宽度） 所占的比例较大的端削形式
➢ 难点 是校正、调整的方法在教学时未实习过的学 生对铣床及动作缺少了解，不易理解和掌握
概述
视频
铣平面概述
铣平面是铣工最重要的工作之一，也是进一步掌握铣 削其他各种复杂表面的基础技能。根据工件上平面与 其基准面的位置关系，平面分为平行面、垂直面和斜 面三种
平面的技术要求
平面度 表面粗糙度
平面的铣削方法——圆周铣
逆 已加工表面切入工件，工件表面有硬皮或 向上，将工件向上挑起。装夹
杂质时，对铣刀刃损坏的影响小。
时需要较大的夹紧力。
铣
2.铣刀作用在水平方向上的分力Ff作用
在工作台丝杠及其螺母的接合面上，不会
拉动工作台。得到广泛的应用。
2.铣刀切入时后刀面与工件的 磨擦、挤压严重，加速刀具磨 损，降低工件表面质量。
周铣时顺铣和逆铣的特点
优点
缺点
1. 铣 刀 作 用 在 垂 直 方 向 的 分 力 FN 始 终 向 下 ，1. 会 拉 动 工 作 台 ， 使 工 作 台 发
对工件起压紧的作用。因此铣削平稳，对 生间歇性窜动，导致铣刀刀齿
不易夹紧的工件及细长的薄板形工件的铣 折断、刀杆弯曲、工件与夹具
顺 削尤为合适。
糙度值小。
工件的装夹
视频
工件装夹方法
对于中小型工件，一般均采用平口 钳装夹
对大、中型工件，一般多采用直接 在工作台上用压板装夹
成批、大量生产时应用专用夹具装 夹，以提高加工精度和生产效率
平口钳的结构和规格
分回转式和非回转式两种 以钳口宽度尺寸划分规格
平口钳的安装与校正
一般安装于工作台长度方向中间偏左 用定位键槽置于中央T形槽内 加工较长工件时，钳口与工作台纵向进
给平行 加工短工件时，钳口与工作台纵向进给
垂直 粗铣和半精铣时，固定钳口应处于承受
切削力的方向上
固定钳口的校正
用划针校正固定钳 口
➢ 将划针夹持在铣刀杆垫 圈间。调整工作台位置， 使划针靠近固定钳口铁 平面，纵向移动工作台， 观察并调整钳口平面与 划针针尖的距离大小均 匀，并在钳口全长范围 内一致
用压板装夹工件
压板位置的合理排布 垫铁的高度选取与位置设置 螺栓位置的设置 夹紧力的控制 已加工表面扩工作台面的保护 挡铁、靠铁的合理使用
用压板装夹工件的注意事项
（1）在铣床工作台面上，不允许拖拉表面粗糙的 工件。夹紧时，应在毛坯件与工作台面间衬垫 铜皮，以免损伤工作台表面。
（2）用压板在工件已加工表面上夹紧时，应在工 件与压板间衬垫铜皮，避免损伤工件已加工表 面。
端铣时的顺铣和逆铣
端铣时，根据铣刀与工件之间相对位置 的不同，可分为对称铣削和非对称铣削 两种。
➢ 对式称，铣称削为对铣称削铣宽削度。ae对称于铣刀轴线的端铣方 ➢ 在铣削宽度上以铣刀轴线为界，铣刀先切入工
件的一边称为切入边；铣刀切出工件的一边称 为切出边。切入边为逆铣；切出边为顺铣。对 称铣削时，切入边与切出边所占的铣削宽度相
误差
平行面的铣削
在平口钳上装夹以钳
❖
和固定钳口相贴的表面 与基准面不垂直
体导轨为定位基准
❖ 平口钳导轨与工作台面
➢ 平行度误差过大的原因： 不平行
❖ 基 准 面 与 平 口 钳 导 轨 ❖ 导轨或工作台面磨损
不平行
❖ 平口钳与工作台面间有
❖ 垫铁不等高
杂物
❖ 没擦拭干净，有杂物 ❖ 铣 刀 圆 柱 误 差 过 大 ——
端铣影响表面粗糙 度的因素——每齿 进给量（端齿不等 高时，参与切削齿 数减少，每齿进给 量增加）
（续）端铣特点
用端铣方法铣出的平面，其平面度的好坏，主 要决定于铣床主轴轴线与进给方向的垂直度。 若主轴轴线与进给方向垂直，铣刀刀尖会在工 件表面铣出网状的弧形刀纹，工件表面是一平 面（图1）。若主轴轴线与进给方向不垂直， 铣刀刀尖会在工件表面铣出单向的弧形刀纹， 将工件表面铣成一个凹面（图2）。因此，采 用端铣方法铣削平面时，应校正铣床主轴轴线 与进给方向垂直
（3）正确选择压板在工件上的夹紧位置，使其尽 量靠近加工区域，并处于工件刚性最好的位置。 若夹紧部位有悬空现象，应将工件垫实。
（4）螺栓要拧紧，保证能够克服铣削力的影响。
顺铣与逆铣
顺铣——铣削时，铣刀对工件的 作用力在进给方向上的分力与工 件进给方向相同的铣削方式。
逆铣——铣削时，铣刀对工件的 作用力在进给方向上的分力与工 件进给方向相反的铣削方式 。
铣平面的工作步骤
确定铣削方法， 选择铣刀