实验曲线的绘制.

用最小二乘法绘制实验曲线

在做各种实验中，可以获得大量的数据。一般的，我们都会在实验之后，将这些实验数据进行某种处理，然后用图形来描绘实验结果。用图形来描绘要比提供一大堆枯燥的数据直观明了得多。

但是，因为实验本身会受到各种具体因素的影响。比如：实验仪器设备的精度、原材料因素、工作人员的水平以及温度等的影响，使得实验数据测得的数据总会或多或少的带有误差。也就是说，这些实验数据本身就不精确。所以在绘制实验曲线的时候，如果是按点点通过将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰是不符合实际情况的，因而是不可取的。

正确的方法应该是用一条光滑的曲线，以适当的方式来逼近这些数据点。因为曲线并不通过每个数据点，所以可以弥补由于误差造成的数据点的跳动

用一系列数据点（i i y x ,）（i=1，2，．．．．．，m ），所要绘制的曲线)(x f y =，用什么样的表尊来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标之差ε作为评判的标准。在这里：

i i i y x f -=)(ε

式中i ε成为残差；)(i x f 为理论值；i y 为相应的实测值。 常用的评价方法是：使残差的平方和

∑=m

i i

1

2ε

达到最小。这也就是常说的“最小二乘法”。

用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就是要找一个经验方程)(x f y =来描述这些数据点，并使每个点的)(i x f 和i y 之差的平方和为最小。所以，第一步首先要根据数据点的分布情况进行预测，该经验方程可能是属于什么类型。比如说是线性函数，还是二次函数或其

他阶次的多项式曲线。

用最小二乘法拟合直线

设有测得的数据点),,2,1)(,(m i y x i i ⋅⋅⋅=，根据这些数据点的分布情况，预测到他们之间呈线性关系，并设该线性方程为一般形式21a x a y +=。于是，我们可以按最小二乘法的

原理建立起下面的式子：

∑∑==-+=m

i i i m

i i

y a x a 1

2211

2)(ε

其中i i y x ,为测得的已知数据点的值，故这个方程可以看成是关于1a 和2a 的函数，即有两个未知数1a 和2a 。这两个未知数也就是我们预测的线性方程中的系数和常数项。于是，上式可改写成函数形式为：

22121)(),(i i y a x a a a f -+=∑

根据最小二乘法的要求，要使

∑=m

i i

1

2

ε

达到最小值。也就是要求1a 和2a 为何值时，该函

数),(21a a f 能取得极小值。这是一个二元函数求极小值的条件的问题，其条件为：

)

,(0)

,(2

21121=∂∂=∂∂a a a f a a a f

即：

)(20)(22121=⋅-+=-+∑∑i i i i i x y a x a y a x a

展开整理后的：

∑∑∑∑∑=⋅+=⋅+i

i i i

i

i y x x a x a y m a x a 22121

上式写成矩阵形式为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑∑i i i i i i y x y a a x x m x 212

可以看出，现行方程组可以有唯一解。这样，求解该方程组可的未知系数1a 和2a 的值，从而使得线性函数表达式21a x a y +=唯一确定，并可根据该表达式绘出图形。

用最小二乘法拟合二次以上多项式曲线

设有二次多项式为：322

1a x a x a y ++=，那么，我们可以类似的建立起一个多项式的

线性方程组如下：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑232123423

2i i i i i i i i i i i i i x y x y y a a a x

x x x x x m x x 对于n 次多项式：11

21+-++⋅⋅⋅++=n n n n a x a x a x a y

可以相应地建立起线性方程组为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+-+-n i i i i i n n i n i

n i

n i

i

n i

n i n i n i x y x y y a a a x x

x

x x x

x

x m x x x

21112221

1

由上式表示的线性方程组中，系数矩阵为 （n+1）× (n+1) 的方阵，有n+1个未知数，即)1,,2,1(+=n i a i ，常数项由n+1个，所以线性方程组有唯一解。我们可以用高斯校园法求解除方程组中的全部未知数：121,,,+n a a a 。从而使得所设知n 次多项式为已知。然后可以根据该多项式，使用差值的方法计算出绘图用数据点。

对于阶次n 的取值，一般不要超过7。过高的阶次不仅会增加运算工作量，并且还会使曲线产生不必要的抖动。具体的取值可以根据实际情况而定，以拟合处最为理想的曲线为准则。

解题过程

下面，我们总结归纳一下最小二乘法解题编成的思路和步骤。

1．给出全部数据点),,2,1)(,(m i y x i i =，并确定所需阶次n 。 2．按照下式，建立系数增广矩阵：

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+-+-n i i n i n i n i n

i i i i i

n i

n i i

i n i n i x y x x x x x

y x x

x

x y m x x

x 1

1

22211

设该增广矩阵为[P]，它是一个（n+1）× (n+2)的矩阵，其中每个元素的赋值式为：

⎪⎩⎪⎨⎧=∑∑--+i

j i k

j n i k

j y x x p 1

, )2;1,,2,1()1,,2,1;1,,2,1(+=+=+=+=n k n j n k n j 3．用高斯消元法解线性方程组

①将增广矩阵[P]化为上三角矩阵[Q]，使对角线上元素全为1