全主元高斯消去法的并行算法.

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全主元高斯消去法的并行算法

消去计算
对主元素作归一化操作，将主行广播给所有处理器各处理器利用接收到的主元素对其部分行向量做行变换
回代过程
一旦被计算出来，就立即广播给所有的处理器，用于与对应项相乘并做求和计算。
结束
谢
谢
m b i 2 , 3 , , n ) bi b 消 ai1 a m a ( i 2 , 3 , , n ) ， i i 1 1( i 1 i 1 11 a 元 i1 m ( i 2 , 3 , ,n ) ， i1 a 计 11 算 ( k ) ( k )
原因何在
显然,计算解与真解相差太大，原因何在
用绝对值小的数作除数，会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的
扩散，使得最后的计算结果不可靠。
1
1 m 21 11 0 .310 12 0 .3333333333 10
解法2 用行变换的高斯消去法.
11 x x 0 . 9 0 .3 10 x 0 .7 1 2 1 x 2 11 0 . 3 10 x x 0 . 7 x x 0 . 9 1 2 1 2
1111列元素列与第第交换时当jbaj??行元素行与第第交换时当1111ibai??消元元计算算321111niamaii??????1ia3211nibmbii??????ib321111niaamii?????a约化为b?kkbaba???kkabab?111211222nkkknknknnnaaababaabaab????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnbbbyyyaaaaaa?????212122211211经过上述过程方程组约化为回代求解??????????????????????????1211?niayabyabyiinijjijiinnnnchp3服务内容3算法并行任务分配

高斯列主元消去法

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，现选取ri a )(n r i ≤≤中绝对值最大的元素，设为第j 行的元素ji a ，把矩阵的第i 行和第j 行互换，这时ii a 变为ji a ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii ki a a （k 代表行号），依次进行消元。

Gauss 列主元消去法的算法步骤如下：将方程组写成以下的增广矩阵的形式：⎪⎩⎪⎪⎨⎧43212423222114131211............n n n n a a a a a a a a a a a a对k=1，2，3,...,n-1,令∑==nks sk pk a a max ；交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1，k+2，...,n,计算kk jkkm jm jm a a a a a ⋅-=（m=看，k+1，...，n ）kk jkk j j a a b b b ⋅-=算法结束。

三角分解法程序如下：建立相应的M 文件，其函数名为LU,程序如下：function y=LU(A,B);n=length(A);A=[A B];for k=1:n-1;for i=k:n;if (abs(A(i,k))==max(abs(A(k:n,k)))) P(k)=i;temp=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=temp;endendfor j=k+1:n;A(j,k)=A(j,k)/A(k,k);A(j,k+1:n+1)=A(j,k+1:n+1)-A(j,k)*A(k,k+1:n+1);endendP(n)=n;L(1,1)=1;L(2:n,1)=A(2:n,1);L(1,2:n)=0;U(1,1)=A(1,1);U(2:n,1)=0;U(1,2:n)=A(1,2:n);for i=2:n;L(i,1:i-1)=A(i,1:i-1);L(i,i)=1;L(i,i+1:n)=0;U(i,1:i-1)=0;U(i,i:n)=A(i,i:n);endx(n) = A(n,n+1)/U(n,n);for k = n-1:-1:1x(k)=A(k,n+1);for p=n:-1:k+1;x(k) = x(k)-U(k,p)*x(p); endx(k)=x(k)/U(k,k);endxLUPend在程序命令行输入：a=[0.101 2.304 1.5355;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183,2.137,3.035]';LU(a,b)运行结果为：x =3.1160 -1.1960 2.3305 L =1.0000 0 00.4751 1.0000 0-0.0356 0.7313 1.0000 U =-2.8350 1.0720 5.64300 3.2027 1.94180 0 0.3359 P =3 2 3。

高斯选主元消去法.ppt

1 0 1/ 2 0 5/ 2
1 0 r3 2 r20
2/3 0
1 1/2
0 1
1 1/2
2 / 3 3 0 2 r2
0 1 0 0
3/2 1/2
0 3/2 1 1/2
2 1 0
5
r1 3 r2
1 5/ 3 2 0 0 1/ 3
1 0 1/ 2 0 5/ 2 2
1 0 2/ 3 1 0 1 2/ 3 3 0 1 3/ 2 0 3/ 2 1
0 1
r1
r3
2 1
4 2
5 3
0 1
1 1 5/ 3 2 0
1 0 0
0 0
1/3
m31
1 3
1
m32 2
2 r2 3 r1
1 r3 3 r1
0 0
1
2/3 1/3 5/3
101 110
2/3
2 / 3 1 0 1 2/ 3 1/ 3 1 1 0 1/ 3
yn yi
bn (bi
/ ann
n
aij y j ) / aii
j i 1
(i n 1,,2,1)
优点该方法数值稳定( mi k 1). 缺点工作量大. 改进方法列主元消去法，且此时mi k 1.
4.2 列主元素消去法
设已完成第1步~第k-1步计算，得到与原方程组等价的方程组
)第k列与第jk列元素;
1,, n)
bi bi mik bk (i k 1,, n)
二、回代求解
a11 a12 a1n y1 b1
经过上述过程，方程组约化为
a22
a2n
y2
b2
ann
yn

高斯消元法并行算法

高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法，通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而求解出各个未知量的值。

在实际应用中，由于线性方程组规模较大，顺序算法效率较低，因此需要采用并行算法来加速计算。

以下是一个简单的高斯消元法并行算法的示例：
1. 并行化矩阵分解
将系数矩阵分为多个子矩阵，每个子矩阵包含若干行和列，每个处理器对应一个子矩阵。

在每个处理器上进行部分主元消去，将矩阵化为上三角矩阵。

2. 并行化回代求解
从最后一行开始，每个处理器计算出一个未知量的解，并将该解广播给其他处理器。

然后，每个处理器根据已知的解，计算出当前行中另一个未知量的解，并继续向前回代，直到求解出所有未知量的值。

3. 并行化通信
在并行计算过程中，需要频繁地进行通信和同步。

可以采用MPI （Message Passing Interface）标准来实现进程之间的通信。

具体来说，可以使用MPI_Send和MPI_Recv函数在不同进程之间发送和接收消息。

通过以上并行化策略，可以将高斯消元法的计算过程分摊到多个处理器上，并行计算，从而提高计算效率。

需要注意的是，在并行计算中
需要考虑负载均衡、通信开销等问题，以达到最优的计算性能。

07_并行算法设计之高斯消去法

多核软件设计实例：并行高斯消去法
华南理工大学陈虎博士 tommychen74@
课程网站： /uploadfile/Multicore/index.htm
本课程得到 Intel®大学合作计划支持
一、问题描述
高斯消去法是一种传统的解方程组的方法。设有方程组： a n -1, 0 x 0 + a n -1, 1 x 1 + a n -1, 2 x 2 … + a n -1, n -1 x n -1 = b n -1 .. .. .. a 2, 0 x 0 + a 2, 1 x 1 + a 2, 2 x 2 … + a 2, n -1 x n -1 = b 2, a 1, 0 x 0 + a 1, 1 x 1 + a 2, 2 x 2 … + a 1, n -1 x n -1 = b 1 a 0, 0 x 0 + a 0, 1 x 1 + a 2, 2 x 2 … + a 0, n -1 x n -1 = b 0 高斯消去法的目的就是，将上面的一般线性方程组转化成三角函数。该方法利用了线性方程组的一个基本特征，即线性方程组的任一行可由该行加上另一行乘以一个常数所代替。此过程从第一行开始，并向下进行。在第i行以下的每一行j都将被（第i行）+（第i行）（a j, i / a i, i）所替换。在第j行用的常数是- a j, i / a i, i ，以使第i列的第j行以下的元素变成零，这是因为： a i = a i+ a i（- a j, i / a i, i）= 0 于是就能化出上三角函数，求出解了。（Ps. 关于局部选主元法在此不做描述，有兴趣者可查阅相关资料）
在单核计算环境中，高斯消去算法相对较固定，基本上就是如上所述，在下面的串行算法描述中将会详述。在多核计算环境中，每个核以线程为执行单元，高斯消去法程序可以通过生成相互协作的线程来完成方程组求根的操作。与单核计算环境不同的是，在多核计算环境中更关注数据集的合理划分，更致力于识别可并行执行的任务。一旦完成这些工作，程序设计上就可以生成对应的线程去执行任务。理论上，基于相同的串行算法和相同的cache命中率，多核计算速度可以无限接近单核计算速度的P倍，其中P为核的数目。多核上的并行排序算法所面临的问题在于： 1. 如何把高斯消去的矩阵计算合理划分到每个线程，怎么保证计算的完整性，降低线程间消息传递的开销，正确的进行高斯消去？ 2. 怎么保证可并行执行的线程的数目等于核的数目或稍微多于核的数目，同时也保证这些线程之间的工作量也尽可能的相同呢？

用部分选主元的高斯消去法并行求解线性方程组

用部分选主元的高斯消去法并行求解线性方程组作者：田希山来源：《电脑知识与技术》2011年第16期摘要：高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。

数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名(很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分)，它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。

当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。

用高斯消去法求解线性方程组的解是一种比较常见的解线性方程组的方法，这种方法尤其在利用计算机求解线性方程组时是更是常用。

但大多数情况下都是用串行的算法来解方程组，该文介绍了利用高斯消去法并行求解线性方程组的方法。

关键词：高斯消去法；线性方程组；并行中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)16-3960-041 高斯消去法在求解线性方程组的算法中，有两类最基本的算法：直接法和迭代法。

在直接方法中最主要的就是高斯消去法，它可以分为消元和回代两个过程，消元过程是将方程组转换为一个等价的三角方程组，而回代过程则是逆反求解这个三角方程组[1-2]。

2 部分选主元的高斯消去思想前述的消去过程中，未知量是按其出现于方程组中的自然顺序消去的，所以又叫顺序消去法。

实际上已经发现顺序消去法有很大的缺点。

设用作除数的为主元素，首先，消元过程中可能出现为零的情况，此时消元过程亦无法进行下去；其次如果主元素很小，由于舍入误差和有效位数消失等因素，其本身常常有较大的相对误差，用其作除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，使得所求的解误差过大，以致失真。

我们来看一个例子：例它的精确解为：用顺序消去法，第一步以0.0001为主元，从第二个方程中消x1后可得：-10000x2= -10000 x2=1.00回代可得x1 = 0.00显然，这不是解。

造成这个现象的原因是：第一步主元素太小，使得消元后所得的三角形方程组很不准确所致。

列主元高斯消去法算法流程图讲解

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改进的并行高斯全主元消去法

行了改进．用ＭＰ并行ＩＯ技术提高读取数据文件的速度，采Ｉ／降低对内存的需求；用标志数组避免了选主元后换采
行带来的通信开销；用线程模型确定最优线程数，高运行消去的速度；过预先发布机制降低回代求解步骤的使提通
ｔｍｏｙＡｆｇａｒｙｉｓｄｔｖｉｈｏｏｍｅｒ．ａｒａｓｕｅｏａｏｄｔｅｃｍｍｕｉａｉｎｃｓａｓｄｂｘｈｎｉｇｒＷＳａｔｒｆｎｉｇｐｖｔｌｎｃｔｏｏｔｃｕｅｙｅｃａｇｎＯｆｄｎｉｏｅｉｅｅｎｓＡｈｅｄｍｏｅｓｕｅｏｆｎｈｐｉｌｎｍｂｒｏｒａｓｌｍｅｔ．ｔｒａｄｌｉｓｄｔｄｔｅｏｔｉｍａｕｅｆｔｅｄ，ｗｈｃｐｅｓｕｈｌｎｔｎ．Ａｎｈｉｈｓｅｄｐｔｅｅｉａｉｍｉｏｄｔｅｔｍｅｃｍｐｅｉｆｂｃｗａｄｓｂｔｕｉｎｉｅｕｅｙｐｅｎｏｍｉｇｓｒｔｇ．Ａｃｕｌｉｌｍｅｔｔｏｈｗｓｈｉｏｌｘｔｏａｋｒｕｓｉｔｓｒｄｃｄｂｒｉｆｒｎｔａｅｙｔｏｙｔａｍｐｅｎａｉｎｓｏｔａｈｐｅｕｎａｃｓａｈｕｅｆｅｕｔｏｓｉｃｅｓｓ，ｆｒａｌｅｒｓｓｅｏｖｈｕａｄｅｕｔｏｓｈｔｔｅｓｅｄｐｅｈｎｅｓｔｅｎｍｂｒｏｑａｉｎｎｒａｅｏｉａｙｔｍｆｆｅｔｏｓｎｑａｉｎ，ｎｉｔｅｓｅｄｐｏｉｈｒｃｓｅａｅａｉｈａ．８，ｔｅｐｒｌｌｅｉｉｎｙｓａｉｚｓａｂｕ８ｈｐｅｕｆｅｇｔｐｏｅｓｓｃｎｂｓｈｇｓ６６ｈａａｌｆｃｅｃｔｂｌｅｔａｏｔｅｉ０．５．Ａｌｔｅｅｌｈｓｉｄｃｔｈｔｔｅａｇｒｔｍａｏｄｓａａｉｔｎｔｂｅｐｒｌｌｅｆｃｅｃｎｉａｅｔａｈｌｏｉｈｈｓｇｏｃｌｂｌｙａｄｓａｌａａｌｆｉｉｎｙ，ａｄｃｎｂｓｄｉａｇ —ｃｌｄｉｅｎａｅｕｅｎｌｒｅｓａｅ

用部分选主元的高斯消去法并行求解线性方程组

高斯消去法的一个简单变形 — — 部分选主元高斯消去法，以产生可靠的结果。在部分选主元的高斯消去法的第ｉ，们在可步我
第ｉ到第ｎ１中寻找第ｉ行一行列元素的绝对值最大的行并将这一行与第ｉ交换（成主元）行变。
摘要：高斯消去法，称高斯消元法，际上就是我们俗称的加减消元法。数学上，又实高斯消去法或称高斯一约当消去法，由高斯和约＂５－
得名（多人将高斯消去作为完整的高斯一约当消去的前半部分）它是线性代数中的一个算法，于决定线性方程组的解，很，用决定矩阵
ｌ高斯消去法
在求解线性方程组的算法中，两类最基本的算法：接法和迭代法。在直接方法中最主要的就是高斯消去法，可以分为消有直它
元和回代两个过程，消元过程是将方程组转换为一个等价的三角方程组，回代过程则是逆反求解这个三角方程组ｌ］而ｌ。－２
在部分主元消去法中，知数仍然是顺序地消去的，未只是选各方程中要消去的那个未知数的系数的绝对值最大的作为主元素，
如果我们选第二个方程中ｘ的系数１０为主元素来消去第一个方程中的ｘ，得出如下方程式：．０则

全主元消去法

全主元消去法1. 通过编制全主元消去法的MATLAB 程序（见文件），并用12312312310x 19x 2x =320x 40x x =4x 4x 5x =5--⎧⎪-++⎨⎪++⎩验证，程序给出的结果为x = 4.4164 2.3523 -1.7651，这与原方程的解相同，说明程序是有效的。

2. 全主元消去法的运算保证是能稳定收敛的，并不会出现分母为零的现象，其误差来源于数据的舍入误差，而这个误差与采用普通高斯消去法和列主元消去法相比大大减小。

3. 当主元素选定后，要对选择出的第一个主元素变为1，这就需要将第一行元素都除以主元素，共需要1n -次乘除法运算，而要使第二行至最后一行的第一列元素都为零，则需要进行(1)*(1)n n -+次乘除法运算，所以第一步共需要22n n +-次乘除法运算，同理可算得进行第二步到最后一步所进行的乘除法运算为22112112n n -+--+-（）（）、……（）可得消元过程中乘除法总和为*(1)*(21)(1)262n n n n n n ++++-次乘除法运算，回带过程中则产生n*(1)1234n=2n +++++……次乘除法运算，所以运用全主元消去法共会产生*(1)*(21)(1)26n n n n n n ++++-次乘除法运算，这也就是方程组的规模与计算量的关系。

4. 矩阵高度稀疏的情况下可以考虑对矩阵进行重新排列，使非零元素聚集在主对角线附近，可以减少运算量。

function [x]=gaussq(a,b)%%x为解，qa为全主元变换后的矩阵a d=[a b];RA=rank(a);RD=rank(d);L=length(b);n=size(a);pos=1:n(1)if RA~=RD %%根据增广矩阵判断有解条件fprintf('无解')elseif RA~=Lfprintf('无穷多解')elsefprintf('有唯一解')for q=1:nbig=max(max(abs(a(q:n,q:n))));for r=q:n %%在右下角矩阵中找到绝对值最大的值for t=q:nif big==abs(a(r,t))zhuh=r; %%记录最大值所在的行列zhul=t;endendendp=a(q,:);%%换主行a(q,:)=a(zhuh,:)%%a矩阵中换行a(zhuh,:)=p;bb=b(q);%%b矩阵中也进行换行b(q)=b(zhuh)b(zhuh)=bb;p=a(:,q);%%换主列a(:,q)=a(:,zhul);a(:,zhul)=p;p=pos(q);%%记录位置变化，调换列后对求解x的影响pos(q)=pos(zhul);pos(zhul)=p;endc=[a b]for j=1:L-1%%变换后将所在矩阵的下面行的第一个元素变为0for i=(j+1):Lm=c(i,j)/c(j,j)c(i,:)=c(i,:)-c(j,:)*mendendx(L,1)=c(L,L+1)/c(L,L);for k=L-1:-1:1x(k,1)=(c(k,L+1)-c(k,k+1:L)*x(k+1:L))/c(k,k);endy=[1:n(1)];%%交换被列调换打乱的位置for w=1:nfor v=1:nif (pos(v)==w)y(w)=x(v)endendendx=y;endend。

(完整版)2.3高斯列主元消去法

2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。

就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。

实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。

在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。

但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。

1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。

2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。

为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。

其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。

目前计算机上常用的按列选主元的方法。

因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。

二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。

我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。

然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。

高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。

于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。

三、算法的描述1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L1n x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ＝1n b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 2、第一步：如果a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2b (1)2. . . . . . . = .a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1b (1)n-1a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x nb (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I– l i1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22 != 0,令l i2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12 . . . a(1)1n x1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2n x2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n x n-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn x n b(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b(n) / a(n)nnX i = ( b(k)k - a(k)kj x j ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。

高斯消元法的详细解析与证明

高斯消元法的详细解析与证明高斯消元法自诞生以来，在众多科学领域得到了广泛地应用，是解决线性方程组的一种有效算法。

在本文中，我们将从理论和实践两个方面来阐述高斯消元法的原理，并探究其可行性。

一、高斯消元法的定义高斯消元法，简称高斯法，是一种求解线性方程组的直接数值解法，它通过变换系数矩阵为阶梯矩阵，再利用回代求解方程组的未知量。

高斯消元法基于列主元消去法，使每一列的主元素都不为零，能够有效地避免出现除零错误。

二、高斯消元法的实现步骤1. 将增广矩阵写成行向量先将线性方程组写成增广矩阵的形式，将未知量和常数都写在右边。

2. 选主元在每一列中选取主元素，使该列中其他元素都小于主元素的绝对值，保证系数矩阵的行列式不为零。

通常情况下，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元素。

3. 消元通过基本的初等行变换，将主元素以下的元素都消为零。

该步骤需要对每一列都进行操作。

4. 回代求解消元完成后得到了行阶梯形式的增广矩阵，接着进行回代求解，得到线性方程组的解。

以上四个步骤是高斯消元法的核心过程，其过程简洁而直观，适用于大多数的线性方程组求解。

三、高斯消元法的证明高斯消元法能够求解线性方程组的根本原因是系数矩阵的行列式不为零，这是消元过程中的关键步骤。

其证明方法可以使用数学归纳法来证明，即通过数学归纳法证明对于n元线性方程组均适用。

假设n-1阶行列式计算正确，那么增广矩阵的n阶行列式为：$$\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &b_1\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} & b_{n-1}\\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} &b_n\end{matrix}\right|$$选择$a_{n,1}$作为主元素，进行消元操作：$\begin{cases} a_{i,j}^{(1)}=a_{i,j}-\frac{a_{i,1}}{a_{1,1}}a_{1,j}\\ b_i^{(1)}=b_i-\frac{a_{i,1}}{a_{1,1}}b_1\end{cases}$其中$i,j\in[2,n]$。

数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解

a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的元素，而高斯——约当消去法则同时消去对角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ，那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记为 A(2)x = b(2))
a1(11)

全选主元的高斯消元法

全选主元的高斯消元法
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。

这就是一个循环内做的工作。

然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。

余下的步骤依此类推。

具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。

Gauss完全主元消去法

2011-2012（1）专业课程实践论文Gauss完全主元消去法韩璐，0718180109，R数学07-1一、算法理论设方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nnnj n n i ni j i i i nj n j b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a B111111111212122222211111211。

首先在A 中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如0max 1111≠=≤≤≤≤ij nj n i j i a a ，然后交换B 的第1行与第1i 行，经第一次消元计算得()()()()22,,b A b A →。

重复上述过程，已完成第1-k 步的选主元素，交换两行及交换两列，消元计算，),(b A 约化为()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n nnnkk knkk nn kkb a a b a a b a a b a a a b A2222111211,，其中()k A 元素仍记作ij a ，()k b 元素仍记作()1,,2,1-=n k b i 。

第k 步选主元素（在()k A 右下角方框内选），即确定k i ，k j 使0max ≠=≤≤≤≤ij nj k ni k j i a a k k 。

交换()()()k k b A ,第k 行与k j 行元素交换()()k A 第k 列与k j 列元素，将k k j i a 调到()k k ,位置，再进行消元计算，最后将原方程化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n nn n n b b b y y y a a a a a a 212122211211，其中1y ，2y ，…，n y 的次序为未知数1x ，2x ，…，n x 调换后的次序。

回代求解得()⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑+=1,2,11 n i a y a b y a b y iin i j i ij i i nn n n 完全主元消去法，其步骤如下：设b Ax =。

《高斯消去法》课件

高斯消去法的流程
1
初等行变换
2
通过行互换和数乘行加，将方程组化为
简化形式。
3
回带求解
4
通过回代求解上三角矩阵，得到线性方程组的解。
线性方程组
给定一个线性方程组，要求解未知数。
高斯消元
将方程组转化为上三角矩阵。

线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。它的数学表示形式为：Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
高斯消去法的重要性
高斯消去法是解决线性方程组的重要方法，在数学和科学领域有广泛应用。
下一步的学习计划
继续学习与线性代数相关的知识，拓展对高斯消去法的应用和理解。
《高斯消去法》PPT课件
高斯消去法是一种线性代数中常用的解决线性方程组的方法。它通过一系列的初等行变换，将线性方程组化为简单形式，从而求解方程组的未知数。
什么是高斯消去法
高斯消去法，又称高斯-约当消去法，是一种用于求解线性方程组的算法。它的作用是将复杂的线性方程组转化为简单的上三角矩阵，使其更易于求解。
高斯消去法的优缺点
优点
高斯消去法能够解决复杂的线性方程组，使求解过程简单明了。
缺点
高斯消去法在处理大规模方程组时，计算量较大，耗费时间较长。
在实际生活中的应用
1 例子1
高斯消去法常用于地理学中的地图投影问题的求解。
2 例子2
高斯消去法在计算机图形学中，用于解决三维空间中的几何变换问题。
总结
初等行变换
初等行变换是对线性方程组进行的一系列行操作，包括行互换和数乘行加。通过初等行变换，可以改变方程组的形式，使求解过程更加简便。
高斯消元

高斯列主元消去法

问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。

算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。

高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。

3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。

高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。

全主元高斯消去法在有限元并行计算中的应用

全主元高斯消去法在有限元并行计算中的应用全主元高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，其在有限元并行计算中有着广泛的应用。

有限元方法是一种用于求解复杂工程问题的数值计算方法，它将连续的物理问题离散化为有限数量的子问题，然后通过求解这些子问题得到全局的近似解。

在有限元方法中，线性方程组的求解是一个关键步骤，而全主元高斯消去法正是解决线性方程组的有效方法之一。

在有限元并行计算中，全主元高斯消去法的应用主要涉及到两个方面：并行化的高斯消去法求解和并行化的有限元方法。

下面将分别介绍这两个方面的应用。

对于线性方程组的求解过程，全主元高斯消去法可以通过并行化技术来提高计算效率。

在传统的串行求解过程中，全主元高斯消去法需要进行大量的矩阵运算和数据交换，计算复杂度较高。

而在并行化的求解过程中，可以将矩阵的计算任务划分为多个子任务，分配给不同的处理器进行并行计算。

通过合理的任务划分和数据通信策略，可以充分利用并行计算资源，加速线性方程组的求解过程。

在有限元方法中，全主元高斯消去法也可以通过并行化来加速计算过程。

有限元方法将复杂问题离散化为有限数量的元素，每个元素内部的计算可以并行进行。

而全主元高斯消去法作为求解线性方程组的方法，可以通过并行化技术将每个元素内部的线性方程组求解过程并行化。

通过将计算任务划分为多个子任务，分配给不同的处理器进行并行计算，可以充分利用计算资源，提高求解速度。

在并行化的有限元方法中，还需要考虑数据的分布和通信的问题。

由于不同元素之间可能存在依赖关系，需要进行数据的交换和通信。

通过合理的数据划分和通信策略，可以减少数据交换的次数和数据传输的开销，提高并行计算的效率。

全主元高斯消去法在有限元并行计算中的应用主要涉及到并行化的高斯消去法求解和并行化的有限元方法。

通过合理地划分计算任务和设计数据通信策略，可以充分利用并行计算资源，加速线性方程组的求解过程和有限元方法的计算过程。

这对于处理大规模和复杂的工程问题具有重要意义，可以提高计算效率和准确性。