2015年高考数学知识点之集合不等式解读

集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.3.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（ ） ①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 主要性质和运算律 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

8. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则. 解：逆否：②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：21≠≠∴y x 且 条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若255 x x x 或，⇒.(二) 1.不等式的基本性质及推论：(1)如果a b >，那么b a <，如果b a <，那么a b >．(对称性)即：a b >⇒b a <；b a <⇒a b >。

(2)如果a b >，且b c >，那么a c >．(传递性) 即a b >，b c >⇒a c >。

(3)如果a b >，那么a c b c +>+． 即a b a c b c >⇒+>+。

(4)如果a b >，且c d >，那么a c b d +>+．(相加法则) 即a b >，c d >⇒a c b d +>+ (5)如果a b >，且0c >，那么ac bc >； 如果a b >，且0c <，那么ac bc < (6)如果a b 0c d 0ac bd >>>>>，且，那么．(相乘法则) (7)若0,(1)nna b a b n N n >>>∈>则且(8)若0,1)a b n N n >>>∈>且1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式.常用变形 (1)a 2＋b 2≥______ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是______(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是________(简记：和定积最大)．（1）几个重要的不等式：设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥． 常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．极值定理：设x 、y 都为正数，则有①若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．②若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．例1、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为 ． 变式1：若正数y x ,满足211=+yx ，则y x z 2+=的最小值为 变式2：若正数y x ,满足082=-+xy y x ，则y x z +=的最小值为变式3：已知b a ,是给定的正数，则2222sin cos a b z αα=+的最小值为变式4：1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ． 例2、若正数,a b 满足条件3ab a b =++，则ab 的取值范围是 。

变式：条件不变，求a ＋b 的取值范围．例3、(1)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求25z x y=+的最小值． (2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值．变式1：已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则1yy x+的最小值是________．变式2：若x <3，求f (x )＝43x -＋x 的最大值．2.绝对值三角不等式定理1:如果a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0时,等号成立.定理2:如果a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.2.若关于x 的不等式|x-2|+|x-a|≥a 在R 上恒成立,则a 的最大值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.2【典例1】 (2009·上海)某地街道呈现东—西､南—北向的风格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.类型二 含绝对值不等式的解法(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.其方法主要有:利用绝对值的意义;利用公式;平方､分区间讨论等.(2)利用平方法去绝对值符号时,应注意不等式两边非负才可进行. (3)零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间､去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.【典例】 设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式f(x)>2;(2)求函数y=f(x)的最小值.不等式的证明方法：①比较法：作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小。

②综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的证明方法。

逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。