2015年高考数学知识点之集合不等式解读

集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

3.集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；

②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果B A ?，同时A B ?，那么A = B.

如果C A C B B A ???，那么，.

[注]：已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（ ）

①对方程组解的集合应是点集.

例： ?

??=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?）

4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.

集合运算：交、并、补.

{|,}

{|}{,}

A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C

主要性质和运算律

包含关系：,,,,

,;,;,.

U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C 等价关系：U A B A

B A A B B A B U ??=?=?=

C 集合的运算律：

交换律：.;A B B A A B B A ==

结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==

分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==

0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===

等幂律：.,A A A A A A ==

求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U

反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )

有限集的元素个数

定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：

(1)()()()()

(2)()()()()

()()()()

card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C

A card A

B

C =+-=++---+ (3) card ( U A )= card(U)- card(A)

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集

合的子集有多少个？

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．

原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；

否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

8. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题.

例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则.

解：逆否：

②，且21≠≠y x 3≠+y x .

解：逆否：

21≠≠∴y x 且 条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

例：若255 x x x 或，?.

(二) 1.不等式的基本性质及推论：

(1)如果a b >，那么b a <，如果b a <，那么a b >．

(对称性)即：a b >?b a <；b a 。

(2)如果a b >，且b c >，那么a c >．

(传递性) 即a b >，b c >?a c >。

(3)如果a b >，那么a c b c +>+． 即a b a c b c >?+>+。

(4)如果a b >，且c d >，那么a c b d +>+．

(相加法则) 即a b >，c d >?a c b d +>+

(5)如果a b >，且0c >，那么ac bc >；

如果a b >，且0c <，那么ac bc <

(6)如果a b 0c d 0ac bd >>>>>，且，那么．(相乘法则)

(7)若0,(1)n n

a b a b n N n >>>∈>则且

(8)若0,1)a b n N n >>>∈>且

1．基本不等式ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：__________.

(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．

2．几个重要的不等式.常用变形

(1)a 2＋b 2≥______ (a ，b ∈R )．

(2)b a ＋a b

≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤????a ＋b 22 (a ，b ∈R )．

(4)????a ＋b 22____a 2＋b 22.

3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________.

4．利用基本不等式求最值问题

已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是______(简记：积定和最小)．

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是________(简记：和定积最大)．

（1）几个重要的不等式：

设a 、b 是两个正数，则

2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．

均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2

a b +≥． 常用的基本不等式：①()22

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +??≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

． 极值定理：设x 、y 都为正数，则有 ①若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

②若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．

例1、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆22

4280x y x y +---=的周长，则12a b

+的最小值为 ． 变式1：若正数y x ,满足211=+y

x ，则y x z 2+=的最小值为 变式2：若正数y x ,满足082=-+xy y x ，则y x z +=的最小值为

变式3：已知b a ,是给定的正数，则22

22sin cos a b z αα

=+的最小值为

变式4：1()()9a x y x y

++≥对任意正实数x ，y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ． 例2、若正数,a b 满足条件3ab a b =++，则ab 的取值范围是 。

变式：条件不变，求a ＋b 的取值范围．

例3、(1)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求25z x y =+的最小值．

(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋145

x -的最大值．

变式1：已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则

1y y x +的最小值是________．

变式2：若x <3，求f (x )＝43

x -＋x 的最大值．

2.绝对值三角不等式

定理1:如果a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0时,等号成立.

定理2:如果a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

2.若关于x 的不等式|x-2|+|x-a|≥a 在R 上恒成立,则a 的最大值是( )

A.0

B.1

C.-1

D.2

【典例1】 (2009·上海)某地街道呈现东—西?南—北向的风格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

类型二 含绝对值不等式的解法

(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.其方法主要有:利用绝对值的意义;利用公式;平方?分区间讨论等.

(2)利用平方法去绝对值符号时,应注意不等式两边非负才可进行.

(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤:

①求零点;②划区间?去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

【典例】 设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.

(1)解不等式f(x)>2;

(2)求函数y=f(x)的最小值.

不等式的证明方法：

①比较法：作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小。

②综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的证明方法。

逻辑关系是：12n A B B B B ?????

思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出

结论。

③分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。

逻辑关系是：12n B B B B A ?????

思维特点：执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。

④反证法：正难则反。先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题或定理、公理、定义)矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立。 ⑤放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小来证明不等式成立。

常用的放缩方法有： 添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(；

将分子或分母放大（或缩小）； 利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (5lg 3log 2=<=+

)1()1(++<+n n n n ； 利用常用结论：k k k k k 21

11

1<++=-+；

k k k k k

111)1(112--=-< ； 1

11)1(112+-=+>k k k k k （程度大） )1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

⑦构造法：过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

⑧数学归纳法：数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,