初一数学有理数经典讲义

一、有理数的相关概念：

1. 负数

（1）正数：大于0的数叫做正数。

（2）负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数。

a) “-”读作负号。

b) 一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号

（3）0：既不是正数也不是负数。

取一个基准量，记为0；大于（高于）基准量的数为正数，小于（低于）基准量的数为负数；

习题：

1、某仓库运进货物30吨，记作30吨，那么－50吨表示( )；

2、物体向东运动4m ，记作4m ，那么向西运动5m ，记作( )

3、某零件的直经尺寸在图纸上是 10± 0．05 （mm ），表示这种零件的标准尺寸是 ______ （mm ），合格产品的零件尺寸范围是 （mm ）。

2. 有理数

分类1：有理数{ 整数{正整数负整数0分数{正分数负分数 分类2：有理数{ 正有理数{正整数

正分数

负有理数{负整数

负分数0

数的分类注意：

a) 0非正非负，0是整数，0是自然数

b) 小数可以化为分数，所以小数属于分数

习题：

1、把下列各数分别填入相应的集合内：3-，2，17

-，0.21，0，－3.01，3.14159，10-． 整数集合:{ } 分数集合: { }

负数集合: { } 正数集合: { }

3.数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

a) 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

b) 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

c) 选取适当的长度为单位长度。

方向表示正负，距离表示数。

数轴上，唯一的点——唯一的数

（1) 给数描点，给点读数

（2) 比较大小：从左到右，由小变大；

（3) 会找有特定限制的数，比如，小于4的正整数。

习题：

1、把5，－6，－2，3，0，213，－42

1在数轴上表示出来，并用“〈”把它们连接起来。 2、a,b,c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是 （ ）

（Ａ）a+b<0 （Ｂ）a+c<0

（Ｃ）a －b>0 （Ｄ）b －c<0 a b 0 c

3、在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个点。

4.相反数：在原点两侧，到原点距离相等的两个数（只有符号不同的两个数）

（1) 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0；

反之，如果一个数的相反数是负数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是正数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是0，那么这个数必然为0；

（2) 0的相反数为0，所以如果一个数与它的相反数相等，那么这个数必然为0；

（3) 求数或式子的相反数，直接在数或式子前加负号，注意式子的相反数要在整体前加负号。

（4) 互为相反数的两个数，和为0；和为0的两个数，互为相反数。

（5) 化简时，奇数个负号，结果为负；偶数个负数，结果为正。

习题：

1、如果13a =-，那么a -=______；

2、若a 与b 互为相反数，则a + b = ；

3、化简符号：－[－(－3)] = ；－[＋(－3)] = 。

4、相反数是它本身的数是 ；

5.绝对值：数轴上某点到原点的距离，就是这点所表示的数的绝对值。

（1) 正数的绝对值是本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

反之，绝对值等于本身的数必然为正数和0；绝对值为它的相反数的数为负数和0；

（2) 绝对值非负：正数和负数的绝对值都为正数；0的绝对值为0，0的绝对值最小;

（3) 0的绝对值考点：

如果一个数的绝对值为0，那么这个数必然为0; 如果一个式子的绝对值为0，那么这个式子必然为0；如果两个式子的绝对值之和为0，那么这两个式子同时为0；

（4) 绝对值为某正数的数有两个，这两个数互为相反数；

所以当绝对值确定时，数并不能确定，而是一正一负都有可能。

（5) 如果一个数与它的绝对值和为0，那么这个数为负数或0

（6) 比较大小：

a) 绝对值法：两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的小；正数与负数，正数大于负数。 b) 数轴法：在数轴上表示（想象）出两个数的位置，右边> 左边。

（7）一个数由符号和绝对值两部分组成，这两部分确定了，这个数就确定了。

习题：

1、绝对值是它本身的数是

2、如果|x ＋8|＝5，那么x ＝ 。

3、绝对值不大于4的整数共有___个，其中最小的是___，绝对值最小的是____．

4、已知032=-++b a ，则=-5

a b 。 5.当a ﹤0时，=a ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，

6.绝对值最小的数是 ，绝对值等于6- 的数是 。

7.绝对值小于3的整数有 个，它们是 ；绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 。

8.已知1=-a ，3

2=b ，则=+b a 。

9.若8=a ，3=b ，且a ﹥0，b ﹤0，则=-b a 。

10.满足a a =的数有 个。

11.若312=-x ，则=x 。 12.31-的绝对值与2

12-的相反数的差是 。 13.若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯

+23)(m ab b a d c 14.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式m cd c

b a b a +++++的值是 。 15.若1=x x ，则x 0，若1-=x

x ，则x 0。 16.已知3=a ，2=b ，求b a +的值。

33.已知 a ﹤0, b ﹤0，且︱a ︱﹤︱b ︱，试用“﹤”号将a 、b 、a -、b -连接起来。

17.有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是

A. ︱b ︱﹥-a

B. ︱a ︱﹥-b

C. b ﹥a

D. ︱a ︱﹥︱b ︱

18.已知024=++-y x ，求x 、y 的值。 a b 0

19.已知031=-+-y x ，求y

x xy +的值。 20.0321=-+++-z y x ，则=+-+)3)(2)(1(z y x 。

21.如果0)2

3(22=++-y x ，那么=+y x 。

6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

（1）注意：互为倒数的两个数乘积为1，而非-1；所以，正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；0没有倒数。

（2）互为倒数的两个数，乘积为1；反之，乘积为1，互为倒数。

（3）倒数为本身的数有两个，1和-1.

习题：

1、倒数是它本身的数是 ；

2、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式