函数、方程、不等式之间的关系(章节练习)
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-函数与方程、不等式的关系
2023年中考数学一轮复习专题提优练习函数与方程、不等式的关系一、选择题1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜42．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2交于点P，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y ＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣44．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4第1题第2题第3题第4题5．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n 的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3 D．0＜x＜3第5题第6题6．如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣1，2），与x轴相交于点B（﹣3，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣3＜x＜07．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是28．二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．x＞2 C．x＜3 D．x＜2或x＞3二、填空题9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝．10．如图，在抛物线y1＝ax2（a＞0）和和y2＝mx2+nx（m＜0）中，抛物线y2的顶点在抛物线y1上，且与x轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a﹣m）x2﹣nx＜0的解集是．第9题第10题第11题11．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是．12. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是．13. 如图所示，函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．14. 若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为第12题第13题第14题15.已知抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y＝有三个交点A（﹣3，m），B（﹣1，n），C（2，p），则不等式ax3+bx2+cx﹣k2＞0的解集为．三、解答题16．在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与曲线y＝x3交于点B（m，3.52）．（1）求k和m的值；（2）根据函数图象直接写出x3＞kx+2的解集．17.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式的解．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO＝∠ACO，写出此时点P的坐标；（3）若直线l：y＝kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.2020年中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）（0≤x≤11）的变化情况，数据如下表：时间x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11（分钟）人数y0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 800 770（人）（1）根据这11分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？20.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．。
3.2函数与方程、不等式之间的关系(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
试求函数f(x) = x 2 − 2x + 2在区间(−2,0)内的近似零点x1 ，使
|x1 − x0 | <
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0
{−5, −3, −1,2,4,6}
() > 0的解集为
(−5, −3) ∪ (2,4) ∪ (4,6)
() ≤ 0的解集为
[−6, −5] ∪ [−3,2] ∪ {4,6}
因此，解不等式() > 0,
可以先解对应方程 () = 0 ，
再根据函数性质得到解集.
例2 （课本例5）求函数() = ( + 2)( + 1)( − 1)的零点，并
的近似值，那么误差小于多少? 误差小于2
追问2：如果取区间(−2,0)的中点作为0 的近似
值，那么误差小于多少? 误差小于1
怎样才能不断缩小误差？
误差小于区间长度
通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间
【解析】列表如下：
零点所在区间
(−2,0)
(−2, −1)
3
(−2, − )
2
7
(−2, − )
x1
0
y
y
x2
x
(x1,0),(x2,0)
0
x1
(x1,0)
x
0
没有交点
x
例3 利用函数求下列不等式的解集：
（1） 2 − − 6 < 0;
△=b2-4ac与二次函数、方程、不等式的关系
△=b 2-4ac 与二次函数、方程、不等式的关系1、对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)， 下列说法：①b =a +c 时方程ax 2+bx +c =0一定有相等实根；②b 2－5ac >0时， 方程ax 2+bx +c =0一定有两个不相等的实根；③若a >0， a +b +c =－1， 则方程一定有两个不相等的实数根；④若方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根， 则方程ax 2－bx +c =0也一定有两个不相等的实数根， 其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．②③④ C ．①③④ D ②④2、下列命题：①若一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，则方程02=++a bx cx 也一定没有实数根；②若0=++c b a ，则一元二次方程02=++c bx ax 一定有实数根；③若b ＜ac 2，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根；④若b =c a 32+，则一元二次方程02=++c bx ax 必有两个不相等实数根，其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、对于一元二次方程a c bx ax (02=++≠0），下列说法：①若1-=+cb c a ，则方程02=++c bx ax一定有一根是1=x ②若232,a b a c ==，则方程02=++c bx ax 有两个相等的实际上数根③若0,0,0><<c b a ，则方程c bx cx++2与x 轴必有交点④若,0=-bc ab 且1-<ca ，则方程02=++a bx cx的两实数根一定互为相反数其中正确的是（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、①③D 、②④4、一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根为21,x x ，下列说法：①若原方程有一根为ab x 21=，则原方程两根必相等②若原方程两根为21,x x ，且21x x <，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集为1x x <或2x x >③若原方程有一根为ac -，则另一根为-1④若042=-ac b ，原方程两根为21、xx ，则ab x x =+21其中正确的是（ ）A 、①③④B 、只有②C 、①②③D 、②④ 5、对于抛物线a m ax axy (42++=≠)0与x 轴的交点为A （-1，0）B （x 2，0），则下列说法： ①一元二次方程042=++m ax ax的两根为3,131-=-=x x ②原抛物线与y 轴交于C 点，CD ∥x 轴交抛物线于D 点，则CD=4③点E（1，1y ），点F （-5，2y ）在原抛物线上，则12y y >④抛物线m ax ax y ---=42与原抛物线关于x 轴对称其中正确的是（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、②③D 、①③④6、对于抛物线y=x 2+mx+n,下列说法：（1）当n=4时，不论m 为何值时，抛物线一定过y 轴上一定点（2）若抛物线与x 轴有唯一公共点，则方程x 2+mx+n=0有两个相等的实数根（3）若抛物线与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于C 点，n=4，S △ABC =6，则解析式为y=x 2-5x+4（4）若6m 2+n=0，则方程x 2+mx+n=0的两根分别是2m 或-3m 其中正确的是（ ）A 、①②④B 、只有①②C 、只有①④D 、②③④ 7、对于抛物线y= ax 2+bx+c （a ≠0），下列说法：①若顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根②若抛物线经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0③若a-b+c=2，则抛物线必过某一定点④若2b=4a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0，必有一根为-2其中正确的是（ ）A 、①②④B 、②③C 、③④D 、②③④ 8、对于抛物线y= ax 2+bx+c （a ≠0），下列说法：①若b 2-4ac=0，则抛物线顶点一定在x 轴上②若a>0，且一元二次方程ax 2+bx+c=0有两根x 1，x 2，（x 1<x 2），则ax 2+bx+c<0的解集x 1<x<x 2③若b 2<3ac ，则y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点④若b=3a+3c ，则方程ax 2+bx+c=0有一根为-3，其中正确的是（ ）A 、①②③④B 、只有①③C 、只有①②④D 、只有③④9、对于一元二次方程x 2+b x +c=0，下列说法：①若方程x 2+b x +c=0的两根互为相反数，则b=0；②若c=1, 则方程x 2+b x +c=0的两根互为倒数；③若b+c+3=0，则方程x 2+b x +c=0必有两不相等实根；④若方程x 2+b x +c=0的根x 1，x 2满足0< x 1<1<x 2，则0111>++bcc b 。
八上 一次函数与方程组、不等式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
例1 从2014年起，中国的鞋号已“变脸”，新的国家标准要求鞋号用毫米数标注．据了解大多数市民还不了解此新标准，小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究，发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系，并得到相关数据如下：旧鞋号 x 36 38 40新标准毫米数y230 240 250（1）请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式，并用一句简明的数学语言来表示；（2）如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了，准备买一双同样尺寸的新凉鞋，那么应买一双多少毫米数的新凉鞋？例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时？知识点2 图像法解决实际问题注：读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。
例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求yl 与y2的函数表达式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．二、典型例题题型1 运用一次函数的关系解决生活中的实际问题例 1 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数表达式；（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度；（3）若桌面上有若干个饭碗，整齐叠放成一摞，已测得它的高度为37.5cm，你能求出此时有多少个饭碗吗？题型2利用图表信息解决实际问题例2 某厂家生产两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？题型3 建立一次函数模型解决实际问题例3 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售，已知买出的苹果数量x（kg）与收入y（元）的关系如下表：在平面直角坐标系中描点，观察点的分布情况，探求收入y（元）与买出数量x（kg）之间的函数关系式。
职高高一数学《不等式》章节练习题
职高高一数学《不等式》章节练习题1.数学《不等式》章节练题班级：____________ 姓名：____________一、选择题：（共8题，每题3分，共24分）1.若a>0，ab<0，则A。
b>0.B。
b≥0.C。
b<0.D。
b∈R2.不等式-2x>-6的解集为A。
{x|x>3}。
B。
{x|x<-3}。
C。
{x|x<-1}。
D。
{x|x<-3}3.不等式（x+1）（x-3）>0的解集为A。
{x|x>3}。
B。
{x|x3或x<-1}4.不等式x（x+2）<0的解集为A。
{x|x≥0}。
B。
{x|x≤-2}。
C。
{x|-2≤x≤0}。
D。
{x|x≤-2或x≥0}5.若a>b，且b<0，则下列各式中成立的是A。
a+b>0.B。
a+b06.下列不等式中成立的是A。
x^2>0.B。
x^2+x+1>0.C。
x^2-1a7.下列不等式与x<1同解的是A。
-2x>-2.B。
mx>m。
C。
x^2(x-1)>0.D。
(x+1)^2(1-x)>08.不等式3x-1<1的解集为A。
R。
B。
{x|x3/2}。
C。
{x|x>2/3}。
D。
{x|2/3<x<3/2}9.若a>b且c≠0，则下列不等式一定成立的是A。
a-c>b-c。
B。
ac>bc。
C。
a^2>b^2.D。
|a|>|b|10.已知a，b，c，d∈R，若a＞b，c＞d，则A。
a-c>b-d。
B。
a+c>b+d。
C。
ac>bd。
D。
ad>bc11.若a>b>c，则下列不等式中正确的是A。
ac>bc。
B。
ab/c>1.C。
a+b>2c。
D。
b/a>c/b12.若b<<a(a,b∈R)，则下列不等式中正确的是A。
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)(解析版)
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况有两个不相等的实数根b2-4ac>0b2-4ac=0有两个相等的实数根无实数根b2-4ac<0（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2―6x+5的部分图象（如图），满足y<0的x的取值范围是____．【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由y=x2―6x+5，当x=0时，x2―6x+5=0解得：x1=1,x2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当y<0时，x的取值范围是1<x<5，故答案为：1<x<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P是二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB．（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【答案】(0,―3)(4,5)【分析】（1）因为与y轴交于点C，所以横坐标为0，代入后即可得到纵坐标；（2）先让纵坐标为0，求出点A，B的横坐标，进而求出直线BC的表达式，再依据S△APC=S△APB，求出直线AP的表达式，再联立方程组，得到点P的坐标，注意两个答案排除一个．【详解】（1）∵y=x2―2x―3与y轴交于点C∴当x=0时，y=―3∴C(0,―3)故填：(0,―3)．（2）∵因为y=x2―2x―3与x轴交于点A，B∴当y=0时，x2―2x―3=0∴x1=3，x2=―1∴A(―1,0),B(3,0)∵C(0,―3),B(3,0),设直线BC为y=kx+b∴b=―3 3k+b=0∴b=―3 k=1∴直线BC为y=x―3∵S△APC=S△APB∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m ∵A(―1,0)∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2―2x―3y=x+1得，x=―1y=0或x=4y=5∴P(―1,0)（舍去）,P(4,5)故填：(4,5)．【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，利用坐标求三角形面积等，解题时要应用数形结合思想．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【答案】(3,0)，(―2,0)【分析】令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到答案；【详解】解：令y=0，则：(x―3)(x+2)=0解得：x1=3，x2=―2∴抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0)，(―2,0)；故答案为：(3,0)，(―2,0)．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的解．【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____．【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2―9，令x2―9=0，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后其解析式为y=x2―9，当x2―9=0时，解得：x1=―3，x2=3，∴抛物线y=x2―9与x轴的交点为―3，0，3，0，∴抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=―x2―3x+3与y轴交点的坐标为____．【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=―x2―3x+3，即得抛物线y=―x2―3x+3与y轴的交点．【详解】解：∵当x=0时，抛物线y=―x2―3x+3与y轴相交，∴把x=0代入y=―x2―3x+3，求得y=3，∴抛物线y=―x2+3x―3与y轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=(x+1)2―2与y轴的交点坐标是_________．【答案】(0,―1)【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=(x+1)2―2=1―2=―1，所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,―1)，故答案为：(0,―1)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为______．故答案为：(0,3)；(2,―1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．考点3：由函数值求自变量x的值【答案】―2+22或5【答案】4【分析】先求得点C的坐标，然后由标代入函数解析式求得m【详解】解：当x＝0时，【答案】2【分析】根据题意，将y=4分别代入进而即可求得BC的长．【详解】解：∵x≥0，则y y【答案】x1=―3，x2=1【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2―bx―c=0的解，就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+ c（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，即x1=―3，x2=1．故答案为：x1=―3，x2=1．【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根分别为α、β且α<β，则α、β满足_____．【答案】α<―1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．【详解】方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，而抛物线y=(x+1)(x―3)与x轴的交点坐标为―1，0和3，0，如图，典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A (―3,―6)，B(1,―2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为__________．【答案】―3<x<1【答案】―1<x<4/4>x>―【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得【详解】解：由图象知，当―1故答案为：―1<x<4．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．（1）二次函数y=ax2+bx+（2）不等式ax2+bx+c≥0的解集是)【答案】(―1,―43【分析】（1）根据抛物线的对称轴和抛物线过点范围即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=―1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴与x轴的另一个交点坐标为(―5,0)，∴y>0时，x的取值范围为：―5<x<3，故答案为：―5<x<3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y=x2+2x―3=(x+1)2―4，∴该抛物线的对称轴为直线x=―1，当x=―3时，y=9―6―3=0，当x=―1时，最小值为y=―4，当y=1时，y=1+2―3=0，∴―4≤y<0，故答案为：―4≤y<0．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．考点7：抛物线与x轴的交点问题【答案】49【分析】过点C作CD⊥x轴于点=4，设点A的坐标为(m,0)，则式和顶点式，即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与AB=3，∴AD=BD=12∵AC=5，∴CD=AC2―AD2=4，设点A的坐标为(m,0)，则B(m同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k―2≠0△=22―4(k―2)=12―4k⩾0，解得：k≤3且k≠2．故选C．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-x-12与y轴的交点坐标为（）A．-3，0B．6，0C．0，-12D．2，16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0，代入得到y的值，即可解答．【详解】解：由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-12，∴与y轴交点坐标是0，-12；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x―2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，－2）C．（-2，0）D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【详解】解：令x＝0，则y＝−2，∴抛物线y＝x2＋x−2与y轴的交点坐标是（0，−2）．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）A．x1＝﹣2，x2＝5B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5D．x1＝2，x2＝5∵抛物线与y轴的交点为（∴当y＝3时x的值为0∴当函数值y＜3时，0＜故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴和与【详解】当x=0时，y=2×(0―1)×(0―m―3)=2m+6，∵函数图像与y轴的交点坐标是（0，2m+6）.∵该函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m+6>0，∴m>―3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013B．2014C．2015D．2023【答案】B【详解】试题分析：∵抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴．故选B考点：抛物线与x轴的交点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义14．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（ ）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(―4,―1)、B(0,2)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．【答案】―4<x<0【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当―4<x<0时，抛物线在直线的上方，∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m的解集是―4<x<0，故答案为：―4<x<0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2―2mx―3m的图象与y轴的交点为(0,3)，那么m=______________．【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：把(0,3)代入y=mx2―2mx―3m得，3=―3m，解得m=―1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．【答案】m＜9【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴Δ=b2―4ac=（﹣6）2﹣4m＞0，解得：m＜9，故答案为：m＜9．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，那么k的值可以是______．（只需写一个）【答案】k=2（答案不唯一）【分析】抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，可得4+k≥0,从而可得答案.【详解】解：∵抛物线y=(x―2)2+k的开口向上，又不经过第三象限，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，而当x=0时，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥―4,所以当k=2时，符合题意，故答案为：k=2（答案不唯一）【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键. 20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x―2与x轴交于点________，与y轴交于点________．（填点的坐标）【答案】(―2, 0)(1, 0),(0, ―2)【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2＋x−2＝0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标．【详解】当y＝0时，x2＋x−2＝0，解得x1＝−2，x2＝1，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（−2，0），（1，0）；当x＝0时，y＝x2＋x−2＝−2，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，−2）．故答案为（−2，0），（1，0）；（0，−2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键．21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2―2x+k―1与x轴有交点，则k的取值范围是令y=0，则x2+4x―12=0，解得，x1=―6，x2=2，∵图象与x轴的一个交点坐标是(2,0)，∴它与x轴的另一个交点坐标是(―6,0)，故答案为：(―6,0)．【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；（3）若方程ax2+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0或x>2；（3）k>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c=0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，∴x1=0，x2=2．（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2．（3）由图象可知，k>2时，方程ax2+bx+c=k无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．（1）求a的值和该抛物线顶点（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P【分析】（1）把C（5,4（2）根据原点坐标(0，【详解】（1）把C（5,42-5x＋4=(x―29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=―x+2交于A、B两点．(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x2≤―x+2的解集．【答案】(1)A―2，4，B1，1(2)―2≤x≤1【分析】（1）将抛物线y=x2与直线y=―x+2联立解方程组y=x2y=―x+2即可得到A、B的坐标；（2）直接观察图象，抛物线在直线下方的符合题意，即可得到答案．【详解】（1）解：解方程组y=x2y=―x+2得：x1=―2y1=4，x2=1y2=1，∴A―2，4，B1，1；（2）解：由图象观察可得：不等式x2≤―x+2的解集为：―2≤x≤1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，函数图象的性质，解题的关键是列出方程组y=x2y=―x+2，解方程组得到点A、B的坐标．30．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x +m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=―x―4交于点A、B，其中点B坐标为(0,―4)，点C坐标为2，0(1)求此抛物线的函数解析式．（3）由图象可得，当―1【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．32．（2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程分过程，请按要求完成下列各小题（1）自变量x的取值范围是全体实数，与（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值③当x=―2时，函数取得最小值0④当x<―2或x>0时，y随x的增大而减小；当（4）在同一坐标系中作出函数y=x解__________________.（保留1位小数，误差不超过【答案】（1）1.5，（2）画图见解析；（2）描点：(―1，0.5)，(0,0),(1,1.5),(2,4),再用平滑的曲线连接各点补全图像如下：（3）由函数的图像可得：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=―1,故①错误；该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值，说法正确，故②正确；当x=―2或x=0时，函数取得最小值0，故③正确；当x<―2或―1＜x＜0，y随x的增大而减小，当-2＜x＜―1或x＞0时，y随x的增大而增大，故④错误；综上：正确的有：②③．故答案为：②③．（4）∵函数y=x+1,令y=0,则x=―1,令x=0,则y=1,∴函数y=x+1过(―1,0),(0,1),画出函数图像如图示：x2+x|=x+1时，由图像可得：当|12x≈―0.3或x≈1.4.故答案为：x≈―0.3或x≈1.4.【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，同时考查描点法画函数图像，利用函数图像求解方程的近似解，掌握以上知识是解题的关键．33．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点。
考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)
考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为62．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即md k=，其中d 是距离（单位cm ），m 是质量（单位g ），k 是弹簧系数（单位g/cm ）．弹簧系数分别为1k ，2k 的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+，并联时得到的弹簧系数k 满足12k k k =+．已知物体质量为20g ，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ） A ．1cm 4B ．1cm 2C ．1cmD ．2cm3．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m ≤B ．74m <C ．4m <D ．3m <4．若,a b 为实数，且2a b +=，且33a b +的最小值为（ ） A ．18B ．6C ．23D ．4235．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．52D ．36．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．17．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422-8．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞D ．()0,19．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．611．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式22028x px qx x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3 B ．()(),24,-∞-+∞C ．()()2,23,4-D ．()()(),22,34,-∞-+∞12．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..14．已知函数2()34(0)f x ax x a =-+>，若存在32m n a<≤，使得()f x 在区间[,]m n 上的值域为[,]m n ，则a 的取值范围________． 15．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 16．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 17．ABC 中，点M ，N 在线段AB 上，且满足AM BM =，2BN AN =，若6C π=，||4CA CB ⋅=∣∣，则CM NC ⋅的最大值为________.18．函数()10y x x x=->的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为________． 19．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________.20．已知实数x ，y ，z 满足：222336x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则x y z ++的最大值为_________.三、解答题21．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x （单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C （单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x （单位：米3）之间的函数关系为()50kC x x =+（0x ≥，k 为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F （单位：万元）.（1）解释()0C 的实际意义，并写出F 关于x 的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F 最小，并求出最小值.（3）要使F 不超过140万元，求x 的取值范围.22．已知关于x 的不等式()24(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A . （1）写出集合A ；（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.23．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.24．已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()23f x x <-.25．设0x >，0y >，4xy x y a =++，其中a 为参数. （1）当0a =时，求x y +的最小值； （2）当5a =时，求xy 的最小值.26．（1）已知2x <，求()92f x x x =+-的最大值； （2）已知x 、y 是正实数，且9x y +=，求13x y+的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()1221212122x y x y t t t x y x t y tx y ⎛⎫+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭分别令129t ++=和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=， ()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确；对于选项B ：当8t =时，181x y+=，()188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++129t ++=即0==即2t =，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++1225t ++=即0==，即8t =，当且仅当12128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】先利用串联列关系()121220k k k k +=，结合基本不等式求得12k k +最小值，再利用并联关系得到12k k k '=+最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为1k ，2k ，串联时弹簧系数为k ，并联时弹簧系数为k '. 两个弹簧串联时，由m d k =知，20201m k d ===，则12111k k k =+即12121211120k k k k k k +=+=， 即()()2121212204k k k k k k ++=≤，故1280k k +≥，当且仅当1240k k ==时等号成立，两个弹簧并联时，12k k k '=+，拉伸距离12m md k k k '==+'，要是d '最大，则需12k k k '=+最小，而1240k k ==时()12min 80k k +=，故此时d '最大，为284001m d k '==='cm. 故选：A. 【点睛】 思路点睛： 利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．C解析：C 【分析】令()241f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：令()241f x mx x =-+当0m =时，原不等式为410x -+<，解得14x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，只需()20f <，即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时，函数的对称轴为20x m =>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解；当22m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<；当1223m ≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<；综上可得4m < 故选：C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；4．B解析：B 【分析】根据基本不等式可知33a b +≥，结合条件求解出33a b +的最小值. 【详解】因为233236a ba b ++≥=⋅=，取等号时1a b ==，所以33a b +的最小值为6， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，所以对一切[)2,x ∈+∞，21ax x ≤+，即21x a x+≤恒成立．令()[)()2112,x g x x x x x+==+∈+∞．易知()1g x x x=+在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 52g x =，所以a 的最大值是52．故选C ． 【点睛】常见的求解参数范围的方法：（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.6．C解析：C 【分析】将11tan tan B C +化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】在ABC 中，()tan tan C A B =-+，111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B，tan 2tan B A =， 211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>，12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A ， 当且仅当12tan 6tan 3A A ，即1tan 2A =时，等号成立，∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.7．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则222224()442x y m n n m n m x y x y m n m n --+=+=-+≤--++，当且仅当2n m m n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.8．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即20(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.9．B解析：B 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值． 【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D 【分析】根据关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256028x x x x -+>--，再利用穿根法求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，所以22028x px q x x ++>--，即为2256028x x x x -+>--，即为()()()()23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题. 12．D解析：D【分析】由3x >，得到30x ->，化简113333y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为3x >，所以30x ->，则11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212x xm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12xt =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.故答案为：()2,3-方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】由二次函数的性质可得化简得进而可得是方程两个不相等的实数根即可得解【详解】因为函数的图象开口朝上且对称轴为所以函数在区间上单调递减所以两式相减化简得将代入可得同理所以是方程两个不相等的实数根 解析：113164a ≤< 【分析】由二次函数的性质可得()()223434f m am m n f n an n m⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，化简得2m n a +=，进而可得,m n 是方程22240ax x a-+-=两个不相等的实数根，即可得解. 【详解】 因为函数2()34(0)f x ax x a =-+>的图象开口朝上且对称轴为32x a =，32m n a<≤， 所以函数2()34(0)f x ax x a =-+>在区间[,]m n 上单调递减，所以()()223434f m am m n f n an n m ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，两式相减化简得2m n a +=， 将2m n a =-代入234an n m -+=可得22240an n a-+-=， 同理22240am m a -+-=， 所以,m n 是方程22240ax x a-+-=两个不相等的实数根， 又函数2224y ax x a =-+-的图象开口朝上，对称轴为132x a a =<， 所以24440a a ⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭且当32x a =时，22240ax x a-+-≥， 所以22444033224022a a a a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅-⋅+-≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得113164a ≤<， 所以a 的取值范围为113164a ≤<. 故答案为：113164a ≤<.关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质转化条件为2m n a+=，再结合一元二次方程根的分布即可得解. 15．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．A>B 【分析】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质联立即可得解【详解】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质可得：而可得故故答案为：【点 解析：A >B【分析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解.【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩， 代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， 根据不等式性质可得：6B <， 而83B A >-，可得6A >, 故A B >，故答案为：A B >.【点睛】 本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.17．；【分析】由平面向量数量积的运算可知再根据平面向量的线性运算可分别得到故由基本不等式的性质可知将所得结论均代入的表达式即可得解【详解】解：根据题意作出如下图形由基本不等式的性质可知的最大值为故答案为解析：3； 【分析】 由平面向量数量积的运算可知23CA CB =1()2CM CA CB =+，1(2)3NC CA CB =-+，故221(23)6CM NC CA CB CA CB =-++，由基本不等式的性质可知，22222||||CA CBCA CB +，将所得结论均代入CM NC 的表达式即可得解．【详解】解：根据题意，作出如下图形，6C π=，||||4CA CB =，∴4cos 236CA CB π=⨯=AM BM =，∴1()2CM CA CB =+， 2BN AN =，∴111()(2)333NC AC AN AC AB CA CB CA CA CB =-=-=---=-+， ∴22111()[(2)](23)236CM NC CA CB CA CB CA CB CA CB =+-+=-++， 由基本不等式的性质可知，222222||||22||||82CA CB CA CB CA CB +=+=， ∴142(82323)36CM NC -⨯⨯= ∴CM NC 的最大值为423- 故答案为：423- 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、基本不等式的性质，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】设曲线上任一点坐标为求出它是原点距离的平方用基本不等式求得最小值【详解】设曲线上作一点的坐标为则当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值属于基础题 解析：22【分析】设曲线上任一点坐标为1,x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，求出它是原点距离的平方，用基本不等式求得最小值．【详解】设曲线上作一点P 的坐标为1,(0)x x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则2222211222OP x x x x x ⎛⎫=+-=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2212x x =，即142x -=时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．19．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算解析：5+【分析】函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，,a b 为正实数，则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b+=++=+++≥+=+当且仅当3a b =，即2,3a b ==5+.故答案为：5+【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.20．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3）解析：1+【分析】按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论．【详解】首先,,x y z 至少有一个正数，（1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈，2222736x y z ++<<，不成立；（2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<，则3z x y -=+-，22()6()9z x y x y =+-++，又2222()36()362x y z x y +=-+≤-， ∴2()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-，即2()4()180x y x y +-+-≤，2x y +≤2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+12x y ==+，1z =时等号成立；（3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<，则3y z x --=-，2222()362y z y z x ++=-≥， ∴22(3)362x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+231x y z x y z x ++=--=-≤+1x =+12y z ==-时等号成立；综上所述，x y z ++的最大值是1+故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式．三、解答题21．（1）()0C 的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；192000.1250F x x =++，0x ≥；（2）该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F 最小，且最小值为90万元；（3）3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题中函数关系式，可直接得到()0C 的实际意义；求出k ，进而可得F 关于x 的函数关系；（2）根据（1）中F 的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值；（3）将140F ≤，转化为关于x 的不等式，求解即可.【详解】（1）()0C 的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，()02450k C ==，则1200k =； 所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为120019200160.120.125050F x x x x =⨯+=+++，0x ≥； （2）由（1）()19200192000.120.125065050F x x x x =+=++-++690≥=， 当且仅当()192000.125050x x =++，即350x =时，等号成立, 即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时， 可使F 最小，且最小值为90万元；（3）为使F 不超过140万元，只需192000.1214050F x x =+≤+， 整理得2333503050000x x -+≤，则()()330501000x x --≤，解得30501003x ≤≤， 即x 的取值范围是3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22．无23．无24．无25．无26．无。
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
2023人教版一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题19.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【人教版】【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 (1)【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 (2)【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 (3)【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 (3)【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 (4)【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 (4)【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 (5)【题型8 绝对值函数与不等式】 (6)【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 (8)【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 (10)【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时， 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是．【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝3B．x＝4C．x＝0D．x＝b【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n ＝0的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是．【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx +b ＝0的解．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y ＝x +b 和y ＝ax +2交于点P （3，﹣1），则关于x 的方程（a ﹣1）x ＝b ﹣2的解为 ．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y ＝kx +b （k 为常数且k ≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程k （x ﹣5）+b ＝0的解为 ．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y ＝ax +b （a 、b 为常数，且a ≠0）的图象过点（2，0），则关于x 的方程a （x +1）+b ＝0的解是 ．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x 的一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣1，0），则方程k （x +2）+b ＝0的解为 ．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y ＝kx ﹣2向下平移4个单位长度得直线y ＝kx +m ，已知方程kx +m ＝0的解为x ＝3，则k ＝ ，m ＝ ． 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组{y =kx +3y =ax +b的解为 ．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组{y −k 1x =b 1y −k 2x =b2的解是 ．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组{x −y =−5x +2y =−2的解为{x =−4y =1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x +5与直线l 2：y =−12x ﹣1的交点坐标为（ ）A ．（4，1）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，﹣4）D ．（﹣4，1）【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x 、y 的二元一次方程x +2y ﹣b ＝0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y =−12x +b ﹣1上，则常数b 的值为（ ）A ．12B ．1C ．﹣1D ．2【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x ，y 的方程组{y =kx +by =(3k −1)x +2（1）当k ，b 为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k ，b 为何值时，方程组有无数组解； （3）当k ，b 为何值时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组{3x +y =−12x +my =−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ） A ．m =23B ．m ≠23C ．m =−23D ．m ≠−23【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x ，y 的方程组{x +y =1ax +by =c 有唯一的一组解，那么a ，b ，c的值应满足的条件是（ ） A ．a ≠bB ．b ≠cC ．a ≠cD ．a ≠c 且c ≠1【变式5-3】（2022春•高明区期末）k 为何值时，方程组{kx −y =−133y =1−6x 有唯一一组解；无解；无穷多解？【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y ＝kx +b 中x 取不同值时，y 对应的值列表如下：x … ﹣m 2﹣1 1 2 … y…﹣2n 2+1…则不等式kx +b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（ ） A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．无法确定【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣3，2），B （1，0），则关于x 的不等式kx +b ＜2解集为 ．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x 的不等式ax +1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax +1与x 轴的交点是（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，﹣1）D ．（1，0）【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y ＝kx +b 与直线y =−12x +52交于点A （m ，2），则关于x 的不等式kx +b ≤−12x +52的解集是（ ）A ．x ≤2B ．x ≥1C ．x ≤1D ．x ≥2【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l 1：y ＝k 1x +b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x +b 的解集为（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y ＝x +2与直线y ＝ax +c 相交于点P （m ，3），则关于x 的不等式x +2≤ax +c 的解集为 ．【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c 的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y ＝|x |的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y ＝|x |的图象； ①列表、填空；x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …31123…②描点； ③连线．（2）观察图象，当x 时，y 随x 的增大而增大； （3）根据图象，不等式|x |＜12x +32的解集为 ．【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y ＝|x |﹣2的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y 的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x |﹣2＞0的解集；（3）若直线y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0）与y ＝|x |﹣2的图象有两个交点A （m ，1），B （12，−32），直接写出关于x 的方程|x |﹣2＝kx +b 的解．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…根据表中的数据可以求得m＝，n＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组{ax+b＜0cx+d＞0的解集是（）A ．x ＜﹣1B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＞4【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y ＝﹣x +m 与直线y =12x +3交点的横坐标为﹣2．则关于x 的不等式组{−x +m ＞12x +312x +3＞0的解集为 ．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y ＝kx +b 经过点A （﹣1，3），B （−52，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜﹣3x 的解集为 ．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y 1＝ax +2与y 2＝bx +4交于点N （1，a +2），将直线y 1＝ax +2向下平移后得到y 3＝ax ﹣5，则能使得y 3＜y 2＜y 1的x 的所有整数值分别为（ ）A ．1，2，3B ．2，3C ．2，3，4D ．3，4，5【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A ．{2x +y ≥53x +4y ≥9y ≥0B ．{2x +y ≤53x +4y ≤9y ≥0C ．{2x +y ≥53x +4y ≥9x ≥0D ．{2x +y ≤53x +4y ≥9x ≥0【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A ．x ﹣y ≤﹣5B ．x +y ≥﹣5C ．x +y ≤5D ．x ﹣y ≤5【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A ．x +y ≤0，且x ﹣y ≥0B ．x +y ≥0，且x ﹣y ≥0C ．x +y ≥0，且x ﹣y ≤0D ．x +y ≤0，且x ﹣y ≤0【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x ﹣y ＝0的一个解{x =1y =1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x ﹣y ＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x ﹣y ＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x ﹣y ＝0的图象称为直线x ﹣y ＝0．直线x ﹣y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x ﹣y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x ﹣y ＝0的上方区域内．特别地，x ＝k （k 常数）表示横坐标为k 的点的全体组成的一条直线，y ＝m （m 为常数）表示纵坐标为m 的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A （2，1）、B （83，32）、C （136，54）、D （4，92），其中在直线3x ﹣2y ＝4上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x ﹣2y ＝4上一个点的坐标 ；（2）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤40≤y ≤3则所有的点P 组成的图形的面积是 ； （3）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤10≤y ≤2x −y ≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P 组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．。
高中数学(必修一)二次函数与一元二次方程、不等式练习题
高中数学（必修一）二次函数与一元二次方程、不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、解答题1．（1）解不等式：245014x x -->+；（2）已知102α-<<，13β<<，求123αβ-的范围．2．当自变量x 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1)2362y x x =-+;(2)225y x =-;(3)2610y x x =++;(4)231212y x x =-+-.3．已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤ (1)求集合A 和B ；(2)求A ∪B ，A ∩B ，4．某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：3m ）与天数()*n n N ∈的关系是10)n S n =.水库原有水量为800003m ，水闸泄水量每天40003m .当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）.5．某小企业生产某种产品，月销售量x （件）与货价p （元/件）之间的关系为1602p x =-，生产x 件的成本50030r x =+元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？6．解下列不等式：（1）24210x x +-< （2） 230x x -+≥（3）210x -> （4）26x x -+<-7．求函数y . 8．设全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤.(1)求A B ，A B ；(2)求()R B A .9．甲、乙两城相距100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10．已知各城供电费用（元）与供电距离（）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，（1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．10．已知集合{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<.(1)求A B ；(2)定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，求A B -.11．如图，为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；(2)用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.参考答案：1．（1）{}59x x <<；（2）112233αβ-<-<-．【分析】（1）通过一元二次不等式的解法计算即可；（2）通过不等式的性质计算即可.【详解】解：（1）214450x x --+>245014x x ∴+<- ()()590x x -∴<-{}59x x ∴<<（2）1032αβ-<<<<，111120133αβ∴-<<-<-<-， 112233αβ∴-<-<-2．(1)等于0,⎪⎪⎩⎭;大于0,|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭;小于0,|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. (2)等于0,{5,5}-;大于0,{|55}x x -<<;小于0,{|5x x <-或5}x >.(3)等于0,∅;大于0,R ;小于0,∅.(4)等于0,{2};小于0,{|2}x x ≠;大于0,∅.【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数2362y x x =-+令23620x x -+=由一元二次方程的求根公式可知x =所以12x x ==结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与x 轴有两个交点,所以当x ∈⎪⎪⎩⎭时,函数值等于0;当|x x x ⎧⎪∈<⎨⎪⎩x >⎪⎭时,函数值大于0;当x x x ⎧⎪∈<<⎨⎪⎪⎩⎭时,函数值小于0.（2）二次函数225y x =-令2250x -=解一元二次方程可知5x =±所以125,5x x =-=结合二次函数的图像与性质可知:当{}5,5x ∈-时,函数值等于0;当{|5x x x ∈<-或}5x >时,函数值大于0;当{}|55x x x ∈-<<时,函数值小于0.（3）二次函数2610y x x =++则()231y x =++结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时x 为∅;当x ∈R 时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;（4）二次函数231212y x x =-+-则()232y x =--结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与x 轴有一个交点,所以:当{2}x ∈时函数值等于0; 当{}2x x x ∈≠时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.3．(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.（1）解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤；（2） 解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.4．第9天会有危险【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第9天会有危险.【详解】设第n 天发生危险.由题意得400012800080000n >-，即2242560n n +->，得8n >.所以汛期的第9天会有危险.【点睛】注意对于数学应用性问题，首先要认真审题，理解题意；其次是建立合理的数学模型；最后用所学的数学知识去求解.同时，所得结果注意与事实相符，如本题n 是天数，需满足0n >.5．20~45【分析】根据销售额和成本以及获利要求列不等式，解一元二次不等式求得产量的取值范围.【详解】设月产量为x 件.由题意可知(1602)(50030)1300x x x -⨯-+≥，即2659000x x -+≤，得2045x ≤≤.【点睛】本小题主要考查函数的实际应用问题，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．（1）{}73x x -<<；（2）{}03x x ≤≤；（3）{1x x <-或}1x >；（4）{2x x <-或}3x >.【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可【详解】（1）由24210x x +-<，得(7)(3)0x x +-<，得73x -<<， 所以不等式的解集为{}73x x -<<，（2）由230x x -+≥，得230x x -≤，得03x ≤≤， 所以原不等式的解集为{}03x x ≤≤，（3）由210x ->，得(1)(1)0x x +->，解得1x <-或1x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x >，（4）由26x x -+<-，得260x x -->，(2)(3)0x x +->，解得2x <-或3x >， 所以原不等式的解集为{2x x <-或}3x >7．定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 【分析】根据原函数列出不等式组求解即可.【详解】因为函数y 所以24506210x x x ⎧-++≥⎨-->⎩，解得1552x x -≤≤⎧⎪⎨<⎪⎩， 所以原函数定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 8．(1){23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =(2)(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解； （2）先根据补集的定义求出B R ，然后再由交集的定义即可求解. （1）解：因为{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =；（2）解：因为全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{2R B x x =≤-或}9x >，所以(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >.9．（1）（2）1003km 【详解】试题分析：（∪）甲城供电费用y 1=0．25×20x 2，乙城供电费用y 2=0．25×10（100-x ）2，总费用y=y 1+y 2，整理即可；因为核电站距甲城xkm ，则距乙城（100-x ）km ，由x≥10，且100-x≥10，得x 的范围；（∪）因为函数y=7．5x 2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-2b a时，函数y 取得最小值试题解析：（1）由题意知：经化简，为．定义域为[10,90]--- -5分（2）将（1）中函数配方为，所以当月供电总费用最小，为元．---10分．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值10．(1){}|2x x ≥(2){}235x x x |≤≤≥或【分析】(1)直接根据集合并集的定义进行求解；(2)根据新定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，即元素属于集合M 当不属于集合N ，从而可求出所求.（1）{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}|2A B x x =≥；（2）{}|M N x x M x N -=∈∉且，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}235A B x x x -=|≤≤≥或.11．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d ，得到答案.（2）根据正弦定理得到()212sin sin d AM ααα=+，()221sin sin d AN βββ=-，再根据余弦定理得到答案. (1)需要测量的数据：A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d .(2)第一步：计算AM ABM 中，根据正弦定理：()122sin πsin d AM ααα=--，故()212sin sin d AM ααα=+. 第二步：计算AN ABN 中，根据正弦定理：()()212sin sin πd AN βββ=--，故()221sin sin d AN βββ=-. 第三步：计算MN AMN 中，根据余弦定理：()222112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⋅-，即MN =。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习
2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、基础巩固1.(2020-四川省三台中学高一月考)不等式(Λ-3)(X+5)>O的解集是( )A. {Λf∣-5<x<3)∣B. {xlx<—5或兀>3}C. {ΛT∣-3<X<5)∣D. {xlx<—3或x>5}【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：y = (x-3)(x+5),如图函数开口向上，与X轴的交点为：(—5,0), (3,0),可得不等式的解集为：{x∣ XV-5或X >3}.2.(2020-江苏省高一期末)不等式X1 2 >8的解集是()A. (-2√2,2√2)B. (-OO,-2√2)<J(2√2,-+<O)C. (-4√2,4√2)D. (-s,-4>^)u(4√∑,+s)【答案】B【解析】由”〉8得x2-8>0,即(x-2√2)(x + 2√2)>0,解得X< -2√2或％> 2√Σ，所以不等式的解集为(―s,_2血)u(2√∑, +∞)■3.(2020-吉林省实验高一期中)不等式X(4-Λ)<3的解集为()A. {xlXVI或x>3}B. {∙φvθ或x>4}C. {x∣l<x<3}D. {x∣0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式X(4-J)<3化简为：X2-4X +3>0, (X-I)(X-3)>0,解得：兀< 1或χ>3.1 31 3 1 3A. {χ∣χv--或x> 二}B. {xlxS--或ΛY二}2 2 2 24.(2020-安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式(x + -)(--x)≥0的解集是()221 3C. {x I —≤ x ≤ —}【答案】C221 3所以不等式的解集为.{xl-≤x≤-}2 25. (2020.浙江省髙一期末)不等式3√÷2x-l<0的解集是(【答案】A【解析】由3√+2x-l≤0> 可得，(x + l)(3x-l)≤0,所以，一15x5*,故选：A6.(2020-盘锦市第二高级中学髙一期末)不等式9-X2< 0的解集为()A. {x∣x>3}B. {xprv-3}C. {x∣-3VXV3}D. {尤卜<一3或/>3}【答案】D【解析】将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,解此不等式得Λ<-3或X>3∙因此,不等式9-X2<0的解集为{x∖x<-3或X>3}.7.(2020-浙江省高一期末)不等式X2-3X-∖0< 0的解集是()A. (—2,5)B. (-5,2)C. (YO5)U(2,+°o)D. (Y)2)U(5,+c<>)【答案】A【解析】解：因为F_3X —10V0,所以(x + 2)(x-5)<0,解得-2<x<5,所不等式的解集为{Λ-∣-2<X<5},故选：A8.(2020-邢台市第二中学高一开学考试)已知集合M ={x∣Y<xv2}, N = {x∖x2-x-6 <0},则MCN =A. {X H<XV3}B. {x∖-A<x<-2}C. {x∖-2<x<2}D. {x∣2<x<3}【答案】C【解析】由题意得，M={Λ∣M<X <2},∕√ = {X ∣-2<X <3},则 MCN = {x|—2vxv2}.故选 C.9. （2020-元氏县第四中学髙一月考）一元二次不等式2/+龙一62O 的解集为（）【答案】A【解析】原不等式可化为（2x-3）（x+2）≥0,解得，χ≤-2,或∏∙∣.10. （2020-浙江省诸暨中学髙一期中）关于X 的不等式（Or-I ）（X-I ）<0（Λ>1）的解集为（）A. I h — B ・-G O,— IU （h+cc ） C. I 丄,1 D ・（一8,1）U —.+CCj∖ a ）U 丿 W ）【答案】C【解析】方程（Or-I ）（X-I ）=O 的两根分别为丄,1,又a>∖,所以丄<1,故此不等式的解集为（丄,1 aa ∖ ClH. （2019∙天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是卜∣ΛL 则d+b 的值【解析】X 2—(d + l)x + dv θu>(x-d)(x-l)v θ,因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为 XW(I,d),是（）A. 10【答案】DB. -10C. 14D. -14【解析】解：根据题意，一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是-∣Λ则方程心+反+ 2 = 0的两根为冷和扌,则有<1<~2>「刃31 h+ —=——3G,解可得 a = —12 ♦ b = —2、1 2则α+b = -14,故选：D.12. （2020•安徽省六安中学髙一期末（理））关于X 的不等式X 2- 3+l ）x+d <0的解集中恰有两个正整数,则实数"的取值范国是（）A. [2, 4)【答案】CB. [3, 4]C. (3, 4]D. (3, 4)D.两正整数为2/5,故Λ∈(3,4]V2 - 2 r - ?13.(2020-吉林省实验髙一期末)不等式A、」-V 2的解集为()Jr + X +1A. {x∣x≠-2}B. RC. 0D. {xlXV-2或x>2}【答案】A【解析】由≤≡-2<2得：M二2 =TjTVOΛβ +X+1 χ∙+X+l ΛΓ+X + 1∙.∙χ2 +x + l >0恒成立.∖ -X1 -4x-4 VO又-X2-4Λ--4=-(X +2)2.∙.(X +2)2 >0 .∙.x≠-2不等式I7' 一： < 2的解集为{x∖x ≠ -2}14.(2020-宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式X2+(IX+ ↑≥0对于一切x∈[θ,∣J成立，则α的最小值为()A. YB. 一?C. 2D. -22 2【答案】B【解析】记/(x) = F+dX+l,不等式x2+iιx + ↑≥0对于一切"|°，£|成立，则必须有7(0) = l≥0〔1 1 1 1 n，解得α 2_才，a = _才时，f(x) = X2Λ +1 =(牙_；)2 _77，在Iak j∖ - =- + -a + ∖≥0 2 2 2 4 16 k 2」(2 丿4 2上单调递减，∕ωmin=∕d)=o^满足题意，∙∙.α的最小值是一？.2 215.(2020-浙江省髙一期末)不等式A-2-1<0的解集是()A. (T,l)B. (→×>,-l)C. (-oo,l)D. (v,-l)U(l,P)【答案】A【解析】解：因为A -2-I <0,所以(X-I)(Λ÷1)<0,解得-1<A-<1,即X∈(-l,l) 故选：A16. (2020-重庆高一期末)若关于X 的一元二次不等式ax 2+2x + ∖> 0的解集为R ，则实数。
第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习
第二章 一元二次函数、方程和不等式章节练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合*{|2}N M x x =∈≤，则以下关系正确的是（ ） A ．0M ∈ B ．2M ∉ C ．{0,1,2}M ⊆D ．{0,1,2}M2．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件3．比较()23x -与()()24x x --的大小（ ） A ．无法比较大小 B ．()()()2324x x x ->-- C ．()()()2324x x x -=--D ．()()()2324x x x -<--4．不等式()()130x x ++<的解集是（ ） A ．RB ．∅C ．{31}xx -<<-∣ D ．{3xx <-∣，或1}x >- 5．已知1a >，则41a a +-的最小值是（ ） A．5B ．6C ．D ．6．已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥8．已知对于任意实数2,20x kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．11k -<< C ．1k <-D ．1k >-二、多选题9．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．0b a -> B ．a b > C ．2a ab >D ．11ab<10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥D ．220x x +->11．以下结论正确的是（ ）A ．函数21x y x+=的最小值是2B ．若a ，R b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数()120y x x x=++<的最大值为0 12．下列说法正确的是( )A ．已知0＜x 12＜，则x (1﹣2x )的最大值为18B ．当43x <时，13134y x x =-+-的最大值是1 C ．若13a <<，25b <<，则231a b -+的取值范围是14<<-x D ．若()227M a a =-+，()()23N a a =--，则M N <三、填空题13．不等式262x x -->的解集为______． 14．(4)(3)0x x --≥的解集是_______. 15．不等式013≤+-x x 的解集是_____. 16．已知23M x x =-,233N x x =-+-，则M ,N 的大小关系是 _____．四、解答题17．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --；18．求下列不等式的解集(1)2560x x --> (2)2690x x -+>(3)230x x -+-> (4) 0)3)(2(<-+x x19．求下列不等式的解集：(1)2690x x ++>； (2)230x x ->； (3)325x x ->-．20．已知正数,a b 满足1a b +=. (1)求ab 的取值范围； (2)求28a b+的最小值.21．设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.(1)若4a =，求A B ；(2)若A B A =，求a 的取值范围.22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米.(1)若菜园面积为36平方米，则x ，y 为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求2x yxy +。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)
2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式例1 求不等式2560x x -+>的解集．【变式】解下列不等式．(1)2450x x -->； (2)22570x x -++≥．例2 求不等式29610x x -+>的解集．【变式2】已知关于x 的不等式221x x a -->，R a ∈. (1)当2a =时，求不等式221x x a -->的解集；(2)若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题，求a 的取值范围.例3 求不等式2230x x -+->的解集．【变式3】已知关于x 的不等式()220R x x a a a -+++>∈．(1)若此不等式的解集是()1,2-，求a 的值； (2)讨论此不等式的解集．选择性拔高题型一：不含参一元二次不等式的解法 【练习1】 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.题型二：含参一元二次不等式的解法【练习2】 已知a ∈R ，关于x 的不等式2322(2)x a a a a x +-<+- （1）当3a =时，求x 的解集.（2）当a ∈R 时，求x 的解集(用a 来表示).题型三：三个“二次”之间对应关系的应用【练习3】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表所示：则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________．2.3.2一元二次不等式的应用例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120180s v v =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km /h ）？【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋118x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？选择性拔高题型一：简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．题型三：一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．题型四：一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤ C ．k 0<或1k > D ．0k ≤或1k >跟踪练习：已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >。
人教版数学八年级下册第19章19.2.3一次函数与方程、不等式-第1课时测试(教师版)
初中数学试卷八年级下册第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时（测）总分：100 时间：40分钟 班级 姓名 总分一、选择题(每小题5分，共20分)1．两条直线y=11k x b +和y=22k x b +相交于点A(－2,3)，则方程组1122y k x b y k x b ì=+ïí=+ïî的解是 .【答案】23x y ì=-ïí=ïî【解析】试题分析：两个一次函数的交点坐标就是以这两个一次函数为方程的二元一次方程组的解. 考点：一次函数与二元一次方程组的关系2．为了推动校园足球发展，某市教体局准备向全市中小学免费赠送一批足球，这批足球的生产任务由甲、乙两家足球制造企业平均承担，甲企业库存0.2万个，乙企业库存0.4万个，两企业同时开始生产，且每天生产速度不变，甲、乙两家企业生产的足球数量y 万个与生产时间x 天之间的函数关系如图所示，则每家企业供应的足球数量a 等于 万个．【答案】1 【解析】试题分析：结合函数图象，设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个，根据企业供应的足球数=库存+每日产量×生产天数，得出关于x 、a 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． ∵（6﹣2）÷（4﹣2）=2，∴设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个， 根据题意可得：，解得：．∴每家企业供应的足球数量a=1万个． 故答案为：1．考点：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是得出关于x 、a 的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．3.如图，已知一次函数(0)y ax b a =+≠和(0)y kx k =≠的图象交于点P ，则二元一次方程组,0y ax b y kx -=⎧⎨-=⎩的解是 ．【答案】42x y ì=-ïí=-ïî【解析】试题分析：方程组的解就是两个函数图象的交点，则42x y ì=-ïí=-ïî.考点：一次函数与方程组.4．如图，已知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是 ．【答案】【解析】试题分析：直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案． 如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组的解是：．故答案为：．考点：此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系。
第三章 3.2 第一课时 函数的零点,二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
教材拓展补遗 [微判断] 1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( × )
提示 函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点.( √ ) 3.一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为R.( √ ) 4.对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的
2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________.
解析 由 9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0，∴只有 3x＋1＝0 即 x＝－13时，不等式才 成立，即其解集为－13. 答案 －13
3.设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1＜x＜13，则 ab 的值为________. 解析 由题意知 a<0，且－1，13为方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根， 根据根与系数的关系，得－ －11＋ ×1313＝ ＝－ 1a，ba， ∴ab＝ ＝－ －32， ，∴ab＝6.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
课标要求
素养要求
1.通过求函数的零点，培养数学运算素 1.理解函数零点的概念，会求简单函数
养. 的零点.
2.通过二次函数的图像、零点、方程、 2.理解二次函数的零点与对应方程、不
不等式解集之间关系的对应，培养联系、 等式解集之间的关系，能借助二次函数
②当 a＝1 时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当 a>1 时，2a<2，所以原不等式的解集为xx>2或x<2a. (3)当 a<0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为 x1＝2a， x2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为x2a<x<2. 综上，当 a<0 时，原不等式的解集为x2a<x<2； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}；
3、函数与方程、不等式关系(学生用)
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式知识点1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．选择题1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）填空题4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．解答题9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1<y2探究题12．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0一、选择题1．直线y=3x+9与x轴的交点是（）A ．（0，-3）B ．（-3，0）C ．（0，3）D ．（0，-3）2．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-33．已知直线y=kx+b 与直线y=3x -1交于y 轴同一点，则b 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．13D ．-134．已知直线AB ∥x 轴，且点A 的坐标是（-1，1），则直线y=x 与直线AB 的交点是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，-1）C ．（1，-1）D ．（-1，1）5、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 12x+2上，则y 1 y 2大小关系是( ) （A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 <y 2 （D ）不能比较6.已知一次函数y=ax+4与y=bx -2的图象在x 轴上相交于同一点,则的值是( )(A)4 (B)-2 (C) 12 (D)- 127、一次函数y=ax+b,若a+b=1,则它的图象必经过点( )A 、(-1,-1)B 、(-1, 1)C 、(1, -1)D 、(1, 1)8. 如图，直线与轴交于点(－4,0)，则>0时，的取值范围是( )A 、>－4B 、>0C 、<－4D 、<09.无论m 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在（ ）A.第一象限B 第二象限C.第三象限D.第四象限10．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ）A ．m>12B ．m=12C ．m<12D ．m=-1211．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．k>3B ．0<k ≤3C ．0≤k<3D ．0<k<312．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A ．y=-x-2B ．y=-x-6C ．y=-x+10D ．y=-x-1二、填空题1．直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a 的值是______．2．已知直线y=2x+8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______． 与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．3．已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x 轴的交点坐标是________．4．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x 等于_________ 时的函数值是8．5.若函数y=(2+m)x 32-m 是正比例函数，则常数m 的值是 .6.y=311-++x x 中x 的取值范围是 . 7.当x= 时，y=2x+2与y=x+1有相同的函数值。
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函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
这样，根据函数解析式与方程之间的关系，也就得出了函数2252y x x =-+与x 轴的两个交点1(,0)2和(2,0)。
有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向（二次项前面的系数20>，所以开口向上），则该二次函数的大致图像就容易作出了。
以上的结论可不可以进一步推广呢？先看接下来这个函数解析式(1)(2)(3)y x x x =+++，如果作这样一个三次函数（三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作出。
如果我们采用上面的思想，先求出(1)(2)(3)y x x x =+++对应的方程(1)(2)(3)0x x x +++=的根，很容易得出该方程的三个根：12--、、-3。
知道了三个根还不行，还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数的正负来确定开口方向。
在实际中，我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴上面的。
如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴下面的。
那么函数(1)(2)(3)y x x x =+++的大致图像如下：函数(1)(2)(3)y x x x =-+++的大致图像如下：通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（1） 求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次表示出来。
（2） 如果最高次项的系数是正数，则按照从右到左，从上到下依次穿过。
如果最高次数的系数是负数，则按照从右到左，从下到上依次穿过。
★ 函数与不等式之间的关系函数解析式：(0)y ax b a =+≠中，如果变为0ax b +>（≥的情况类似）或0ax b +<（≤的情况类似），那么就是不等式了。
实际上，以上两个不等式分别对应一次函数(0)y ax b a =+≠的图像在x 轴上方和x 下方的情况。
而不等式0ax b +>和0ax b +<的解分别是一次函数(0)y ax b a =+≠的图像上方部分对应的自变量x 的范围和下方部分对应的自变量x 的范围。
例如不等式230x ->所对应的是一次函数23y x =-在x 轴上方部分的图像。
该不等式的解为23y x =-在x 轴上方部分的图像 所对应的自变量x 的范围，即32x >。
在二次函数中，这种不等式和函数的对应 关系同样适用。
例如：2252y x x =-+ 的图像如右图所示：不等式22520x x -+>的解为二次函数2252y x x =-+图像上在x 轴上方的部分，不等式的解为：12x <或2x >。
同理 22520x x -+<的解为122x <<。
这也就是二次不等式“二次项的系数大于零， 后面是大于号的取两边（即小于最小根， 大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。
对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数。
从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式()0f x >对应的是函数()f x 图像上在x 轴上方的部分，不等式()0f x >的解就是函数()f x 图像上在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围。
不等式()0f x <对应的是函数()f x 图像上在x 轴下方的部分，不等式()0f x <的解就是函数()f x 图像上在x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围。
对于多次不等式，例如(1)(2)(3)0x x x +++<，首先在数轴上作出函数(1)(2)(3)y x x x =+++的大致图像（前面已介绍），然后取图像在x 轴上方部分对应的x 的取值范围。
所以不等式(1)(2)(3)0x x x +++<的解为3x <-或21x -<<-。
同理也可以解(4)N N ≥次不等式。
★ 一元二次方程和一元二次不等式的关系如果将一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中的“=”改为“＞”或“＜”，则可变为一元二次不等式。
解一元二次不等式的步骤：1、 二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数（注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）。
如22520x x -+->要通过两边同乘以-1变为22520x x -+<。
2、 解出不等式对应的方程的两个根。
如解出方程22520x x -+<的两根分别为12,2。
3、 如果是大于号，解为：x <最小根或x >最大根。
如果是小于号，解为：最小根x <<最大根。
例如22520x x -+<的解为：122x <<。
★ 一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们经常会遇到这样的方程：210x x ++=或这样的不等式：210x x ++<。
结果是都是无解。
也会遇到210x x ++>，解为全体实数。
这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上还存在着某种明显的关系。
我们分别作出函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的六种可能图像。
第一种：当20,40a b ac >∆=->时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：12x x x <<，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：12x x x <<，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >。
第二种：当20,40a b ac >∆=-=时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：∅，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >即1x x ≠。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：∅，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >即1x x ≠。
第三种：当20,40a b ac >∆=-<时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程20ax bx c ++=没有实数根，20ax bx c ++<的解为：∅，20ax bx c ++>的解为：R 。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=-<时，方程20ax bx c ++=无实数根；20ax bx c ++<的解为：∅，20ax bx c ++>的解为：R 。
第四种：当20,40a b ac <∆=->时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：1x x <或2x x >，20ax bx c ++>的解为：12x x x <<。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac <∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：1x x <或2x x >，20ax bx c ++>的解为：12x x x <<。
第五种：当20,40a b ac <∆=-=时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：1x x <或2x x >即1x x ≠，20ax bx c ++>的解为：∅。