全等三角形培优专题训练

探索三角形全等
1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.
⑴求证：AB ⊥ED ；
⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明
2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（ ）
3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.
4、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，O 为对角线AC 的中点，
过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线M 、N 上，且OE ＝OF.
⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE ＝∠NCF
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：
①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系
③直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB.试判断AP 与AQ 的关系，并证明.
E
2、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD ， 求证：BE ⊥AC
3、如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD ＝AE,∠BAC ＝∠DAC ＝90°.
⑴当点D 在AC 上时,如图①,线段BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.
⑵将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.
①
4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C 重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.
⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE ＝_______度.
⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β
a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有
怎样的数量关系？请说明理由.
b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数
量关系？请直接写出你的结论.
①
②
辅助线作法之连接法
在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.
证明∶AC＝AB
2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD 求证：AC∥DF
A
B
C
3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？
E
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值围.
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC 上的中线
求证：AB＝AC
B
B
3、在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.
求证∶AC＝2AE
B
4、△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC
于点E，F.
求证：BE＋CF＞EF
辅助线作法之截长补短法
截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.
补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.
1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，
点E在CD上.
求证：AB＝AC＋BD
A
A
2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.
求证∶∠B＋∠D＝180°
3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为
AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.
求证：∠ADB＝∠CDF
B
D B
4、如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的角平分线. 求证∶AC ＋CD ＝AB
12、如图，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积.
B
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD
求证：CD ⊥AC
全等三角形在动态几何中的运用
1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
B
探究角平分线
1、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_____________.
2、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证:AM平分∠DAB
3、如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BE平分∠ABC,CE
⊥BE.
求证:CE＝1
2
BD
4、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD 求证：∠B＝∠C
B
B
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10cm ，则△DBE 的周长是多少？
6、AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为多少？
7、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
8、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、
F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°
⑴求证：DE ＝DF
⑵如果把最后一个条件改为AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝
180°，那么结论还成立吗？
9、如图，已知AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D
求证：点D 在∠BAC 的平分线上.
10、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞
AD，下列结论正确的是( )
A.AB－AD＞CB－CD
B.AB－AD＝CB－CD
C.AB－AD＜CB－CD
D.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定
11、如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE相交于点O.
求证：DC＋AE＝AC
12、如图，已知△ABC，P为角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G点。

试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由。

B。