中职教育-数学(基础模块)上册 第4章 指数函数与对数函数.ppt
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第4章 指数函数与对数函数
4.1 • 实数指数幂 4.2 • 指数函数 4.3 • 对数 4.4 • 对数函数
内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂 及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和 性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上介绍了对 数函数的概念、图像和性质。
学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其 运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解 指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求 对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及 对数函数的实际应用。
的函数称为对数函数．其中，底数a为常数．对数函数的定义 域为（0，＋∞），值域为R．
下面，我们来研究对数函数的图像和性质．
首先，我们用描点法作出函数y log2 x 和y log3x的图像．
对数函数的定义域为（0，＋∞），在定义域内取若干个x 值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-6、表4-7所示．
首先，我们用描点法作出函数y=2x和y=3x的图像． 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别 求出对应的y值，然后列表，如表4-4所示．
表4-4
x
… －2 －1 0
1
2
…
y=2x … 1/4 1/2
1
2
4
…
y=3x … 1/9 1/3
1
3
9
…
以表中的x值为横 坐标，对应的y值为纵 坐标，在直角坐标系 中依次描出相应的点 （x，y），然后用光 滑的曲线依次连接这 些点，即可得到函数 y=2x 和y=3x的图像， 如图4-4所示．
…
图4-2
表4-3 x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … －8 －3.375 －1 －0.125 0 0.125 1 3.375 8 …
图4-3
综上可知，幂函数y=xα的定义域、单调性和奇偶性会随α 取值的不同而发生变化．总结如下：
（1）当α＞0时，幂函数y=xα的图像经过坐标原点（0，0） 和点（1,1），在区间（0，＋∞）上是增函数；
4.3.2 用计算器求对数值
在CASIO fx－82ES PLUS型计算器上，log■ 键用于计算 一般对数， log 键用于计算常用对数，ln 键用于计算自然对 数．
在实际计算中，若遇到不以10或e为底的一般对数，我们 通常是将其转化为常用对数或自然对数来求值的．为此，我 们给出对数的一般换底公式：
表4-6
x
… 1/4 1/2
1
2
4
…
y
… －2 －1 0
1
2
…
表4-7
x
… 1/9 1/3
1
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
…
y
… －2 －1 0
1
2
…
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐 标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次 连接这些点，即可得到函数y log2 x 和 y log3x 的图像，如图 4-6所示．
4.1.3 幂函数举例
一般地，我们把形如 y=xα（α∈R）
的函数称为幂函数．其中，α为常数，x为自变量，幂函数的定 义域与常数α的取值有关．
表4-1
x
0 0.5 1
2
3
4
5…
y
0 0.71 1 1.41 1.73 2 2.24 …
图4-1
表4-2
x
…
0.5
1
2
3
…
y
…
4
1
0.25 0.11
当a＞0且a≠1时，我们可以得到对数的如下运算法则：
loga (M gN ) loga M loga N M
loga N loga M loga N loga M n nloga M
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数及其图像和性质
一般地，我们把形如
y loga x (a 0 且 a 1)
图4-6
接下来，我们再用描点法作出函数y log 1 x 和y log 1 x
的图像．
2
3
对数函数的定义域为（0，＋∞），在定义域内取若干个x 值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-8、表4-9所示．
表4-8
x
… 1/4 1/2 1
2
4
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
表4-9
x
… 1/9 1/3 1
3
9
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标
系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接
这些点，即可得到函数y log 1 x 和 y log 1 x 的图像，如图4-7
所示．
2
3
图4-7
一般地，对数函数 y loga x (a 0 且 a 1)具有下列性质：
图4-4
接下来，我们再用描点法作出函数y ( 1 )x 和 y ( 1 )x 的
图像．
2
3
指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别
求出对应的y值，然后列表，如表4-5所示．
表4-5
x
… －2 －1 0
1
2…
y=（1/2）x … 4
2
1 1/2 1/4 …
y=（1/3）x … 9
3
1 1/3 1/9 …
“MathO”．
（2）计算 3 40 的值：按SHIFT 键→按 ■W键→输入根指
数“3”→按▶ 键→输入被开方数“40”→按 键，即可显示 计算结果，为“3.419 951 893”（计算结果显示的小数位数默 认为9位，可根据需要自行设定）．
2
（3）计算 24 3 的值：按ON 键（清屏）→按 x■ 键→输入 底数“24”→按▶ 键→按 键（将指数设置为分数形式）→ 输入指数中的分子“2”→按▼ 键→输入指数中的分母 “3”→按 键，即可显示计算结果，为“8.320 335 292”．
（1）函数的定义域为R，值域为（0，＋∞）；
（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；
（3）当a＞1时，函数在（0，＋∞）上是增函数；当 0＜a＜1 时，函数在（0，＋∞）上是减函数．
4.4.2 对数函数应用举例
对数具有如下基本性质：
（1）零和负数没有对数，即N＞0；
（2）loga1 0，即1的对数为0； （3）logaa 1，即底的对数为1． 通常将以10为底的对数称为常用对数，log10 N 简记 为lg N ．
在工程计算和科学研究中，经常使用以无理数 e=2.718 28…为底的对数．将以无理数e为底的对数称为自然 对数，loge N 简记为ln N ．
设a，b＞0且a，b≠1，N＞0，则有
loga
N
logb N logb a
如果所用计算器上没有计算一般对数的按键，可以先用 换底公式
lg N loga N lg a
或
ln N loga N ln a
将其以常用对数或自然对数表示，再用计算器上的log 或 ln 键求值．
4.3.3 积、商、幂的对数
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
如果ab=N（a＞0且a≠1），那么b称为以a为底N的对数，记 作
b loga N
其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数．
通常，我们称形如ab=N的等式为指数式，称形如b loga N 的等式为对数式．由对数的定义可知，当a＞0且a≠1时，
ab N loga N b
m
an
1 n am
计算器辅助求值
下面，我们以用CASIO
fx－82ES
PLUS型计算器求3
40
与24
2 3
的值为例，介绍用计算器求n次根式与分数指数幂的值的一般方
法．
（1）按 ON 键，打开计算器，然后依次按SHIFT 键和 MODE 键，再按1 键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显 示），接着再按一次1 键，将计算结果的显示格式设置为
（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；
（3）当a＞1时，函数在（－∞，＋∞）上是增函数；当 0＜a＜1 时，函数在（－∞，＋∞）上是减函数．
4.2.2 指数函数应用举例
例3和例4中的函数解析式都可以写成 y=cax（c＞0为常数，a＞0且a≠1）
的形式．这个函数模型称为指数模型．当a＞1时，称为指数 增长模型；当0＜a＜1时，称为指数衰减模型．
以表中的x值为 横坐标，对应的y值 为纵坐标，在直角坐 标系中依次描出相应 的点（x，y），然后 用光滑的曲线依次连 接这些点，即可得到 函数y=（1/2）x和 y=（1/3）x的图像， 如图4-5所示．
图4-5
一般地，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）具有下列性质：
（1）函数的定义域为R，值域为（0，＋∞）；
（4）依次按 SHIFT 键和 AC 键，关闭计算器．
4.1.2 实数指数幂及其运算法则
当a，b＞0，p，q为有理数时，有
ap gaq apq (a p ) q a pgq (a gb) p a p gb p
事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂．当 为 实数时，上述运算法则也成立．
4.1 实数指数幂
4.1.1 有理数指数幂
1．n次根式 一般地，如果xn=a（a∈R，n∈N*且n＞1），则称x为a的 n次方根．
（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作n a ．
（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为 相反数，分别用 n a和 n a 表示，其中n a 称为a的n次算术 根．负数没有偶次方根．
（3）0的n次方根是0，记作n 0 0 ． 我们把形如n a （a∈R，n∈N*且n＞1）的式子称为n次 根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数．
2．分数指数幂
我们规定：
m
an
n am
其中m，n∈N*且n＞1．当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时， a≥0．
m
当 a n 有意义，且a≠0时，规定：
（2）当α＜0时，幂函数y=xα的图像不经过坐标原点 （0，0），但经过点（1,1），在区间（0，＋∞）上是减函数.
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数及其图像和性质
一般地，我们把形如 y=ax（a＞0且a≠1）
的函数称为指数函数．其中，底数a为常数．指数函数的定义 域为R，值域为（0，＋∞）．
下面，我们来研究指数函数的图像和性质．
4.1 • 实数指数幂 4.2 • 指数函数 4.3 • 对数 4.4 • 对数函数
内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂 及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和 性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上介绍了对 数函数的概念、图像和性质。
学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其 运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解 指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求 对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及 对数函数的实际应用。
的函数称为对数函数．其中，底数a为常数．对数函数的定义 域为（0，＋∞），值域为R．
下面，我们来研究对数函数的图像和性质．
首先，我们用描点法作出函数y log2 x 和y log3x的图像．
对数函数的定义域为（0，＋∞），在定义域内取若干个x 值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-6、表4-7所示．
首先，我们用描点法作出函数y=2x和y=3x的图像． 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别 求出对应的y值，然后列表，如表4-4所示．
表4-4
x
… －2 －1 0
1
2
…
y=2x … 1/4 1/2
1
2
4
…
y=3x … 1/9 1/3
1
3
9
…
以表中的x值为横 坐标，对应的y值为纵 坐标，在直角坐标系 中依次描出相应的点 （x，y），然后用光 滑的曲线依次连接这 些点，即可得到函数 y=2x 和y=3x的图像， 如图4-4所示．
…
图4-2
表4-3 x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … －8 －3.375 －1 －0.125 0 0.125 1 3.375 8 …
图4-3
综上可知，幂函数y=xα的定义域、单调性和奇偶性会随α 取值的不同而发生变化．总结如下：
（1）当α＞0时，幂函数y=xα的图像经过坐标原点（0，0） 和点（1,1），在区间（0，＋∞）上是增函数；
4.3.2 用计算器求对数值
在CASIO fx－82ES PLUS型计算器上，log■ 键用于计算 一般对数， log 键用于计算常用对数，ln 键用于计算自然对 数．
在实际计算中，若遇到不以10或e为底的一般对数，我们 通常是将其转化为常用对数或自然对数来求值的．为此，我 们给出对数的一般换底公式：
表4-6
x
… 1/4 1/2
1
2
4
…
y
… －2 －1 0
1
2
…
表4-7
x
… 1/9 1/3
1
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
…
y
… －2 －1 0
1
2
…
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐 标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次 连接这些点，即可得到函数y log2 x 和 y log3x 的图像，如图 4-6所示．
4.1.3 幂函数举例
一般地，我们把形如 y=xα（α∈R）
的函数称为幂函数．其中，α为常数，x为自变量，幂函数的定 义域与常数α的取值有关．
表4-1
x
0 0.5 1
2
3
4
5…
y
0 0.71 1 1.41 1.73 2 2.24 …
图4-1
表4-2
x
…
0.5
1
2
3
…
y
…
4
1
0.25 0.11
当a＞0且a≠1时，我们可以得到对数的如下运算法则：
loga (M gN ) loga M loga N M
loga N loga M loga N loga M n nloga M
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数及其图像和性质
一般地，我们把形如
y loga x (a 0 且 a 1)
图4-6
接下来，我们再用描点法作出函数y log 1 x 和y log 1 x
的图像．
2
3
对数函数的定义域为（0，＋∞），在定义域内取若干个x 值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-8、表4-9所示．
表4-8
x
… 1/4 1/2 1
2
4
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
表4-9
x
… 1/9 1/3 1
3
9
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标
系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接
这些点，即可得到函数y log 1 x 和 y log 1 x 的图像，如图4-7
所示．
2
3
图4-7
一般地，对数函数 y loga x (a 0 且 a 1)具有下列性质：
图4-4
接下来，我们再用描点法作出函数y ( 1 )x 和 y ( 1 )x 的
图像．
2
3
指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别
求出对应的y值，然后列表，如表4-5所示．
表4-5
x
… －2 －1 0
1
2…
y=（1/2）x … 4
2
1 1/2 1/4 …
y=（1/3）x … 9
3
1 1/3 1/9 …
“MathO”．
（2）计算 3 40 的值：按SHIFT 键→按 ■W键→输入根指
数“3”→按▶ 键→输入被开方数“40”→按 键，即可显示 计算结果，为“3.419 951 893”（计算结果显示的小数位数默 认为9位，可根据需要自行设定）．
2
（3）计算 24 3 的值：按ON 键（清屏）→按 x■ 键→输入 底数“24”→按▶ 键→按 键（将指数设置为分数形式）→ 输入指数中的分子“2”→按▼ 键→输入指数中的分母 “3”→按 键，即可显示计算结果，为“8.320 335 292”．
（1）函数的定义域为R，值域为（0，＋∞）；
（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；
（3）当a＞1时，函数在（0，＋∞）上是增函数；当 0＜a＜1 时，函数在（0，＋∞）上是减函数．
4.4.2 对数函数应用举例
对数具有如下基本性质：
（1）零和负数没有对数，即N＞0；
（2）loga1 0，即1的对数为0； （3）logaa 1，即底的对数为1． 通常将以10为底的对数称为常用对数，log10 N 简记 为lg N ．
在工程计算和科学研究中，经常使用以无理数 e=2.718 28…为底的对数．将以无理数e为底的对数称为自然 对数，loge N 简记为ln N ．
设a，b＞0且a，b≠1，N＞0，则有
loga
N
logb N logb a
如果所用计算器上没有计算一般对数的按键，可以先用 换底公式
lg N loga N lg a
或
ln N loga N ln a
将其以常用对数或自然对数表示，再用计算器上的log 或 ln 键求值．
4.3.3 积、商、幂的对数
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
如果ab=N（a＞0且a≠1），那么b称为以a为底N的对数，记 作
b loga N
其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数．
通常，我们称形如ab=N的等式为指数式，称形如b loga N 的等式为对数式．由对数的定义可知，当a＞0且a≠1时，
ab N loga N b
m
an
1 n am
计算器辅助求值
下面，我们以用CASIO
fx－82ES
PLUS型计算器求3
40
与24
2 3
的值为例，介绍用计算器求n次根式与分数指数幂的值的一般方
法．
（1）按 ON 键，打开计算器，然后依次按SHIFT 键和 MODE 键，再按1 键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显 示），接着再按一次1 键，将计算结果的显示格式设置为
（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；
（3）当a＞1时，函数在（－∞，＋∞）上是增函数；当 0＜a＜1 时，函数在（－∞，＋∞）上是减函数．
4.2.2 指数函数应用举例
例3和例4中的函数解析式都可以写成 y=cax（c＞0为常数，a＞0且a≠1）
的形式．这个函数模型称为指数模型．当a＞1时，称为指数 增长模型；当0＜a＜1时，称为指数衰减模型．
以表中的x值为 横坐标，对应的y值 为纵坐标，在直角坐 标系中依次描出相应 的点（x，y），然后 用光滑的曲线依次连 接这些点，即可得到 函数y=（1/2）x和 y=（1/3）x的图像， 如图4-5所示．
图4-5
一般地，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）具有下列性质：
（1）函数的定义域为R，值域为（0，＋∞）；
（4）依次按 SHIFT 键和 AC 键，关闭计算器．
4.1.2 实数指数幂及其运算法则
当a，b＞0，p，q为有理数时，有
ap gaq apq (a p ) q a pgq (a gb) p a p gb p
事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂．当 为 实数时，上述运算法则也成立．
4.1 实数指数幂
4.1.1 有理数指数幂
1．n次根式 一般地，如果xn=a（a∈R，n∈N*且n＞1），则称x为a的 n次方根．
（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作n a ．
（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为 相反数，分别用 n a和 n a 表示，其中n a 称为a的n次算术 根．负数没有偶次方根．
（3）0的n次方根是0，记作n 0 0 ． 我们把形如n a （a∈R，n∈N*且n＞1）的式子称为n次 根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数．
2．分数指数幂
我们规定：
m
an
n am
其中m，n∈N*且n＞1．当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时， a≥0．
m
当 a n 有意义，且a≠0时，规定：
（2）当α＜0时，幂函数y=xα的图像不经过坐标原点 （0，0），但经过点（1,1），在区间（0，＋∞）上是减函数.
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数及其图像和性质
一般地，我们把形如 y=ax（a＞0且a≠1）
的函数称为指数函数．其中，底数a为常数．指数函数的定义 域为R，值域为（0，＋∞）．
下面，我们来研究指数函数的图像和性质．