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算法分析与设计习题集整理

第一章算法引论

一、填空题：

1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主耍包括时间复杂度和空间复杂度。

2、多项式A{n) = a m n m+…+ a/ + q的上界为O(rT)。

3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性。

4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。

5、计算下面算法的时间复杂度记为：0(n3) 0

for(i=l;i<=n;i++)

for(j=l;j<=n;j++)

{c[i][j]二 0;

for (k二1;k〈=n;k++)

c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];

}

6、描述算法常川的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD图。

7、算法设计的基本要求：正确性和H J读性。

8、计算下面算法的时间复杂度记为：0(/)。

for (i = l； i

{ y=y+l;

for (j=0； j <=2n； j++ )

x + + ；

}

9、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。

10、算法是指解决问题的方法或过程。

11、算法由操作、控制结构、数据结构三要素组成。

二、简答题：

1、按照时间复杂度从低到高排列：0(4i?)、0(logn)、0(3")、0(20n)、0(2)、0( n2/3),

0( n!)应该排在哪一位？

答：0( 2), 0( logn), 0( n2/3), 0( 20n), 0( 4n2), 0( 3n), 0( n!)

2、什么是算法？算法的特征有哪些？

答:1) 法：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。

2)特征：1)算法有零个或多个输入；2)算法有一个或多个输岀；3)确定性；4)有穷性

3、给出算法的定义？何谓算法的复杂性？

计算下例在最坏情况下的时间复杂性？

for(j=l;j<=n;j++) (1)

for(i=l;i<=n;i++) (2)

(c[i][j]=O; ⑶

for(k=l;k<=n;k++) (4)

c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];

} (5)

答：1)定义：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

2) 算法的复杂性：指的是算法在运行过程中所需要的资源(时间、空间)多少。所需 资源越多，表明算法的复杂性越高

3) 该算法的主要元操作是语句5,其执行次数是r?次。 故该算法的时间复杂度记

为0 (n 8

)・

4、算法A 和算法B 解同一问题，设算法A 的时间复杂性满足递归方程

，若要使得算法A 时间复杂性的阶高于算法B 时间复杂性的阶,

T(n) = aT(n/4) + n , n > 1 a 的最大整数值可取多少？

答：分别记算法A 和算法B 的时间复杂性为丁八(n)和T B (n),解相应的递归方程得：

T A (n) = O(n 2)

0(n) ,a < 4

T B (n) = < 0(nlogn) ,a = 4

O(n ,og4a ) ,a>4

依题意，要求最人的整数a 使得T B (n) 4 时，T B (n) (T A (n) <=> log 4 a < 2 <=> a<42

=16o

所以，所求的a 的最人整数值为15。

5、 算法分析的目的？

答：1)为了对算法的某些特定输入，估算该算法所協的内存空间和运行时间；

2)是为了建立衡最算法优劣的标准，用以比较同一类问题的不同算法。 6、 算法设计常用的技术？(写5种) 答：①分治法；②回溯法； ③贪心法；④动态规划法

⑤分治限界法；⑥蛮力法；⑦倒推法

三、算法设计题

1、 蛮力法：百鸡百钱问题？

2、 倒推法：穿越沙漠问题？

第二章分治算法(1) 一一递归循环

一、 填空题：

1、 总接或间接地调用自身的算法称为 递归算法，用函数自身给出定义的函数称为 递归 函数。

2、 递归方程利约束函数(递归终止条件)是递归函数的两个要素。 二、 判断题：

1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义。

(V )

T(n) = 1 , n = 1 ' T(n) = 4T(n/2) + n , n>l

算法B 的时间复杂性满足递归方程

2、定义递归函数时可以没冇初始值。(X )

三、简答题：

1、什么是递归算法？递归算法的特点？

答：1)递归算法:是一个模块(函数、过程)除了可调用其它模块(函数、过程)夕卜，述可以宜接或间接地调用自身的算法。

2)递归算法特点：

①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；(递归终止条件)

②递归中用较小自变量函数值來表达较大自变量函数值；(递归方程式)

2、比较循环与递归的异同？

答：相同：递归与循环都是解决“重复操作”的机制。

不同：①就效率而言，递归算法的实现往往要比迭代算法耗费更多的时间(调用和返回均需耍额外的吋间)与存贮空间(用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间)，也限制了递归的深度。②每个迭代算法原则上总可以转换成与它等价的递归算法；反Z不然。③递归的层次是可以控制的，而循坏嵌套的层次只能是固定的，因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制。

3、递归算法解题通常有三个步骤？

答：1)分析问题、寻找递归：找出人规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。

2)设置边界、控制递归：找出停止条件，即算法对解的最小规模问题。

3)设计函数、确定参数：和其它算法模块一样设计函数体屮的操作及相关参数。

四、算法设计题：

1、楼梯上有n个台阶，上楼时可以上1步，也可以上2步，设计一递归算法求出共有多少种上楼方法F(n)o

①写出F(n)的递归表达式？

②并写岀其相应的递归算法？

解：①写出F(n)的递归表达式

分析：到n阶有两种走法：

1)n-l阶到n阶；

2)n-2阶到n阶；

1 n=l

F(n) = y 2 n=2

J(n-l) + F(n-2) n〉2

②写出其相应的递归算法？

Int F(int n)

{

if(n=l) return 1;

else if(n=2)

return 2;

else

return F(nT)+ F(n-2);

}

2、设a, b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1, 2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：