初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题
八年级奥林匹克竞赛讲义 第06讲：一元二次方程的解法
第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2（6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+=（11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2（14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-=（17）23145b b +=（18）20x +=（19）42200x x --= （20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ； （4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。
【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ；（2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。
（4）()()()()x x x x --=-+314312。
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：（1）设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围．（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．例2若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值例3已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．例4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k 方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简 2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。
⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。
几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
2019年初中数学一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值．判别式，整数根题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求 b ab aa b a b --++的值．讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-=()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++= 又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=， (2)公共根为01x =或01b x a=--． 题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-． 均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上．故256b ab a b aa b a b a b --+==+．。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。
初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。
2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，1.求k的取值范围．2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）b²－4ac＝16－4k＞0, k<4；（2）由题意得：k＝3.∴x²－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。
∵m²＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a ）α+a -1=0，即（1-a ）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x 2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x （1-a ）-（1-a ）=0，即（x-1）（1-a ）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x 2+x+a=0和x 2+ax+1=0的b 2-4ac 都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．例3、已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2-abx+（a+b ）=0有没有公共根，请说明理由．解：不妨设关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2-abx+（a+b ）=0有公共根，设为x0，则有x 02−(a+b)x 0+ab ＝0① x 02−abx 0+(a+b)＝02 整理可得（x 0+1）（a+b-ab ）=0．∵a＞2，b ＞2，∴a+b≠ab，∴x 0=-1； 把x 0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x 的两个方程没有公共根．又解：x 2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0 所以其两根分别是a 和 b若方程：x 2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得： a 2 – a 2b + a + b = 0 (b-1)a 2 - a - b = 0( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去） 由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得： b > 2(b-1) 即：b < 2这与 b > 2 矛盾同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+（k-2）=0．②①-②有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab ba b a a a --++的值。
初中数学竞赛精品标准教程及练习45一元二次方程的根
初中数学竞赛精品标准教程及练习45一元二次方程的根一、一元二次方程的定义及基本知识回顾一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
求解一元二次方程的根需要运用二次根公式：x=(-b±√(b²-4ac)) / (2a)。
其中，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程主要有以下几种方法：1.因式分解法：当方程为(x-p)(x-q)=0时，利用“互为相反数”的性质，得出方程的解为x=p或x=q。
2.公式法：对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，带入二次根公式，即可求解方程的根。
3.完全平方公式法：对于形如(x+p)²=q的方程，利用完全平方公式可解出方程。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax²+bx+c=0，根与系数之间有一定的关系，如下所示：1. 判别式：Δ=b²-4ac判别式Δ可以用来判断一元二次方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
2.根与系数的关系：设方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下关系成立：x₁+x₂=-b/ax₁x₂=c/a四、一元二次方程的应用题1.平方差公式的应用：已知两个数的和与差，求这两个数。
设这两个数为x和y，已知x+y=A，x-y=B，则由平方差公式可得x=(A+B)/2，y=(A-B)/22.求解图形问题：已知一元二次方程的解为一些图形的边长、面积或体积等，利用解二次方程可以求解出图形的相关信息。
3.求解时间问题：已知一些过程中的速度和时间，求解该过程的距离。
上海初二数学教学课件(11)一元二次方程公公共根问题
例题4 例题
bxb为何值时，方程x2-bx-2=0和 为何值时， 2x-b(b有相同的根， x2-2x-b(b-1)=0有相同的根，并求出这个相同
的根。 的根。
例题5 例题
已知三个关于x的一元二次方程： 已知三个关于x的一元二次方程：
+ax+b=0。 ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0。
恰有一个公共实数根。 恰有一个公共实数根。 试证明a+b+c=0求 + + 的值 bc ca ab
例题6 例题
• 已知方程x2-3x+1=0的两个根α和β也是方程 的两个根α 的根。 的值。 x6-px2+q=0的根。求p和q的值。
课后作业
一元二次方程（ 一元二次方程（十）
——公共根问题
公共根
• 顾名思义，公共根问题指的是两个方程拥 顾名思义， 有相同的根。 有相同的根。 • 往往和一些含有字母的方程有关。 往往和一些含有字母的方程有关。 • 这类题目题型很活，知识迁移很多。往往 这类题目题型很活，知识迁移很多。 在数学竞赛和自主招生中常见。 在数学竞赛和自主招生中常见。
谢谢
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1.若方程x +ax+b=0和 +bx+a=0有一个公共根 有一个公共根， 1.若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，则（ 若方程 a+b) 2003=________ 答案： （答案：-1）
2.已知x2-x+m=0与x2+x+3m=0有一根相同，那么m的值 有一根相同， 2.已知x x+m=0与 +x+3m=0有一根相同 那么m 已知 是多少？ 是多少？ 答案： （答案：0或-2）
(初三)九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)教案讲义
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 3)当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，1)方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； 2)方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； 3)方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；2)若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为0≠a ，0≥∆.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥12()()x kx k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x xx x x x x x x x x ++-+==； ⑨12x x -==；⑩122|||||x x x +==2|x =．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当0≥∆且120x x >时，两根同号．当0≥∆△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当0≥∆且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当0>∆且021<x x 时，两根异号．当0>∆且021<x x ，021>+x x 时，两根异号且正根的绝对值较大； 当0>∆且021<x x ，021<+x x 时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；2)若有理系数一元二次方程有一根b a +，则必有一根b a -(a ，b 为有理数)．【典型例题——基础题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 04322=-+x x (2))0(02≠=+a bx ax 【答案与解析】 (1)04322=-+x x2=a ，3=b ，4-=c ，∵041)4(243422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ∴方程有两个不相等的实数根.(2))0(02≠=+a bx ax∵0≠a ， ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程， 将常数项视为零， ∵2204b a b =⋅⋅-=∆，∵无论b 取任何关数，2b 均为非负数， ∴0≥∆，故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：0122=++-a ax x . 【答案】∵0)1(14)(22<+⨯⨯--=∆a a ，∴该无实根.2．关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】2<k 且1≠k ；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根， ∴01≠-k 且0)1(4)2(2>---=∆k ， 解得：2<k 且1≠k ． 故答案为：2<k 且1≠k ．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根.【答案】∵012)5(3710)]3(3[4)]1([222>++=++=+----=∆m m m m m ， ∴关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将2=x 代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，7-=k ．方法二：将2=x 代入方程，得062252=-+⨯k ，从而7-=k ．设另外一根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为7-．【总结升华】由一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程022=+-c x x 的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】由一元二次方程根与系数的关系易另一根为1-；c 的值为3-．4．已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-m mx ． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案与解析】解：(1)0)2(448)2(222≥-=+-=-+=∆m m m m m ∴方程总有实数根； (2)解方程得，mm m x 2)2(22,1-±+=，mx 21=，12=x ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴1=m 或2，2=m 不合题意， ∴1=m ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．【典型例题——提高题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.已知关于x 的方程0222=-++a x x ．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】(1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式042>-=∆ac b ．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．(2)设方程的另一根为1x ，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：(1)∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ．∴a 的取值范围是3<a ；(2)设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=⋅-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ， 则a 的值是1-，该方程的另一根为3-．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系． 举一反三：【变式】若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是( )A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3 【答案】A.【解析】根据题意得：01216≥-=∆k ，且0≠k ，解得：34≤k ，且0≠k . 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且1≠m . 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且1≠m ．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，1≠m ． 举一反三：【变式】已知：关于x 的方程04)1(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】021≠->k k 且.【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以044)1(2>⋅⋅-+=∆k k k ，解得21->k ，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即0≠k ，∴k 的取值范围是021≠->k k 且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设1x 、2x 是方程22610x x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得1262x x +=，1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知126x x +=1212x x =-，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-26135212222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)22121212()()4x x x x x x -=+-26137422222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a cx x =21.举一反三：【变式】不解方程，求方程01322=-+x x 的两个根的(1)平方和；(2)倒数和． 【答案】(1)134； (2)3． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知2321-=+x x ，2121-=⋅x x ，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-413)21(2)23(2=-⨯--=． (2)3212311212121=--=+=+x x xx x x ．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为1x 、2x ，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为1y 、2y ， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【巩固练习】A 组一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．0122=++x xB ．02132-=+x x C ．011.02=--x x D ．230x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是( )A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程022)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．1-B ．0 C. 1 D. 24．关于方程0322-++x x 的两根21x x 、的说法正确的是( )A. 221=+x xB.321-=+x xC. 221-=+x xD.无实数根 5．关于x 的一元二次方程042=++k x x 有实数解，则k 的取值范围是( )A.4≥kB.4≤kC.4>kD.4=k6．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为( )． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 二、填空题7．关于x 的方程03242=--x kx 有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．已知01232=--x x 的二根为21x x 、，则=+21x x ______，=⋅21x x ______，1211x x +=•_______，•=+2221x x _______，=-21x x ________． 9．若方程0322=--x x 的两根是21x x 、，则代数式21222122x x x x --+的值是 。
竞赛辅导 一元二次方程
一． 一元二次方程的判别式若 x o 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根,则判别式△=b 2-4ac 与平方式 M=(2ax o +b)2 的关系是 (A)△＜M (B)△=M (C)△＞M (D)不确定.若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程4x 2+4(a 2+b 2+c 2)x+3(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．若对任何实数a ，关于x 的方程x 2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b 的取值范围．已知 b 2 - 4ac 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ） (A)ab≥1/8 (B)ab≤1/8 (C)ab≥1/4 (D)ab≤1/4若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程a x 2+b x +c =0（ ）。
（A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根6、对a >b >c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。
（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0. （3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。
已知a i 、b i (i=1，2，3)为实数，且a 21-a 22-a 23与b 21-b 22-b 23中至少有一个是正数.证明:关于x 的一元二次方程x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(a 21-a 22-a 23)(b 21-b 22-b 23)=0①必有实根. 不妨设a 21-a 22-a 23>0，则a 1≠0.作一元二次方程(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23)=0.②记f(x)=(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a 1x+b 1)2-(a 2x+b 2)2-(a 3x+b 3)2(a 1≠0). 取x 0=-b 1/a 1，有f(x 0)≤0.所以，二次函数f(x)的图像与x 轴有交点，即方程②有实根.故方程②的判别式Δ≥0.因为方程①、②有相同的判别式Δ，所以，方程①有实根.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2二． 根与系数的关系△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．1411、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
5-3-4一元二次方程的公共根与整数根.讲义教师版
中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指岀各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题鈕Ml世知识点睛、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题对于一元二次方程ax2• bx • c =0 (a =0)的实根情况，可以用判别式尺-b2 -4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax2 bx 0 (^^ 0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴二b2-4ac为完全平方数；⑵ -b 亠- b2—4ac =2ak 或-b - • b2「4ac =2ak，其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.一元二次方程的公共根与整数根例题精讲元二次方程的公共根【例1】求k 的值，使得一元二次方程 x2• kx 一1 =0 , x 2• x • (k _2) =0有相同的根，并求两个方程的根.【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有2 2a ka-1=0 ……①， a a ( k -2) ^0-…②.①一②有，ka _1 _a _(k _2) =0，即(k _1)(a _1) =0 , /• k =1，或 a =1 . 当k =1时，两个方程都变为 x 2• x -1 =0 ,•••两个方程有两个相同的根x b 2 =号叵，没有相异的根；当a =1时，代入①或②都有k =0 ,此时两个方程变为 x 2-仁0 , x 2• x -2 =0 . 解这两个方程， x 2—1 = 0 的根为X 1 =1, X 2 = -1 ； x 2■ x —2 =0 的根为 X 1 =1, X 2 = -2 .x=1为两个方程的相同的根.【答案】当k=1时，洛送二号5;当x=1时，x=1【难度】【关键词】配方思想21 2 3b 又 X 0 X 0(X 0 -)- 0，故 a b ^0，公共根为 X D =1 或《--1-一 . 4a⑵ 由 a3b 3c 3- 3abc =(a b c)(a 2b 2c 2- ab - be - ca)及 a b c = 0 可知3 3 I 33,33abc -a b c 3abc ，故3.abc【答案】⑴见解析⑵3【例2】 试求满足方程 x2-kx -7 = 0与x 2-6x - (k 1^0有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异【巩固】【考点】三个二次方程 ax 亠bx 亠c =0 , ⑴求证：a b c 0 ;333⑵求a b c的值.abc2bx 亠 cx 亠 a 二 2cx ax0有公共根.【题型】 解答【解析】 ⑴设上述三个方程的公共根为ax 。
例说一元二次方程有公共根的问题
因为
x
2 0
+
x0 +
1=
( x0 +
1 2
)2
+
3 4
>
0,
所以 a + b + c = 0,
从而 c = - ( a + b ). 于是 a2 + b2 + c2
bc ca ab
=
a3 + b3 + abc
c3
=
a3 +
b3 - ( a + abc
b) 3
=
-
3ab ( a + abc
b) =
3.
例 1 ( 1988年广州等五城市联赛题 ) 如
果 x+
1 x
=
3,
求 x
4
+
x2 x2
+
的
x2 x2
+
1=
x2 +
1 x2
+
1
= (x + 1 )2 - 1 x
= 8,
所以原式 = 18. 二、不求特殊求一般
例 2 ( 1992年山东省初中竞赛题 ) 化简
3
1
3
3.
4+ 6+ 9
a = 0只有一个公共根, 则 ( )
(A) a = b
( B) a + b = 0
( C) a + b = 1 (D ) a + b = - 1
解: 设公共根为 , 则 2 + a + b = 0, 2 + b + a = 0.
把上面两个等式相减, 并整理得
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入(强化)(解析版)
专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=．（1）试判断该方程根的情况，说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根，求k 的值．【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下：△222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-´´-=-+=-+．2(1)0k -Q …，2(1)40k \-+>，即△0>，\无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m ，则()()221102360m k m k m k m k ì-++-=ïí--+-=ïî①②，②-①，得：2450m m +-=，解得：15m =-，21m =．当5m =-时，有255(1)10k k +++-=，解得：296k =-，2929225(3)(5)6066´---´---=Q ，296k \=-符合题意；当1m =时，2(1)110m k m k -++-=-¹，1m \=不符合题意，舍去．k \的值为296-．【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：Q △22(3)12(3)k k k =+-=-，2(3)0k -Q …，\方程有两个实数根；（3）解：取2k =时，则35k +=，36k =，故方程为2560x x ++=，(3)(2)0x x ++=，解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值；（2）代数式22202020191a a a -++的值．【解答】解：（1）a Q是方程2202010x x -+=的一个根，220201a a \=-，220201a a \=-，2240403a a \--2(20201)40403a a =---4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+-211a a+=-2020111a a-+=-20201=-2019=．【题组训练】一．公共根1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，则a 的值是 2 ．【解答】解：Q 方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，(1)10a x a \+++=，(1)(1)0a x \++=，解得，1x =-，当1x =-时，2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x ，则20020000x ax b x bx a ì++=ïí++=ïî①②．①-②，得0()(1)0a b x --=，当a b =时，两方程完全一样，不合题意；当01x =时，1a b +=-，则200()1a b +=．答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则( )A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x ，则20020000x ax b x bx a ì++=ïí++=ïî①②．①-②，得0()(1)0a b x --=，当a b =时，方程可能有两个公共根，不合题意；当01x =时，1a b +=-．故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根，则m = 2或103- ．【解答】解：解方程2230x x --=得11x =-，23x =，把1x =-代入210x mx ++=得110m -+=，解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++=，解得103m =-，综上所述，m 的值为2或103-．故答案为：2或103-．5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++=，三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++=，即2()(1)0a b c t t ++++=，因为22131(024t t t ++=++>，所以0a b c ++=，所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc=3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根，则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=Q 与220x x m ++=有一个公共实数根，2222x mx x x m \++=++有一个实数根，1x \=，把1x =代入220x mx ++=得：3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+¹，它们的公共根是( )A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+=，(5)(1)0x x --=，50x -=或10x -=，15x \=，21x =，把15x =，21x =代入②③，5x =能使方程左右相等，\它们的公共根是5，故选：A ．9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1(2)102k x k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；（3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值．【解答】解：（1）Q 方程①有两个相等实数根，102k \+¹且△10=，即2(2)4(1)(1)02k k +-+´-=，则(2)(4)0k k ++=，解此方程得12k =-，24k =-，而20k +¹，4k \=-，当4k =-时，方程②变形为：2750x x -+=，解得1x =2x =；（2）Q △2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>，\无论k 为何值时，方程②总有实数根，Q 方程①、②只有一个方程有实数根，\此时方程①没有实数根，（3）设a 是方程①和②的公共根，2(1)(2)102ka k a \+++-=③，2(21)230a k a k ++--=④，由(③-④)2´得22(1)44ka k a k =---⑤，由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥，将⑤、⑥代入，原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=．10．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式22(42)35a a k a a +-++的值．【解答】解：（1）Q 方程①有两个相等的实数根，\11020kì+¹ïíï=îV ，则2k ¹-，△222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+´-=++++=++，则(2)(4)0k k ++=，2k \=-，4k =-，2k ¹-Q ，4k \=-；（2）Q△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-´´--=++++=++=++>，\无论k 为何值时，方程②总有实数根，Q 方程①、②只有一个方程有实数根，\此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根，\2(1(2)102k a k a +++-=③，2(21)230a k a k ++--=④，\③2´得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤，⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=，代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．二．整数根11．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是( )A ．p 是正数，q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数，p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x ，方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ．Q 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，120x x q \×=>，120y y p ×=>，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；Q 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，240p q \-…，240q p -…，2222(2)(2)44448(p q p q q p p \-+-=-++-+>、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．12．关于x 的方程2(3)30(0)m x m x m +--=¹有两个不相等的正整数根，则整数m 的值为 1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--´-2269(3)0m m m =++=+…，x \=，1x \=或3x m=-，由题可知：1m =-，故答案为：1-13．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=．（1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时m 的整数值．【解答】，解：（1）由题意可知：0m ¹，Q △2(2)?8m m=+244?8m m m=++2?44m m =+2(?2)m =，\△0…，故0m ¹，方程总有实数根；（2）2(2)20m x m x -++=Q ，(1)(2)0x mx \--=，1x \=或2x m=，Q 方程有两个不相等的正整数根，1m \=．15．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根，求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的n 的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-=，所以2n m =；（2）当2m =时，原方程变形为240x x n -+=，Q 方程有两个不相等的根，\△2440n =->，即4n <，当0n =时，方程变形为240x x -=，方程有两个整数根，即10x =，24x =．16．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)m x m x m ---=¹．（1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m 的值．【解答】（1）证明：0m ¹Q ，△2(2)4(2)m m =--´-2448m m m=-++244m m =++2(2)0m =+…，\方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=，11x \=，22x m=-，当整数m 取1±，2±时，2x 为整数，Q 方程有两个不相等的整数根，\整数m 为1-，1，2．17．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根，且m 为正整数，则符合条件的所有正整数的和是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-…，解得3m …，m Q 为正整数，m \为1、2、3，当1m =时，△8=，所以方程的根为无理数，不合题意舍去；当2m =时，方程化为220x x +=，方程有两个整数解；当3m =时，方程化为2210x x ++=，方程有两个相等整数解；所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=．故选：B ．18．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根，则m 的值为( )A ．2B ．1CD ．2或1【解答】解：Q 方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程，0m \¹，2(2)20m x m x -++=Q ，(2)(1)0mx x \--=，1x \=或2x m=，Q 方程有两个不相等的正整数根，\21m ¹，2m是正整数，1m \=．故选：B ．19．已知二次多项式25x ax a -+-．（1）当1x =时，该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-=，有两个不相等的整数根，则正数a 的值为 ．【解答】解（1）当1x =时，25154x ax a a a -+-=-+-=-，故答案为4-；（2）设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则12x x a +=，125x x a =-．a \，5a -均为整数，\△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数，设22(2)16(a t t -+=为整数，且0)t …，则22(2)16a t --=-．于是，(2)(2)16a t a t ---+=-，由于2a t --，2a t -+奇偶性相同，且22a t a t ---+…，\2424a t a t --=-ìí-+=î或2822a t a t --=-ìí-+=î或2228a t a t --=-ìí-+=î，解得24a t =ìí=î或15a t =-ìí=î（舍去）或55a t =ìí=î，经检验2a =，5a =符合要求，2a \=或5a =，故答案为2或5．20．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -=，求k 的值．【解答】解：（1）证明：当10k +=，即1k =-时，原方程为440x --=，解得：1x =-；当10k +¹，即1k ¹-时，△222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-…，\方程有实数根．综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根．（2）Q 方程有两个整数根，113(3)12(1)k k x k -+-\==-+，213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++，且1k ¹-，2x Q 为整数，k 为正整数，1k \=或3k =．（3）由（2）得11x =-，2421x k =-++，且1k ¹-，1244|||1(2||1|311x x k k \-=---+=-=++，解得：3k =-或0k =，经检验3k =-或0k =是原方程的解．故k 的值为3-或0．三．整体思想21．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，则224a a +的值是 6 ．【解答】解：a Q 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，2230a a \+-=，223a a \+=，22242(2)236a a a a \+=+=´=，故答案为：6．22．已知xm =是一元二次方程210x x --=的一个根，则代数式22021m m -+的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：x m =Q 是一元二次方程210x x --=的一个根，210m m \--=，21m m \-=，22021120212022m m \-+=+=．故选：B ．23．m 是方程210x x +-=的根，则式子2222020m m ++的值为( )A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m Q 是方程210x x +-=的根，210m m \+-=，即21m m +=，222220202()2020220202022m m m m \++=++=+=．故选：D ．24．若a 是方程210x x --=的一个根，则322020a a -++的值为( )A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a Q是方程210x x --=的一个根，210a a \--=，21a a \-=，21a a -+=-，32222020(1)202020202019a a a a a a a \-++=--++=-++=．故选：C ．25．若1x =-是关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个根，则202133a b +-的值为( )A ．2018B ．2020C ．2022D ．2024【解答】解：将1x =-代入方程，得：10a b --=，则1a b -=，所以原式20213()a b =+-202131=+´20213=+2024=，故选：D ．26．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=¹有一根为2019x =，则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( )A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+=，设1t x =-，所以220at bt ++=，而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=¹有一根为2019x =，所以220at bt ++=有一个根为2019t =，则12019x -=，解得2020x =，所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =．故选：B ．27．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为( )A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【解答】解：a Q 是方程2202210x x -+=的一个根，2202210a a \-+=，即212022a a +=，220221a a =-，则2222022112021112022120211a a a a a a a +-+=-+=-=-=+．故选：C ．28．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+=，得210a -+=，所以21a +=，则222211()22826a a a a +=+-=-=-=．故选：B ．29．若x 是方程2310x x ++=的解，则11x x -=+ 2- ．【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++，x Q 是方程2310x x ++=的解，231x x \=--，\原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+2=-．故答案为：2-．30．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根，求代数式22120202021a a a +--的值为 1- ．【解答】解：a Q 是方程2202110x x -+=根，2202110a a \-+=，220211a a \=-，\原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．31．若a 是方程210x x +-=的根，则代数式12022a a -+的值是 2023 ．【解答】解：a Q 是方程210x x +-=的根，210a a \+-=，11a a\-=-，12022a a\-+12022()a a =--20221=+2023=．故答案为：2023．。
九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系讲义全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
次方程中含有x1＋x2 ，x1·x2部分进行整体代换运算.
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【例】（湖北）若α，β是一元二次方程x2+2x-6=0两根，则
α2+β2等于
()
A. -8
B. 32
C. 16
D. 40
解析 依据题意，得α+β=-2，α·β=-6.
所以α2+β2=(α+β)2-2α·β=(-2)2-2×(-6)=16.
个不相等实数根为x1，２＝________________,则x1＋x2＝
________， x1·x2＝______.
4. （六盘水）已知x1=3是关于x一元二次方程x2-4x+c=0一个
根，则方程另一个根x2是___________.
1
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名师导学
新知 一元二次方程根与系数关系
假如方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么
答案 C
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举一反三
1. 假如x1，x2是方程x2-2x-1=0两个根，那么x1+x2值为
( )B
2. （南京）已知方程x2+mx+3=0一个根是1，则它另一个根是 ___________，3m值是___________. -4
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上册 第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程根与系数关系
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课前预习
1. 若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0两个根，则x1+x2值是
(A )
A. -10
B. 10
C. -16
D. 16
2. 若方程x2+x-1=0两实根为α，β，那么以下说法不正确是
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一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。
2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，1.求k的取值范围．2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）b2－4ac＝16－4k＞0, k<4；（2）由题意得：k＝3.∴x2－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。
∵m2＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．例3、已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有x02(a+b)x0+ab＝0① x02abx0+(a+b)＝02整理可得（x0+1）（a+b-ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1；把x0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x的两个方程没有公共根．又解：x2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0？所以其两根分别是a 和 b？若方程：x2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得：a2– a2b + a + b = 0？(b-1)a2 - a - b = 0？( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0？得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去）？ 由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得： b > 2(b-1)？ 即：b < 2？ 这与 b > 2 矛盾？同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾？所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+（k-2）=0．②①-②有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当a=1时，代入①或②都有k=0， （3）此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab ba b a a a --++的值。
解答：由方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a ）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a ）=0x 2=a ；同理可由方程（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b ）=0解得 x 2=b ；∵a，b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．（若有也是同样的结果）当a=2，b=4，（把a=4，b=2代入计算的结果一样）例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程 没有实数根，并化简（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值． 解答： 练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
解（1） ∵，∴k≤9；（2） ∵k 是符合条件的最大整数且k≤9， ∴k=9，当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3； 把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0， ∴m=-8/32.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。
解答： (1)△>0 解得k<4(2)k 是最大整数,说明k=3 x 2-4x+k=0的根是1和3 x 2+mx-1=0的根是1时,m=0 x 2+mx-1=0的根是3时,m=-8/33.已知21,x x 是一元二次方程032)1(2=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当k 取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-k x x 与022=-+m mx x 只有一个相同的根，求m 的值。
解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=（2k ）2-4（k+1）（k-3）＞0 解得k ＞-3/2∵方程是一元二次方程 ∴k+1≠0， ∴k≠-1．∴实数k 的取值范围为：k ＞-3/2且k≠-1． （2）由（1）可得：k 取最小整数时k=0． ∴x 2-x+0=0， 解得x 1=0，x 2=1．①把x=0代入x 2+mx-m 2=0，m=0． ②把x=1代入x 2+mx-m 2=0得， m 2-m-1=0，解得m=4、已知方程072=--kx x 与方程0)1(62=+--k x x 有公共根，求k 的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。
解答：设两个方程公共根为x ，依题意得 X 2kx7＝0① X 26x(k+1)＝0②②-①得，（-6+k ）x+（6-k ）=0，当-6+k=0，即k=6时，x 取任意值，两个方程得解都相同．两个方程是同一个式子．方程得解是x 1=7，x 2=-1； 当k≠6时，解得x=1．把x=1代入x 2-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6． 于是两方程为：x 2+6x-7=0③，x 1=1，x 2=-7．X 2-6x+5=0④，x 1=1，x 2=5．故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和5．5.关于x 的方程x 2+bx+1=0与x 2-x-b=0有且只有一个公共根，求b 的值．解：设方程的公共根为x=t ，则 T 2+bt+1＝0 (1) T 2tb ＝0 (2)， 由（2）得b=t 2-t （3）将（3）代入（1）得：t 3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2． ●变式：若两个方程x 2+ax+b=0和x 2+bx+a=0只有一个公共根，则（ ）A ．a=bB ．a+b=0C ．a+b=1D ．a+b=-1.解：设公共根为x 0，则x 02+ax 0+b=0 ① x 02+bx 0+a=0 ②． ①-②，得（a-b ）（x 0-1）=0，当a=b 时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x 0=1时，所以1+a+b=0，a+b=-1．故选D ．●变式：已知实数a,b 满足a2+b2=1,且方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0至少有一个公共根,求a 、b 的值解:第一种情况：有两个相同的根，则a=b,即a=b=±2第二种情况：有一个相同的根，则x2+ax+b=0和x2+bx+a=0，两式作差，得（a-b ）（x-1）=0可得x=1可得a+b+1=0 加上a 2+b 2=1,可解得a=-1,b=o 或a=0，b=-16.若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，求2012)(b a +的值。
解答：设公共根为t ， 则t 2+at+b=0，t 2+bt+a=0， ∴（a-b ）t=a-b ， ∵t 有唯一的值， ∴a -b≠0， ∴t=1，把t=1代入x 2+ax+b=0得a+b+1=0．a+b=-1 故答案是（-1）2012=1 7.当p 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程0)1(42=---p x x 有一个公共根。
解答：X 2-4x-p+1=0.(1)？ x 2+px-3=0.(2)？(2)-(1):(x+1)p+4x-4=0？ p=4(1-x)/(x+1)？ 代入（2）：x 2+4x(1-x)/(1+x)-3=0？ x 3-3x 2+x-3=0？ (x 2+1)(x-3)=0？ x=3？p=4(1-3)/(1+3)=-28.设a 、b 、c 为三个互不相等的实数，且1≠c ，已知关于x 的方程012=++ax x 和方程02=++c bx x 有一个公共根，方程02=++a x x 和方程02=++b cx x 有一个公共根，试求c b a ++的值。
分析：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），再根据韦达定理即可求解．解答：解：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b ）x1+1-c=0，解得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），∵x2=，∴是第一个方程的根，∵x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，∴x 2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根， 因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0， 当a=1时，这两个方程无实根， 故x2=1，从而x1=1， 于是a=-2，b+c=-1， 所以a+b+c=-3．9.已知方程①：02=++c bx ax ，（其中0≠c ）有整数根，是否存在整数p ，使得方程②：0)()(23=+++++c x p b x p a x 与方程①有相同的整数根如果存在，请求出p 的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。