弹塑性理论习题

5-9如已知材料的屈服极限按如下规律变化 ，试求此等厚度自由旋转圆盘在极限状态下的转速 以及径向和环向的应力表达式。
5-10已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条件，如 为极限状态时的转速，而 为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的 / 值各为多少？
图5-18
5-5试求外半径为b，内半径为a的圆管（如图5-19所示）。在扭矩的作用下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？如为薄壁管，则扭矩之比又为多大？
5-6已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a，外半径为b，若内外半径之比为 ，即,试求使截面最外层屈服时的 和使截面达到完全屈服时的扭矩 的值各为多少？并写出使塑性区扩展到 时所需的扭矩 的表达式。
图5-19图5-20
5-7在题5-6中，当 时，试给出卸载后，在弹性区和塑性区应力的表达式。
5-8已知内半径为a,外半径为b的自由旋转环盘（如图5-21所示），材料的屈服极限为,试用特雷斯卡屈服条件求出此旋转环盘在极限状态时的表达式，并求出的最大值。给出a趋近于零或趋近于b（薄环情况）的的最大值。
图5-21
8-7试从密切尔—贝尔特拉米方程推导平面应变问题的协调方程。
习题9
9-1尖劈顶角2，受轴向力P的作用，求应力分布，见图9-22。
9-2尖劈顶角2，受水平横向力P的作用，求应力分布，见图9-23。
9-3尖劈顶角2，受力偶矩M的作用，求应力分布，见图9-24。
图9-22图9-23图9-24
9-4半无限平面，边界上某切点受切力P的作用，求应力分布，见图9-25。
5-13已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，承受内压 的作用，若 为厚壁圆筒中弹塑性分界半径，试求 和内压 之间的关系，已知 为材料的剪切屈服极限。
5-14已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，材料的屈服极限为 ，试求筒内壁进入塑性状态时内压的值 为多大？
(a)两端为封闭；(b)两端为自由，即 ；(c)两端受刚性约束，即 。
3-3将一个实体非均匀加热到温度T，而T是 、 、 的函数。如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为 ， ，其中 是热膨胀系数，是常数。试证明，这种情况只有当T是 、 、 的线性函数时才会发生。
3-4参照下图，
设 ， ,而 ,试证:
3-5已知欧拉应变 的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为
习题5
5-1已知理想弹塑性材料的受弯杆件，设计截面为：（a）正方形，（b）圆形，（c）内外径比为 的圆环，（d）正方形沿对角线受弯，（e）工字型；其尺寸如图5-17所示。试求塑性极限弯矩与弹性极限弯矩之比 各为多少？
图5-17
5-2设有理想弹塑性材料的矩形截面杆件的高度为 ，宽度为 受外力作用，当弹性核 时，试求此时弯矩值为多少？
3-12将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力 的作用，如图3-12所示。假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应变。若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？
图3-11图3-12
3-13设 为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，其形式为
3-14已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，厚度为t，承受内压及轴向拉应力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。
3-15已知半径为r，厚度为t的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作用，设在加载过程中，保持 ，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，轴向拉伸力P和扭矩M的表达式。
3-16在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。
图8-9
8-2悬臂梁（0≤x≤1，－c≤y≤c），左端固定，沿下边界受均匀分布剪力，而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数 得出解答。这个解答在哪些方面是不完善的？将应力表达式与由拉伸和弯曲的初等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。
图8-10
8-3悬臂梁受均布荷重 的作用，梁长 ，高2c，求应力分布。见图8-11。
2-11已知物体中某点的应力状态为 ，斜截面法线的方向余弦为 ，试证明斜截面上的正应力 及剪应力 分别为 、 。
习题3
3-1若位移 是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。设有以O为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，
问原来的曲面 是怎样的一种曲面？
3-2证明 ， ， ， （其中 和 是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
4-2设体积力为常量，试证明:
。
式中 ， 。
4-3设体积力为常量，试证明:
。
4-4试推导，用应力法把有体积力问题化成无体积力问题的基本方程和边界条件。
4-5用应力法解释弹性力学问题，基本方程为什么也是9个而不6个？
4-6推导密切尔——贝尔特拉米方程的过程中，曾用过平衡方程，为什么解题时，用应力法，基本方程中还有平衡方程？
，
3-6已知： ， ， ，求： .
3-7试证： .
3-8设某点的拉格朗日应变为
试求：(a)主应变；
(b)最大主应变对应的主轴方向；
(c)最大剪应变分量 .
3-9刚性位移与刚体位移有什么区别？
3-10试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。
3-11如图3-11所示，试用正方体（a×a×a）证明不可压缩物体的泊松比 。
提示：边界条件中出现 项时，应设 。
图8-11图8-12
8-4有简支梁长 ，高 ，受均布荷重 的作用，求应力分布，见图8-12。
8-5简支梁长 ，高 ，试证由于自重 所产生的应力分布为
，
，
，
式中 。
提示： ， ， 是方程组的一组特解，然后把有体积力的问题变为无体积力的问题求解。
8-6悬臂梁长 ，高 ，求由于自重 所产生的应力。
5-3已知矩形截面的简支梁，其高为 ，宽为 ,在梁上 范围内承受均
布载荷的作用如图5-18所示。试求此梁中间截面开始进入塑型时的外载荷 以及极限载荷 的值，分别求出 和 两种情况时的弹塑性分界线的表达式。
5-4若已知理想弹塑性材料的剪切屈服极限为 ,如用此材料支撑半径为R的受扭圆轴，试求当 和 时，扭矩M值的大小。 为弹塑性分解半径。
9-8试从应力函数 导出应力分布
并证明这是半无限大平板，原点右边无载荷，原点左边均匀压强P伸向无穷远问题的解，见图9-29。
图平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。试证明齿尖上完全没有应力。
图2.1
2-2物体中某点的应力状态为 ，求三个不变量和三个主应力的大小。
2-3有两个坐标系，试证明 。
2-4M点的主应力为 。一斜截面的法线v与三个主轴成等角，求 、 及 。
2-5已知某点的应力状态为 ，求该点主应力的大小和主轴方向。
9-5很大的矩形板，中央有一半径为的小圆孔，左右边界受均匀法向压力p，上下边界受均匀法向拉力p，见图9-26，求小圆孔引起的应力集中。
9-6有曲杆，内半径为r，外半径为R，一端固定，另一端面上收切力P作用，求杆中应力分布，见图9-27。
图9-25图9-26图9-27
9-7开口圆环，内半径为a，外半径为b，内边界上有均匀法相压力P作用，求应力分布，见图9-28。
5-11已知半径为b的等厚度的实心旋转圆盘，由不可压缩材料制成，材料服从特雷斯卡屈服条件，如盘中所有点都同时进入塑性状态，则屈服条件的表达式应取何形式？此时极限转速 应为多大？
5-12设有理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，承受内压 的作用，试求此后圆筒开始进入塑性状态时和完全进入塑性状态时的压力比值为多少？
2-6已知某点的应力状态为 ，求该主应力的大小和主轴方向。
2-7已知某点的应力状态为 过该点斜截面法线 的方向余弦为 ,试求斜截面上切应力 的表达式。
2-8物体中某点的应力状态为 求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9已知物体中某点的应力状态为 ，斜截面法线的方向余弦为 ，试求斜截面上切应力的大小。
2-10半径为 的球，以常速度 在粘性流体中沿 轴方向运动。球面上点A（ ）受到的表面力为 ， ， ，式中 为流体的静水压力。试求球所受的总力量。
习题6
6-1在薄中心O，加一对反向力Q，测得板两端A、B二点的伸长为 ，如在A、B二点作用一对拉力P，求板中心的厚度将减小多少。见图6-4
图6-4
习题8
8-1轴线水平的圆柱，由于自重产生的应力为 圆柱的两端被限制在两个光滑的固定刚性平面之间，以维持平面应变状态。试用草图表明作用于它表面（包括两端）的力。见图8-9。
（a）单向受力状态， ，
（b）纯剪受力状态， 。
3-17已知薄壁圆筒承受拉应力 及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。
3-18若有两向应力状态 ，试求各应变分量的值。
习题4
4-1设已知对各向同性材料的应力应变关系为 ，试证其应力主轴与应变主轴是一致的。