弹塑性力学

岩土塑性理论形成
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为 Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移 面概念； • 1903年Kö tter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
2.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右 手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长 度等于 | U || V | sin 。标记为：
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 v1
e2 v2
e3 u3 v3
W U V u1 u2 e1 (u2 v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3 (u1v2 u2 v1 )
2.3 张量
• • • • • • 1.3.1 指标记法和求和约定 1.3.2 ij 符号（Kronecker符号） 1.3.3 ijk 符号（交错张量） 1.3.4 坐标变换 1.3.5 笛卡尔张量 1.3.6 张量性质
2.3.1 指标记法和求和约定
• 矢量V用指标记法为 v i ，指标可以自由 挑选。 • 规则1：如果在一个表达式或方程的一 项中，一种下标只出现一次，称之为 “自由指标”。 • 规则2：如果在一个表达式或方程的一 项中，一种指标正好出现两次，则称之 为“哑标”，它表示从1到3进行求和。
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U ) U (V W ) (U V ) W
• 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。 • 应用：力F作用于位置矢量为r的点A， 则力F绕原点的力矩为：
M rF
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 U (V W ) v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 (U V ) W w3
grad e1 x1 e2 x2 e3 x3 ( , , ) x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
• 矢量的散度：
v1 v2 v3 V x1 x2 x3
• 矢量的旋度：
e1 v1 e2 v2 e3 / x 3 v3 V curlV / x1 / x2
• • • 矢量既有大小又有方向，在坐标系中 通常用箭头表示。 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。 由单位矢量叠加有：
V v1e1 v2 e2 v3e3
•
或简洁写为：
V ( v1 , v2 , v3 )
• 若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：
vi ui , i 1,2,3
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中， 一种指标出现的次数多于两次，则是错 误的。 • 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
v1 v2 v3 vi ,i V x1 x2 x3
2.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如 果交换次数为偶数，则元素为1，为奇 数，则为-1，如果下标出现重复，则值 为0。可从图解判断：
1.5 与初等力学理论的联系
• 材料力学、结构力学
• 从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与 它们都是相同的； • 从处理问题的方法来看，都是从静力学、几 何学、本构关系三个方面进行分析。
区别
• 研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件， 结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统， 弹塑性力学涉及各种固体结构。
目录
• • • • • • • • 一、绪论 二、矢量张量 三、应力分析 四、应变分析 五、本构方程 六、弹塑性力学问题 七、能量原理及变分法 八、塑性极限分析
一、绪论
• • • • • • 1.1 基本概念 1.2 弹塑性力学的发展历史 1.3 塑性力学的主要内容 1.4 塑性力学的研究方法 1.5 与初等力学理论的联系 1.6 弹塑性力学的发展趋势
2.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。 • 矢量U和V的标量积定义为： U V | U || V | cos • |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的 夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0

e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
• 研究问题的深度：材料力学和结构力学主要 局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性 阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。
• 研究问题的简化程度：材料力学和结构力学 除了采用与弹塑性力学相同的一些基本假定 外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一 些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定 等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则 不作该假定。
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。 • 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W 为边的平行六面体的体积或体积的负值。 可用[U，V，W]来表示。
• 三重矢量积：
U (V W ) (U W )V (U V )W
2.2.5 标量场和矢量场
• 函数 ( x1, x2 , x3 ) c 称为一个标量场，梯 度
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设 和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
• 细微观塑性理论 • 从细微观的层次来看，具有内部细微结构， 如位错、微裂纹和微孔洞等。 • 从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性 质
1.3 塑性力学的主要内容
• （1）建立屈服条件。 • 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出 弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服 • （2）判断加载、卸载。 • 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进 行判断。 • （3）描述加载（或变形）历史。 • 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史， 在加载过程中必须对其历史进行记录。
宏观塑性理论的求解方法
•
• •
精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程 的解； 近似解法。采用合理简化假设，获得近似结 果。如差分法、有限元法、加权残值法等。 实验方法。采用机电方法、光学方法、声学 方法等来测定应力和应变的分布规律。
• 精确解法对形状简单的物体比较有效，但对 复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值 解法是近似方法，将列出方程的难度转移到 复杂几何形状的模拟上。
• 总的来看，弹塑性力学的研究范围更加广泛、 研究问题更加深入，得到的结果更加精确。
1.6 弹塑性力学的发展趋势
• 由早期的精确解法占主导地位到如今的数值 近似解法占主导地位。 • 由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研 究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。 • 由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如 ANSYS、ADINA等。 • 以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便， 与其它软件进行集成。
• 标量积的计算式为：
U V (u1e1 u2 e2 u3e3 ) ( v1e1 v2 e2 v3e3 ) u1v1 u2 v2 u3v3 ui vi
3 i 1
• 两个垂直矢量的点积为零。 • 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。 • 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上， 功率由点积（ F V）求出。
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以 反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念， 于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了 土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
二、矢量和张量
• 2.1 基本概念 • 2.2 矢量 • 2.3 张量
2.1 基本概念
• 讨论应力、应变和本构方程时，通常采 用矢量和张量符号。具有表达简洁的特 点。 • 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系， 熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法 为x1 轴、 x2轴、 x3轴。
2.2.1 矢量代数
• 前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要 区别在于第三类方程
1.2 弹塑性力学发展历史
• 1678年胡克（R. Hooke）提出弹性体的变形和所 受外力成正比的定律。 • 19世纪20年代，法国的纳维（C. I. M. H. Navier ）、柯西（A. I. Cauchy）和圣维南（A. J. C. B. de Saint Venant）等建立了弹性理论 • 1864年特雷斯卡（H. Tresca）提出最大剪应力屈 服条件。 • 1871年列维（M. Levy）将塑性应力应变关系推 广到三维情况。 • 米赛斯（R. von Mises）提出形变能屈服条件。 普朗特（L. Prandtl）和罗伊斯（A. Reuss）提出 塑性力学中的增量理论
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
• 所以，将 ij 应用于 j v 只是将j用i置换， 因此 ij 符号通常称为置换算子。
2.3.3 ijk 符号（交错张量）
弹塑性力学的基本假设
•
• •
（1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。 （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。 即连续介质和小变形假设。
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
•
且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。
塑性变形的特点：
•
•
应力－应变关系不再一一对应，
且一般是非线性的
单轴应力应变曲线
• 弹性、塑性 • 线性、非线性
典型的塑性本构模型
• 理想弹塑性模型 • 强化弹塑性模型 • 软化弹塑性模型
1）理想弹塑性模型
Biblioteka Baidu
2）强化弹塑性模型
3）软化弹塑性模型
弹塑性力学基本方程
• 弹塑性力学的基本方程是：
• • • （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。
• 可简洁表示为： • 下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能 下标中的任一个。
vi ui
• 两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到， 为分量之和：
W U V (u1 v1 )e1 (u2 v2 )e2 (u3 v3 )e3 • 或简洁表示为：
wi ui vi
弹塑性力学
课程安排
• 授课方式：讲座,讨论,练习 • 考试方式：闭卷或开卷
参考书目
•
• • •
≤应用弹塑性力学≥，徐秉业、刘信声、著， 北京：清华大学出版社，1995 ≤岩土塑性力学原理≥，郑颖人、沈珠江、龚 晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002 ≤弹塑性力学引论≥，杨桂通编著，北京：清 华大学出版社，2004 ≤弹性与塑性力学≥，陈惠发、A. F. 萨里普 著，北京：建筑工业出版社，2004