函数恒成立存在性及有解问题

函数恒成立存在性问题

知识点梳理

i、恒成立冋题的转化： a f x恒成立 a f x max；a f x恒成立 a f x min

2、能成立冋题的转化： a f x能成立 a f x i；a f x能成立 a f x

min max

a f x在M上恒成立

3、恰成立问题的转化： a f x在M上恰成立 a f x的解集为M 亠「亠亠

a f x在C R M上恒成立

另一转化方法：若x D, f(x) A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值f min(x) A，若x D, f(x) B

在D上恰成立，则等价于f(X)在D上的最大值f max(X) B .

4、设函数f x、g x，对任意的X i a , b，存在X2 c , d，使得f X i g X2，则f min X g min X

5、设函数 f x、g X，对任意的X i a , b，存在X2 c , d，使得f X i g X2 ，则f max X g maX X

6、设函数 f X、g X，存在X i a , b，存在X2 c , d，使得f X i g X2，则f max X g min X

7、设函数f X、g X，存在为 a , b，存在X2 c , d，使得f捲g X2，则f min X g max X

8、若不等式f x g x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y f x和图象在函数y g x图象上方；

9、若不等式f x g x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y f x和图象在函数y g x图象下方；

例题讲解：

题型一、常见方法

i、已知函数f(x) x2 2ax i，g(x) a，其中a 0, x 0 .

x

i)对任意x ［i,2］，都有f(x) g(x)恒成立，数a的取值围；

2)对任意x i[i,2],X2［2,4］，都有f (X i) gg)恒成立, 数a的取值围；

2、设函数h(x)a

X

X

1

b，对任意a ［一,2］，都有h(x)

2

i

i0在x ［,i］恒成立，数

4

b的取值围.

3、已知两函数f(x) X2

X

i

,g(x) m，对任意X i0,2，存在X2 i,2，使得 f (X i) g X2 ,则实

数m的取值围为 _________

题型二、主参换位法（已知某个参数的围，整理成关于这个参数的函数）

2

1、对于满足p 2的所有实数p,求使不等式x px 1 p 2x恒成立的x的取值围。

2、已知函数f（x） ln（e x a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g x f （x） sinx是区间（I ）求a的值；（n ）若g（x） t t 1在x 1,1上恒成立，求t的取值围；

题型三、分离参数法（欲求某个参数的围，就把这个参数分离出来）

1、当x 1,2时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值围是

题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））

1、若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值围是_________________

2、已知函数f x x2 2kx 2，在x 1恒有f x k，数k的取值围。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,则等价于在区间D上f x max A ；1、存在实数x，使得不等式x 3 x 1a2 3a有解，则实数a的取值围为__________

2

、已知函数f x lnx

2

ax

2

2xa 0

存在单调递减区间，求a的取值围

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,则等价于在区间D上的f x

min B.

1,1上的减函数,

(n)若对任意的 x [a 1,a 2],不等式f x a 成立，求a 的取值围。

小结：

恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式f X M 对x I 时恒成立 f max (X)

M?, X 1。即f X 的上界小于或等于

M ；

②不等式f X M 对x I 时有解 f min (X) M? , X I 。或f X 的下界小于或等于 M

； ③不等式f X

M 对x I 时恒成立 f min ( X) M?, X I 。即f X 的下界大于或等于 M ；

④不等式f X

M 对x I 时有解

f max (X) M , X I

.。或f X 的上界大于或等于

M ；

课后作业:

1 3

2 2

6、设函数 f(x) x 2ax 3a x b (0 a 1, b R).

3

(i) 求函数f x 的单调区间和极值；

1、设a 1，若对于任意的 (A ) {a|1 a

2}

x

x [a,2a]，都有 y (B ) {a|a 2}

[a,a 2]满足方程 (C ) {a |2 a 3}

log a x log a y 3，这时a

的取值集合为()

(D ) {2,3}

2、若任意满足

0的实数x, y ，不等式a(x 2 y 2) (x y)2恒成立，则实数

a

的最大值是

3、不等式sin 2x 4sin x

a 0有解，则a 的取值围是

4、不等式ax

0,3 恒成立，数a 的取值围。

5、已知两函数

(1) (2) (3) (4)

对任意x 存在x 对任意& , X

2 存在X i , X 2

3,3 3,3 7x 2 28x c

，都有f x

使 f X g X

3,3，都有f 3,3，都有 f X 1

2x 3 4x 2 40x 。

)成立，数c 的取值围; 成立，数c 的取值围；

g X 2 ，数c 的取值围； ，数c 的取值围；

X i

X 2

(1) 求函数y= f(x)的表达式；

2x

(2) 若x>0，证明：f(x) >X^2；

(3) 若不等式丄x2f x2m22bm 3时，x

2

8、设fx px q

2I nx ,且fe qe — 2 (e为自然对数的底数) x e

(I) 求p与q的关系；

(II) 若f x在其定义域为单调函数，求p的取值围；

2e

(III) 设g x ，若在1

,

e

上至少存在一点

x

0，使得

f x

g x

0成立，数p的取值围.

7、已知A B、C是直线上的三点，向量OA 6B, OC满足: OA y 2f 1 OB In x 1 OC 0.

1,1及b 1,1都恒成立，数m的取值围.

x

x

函数专题4:恒成立问题参考答案:

题型一、常见方法 1、分析：1)思路、等价转化为函数 2 ) 思路、对在不同区间的两个函数

简解: (1 )由 x 2 2ax (X) x 3 2x 2 取值围是0 兰求导， 1 2 a

3 (

X )

a -0

x 2x 4 f(x) g(x) 0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决. f (x)和g(x)分别求最值，即只需满足 f min (x) g ma/x)即可. 3 3 笃上成立，只需满足 (X )

二X 2x 1 2x 1 -0，故(

x)在x ［1,2］是增函数， X (2x 2〒 2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数?以本题为例, 求最值解决. 方法

1：化归最值， h(x) 10 h max ( x)

10 ； 方法 2：变量分离,

b 10 方法 3:变更主元,

(a) (a x 1 -a x

x)或a (10 b)x ; 10 简解：方法1:对h(x) g(x) x b 求导, h(x) 的最小值大于 1 a 即可.对 min (x)

i ，所以a 的 实质还是通过函数

1 由此可知，h(x)在［丄

,1］上的最大值为 4

x 1

h(Q 与h(1)中的较大者. 4 a ~2 X (x a)(x a)

x 2

hq) 10 4a - 4 b 10

h(1) 10 1 a b 10

解析：对任意 x 1

0,2 m 不大于 f(x) x 2

在 3、 b 39 4 b 9 a 4a ，对于任意

，存在X 2 1,2，使得 0,2上的最小值0，既1 4

1

a 吩2］，得b

的取值围是 f(X 1)

g X 2 等价于 g(x) m 在1,2上的最小值

题型二、主参换位法(已知某个参数的围，整理成关于这个参数的函数 1、解：不等式即 故有:

P 2 x 2

x x 2 4x

2x 0 2、( n )分析：在不等式中出现了两个字母:

显然可将 由(I ) 知: 立， 0,设 f p x 2

) 2x 1，则 f p 在［-2,2］上恒大于0,

视作自变量，则上述问题即可转化为在 f(x) x ， 1

g (X) max g(x) g( 1) sinx , Q g (x)在 sin1 , 只需 由上述②结论：可令 f (t 1) t 2 sin1 1 0( 及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。 ,1

关于 的一次函数大于等于 0恒成立的问题。(n )略解: 11上单

调递减， 1， t

1 t

2 sin1 t 2 t 1),则 t

g (x) (t 1) 1 0 sin1 1 cosx 0 t 2 sin1 1 0 t t 2 t sin1 0 恒成立， t 题型三、分离参数法(欲求某个参数的围，就把这个参数分离出来)

y ax 0，而 t2 t

cosx 在1 ,1上恒成 (其中 1 )恒成立， 1 sin1 |x|

1、当x 1,2时，不等式x 2 mx 4 0恒成立，则m

的取值围是

解析：

当 x (1,2)

时，由 x 2 mx 4 0得 m

x 4

. m

5.

x

题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）

1、 解析：对

x R ,不等式|x| ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知

1 a 1，即1 a 1。

2、 分析：为了使f x k 在x 1,

恒成立，构造一个新函数

F

x f x k ，则把原题转化成左边二次函数

在区间1, 时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

解：令F x f x k x 2 2kx 2 k ，则F x 0对x 1,

恒成立，而F x 是开口向上的抛物线。

① 当图象与x 轴无交点满足 0，即 4k 2 2 2 k 0，解得2 k 1。

② 当图象与x 轴有交点，且在x 1, 时F x 0，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：

0 F 1

0解得3 k 2，故由①②知3 k 1。 2k 1

2

2

a 0 2

小结：若二次函数 y ax bx c a 0大于0恒成立，则有

，同理，若二次函数 y ax bx c a 0小于0

a 0

恒成立，则有 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识

求解。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 x A 成立,则等价于在区间 D 上f x max A ；

由题设a 0,所以a 的取值围是

1,0 0,

课后作业:

3 —，对于任意的

x

2

[a,2a]，可得乞

2

2

a

2 2 a

2、答案: 25

2

云。解析：由不等式a （x

y 2)

(x y ）2

可

得

3、解：原不等式有解 a sin 2 x 4sin x 1 sin x

sin x 2

x _y ，由线性规划可得 y x

2

1有解，而 sinx 2

3

所以a 2。

min

若在区间D 上存在实数x 使不等式 x B 成立,则等价于在区间

D

上的

f

x

min

B .

1、解：设 f x x 3

x 1

, 由f x a 2

3a 有解， a 2 3a 又 x 3 x 1

x 3

x 1 4

，?‘

'? a 2 3a 4，解得

a 4或a

0,

x 存在单调递减区间，所以

' 1 f x 一 ax x

1

2 心

1 2

x 0,

能成立 ，设 U X

2

x

x

x

2

1 1 1 得

, u

min

x

1.于是，a 1

x

min ?

ax 2 2x 1 2

x

2 x

1、B 。解析：由方程log a x log a y 3可得

，依题意得

若在区间D 上存在实数x 使不等式 2、解: 因为函数 f x 1

。

有解?即a

4、解：画出两个凼数 y ax 和y x 4 X 在x

0,3

令f (x)

0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )

令f (x) 0,得f (X)的单调递减区间为(—

，玄)和(3a , + )

(4 分)

3 3

???当x=a 时，f (x)极小值= a

b ；

4

当x=3a 时，f (x)极小值=b.

(6分)

(n)由 | f (x) | w a ，得—a < — x2+4ax — 3a2 < a.①(7 分) ?/ 02a. ?- f (x)

x 2 4ax 3a 2在[a 1, a 2]上是减函数.

(9 分)

?- f (x)max f (a 1) 2a 1. f (x)min f (a 2) 4a 4. 于是，对任意X [a 1,a 2]，不等式 ①恒成立，等价于

a 4a 4,

4 4

解得

4

a 1.又 0 a 1,

? 4 a 1.

a 2a 1.

5

5

7、解：(1) ??? SA — [y + 2f /(1)]OBln(x + 1)OC = 0, ?弘[y + 2f /(1)]OBln(x + 1)OC 由于A 、B C 三点共线 即[y + 2f /⑴]

+ [ — In(x + 1)] = 1 .......................... 2分

y = f(x) = In(x + 1) + 1 — 2f /(1)

1 1

f /(x) = x + 1，得 f /(1) = 2，故 f(x) = ln(x + 1) ........................................................ 4 分

2x

1

2(x + 2) — 2x x2 _____

(2)

令 g

(x)

= f(x) ― x + 2，由 g /(x) = ― (x + 2)2= (x + 1)(x + 2)2

??? x >0,? g/(x) >0,. g(x)在(0 ,+^ )上是增函数 ....................... 6 分

故 g(x) > g(0) = 0

2x

上的图象如图知当 3时y ,3, a 乜

3

a —，x 3 解析：(1 )设 x 6x 2 6x 12 0,3 时总有ax x 4 x 所以 在 由c (2) (1) (3) 2,3单调递增，且h 45 0，得 c 45。

据题意：存在x 知 h max x c 2 0 , 45 h 2x 3 - 2 得x 3x x 极大值 3 问题转化为x 12x c , 1或2。由导数知识，可知 h 1 c 7 , h x …h 2 极小值

3,3 时, h x 在 c 20 h x 0恒成立，故 单调递增，在 c 9 , ?- h min 3, 1 h 3 h min 1,2

x 0。令 单调递减，

c 45

3,3，使 f 7 0，于是得c

它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x 成立，即为：h x g x 3,3有解, 3,3，都有 0，由 f & g X 2 不等式的左右两端函数的自变量不同， f max (X) g min (x)T?x

2

g x 6x 8x X 1 , 2

[3,3]。： f x 7x2

X 2的取值在 3,3上具有任意性, f x f 3 ?- g X min g 2 (4)存在 X 1, x 2 40 2 3x 10 x 2 , 48 , ? 147 c 48 , 3,3，都有f 人 g ??? g 即c c 28,x 3,3 ?. x 0在区间 3,3 195. max 上只有一个解 X 1 , X 2 ?要使不等式恒成立的充要条件疋: 147 c x 2。 成立, B.. x 2

,

等价于f min X i g max X 2 ,由⑶得f min 为 f 2 c 28,

max x

2 3 102, c 28 102 c 130 g max

X 2 g 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭, 用其成立的充要条件。

6、解：(I) f (x) 应认真审题，深入思考，多加训练，准确使 x 2 4ax 3a 2

(1 分)