2010小班数学试题及答案

学校 班级 考号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆2010年九年级学优生学业发展水平调研测试试题数 学（满分120分，考试时间90分钟）1、已知a=2009x+2008，b=2009x ＋2009，c=2009x+2010，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为A 0B 1C 2D 32、已知一个几何体它的主视图和左视图上都是一个长为4，宽为2的矩形，俯视图是一个半径为2的圆，则此几何体的表面积为A 8πB 12πC 16π D 32π 3、已知a 、b 、c 为自然数，且c b a c b a 124442222++<+++，且022>--a a ，则代数式cb a 111++的值为 A 1 B 67C 10D 11 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,若∠B=600，则bc ab ac +++的值为 A21 B 1 C 22D 3 5、如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则BFEF= A13 B 14 C 12- D 126、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则A 21y y >B 21y y <C 21y y =D 1y 与2y 的大小不能确定7、若实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=9，则代数式()()()222a c cb b a -+-+-的最大值为 A 12 B 15 C 18 D 278、若多项式()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x 、y 为任意实数），且当x=1时，多项式()f x 的值为2，用“(1)2f =”来表示，则(2)f -等于 A 2 B -2 C 6 D 9请将你所选的答案填在下表中9、已知a 、b 、c 均为非零实数，满足： b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，则()()()a b b c c a abc+++的值为_____ ___；10、当m= 时；关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根； 11、关于x 的方程x =ax+1只有负根而无正根，则a的取值范围是 ；12、已知一次函数y = ax + b 的图象过点（－2，1），则关于抛物线y =ax 2－bx + 3的三条叙述：① 过定点（2，1），② 对称轴可以是x = 1，③ 当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中正确的结论是（只填番号）．三、解答题：本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13、（本题满分12分）已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数，且a+b+c=0，求abc c ca b b bc a a +++++222222222的值．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案直接填在题中横线上．一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将所选答案填在题后的表格内．数学第1页（共4页）数学第2页（共4页）14、（本题满分12分）有A 、B 、C 、D 、E 5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小红旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小红旗数相等.要求相邻的同学之间相互调整(不相邻的不作相互调整)，设A 给B 有x 1面(x 1>0时即为A 给B有x 1面；x 1<O 时即为B 给A 有x 1面.以下同)，B 给C 有x 2面：C 给D 有x 3面，D 给E 有x 4面,E 给A 有x 5面，问x 1、x 2、x 3、x 4、x 5分别为多少时才能使调动的小红旗总数|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|最小?15、（本题满分12分）对于函数()()0,212≠-+++=a b x b ax y ,若存在实数0x ,使得函数值y=0x 成立,则称0x 为此函数的不动点． ⑴当2,2-==b a 时,求此函数的不动点；⑵若对于任意实数b ,此函数恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围．16、（本题满分12分）已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，0822=-+b m b m ．求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积．2010年九年级学优生学业发展水平调研测试试题数 学参考答案一、选择题：1、D2、C3、A4、B5、D6、B7、D8、A二、填空题：9、-1或8 10、6或-4 11、a ≥1 12、① ③三、解答题：13、解：∵a 、b 、c 是互不相等的非零实数，且a+b+c=0，∴bc a a +222=)(222b a b a a --+=2222b a ab a a -+-=))((2c a b a a --......(4分) 同理ca b b +222=))((2a b c b b --ca c c +222=))((2b c a c c --.......................................(8分) ∴原式=))((2c a b a a --+))((2a b c b b --+))((2b c a c c --=))()(()()()(222a c c b b a b a c a c b c b a ----+-+--=))()(())()((a c c b b a a c c b b a ------=1………………………………………………………………………(12分) 14、解：∵共有小红旗面数；16+8+12+4+15=55面，要使每人手中的小红旗面数相等，每人均为11面．由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+11x -x 151 1x -x 4 1 1x -x 121 1x -x 854433221 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=2-x x 6-x x 1x x 3x x 25242321∴|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|=|x 2+3|+|x 2|+|x 2+1|+|x 2-6|+|x2-2|=|x 2+3|+|x 2+1|+|x 2|+|x 2-2|+| x 2-6|……………(6分)设实数x 2在数轴上的对应点为P实数-3，-1，0，2，6在数轴上的对应点分别为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5∴|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|=|PP 1|+|PP 2|+|PP 3|+|PP 4|+|PP 5| …………………(8分) 当且仅当P 在线段P 1P 5上时|PP 1|+|PP 5|有最小值9： 当且仅当P 在线段P 2P 4上时|PP 2|+|PP 4|有最小值3：当且仅当P 与点P 3重合时|PP 3|有最小值0 ……………………………………(10分) 即当且仅当P 与点P 3重合(x 2=0)时x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=|PP 1|+|PP 2|+|PP 3|+|PP 4|+|PP 5|有最小值12．当x 1=3，x 2=0，x 3=1，x 4=-6，x 5=-2时|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5 |有最小值12………(12分) 15、解:⑴由题意得()()x x x =--++-+221222整理得04222=--x x , 解方程得2,121=-=x x即此函数的不动点为－１和2. ……………………………………(4分) ⑵由y=x 得022=-++b bx ax ，方程有两解,则有△=()0842422>+-=--a ab b b a b 恒成立， ………………（6分） 把0842>+-a ab b 看作是关于b 的二次函数所对应的不等式,………(8分) 则有 ()()()0216321684422<-=-=-a a a a a a ，…………………（10分）解得20<<a ………………………………………………………(12分) 16、解：（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得161+=m x ，132-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩ 即⎩⎨⎧==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m ． ……………………………………………(4分) （2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．当b a ≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0． ……………(6分)①b a ≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+ 故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝121=ab ．………(8分)②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，舍去． …………………………………………………(10分)③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．S △ABC＝12⨯综上，△ABC 的面积为1或2129+． …………………………(12分) 17、解：（1） DE BC D AB //，为的中点，21==∆∆∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．∴==S S AD AB ADE ∆()214 S S AEECADE ∆11==， ∴411=S S ． ………(4分)（2） ∵ AD ＝x ，y S S ＝1，∴ xxa AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． 又∵ 222ax AB AD S S ADE ＝＝△⎪⎭⎫ ⎝⎛， ∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 22a xS ∴ 221aax x S S +-=， 即y ＝－x a21＋x a 1自变量x 的取值范围是：0＜x ＜a ． …………(8分)（3）不存在点D ，使得S S 114>成立．理由如下：假设存在点D ，使得S S 114>成立，那么S S y 11414>>，即．∴－21ax 2＋a 1x ＞41，∴（a 1x －21）2＜0 ∵（a 1x －21）2≥0∴x 不存在，即不存在点D ，使得S S 114>成立．………………………………(12分) 18、（1）证明：如图，连结OD ，则OD 为半圆O 的半径∵OC 为半圆M 的直径∴∠CDO=90°∴CD 是半圆O 的切线．……………………………(3分)（2）解：猜想：12EF OA =．……………………(4分)其理由如下:(法一)：如图，连结OD 、OE ，延长OE 交CD 于点K ，作EG ⊥CD 于点G ，则EG//OD ． ∵CE 平分∠DCB∴∠OCE=∠KCE ∵EF ⊥AB∴EG=EF∵OC 是半圆M 的直径，E 为半圆M 上的一点 ∴∠CEO=∠CEK=90° ∵CE 为公共边∴△COE ≌△CKE∴OE=KE ∵EG//OD∴DG=GK∴EF EG OD OA ===1212……………………(7分) (法二)：如图，以OC 为直径作⊙M ，延长EF 交⊙M 于点P ，连结OD ． ∵EF ⊥CO ∴EF PF EP EO PO ==⋂=⋂12，∵CE 平分∠DCB∴∠DCE=∠ECO∴DE OEOD EP ⋂=⋂∴⋂=⋂∴OD=EP∴EF OD OA ==1212………………………(7分)(法三)：如图，连结OD 、ME ，OD 、ME 相交于点H ∵CE 平分∠DCB∴⋂=⋂OE DE∴ME ⊥OD ，OH =12OD ∵EF ⊥CO∴∠MFE=∠MHO=90°∵∠EMF=∠OMH ，ME=MO ∴△MEF ≌△MOH ∴EF=OH∴EF OD OA ==1212………………………(7分) （3）解：如图3，延长OE 交CD 于点K设OF=x ，EF=y ，则OA=2y∵NE//CB ，EF ⊥CB ，NA 切半圆O 于点A ∴四边形AFEN 是矩形∴NE AF OA OF y x ==-=-2 同（2）证法一，得E 是OK 的中点∴N 是CK 的中点 ∴==-CO NE y x 222()∴=-=-⊥⊥CF CO OF y x EF AB CE EO43 ，∴Rt △CEF ∽Rt △EOF ∴EF CF OF 2=⋅， 即y x y x 243=-()解得y x yx==31或 当时，y x EOC EF OF y x=∠===33tan 当时，点与点重合，不符合题意，故舍去yxC A =1∴tan ∠EOC=3．………………………………………………………………(12分)17、（本题满分12分）如图，已知∆ABC 中，AB＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE//BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1． （1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值；（2）若AD x S Sy ==，1，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （3）是否存在点D ，使得S S 114>成立？若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．数学第3页（共4页）18、（本题满分12分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．图1图3图2数学第4页（共4页）。