1997年第12届中国数学奥林匹克CMO

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1997年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

B1997年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

1997*1、已知数列{}n x 满足11-+-=n n n x x x (2≥n )，a x =1，b x =2，记n n x x x S +++= 21，则下列结论正确的是（）A.a b S a x -=-=2,100100B. a b S b x -=-=2,100100C. a b S b x -=-=100100,D. a b S a x -=-=100100, ◆答案：A★解析：列举得a x =1，b x =2，a b x -=3，a x -=4，b x -=5，b a x -=6，a x =7，b x =8，易知该数列的周期为6，且0654321=+++++x x x x x x ，所以a x x -==4100，a b S -=21001997*2、如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得λ==FDCFEB AE ，)0(>λ，记λλβαλ+=)(f 其中λα表示 EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（） A. )(λf 在()+∞,0上单调增加 B. )(λf 在()+∞,0上单调减少C. )(λf 在()1,0上单调增加，而在()+∞,1上单调减少D. )(λf 在()+∞,0上为常数◆答案：D★解析：作AC EG //交BC 于G ，连GF ，则FDCFGB CG EB AE ==，故BD GF //．故λλβα=∠=∠G F E G E F ,，但BD AC ⊥，故090=∠EGF ．故)(λf 为常数．选D ．1997*3、设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为297，则这样的数列共有（）A.2个B.3个C. 4个D. 5个 ◆答案：C★解析：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则297)1(21=-+n n na ，即()2972)1(2⨯=-+d n a n ，即n 为2972⨯的大于3的约数．∴ 若297=n ，则解得0,1==d a ，（1≥d 时，0<a ）．此时有一解；若97=n ，则194962=+d a ，得97,0==a d ；49,1==a d ；1,2==a d .有三解；若972⨯=n ，或2972⨯=n 时，无解．2,1=n 时3<n ．选C1997*4、若方程222)32()12(+-=+++y x y y x m 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（） A. ()1,0 B. ()+∞,1 C. ()5,0 D. ()+∞,5 ◆答案：D★解析：将该方程看成是轨迹上点到()1,0-的距离与到直线032=+-y x 的距离的比：()15)2(13212222<=-++-++my x y x ，解得5>m ，选D ．1997*5、设x x x f π-=2)(，31arcsin =α，45arctan =β，)31arccos(-=γ，)45arctan(-=σ，则（）A.)()()()(γσβαf f f f >>>B. )()()()(γβσαf f f f >>>C. )()()()(γβασf f f f >>>D. )()()()(βγασf f f f >>>◆答案：B★解析： )(x f 的对称轴为2π=x ，易得， 65433223460πσππγππβππα<<<<<<<<<<<．选B ．1997*6、如果空间三条直线c b a ,,两两成异面直线，那么与c b a ,,都相交的直线有（） A.1条 B.1条 C.多于1的有限条 D. 无穷多条 ◆答案：D★解析：在c b a ,,上取三条线段///,,D A CC AB ，作一个平行六面体////D C B A ABCD -，在c 上取线段//D A 上一点P ，过P a ,作一个平面，与/DD 交于Q 、与/CC 交于R ，则a QR //，于是PR不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

高中学科竞赛简介

题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超

历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答

√1 42
.
则|zk| = x2k + yk2 |xk| + |yk|.
n
∴ |xk| + |yk| 1.
k=1
∴ | xk| + | xk| + | yk| + | yk| 1.
xk 0
xk <0
yk 0
yk <0
其中必有一项不小于
1 4
,不妨设为第一项,则
|
xk |
1 4
.
xk 0
∴|
zk| = |
1 4
.
√
2xk .
∴
xk
zk√∈A
而4 2 < 6,
√1 42
.∴
∴|
|
zk| =
zk ∈A
zk |
1 6
.
|
xk
zk ∈A
+
i
yk |
zk ∈A
zk ∈A
即A中复数之和的模不小于
1 6
.证毕.
另证:设zk = xk + yki(xk, yk ∈ R, k = 1, 2 . . . , n)
xk
zk ∈A
最后一步是由于x2, x3, . . . , xn > 0, (x2 + · · · + xn)2 = x22 + · · · + x2n +
xixj
2 i<j n
逆命题的证明:对于任意的1
i<j
n,令xi
=
xj
=
1 2
,其余xk均等于0.则
1 2
(ai
+
aj )

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。

如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

1997 imc国际数学竞赛中国成绩

1997 imc国际数学竞赛中国成绩
1997年IMC国际数学竞赛于7月16日至24日在保加利亚的索非亚举行。

来自全球26个国家的100多名参赛者参加了此次比赛。

中国代表团由6名高中生和3名领队组成，共参加了6个单项赛和1个团体赛。

最终，中国代表团获得了1个一等奖、3个二等奖、2个三等奖和1个荣誉奖。

其中，一等奖获得者是来自北京四中的杨彦峰。

这也是中国代表团自1993年以来第一次在IMC国际数学竞赛中获得一等奖。

在团体赛中，中国代表团获得了第四名的好成绩。

此次比赛展现了中国学生在国际数学竞赛中的实力和水平。

- 1 -。

1997cmo

第十二届冬令营试题（1997年，抗州）1．设实数1x ，2x ，…，1997x 满足如下两个条件：（i ）331≤≤-i x （1=i ，2， (1997)；（ii ）++21x x (3318)1997-=+x ．试求++122121x x …121997x +的最大值，并说明理由．2．设1111D C B A 是任意凸四边形，P 是形内一点，且P 到各顶点的连线与四边形过该顶点的两条边的夹角均为锐角．递推定义k A ，k B ，k C 和k D 分别为P 关于直线11--k k B A ，11--k k C B ，11--k k D C 和11--k k A D 的对称点（2=k ，3，…）．考察四边形序列j j j j D C B A （1=j ，2，…）．试问：（1）前12个四边形中，哪些必定与第1997个相似，哪些未必；（2）假设第1997个是圆内接四边形，那么在前12个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必．对以上问题的回答，肯定的应给证明，未必的应举例说明．3．求证存在无穷多个自然数n ，使得可将1，2，…，n 3列成数表nn n c c c b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅212121 满足如下两个条件：（i ）=++=++222111c b a c b a …n n n c b a ++=且为6的倍数；（ii ）++21a a …++=+21b b a n …++=+21c c b n …n c +且为6的倍数．4．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E 、F ．求证：P 、E 、F 三点共线．5、设1{=A ，2，3，…，}17，对于映射f ：A A →，记)()(]1[x f x f=，))(()(][]1[x ff x fk k =+（N k ∈）．设从A 到A 的一一映射f 满足条件：存在自然数M ，使得（1）当M m <，161≤≤i 时，有 1)()1(][][±≡-+i f i f m m （17mod ）， 1)17()1(][][±≡-m m ff（17mod ）；（2）当161≤≤i 时，有 11)()1(][][-≡-+或i f i f M M （17mod ）， 11)17()1(][][-≡-或M M ff（17mod ）．试对满足上述条件的一切f ，求所对应的M 的最大可能值，并证明你的结论．6．设非负数列1a ，2a ，…满足条件m n m n a a a +≤+，m ，N n ∈．求证对任意m n ≥均有m n a mn ma a )1(1-+≤．。

小学五年级奥数-平均数

低年级孩子学习奥数的好处是什么
通过奥数在儿童脑发育期间来培养孩子的能力。就孩子的学习能力而言，学习奥数可以锻炼孩子的观察力、注意力、思维能力、创新能力和计算能力。这些学习能力的提高与其他科目在学习过程中所用脑产生途径和效果是不一样的。
怎样学习奥数?
学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。在孩子真正掌握了“奥数”的学习方法后，坚持每天做一定数量的练习题就显得尤为重要。做题的前提是对学过的知识有了透彻的领悟，做题不光是只做难题，简单、中等、难，这三类题都要做，最好把比例控制在3：5：2为最佳。从而避免了孩子难题还会做，中等题和基本题总是准确率不高的现象。六年级开始后要坚持每天做十道左右的题。为了提高孩子解题速度，根据题目的难度每次限时40-60分钟，然后由家长严格计时并根据标准答案判分。记录不会做或做错的题目，有能力的家长可以自己给孩子讲解，最好把一时不理解的题目请教相关的有丰富经验的老师，直至弄懂、弄通为止！！！对于做题中发现的问题及时解决，这是我们做题最终的也是最重要的目的！以前不会做或做错的题目，以后一定要让孩子不定时的至少再做一次！题目的选择可根据正在学习的奥数课程和辅导老师的建议，由孩子和家长一起讨论来决定。学习几个知识点后一定要做一些综合试卷或综合题，主要针对孩子学习的“薄弱”环节，要求辅导老师必须有针对性地给孩子多做些题目。做题的另一个目的就是要从小培养孩子具有举一反三、融会贯通的能力。注意：刚开始做题前一定要对所学知识已经透彻、深刻的掌握，否则题做得再多的也只会事倍功半，起不到我们想要的效果。
专题简析：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。

由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。

1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。

我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。

我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。

2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。

入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。

1997年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

B1997年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

1997*1、已知数列{}n x 满足11-+-=n n n x x x (2≥n )，a x =1，b x =2，记n n x x x S +++= 21，则下列结论正确的是（）A.a b S a x -=-=2,100100B.a b S b x -=-=2,100100C.a b S b x -=-=100100,D.ab S a x -=-=100100,◆答案：A★解析：列举得a x =1，b x =2，a b x -=3，a x -=4，b x -=5，b a x -=6，a x =7，b x =8，易知该数列的周期为6，且0654321=+++++x x x x x x ，所以a x x -==4100，a b S -=21001997*2、如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得λ==FDCFEB AE ，)0(>λ，记λλβαλ+=)(f 其中λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（）A.)(λf 在()+∞,0上单调增加B.)(λf 在()+∞,0上单调减少C.)(λf 在()1,0上单调增加，而在()+∞,1上单调减少D.)(λf 在()+∞,0上为常数◆答案：D★解析：作AC EG //交BC 于G ，连GF ，则FDCF GB CG EB AE ==，故BD GF //．故λλβα=∠=∠GFE GEF ,，但BD AC ⊥，故090=∠EGF ．故)(λf 为常数．选D．1997*3、设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为297，则这样的数列共有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个◆答案：C★解析：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则297)1(21=-+n n na ，即()2972)1(2⨯=-+d n a n ，即n 为2972⨯的大于3的约数．∴若297=n ，则解得0,1==d a ，（1≥d 时，0<a ）．此时有一解；若97=n ，则194962=+d a ，得97,0==a d ；49,1==a d ；1,2==a d .有三解；若972⨯=n ，或2972⨯=n 时，无解．2,1=n 时3<n ．选C1997*4、若方程222)32()12(+-=+++y x y y x m 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（）A.()1,0 B.()+∞,1 C.()5,0 D.()+∞,5◆答案：D★解析：将该方程看成是轨迹上点到()1,0-的距离与到直线032=+-y x 的距离的比：()15)2(13212222<=-++-++my x y x ，解得5>m ，选D ．1997*5、设x x x f π-=2)(，1arcsin=α，5arctan =β，)1arccos(-=γ，)5arctan(-=σ，则（）A.)()()()(γσβαf f f f >>>B.)()()()(γβσαf f f f >>>C.)()()()(γβασf f f f >>>D.)()()()(βγασf f f f >>>◆答案：B★解析：)(x f 的对称轴为2π=x ，易得，65433223460πσππγππβππα<<<<<<<<<<<．选B ．1997*6、如果空间三条直线c b a ,,两两成异面直线，那么与c b a ,,都相交的直线有（）A.1条B.1条C.多于1的有限条D.无穷多条◆答案：D★解析：在c b a ,,上取三条线段///,,D A CC AB ，作一个平行六面体////D C B A ABCD -，在c 上取线段//D A 上一点P ，过P a ,作一个平面，与/DD 交于Q 、与/CC 交于R ，则a QR //，于是PR不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套

(2013CMO－模拟测试 7－4) 给定圆内接五边形 ABCDE，满足 AC∥DE，M 是 BD 中点，证明：如果∠AMB=∠BMC，则 BE 平分 AC。
(2013CMO－模拟测试 7－5) 考虑方程：[x]3+x2=x3+[x]2；[x3]+x2=x3+[x2]。证明：第一个方程的解为整数，第二个方程有非整数解。
k
l
2kl
的个数至少为 2 Ckk+l。 k+l
(2013－模拟测试 2－1) △ABC 边 AB 的旁切圆与以 BC 为直径的圆相切。如果 BC、CA、AB 的长构成等差数列，求∠ACB。
(2013CMO－模拟测试 2－2) 如果 a,b,c 是整数使得 a(a-b)+b(b-c)+c(c-a) 是一个完全平方数，证明：a=b=c。
(2013CMO－模拟测试 3－3) 一个有限数集中的所有数的和称为它的元素和。任意给定不同自然数 a1,a2,…,am，证明：存在不同的自然数 b1,b2,…,bn,n≤m，满足下面两个条件：(1){b1,b2,…,bn}的每个子集有不同的元素和；(2) a1,a2,…,am 中每一个数都是{b1,b2,…,bn}某个子集的元素和。
f(y) f(x) 值域。
(2013CMO－模拟测试 3－1) 四边形 ABCD 内接于⊙O，DA 与 CB 交于 N，NT 切⊙O 于 T，对角线 AC 和 BD 的交点 P 是△NTD 的重心。求 NT : AP。
(2013CMO－模拟测试 3－2) 求所有的正数 a 和 b 使得对任意自然数 n 有[a[bn]]=n-1。
(2013CMO－模拟测试 1－4) 梯形 ABCD 中 AB∥CD，CB 延长线上点 E，线段 AD 上点 F 满足∠DAE=∠CBF，令 I 表示 CD 和 EF 的交点，J 表示 AB 和 EF 的交点，K 是线段 EF 的中点，且假设 K 不在直线 AB 上。证明：I、A、B、K 四点共圆当且仅当 K、C、D、J 四点共圆。

1997年全国高中数学联赛试题及详细解析

1997年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ，记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则(A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (δ)>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β) 6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = . 2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= .3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是．4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为．三、（本题满分20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z =π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．五、(本题满分20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a5a4， a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。

1997年全国高中数学奥林匹克竞赛获奖名单

1997年全国高中数学奥林匹克竞赛获奖名单一、引言1997年全国高中数学奥林匹克竞赛获奖名单已经公布，这一消息牵动着无数学生、家长和学校的心。

在这个被誉为“数学奥林匹克”的竞赛中，众多优秀的学生通过自己的努力和指导教师的辛勤培育，取得了骄人的成绩。

本文将对这份获奖名单进行详细的解读和分析，以期从中发现一些值得关注的现象和趋势。

二、获奖名单概述1997年全国高中数学奥林匹克竞赛的获奖名单于当年年底公布。

该名单经过了严格的评审标准和流程，确保了结果的公正和公平。

获奖名单分为一等奖、二等奖和三等奖，涵盖了全国各地的学生。

三、获奖名单详细内容1.获奖学生姓名、学校和奖项等级在1997年全国高中数学奥林匹克竞赛中，共有100名学生获得一等奖，200名学生获得二等奖，300名学生获得三等奖。

以下是一部分获奖学生的姓名、学校和奖项等级：（此处省略部分获奖学生信息）2.获奖学生的指导教师及其教学成果在本次竞赛中，许多获奖学生的背后都有一位或多位辛勤付出的指导教师。

这些教师在平时的教学工作中，注重培养学生的数学素养和兴趣，为他们在竞赛中取得优异成绩奠定了基础。

3.各地区获奖情况的统计和分析从地区分布来看，获奖学生来自全国各地，其中以经济发达地区和教育资源丰富的省份表现尤为抢眼。

这一现象反映出我国高中数学教育水平的提升和竞争力的增强。

四、获奖名单的影响和意义1.对于获奖学生的个人成长和未来发展获得全国高中数学奥林匹克竞赛奖项无疑是对获奖学生个人能力的肯定。

这些学生在未来的学习和工作中，将受益于这次竞赛的经历，为自己的发展奠定坚实基础。

2.对于获奖学校的学科建设和人才培养获奖学校在本次竞赛中的表现，充分展示了其在数学教育领域的优势和特色。

这不仅有助于提高学校在教育界的地位和声誉，还能为学校的学科建设和人才培养提供有力的支持。

3.对于我国高中数学教育水平的提升和竞争力的增强全国高中数学奥林匹克竞赛获奖名单的公布，是对我国高中数学教育水平的直观反映。

第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案

第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题第七届中国数学奥林匹克 (1992年)1. 设方程x n +a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a 1x+a 0=0的系数都是实数，且适合条件0<a 0≦a 1≦a 2≦....≦a n-1≦1。

已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1。

2. 设x 1, x 2, ... , x n 为非负实数，记 x n+1= x 1，a=min{x 1, x 2, ... , x n }，试证：n Σ i=1 1+x i _ 1+x i+1 ≦n+ 1 (1+a)2nΣ i=1(x i -a)2 ，3. 且等式成立当且仅当 x 1 =x 2= ... =x n 。

4. 在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。

下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。

试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？5. 凸四边形内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，ΔABP 与ΔCDP 的外接圆相交于P 和另一点Q ，且O 、P 、Q 三点两两不重合。

试证∠OQP=90。

6. 在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？7. 已知整数序列{a 1, a 2, ...... }满足条件：1. a n+1=3a n -3a n-1+a n-2，n=2, 3, .....。

2. 2a 1= a 0+a 2-2。

3. 对任意的自然数m ，在序列{a 1, a 2, ...... }中必有相继的m 项a k , a k+1, ... , a k+m-1都为完全平方数。

试证：序列{a 1, a 2, ...... }的所有项都是完全平方数。