【Word版解析】天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理科数学
天津高三数学理科试题分类汇编13导数
最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编13：导数一、选择题1 ．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题）函数的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为（）（）A ．B ．1 C． 2 D．2 ．（天津市耀华中学2013 届高三第一次月考理科数学试题）已知函数 f (x)= x2 cos x，则f (0.6),f (0),f (-0.5) 的大小关系是（）A ．f (0)< f (0.6)< f (-0.5) B．f (0)< f (-0.5)< f (0.6)C．f (0.6)< f (-0.5)< f (0) D．f (-0.5)< f (0)< f (0.6)3 ．（天津市天津一中2013 届高三上学期一月考理科数学）. 定义在 R 上的可导函数 f(x), 且 f(x) 图像连续 , 当 x≠ 0 时 , f '( x) x 1 f ( x) 0 ,则函数 g( x) f (x) x 1的零点的个数为（）A ． 1B ．2 C． 0 D．0或24 ．（天津市新华中学2012 届高三上学期第二次月考理科数学）已知函数 f ( x)( x R) 满足 f (1) 1 ，且 f (x) 的导函数 f '( x) 1 x 1的解集为2，则 f ( x)22（）A ．x 1 x 1B ．x x 1C ．x x 1或 x 1D．x x 1二、填空题5 ．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））若 f(x) 在 R上可2+2f ’(2)+3, 3导 ,f(x)=x 则 f （x）dx .6 ．（天津南开中学2013 届高三第四次月考数学理试卷）若不等式 | ax3 ln x | 1 对任意 x (0,1] 都成立 , 则实数 a 取值范围是 ________.17 ．（天津市耀华中学2013 届高三第一次月考理科数学试题）计算(2 x+e x )dx = ；-18 ．（天津市天津一中2013 届高三上学期一月考理科数学）曲线 xy 1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为 _________.9 ．（天津市天津一中20131 e 1dx , 则 m与n届高三上学期第二次月考数学理试题）设me x dx,n x0 1的大小关系为 ______.10．（天津耀华中学2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知函数 f ( x) x3 bx2 cx d 在区间 [ 1,2] 上是减函数，那么 b c的最大值为________________；三、解答题11．2013 届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数（为自然（天津市蓟县二中对数的底数）．（1）求的最小值；（ 2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围（3）已知，且，可否存在等差数列和首项为公比大于0 的等比数列，使得 ？若存在，央求出数列 的通项公式．若不存在，请说明原由．12．2013 届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数（天津市蓟县二中（ ） .（1）若，试确定函数的单调区间；（ 2）若函数在其图象上任意一点 处切线的斜率都小于 ，求实数 的取值范围 .（3）若，求 的取值范围 .13．（天津市十二区县重点中学2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数f xln 2ax 1x 3x 2 2ax a R3( Ⅰ) 若 x2 为 f x 的极值点 , 求实数 a 的值 ;( Ⅱ) 若 yf x 在 3,上为增函数 , 求实数 a 的取值范围 ;1 1 x 3b ( Ⅲ) 当 a时 , 方程 f 1 xx23有实根 , 求实数 b 的最大值 .2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考( 一14．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知函数 f( x )=2ln x +ax 2-1( a ∈ R)(1) 求函数 f(x) 的单调区间 ;(2) 若 a=1, 分别解答下面两题 ,(i) 若不等式 f(1+x)+f(1-x)<m 对任意的 0<x<1 恒成立 , 求 m 的取值范围 ;(ii) 若 x 1,x 2 是两个不相等的正数 , 且 f(x 1)+f(x 2)=0, 求证 x 1+x 2>2.15．（天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）已知函数 f (x) x ln( x a) 的最小值为 0,其中 a0 .(1) 求 a 的值(2) 若对任意的 x[0, ) , 有 f ( x)kx 2 成立 , 求实数 k 的最小值n2N * )(3) 证明2i ln( 2n 1) 2(ni 1116 ．（ 2012-2013-2 天津一中高三 年级数学第四次月考检测试卷（理））已知函数f x ln x ax 2 x 在 x 0 处获取极值 .(1) 求实数 a 的值；(2) 若关于 x 的方程f x5x b 在区间0,2上恰有两个不同样的实数根, 求实数b的取值范2围；(3) 证明 : 对任意的正整数3 4 n 1ln n 1 都成立. n ,不等式29 n2417．（天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题）( 本小题满分14 分) 设函数f (x)=x2 +bln (x+1) ，其中b≠0。
天津市天津一中2013届高三零月考数学(理)试题(附答案)
试卷(理)一.选择题: 1.若i-+2i71=a+bi(i 是虚数单位,a 、b ∈R),则ab 为 A.-1 B.1 C.-2 D.-3 2.已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.34B.4C.324D.334 3.设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线， 则m ⊥β的一个充分条件为A.α⊥β,α∩β=l ,m ⊥lB.α∩γ=m, α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m ⊥αD.n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α4.若函数y=a 1-x (a>0，a ≠1)的图像过定点A ，点A 在直线mx+ny=1(m 、n>0)上，则n1m1+的最小值为A.5B.2C.7D.45.在数列｛a n ｝中,a 1=2,a n+1=1-a n (n ∈N ∗ ),S n 为数列的前n 项和，则S 2006-2S 2007+S 2008为 A.5 B.-1 C.-3 D.26.函数y=2x-1+log 2x 的零点所在的区间为A.(0.5，2)B.(0.5，1)C.[0.5，1]D.[0.5，2]7.过点M(1,2)的直线把圆x 2+y 2-4x=5分成两段弧，则劣弧最短时直线方程为 A.3x-2y+2=0 B.x-y-1=0 C.x+y-3=0 D.x-2y+3=0 8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.32(425-1)B.32(426-1) C.250-1 D.251-1 二.填空题:9.二项式6a)x (+展开式中x 2系数为60,则实数a 的值=_____. 10.已知5cos(45o +x)=3,则sin2x= .11.∆ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值= . 12.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则双曲线的离心率= .13.极坐标系中，曲线ρ=10cos θ和直线3ρcos θ-4ρsin θ-30=0交于A 、B 两点,则线段AB 的长= .14.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，PAB=30o ，则线段PB 的长=三.解答题:15.已知∆ABC 中，A 、B 、C 分别为三个内角， a 、b 、c 为所对边，22(sin 2A- sin 2C)=(a-b)sinB,O B C P APA B CDE∆ABC 的外接圆半径为2，(1)求角C ；(2)求∆ABC 面积S 的最大值.16.右图为一多面体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE//DP ，且PD=2CE ，(1)求证：BE//平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(3)若PD=2AD ，求平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值．17.设有编号为1，2，3，……，n 的n 个学生，编号为1，2，3，……，n 的n 个座位.规定每个学生坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法.(1)求n 的值； (2)求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18.数列｛a n ｝的前n 项和S n ，点(a n ,S n )在直线y=2x-3n 上，(1)若数列｛a n +c ｝为等比数列，求常数c 的值；(2)求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 数列｛a n ｝中是否存在三项，使它们构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由.19.已知椭圆C 1:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为33，直线l : y=x+2与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右焦点F 1、F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段P F 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2方程；(3)设C 2与x 轴交于Q 点，不同的两点R 、S 在C 2上，且满足⋅=0.，求∣QS ∣的取值范围.20.已知函数f(x)=ax 4lnx+bx 4-c (x>0),在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数.(1)试确定a,b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x>0，不等式f(x)+2c 2≥0恒成立，求c 的取值范围.答案：一、选择题： 1、D 2、C 3、D 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A二、填空题： 9、±210、25711、-2 12、3 13、8 14、1三、解答题：15、解：（1）)(sin 22)sin (sin )2(2222b a B C A -=-a 2-c 2=ab-b 2即a 2+b 2-c 2=ab ∴2abcosC=ab cosC=21 c=3π（2）S ΔABC =21absinC =21absin 3π=sinAsinB 32 =)32sin(sin 32A A -π=)sin 21cos 23(sin 32A A A + =3sinAcosA+3sin2A=23sin2A+23(1-cos2A) =23sin2A-23cos2A+23=3sin(2A-6π)+23当2A-6π=2π 即A=3π时，S ΔABCmax =233 16、解：（1）取PD 中点F ，则FD //EC ，∴□EFDC ∴EF //CD //AB ∴□EFAB ∴ BE//AF ∴BE//平面PDA AF ⊆面PDA（2）设AC ∩BD=O 则NO //CE ∴□NOCE ∴CO//EN ∵ PD ⊥面ABCD ∴ PD ⊥NE ∴NE ⊥平面PDB PD//CE//NO BD ⊥NE（3）设平面PBE 与平面ABCD 所夹角为α∵PD ⊥平面ABCD 于D ，CE ⊥平面ABCD 于C ，∴PBES ∆∆=BDCS cos αS ΔBDC =2a 2，在ΔPBE 中，PB=2a ，BE=a 26，PE=a 26S ΔPBE =22222)26(22121a a a a EN PB =-⋅⋅=⋅⋅ ∴22222cos 22==a a α 17、解：（1）由ξ=2可知有n-2学生对位，2个错位，选n-2个学生对位 ∴62-n n=C ，∴n=4（2）P(ξ=0)=241144=A ，P （ξ=2）=446A =41P （ξ=3）=3124414=⋅A C ，P （ξ=4）=31944=AE ξ334131201=⨯+⨯+⨯+⨯= 18、把（a n ；S n ）代入y=2x-3n 中， S n =2a n -3nS n-1=2a n-1-3(n-1) (n ≥2) 两式相减：a n =2a n-1+3 即a n +3=2(a n-1+3)∴c=3，当n=1时，a 1=3（2）由{a n +3}是首项6公比2的等比数列 ∴a n +3=6·2n-1 ∴a n =3·2n -3(n ∈N*) （3）设0<<βα假设存在 则]323[2)323()323(-⋅=-⋅+-⋅βγα即βγα2222⋅=+222=+--βγβα事实上，0<-βα，0>-βγ∴ 0<12<-βα ∴222>+--βγβα 22>-βγ ∴假设存在不成立 ∴不存在 19、解：（1）由e=33可知 a=c 3 ∴2a 2=3b 2a 2=b 2+c 2由y=x+2与(x 2+y 2=b 2)相切b=22∴ b=2 123x 22=+y 为椭圆C 1的方程a=3（2）F 1（-1，0），F 2（1，0）由已知可知MF 2=MP即点M 到点F 2距离等于点M 到直线l 1：x=-1的距离点M 是焦点为F 2渐近线为x=-1的抛物线，p=2 ∴y 2=4x（3）由（2）可知Q 点为原点O ，设R （x 1，y 1） ，S （x 2，y 2）2221214y ,4y x x ==，由0=⋅RS OR即x 1(x 2-x 1)+y 1(y 2-y 1)=0 x 1x 2-21x +y 1y 2-21y =0， x 1x 2-21x -40x 4x x 121=-0)2(2)-x x (21221=+-x22-x x 121+=x 44112≥+=x x x ，当且仅当x 1=2时，x 2≥16而|QS|=|OS|=2222y x +=2224x x +≥815164162=⨯⨯∴|QS|∈[815,+∞) 另：设直线OR 方程 y=kx ⇒ R(k442，k )，不妨设k>0y 2=4x 直线RS 方程 y-k 4=-)44,)1(4()4(122k k k k s k x k --+⇒- y 2=4x ∴ |QS|=|OS|=4815)1()k 1(k 24≥+++kk （k+k1)2≥420、解：(1)f ’（x ）=4ax 3lnx+ax 3+4bx 3 由 f ’(1)=0f(1)=-3-c 即⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧==+312c --3c -b 04b a b a （2）f(x)=12x 4lnx-3x 4-cf ’(x)=48x 3lnx+12x 3-12x 3=48x 3lnx ，（x>0） f(x)增区间(1，+∞)，减区间(0，1) （3）由对x>0，f(x)+2c 2≥0成立即：12x 4lnx-3x 4-c+2c 2≥0对x ∈R 成立 即：c-2c 2≤12x 4lnx-3x 4对x ∈R 成立 必须满足c-2c 2≤{12x 4lnx-3x 4}min设g(x)=12x 4lnx-3x 4 g ’(x)=48x 3lnx ，如图当x=1时，g(x)min =g(1)=-3 ∴c-2c 2≤3 即2c 2-c-3≥0 ∴c ≤-1或c ≥23。
天津市蓟县一中2013届高三第一次月考数学理试题(WORD解析版)
天津市蓟县一中2013高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的乘除运算将复数+（1+2i）2转化为a+bi（a，b∈R），即可．解答：解：∵==，（1+2i）2=1﹣4+4i=﹣3+4i，∴+（1+2i）2=（﹣3）+（+4）i=﹣+i，∴复数+（1+2i）2对应的点位于第二象限，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2．（4分）（2012•青岛二模）已知函数，则的值是（）A．5B．3C．﹣1 D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：本题是分段函数求值，首先弄清f（x）在不同区间有不同对应法则，找准对应区间代入计算即可．解答：解：∵f（1）=log21=0，∴f（f（1））=f（0）=3﹣0+1=2，又∵，∴=+1=+1=2+1=3，∴=2+3=5．故选A．点评：本题考查分段函数求值问题，关键由自变量找对应区间，由内到外逐一确定适用区间，即可利用相应对应法则求值．3．（4分）（2012•九江一模）已知函数，则该函数是（）A．非奇非偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：证明题．分析：由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项解答：解：此函数的定义域是R当x≥0时，有f（x）+f（﹣x）=1﹣2﹣x+2﹣x﹣1=0当x＜0时，有f（x）+f（﹣x）=1﹣2x+2x﹣1=0由上证知，此函数是一个奇函数，又x≥0时，函数1﹣2﹣x是一个增函数，最小值是0；x≤0时，函数2x﹣1是一个增函数，最大值为0，所以函数函数在定义域上是增函数综上，函数在定义域上是增函数，且是奇函数故选C点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性判断方法与函数单调性的判断方法是解题的关键．4．（4分）（2012•湘潭三模）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．分析：A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．解答：A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．5．（4分）（2011•天津模拟）若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，根据圆柱和棱柱的体积公式得到两个几何体的体积，再相加得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，∴圆柱的体积是π×0.82×2=，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，∴六棱柱的体积是=，∴组合体的体积是，故选C．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原简单的组合体，考查圆柱和圆锥的体积，本题是一个基础题．6．（4分）（2012•韶关一模）如图所示的流程图中，输出的结果是（）A．5B．20 C．60 D．120考点：程序框图．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：循环前得到结果为S=5×1=5，a=5﹣1=4，此时满足判断框的条件第1次循环：S=5×4=20，a=4﹣1=3，继续循环；第2次循环：S=20×3=60，a=3﹣1=2，继续循环；第3次循环：S=60×2=120，a=2﹣1=1，此时不满足判断框的条件，执行输出S，即输出120．故选D．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（4分）已知p：|x+1|＞2，q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：因为“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，所以q是p的充分不必要条件，即q是p的真子集，然后解不等式|x+1|＞2，利用数轴求解即可．解答：解：由题意知：p：|x+1|＞2可化简为{x|x＜﹣3或x＞1}；q：x＞a∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，∴q是p的充分不必要条件，即q⊊p∴a≥1故选A点评：本题主要考查四种命题的等价关系，及解绝对值不等式，属基础知识、运算能力的考查．8．（4分）设函数f（x）=，若f（|x|+|3﹣x|）＞f（4），则x的取值范围是（）D．A．B．C．（考点：函数单调性的性质；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先确定|x|+|3﹣x|≥3，再求得x≥3时，函数为减函数，进而可得具体不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵|x|+|3﹣x|=，∴|x|+|3﹣x|≥3∵|x|＞1，f（x）=，∴x≥3时，f′（x）=＜0，∴x≥3时，函数为减函数∵f（|x|+|3﹣x|）＞f（4），∴|x|+|3﹣x|＜4，∴或0＜x＜3或∴﹣故选A．点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，具体的关键是确定函数的单调性，属于中档题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）（2009•宝山区一模）已知二项式展开式的前三项系数成等差数列，则a=2或14．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出a即可．解答：解：解：展开式的通项为T r+1=c8r x n﹣r=．前三项的系数为1，，．∴2×=1+⇒a2﹣16a+28=0，解得a=2，a=14．故答案为：2或14．点评：本题主要考查二项式系数的性质．解决此类问题时需注意二项式系数与项的系数是不同的避免出错．10．（4分）（2010•天津模拟）集合A={x||2x﹣1|＞1}，集合B={y|y=|log a x|，x∈[m，n]，a＞1}，若B=C R A且n﹣m的最小值为，则a=2．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：先化简求出集合A，然后根据补集的概念求出集合B，然后根据集合B是y=|log a x|，x∈[m，n]的值域，以及n﹣m的最小值为即可求出m和n，从而建立关于a的等式，解之即可．解答：解：A={x||2x﹣1|＞1}={x|x＞1或x＜0}B=C R A={x|0≤x≤1}∵{x|0≤x≤1}是y=|log a x|，x∈[m，n]的值域而n﹣m的最小值为∴n=1，m=∴|log a\frac{1}{2}|=1而a＞1则a=2故答案为：2点评：本题主要一绝对值不等式和对数函数为平台，求解补集和值域的基础题，也是常考的题型．11．（4分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5∴OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．12．（4分）在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的动点，则|PA|的最大值为．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，利用两点间的距离公式求出CA的值，则CA加上圆的半径，即为所求．解答：解：∵点A的极坐标是（1，π），∴点A的直角坐标是（﹣1，0），曲线C：ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1，表示以C（0，1）为圆心，以1为半径的圆．由|CA|==，∴|PA|的最大值为+1，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．13．（4分）已知函数在区间上为单调增函数则实数a的取值范围2﹣2≤a＜．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x2﹣ax﹣a．由“f（x）=log g（x）在上为增函数”，可知g（x）应在上为减函数且g（x）＞0在上恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．解答：解：令g（x）=x2﹣ax﹣a．∵f（x）=log g（x）在上为增函数，∴g（x）应在上为减函数且g（x）＞0在上恒成立．因此，．解得2﹣2≤a＜，故实数a的取值范围是2﹣2≤a＜．故答案为：2﹣2≤a＜．点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用．14．（4分）设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，若f（3）=5，且当x∈（﹣∞，﹣a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是a≥3．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），确定函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数，且函数为偶函数，求出不等式的解集，即可得到结论．解答：解：构造函数g（x）=xf（x），因为当x＞0时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，所以函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数；所以不等式等价于|xf（x）|＞15，即g（x）＞15或g（x）＜﹣15当x＞3时，g（x）＞g（3）=3f（3）=3×5=15又g（x）＞g（0）=0，所以g（x）＜﹣15这种情况不存在，不考虑因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）所以g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），所以g（x）是偶函数故xf（x）＞15的解集为x∈（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）要使x∈（﹣∞，﹣a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式恒成立，只需a≥3故答案为：a≥3点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查解不等式，属于中档题．15．（1）设函数f（x）=x2﹣1，对任意恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）函数f（x）=，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：一元二次不等式的应用．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）将函数代入，再化简并分离参数，确定函数的最值，即可求得m的取值范围；（2）在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．解答：解：（1）把f（x）=x2﹣1代入，﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）化简分离参数，由x∈[，+∞）可得﹣4m2≤﹣﹣+1令y=﹣﹣+1，由x∈[，+∞）可得函数在由x∈[，+∞）上单调递增，所以x=时，y 取得最小值为﹣所以得﹣4m2≤﹣整理得：12m4﹣5m2﹣3≥0所以（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，所以4m2﹣3≥0即m∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）函数f（x）=的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．故答案为：（1）（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）（﹣∞，1]点评：本题考查恒成立问题，考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题，共80分16．（10分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；元素与集合关系的判断；子集与真子集．专题：计算题．分析：（1）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2n．（3）根据题意，需要进行分类讨论，当B=φ和B≠φ时，然后列出关系式即可求出结果．解答：解：（1））①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2②当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5得2≤m≤3故实数m的取值范围为m≤3（2）当x∈Z时，A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，所以A的非空真子集个数为28﹣2=254（3）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足的条件是m+1≤2m﹣1且m+1＞5或m+1≤2m﹣1且2m﹣1＜﹣2，解得m＞4．综上，有m＜2或m＞4．点评：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2n，真子集个数为：2n﹣1．17．（10分）已知函数f （x ）的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2），且当x ＞1时f （x ）＞0，f （2）=1． （1）求证：f （x ）是偶函数；（2）f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f （2x 2﹣1）＜2．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断． 专题：综合题；转化思想． 分析： （1）根据题意和式子的特点，先令x 1=x 2=﹣1求出f （﹣1）=0，再令x 1=﹣1，x 2=x 求出f （﹣x ）=f （x ），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x 2＞x 1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x 2=和且＞0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f （|2x 2﹣1|）＜f （4），再由（2）的结论知|2x 2﹣1|＜4，故解此不等式即可．解答： 解：（1）由题意知，对定义域内的任意x 1，x 2都有f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2）， 令x 1=x 2=﹣1，代入上式解得f （﹣1）=0，令x 1=﹣1，x 2=x 代入上式，∴f （﹣x ）=f （﹣1•x ）=f （﹣1）+f （x ）=f （x ），∴f （x ）是偶函数． （2）设x 2＞x 1＞0，则=∵x 2＞x 1＞0，∴，∴＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1） ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数． （3）∵f （2）=1，∴f （4）=f （2）+f （2）=2，∵f （x ）是偶函数，∴不等式f （2x 2﹣1）＜2可化为f （|2x 2﹣1|）＜f （4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，，∴|2x 2﹣1|＜4，且2x 2﹣1≠0， 即﹣4＜2x 2﹣1＜4，且2x 2≠1解得：，且x ≠，即不等式的解集为．点评：本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x 1和x 2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．18．（10分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B D）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．19．（10分）（2011•天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；综合题．分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．解答：解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×．点评：此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2008•江苏二模）已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）若函数没有零点，则对应的方程（x2+mx+m）e x=0没有实根，根据指数的性质，我们易将问题转化为二次方程根的个数判断问题，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，故可对m的取值进行分类讨论，综合讨论过程即可得到答案．（3）当m=0时，f（x）=x2e x，构造函数ϕ（x）=e x﹣1﹣x，求出函数的导函数后，我们易判断出函数的单调区间及最小值，若最小值大于等于0即可得到结论．解答：解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•e x=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．（6分）当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．（7分）当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，（9分）所以（10分）（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．（16分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．21．（12分）已知函数（1）若a=﹣4，求函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数g（x）=x2f′（x），若g（x）的最小值是，求f（x）的解析式．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=﹣4代入函数的解析式，先求函数的定义域，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥在[1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=并求出其最小值，可得实数a的取值范围；（3）g（x）=x2f′（x）=2x3+ax﹣2的最小值是，由此构造关于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．解答：解：（1）当a=﹣4时，，（x＞0）==令f′（x）=0，则x=∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，）为函数的单调递减区间，∴（，+∞）为函数的单调递增区间；（2）∵f′（x）=若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即2x3+ax﹣2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥在[1，+∞）上恒成立令h（x）=，则h′（x）=＜0恒成立故h（x）=在[1，+∞）上单调递减当x=1时，h（x）取最大值0故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）（3）g（x）=x2f′（x）=2x3+ax﹣2则g′（x）=6x2+a，当a≥0时，g′（x）≥0恒成立此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值当a＜0时，令g′（x）=6x2+a=0则x=∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，）为函数g（x）的单调递减区间，∴（，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；当x=时，g（x）的最小值g（）==，解得a=﹣∴点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，并又此分析函数的单调区间和极值点是解答的关键．。
【解析】天津市天津一中2013届高三上学期一月考文科数学
天津一中2012-2013学年高三年级一月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1.i 是虚数单位,复数2i1iz -==-( ) A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i -【答案】A 【解析】2i (2i)(1+i)3311i (1i)(1+i)222i z i --+====+--，选A. 2.已知全集U R =，{|21}xA y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =（ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤C ．{|1}x x <D ．{|01}x x <<【答案】B【解析】{21}{1}x A y y y y ==+=>，15{||1||2|2}{}22B x x x x x =-+-<=<<，所以{1}U A y y =≤ð，所以1(){1}2U A B xx =<≤ð，选B. 3. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ）A. p q >B. p q ≥C. p q <D. p q ≤【答案】D【解析】22222222()b a b a b a a b p q a b a b a b a b a b---=+-+=-+-=+2222211()()()()()b a b a a b b a b a a b ab ab--+=--=-⨯=，因为0a <，0b <，所以0,0a b ab +<>，2()0b a -≥，所以0p q -≤，所以p q ≤，选D.4. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2- 【答案】C【解析】22()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin sin )1f x x x x x x x =+=-+=--+2132(sin )22x =--+,因为1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，函数有最大值32，当sin 1x =-时，函数有最小值3-，选C.5. 已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数【答案】D【解析】222211()(1cos 2)sin 2cos sin sin 2(1cos 4)24f x x x x x x x =+===-,所以函数为偶函数，周期2242T πππω===，选D. 6. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【答案】C 【解析】将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)4y x π=+，然后向左平移4π个单位得到函数442y x x x πππ=+++，选C.7. 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）【答案】A【解析】函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除B,D.又0cos 1x <<，所以ln cos 0y x =<，排除C ，选A.8. 定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则 （ ）.A ．12()()f x f x < B. 12()()f x f x > C. 12()()f x f x =D. 1()f x 与2()f x 的大小不确定【答案】B【解析】由(4)()f x f x -=可知函数的关于2x =对称，当2x >时，'()0f x <，函数单调递减，当2x <时，'()0f x >，函数单调递增，因为12x x <，且124x x +>，所以讨论：若122x x <<，函数因为函数单调递减，则有12()()f x f x >，若122x x <<，由124x x +>得124x x >-，即2142x x -<<，函数在2x <时，单调递增，即21(4)()f x f x -<.即21()()f x f x <，综上可知，12()()f x f x >，选B.二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 已知3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.【答案】6556-【解析】因为3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,22παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos()0αβ+>，即4cos()5αβ+=.又3244πππβ<-<，所以cos()04πβ-<，即5cos()413πβ-=-.又cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()4444ππππααββαββαββ+=+--=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-. 10. 在ABC △中，若1tan 3A =，150C =︒，1BC =，则AB = ．【解析】由1tan 3A =，得sin A =，根据正弦定理得sin sin BC AB A C =，即01sin sin150ABA =，解得AB =11. 已知向量()()()2 111 2m =-=-=-a b c ，，，，，，若()+a b c ，则m = ．【答案】1m =-【解析】()()2 11(1,1)m m +=-+-=-，，a b ，因为()+a bc ，所以12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，即210m +-=，解得1m =-.12. 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【答案】6π【解析】因为⊥m n，所以sin 0A A -=sin A A =，所以tan A =，所以3A π=.又cos cos sin a B b A c C +=，所以根据正弦定理得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，即sin()sin sin A B C C +=，所以sin sin sin C C C =，即sin 1C =，所以2C π=，所以236B ππππ=--=.13.如右图，AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=，则tan θ= ．【解析】设圆的半径为R ，因为5AD DB =，所以2AD DB R +=，即62DB R =，所以13DB R =,23OD R =,53AD R =,由相交弦定理可得2259CD AD BD R ==,所以CD R =，所以tan CD OD θ===. 14. 在四边形ABCD 中，()1 1AB DC ==，，113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积为 ． 【解析】由()1 1AB DC ==，，可知四边形ABCD 为平行四边形，2AB DC ==，因为113BA BC BD BABCBD+=，所以可知平行四边形ABCD 的角平分线BD 平分∠ABC,四边形为菱形,，且对角线BD倍，即BD==,则22212CE =-=,即CE =所以三角形BCD 的面积为12，所以四边形ABCD 的面积为2三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，且.21222ac b c a =-+（I ）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．16．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域17．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(2sin B,2cos 2B)m =-，2B(2sin (), 1)42n π=+-, m ⊥n ．（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =1b =，求c 的值．18. 已知函数32()92f x ax bx x =-++,若()f x 在1x =处的切线方程为360 x y +-=.（I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的1[,2]4x ∈，都有2()21f x t t ≥--成立，求函数2()2g t t t =+-的最值.19．已知函数22()ln ().f x x a x ax a R =-+∈ （I ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若函数()f x ∞在区间(1,+)上是单调减函数，求实数a 的取值范围.20．设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．天津一中2012—2013高三年级一月考数学试卷（文科）答案一、选择题：ABDCDCAB 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．6556-1011．1m =- 12613 三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分） 15．（I ）由余弦定理：c o nB =14 si n 22A C ++c os2B = -14（II ）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2， a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38,S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为315 16．（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =+-sin(2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 对称轴方程 ()23k x k Z ππ=+∈ （II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 17．（I ）20,4sin sin ()cos 22042Bm n m n B B π⊥∴⋅=∴⋅++-=222sin [1cos()]cos 220,22sin 2sin 12sin 20,15sin , 0, .266B B B B B B B B B ππππ∴-++-=∴++--=∴=<<∴=或（II ）6,3π=∴>=B b a 此时，2222:::2cos ,320,2 1.,sin sin 12sin 0,,1332,,,2;36222,,, 1.3366b ac ac B c c c c b aB AA A A ABC c A C c b c πππππππππππ=+-∴-+=∴===∴=∴=<<∴====∴===--=∴=∴=方法一由余弦定理得或方法二由正弦定理得或若因为所以角边若则角边综上2 1.c c ==或18. （I ）923)(2'+-=bx ax x f ,(1)3(1)3f f =⎧⎨'=-⎩解得412a b =⎧⎨=⎩32()41292f x x x x ∴=-++（II ）2()122493(23)(21)f x x x x x '=-+=-- (),()f x f x '∴的变化情况如下表：min ()2f x = min ()2f x ∴=122--≥t t ，31≤≤-t 2()2g t t t ∴=+- (31≤≤-t ), 当12t =-时,最小值为94-,当3t =时，最大值为1019．（I ）函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞222121(21)(1)'()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-∴=-+==① 当0a =时，1'()0f x x=>，()f x ∴的增区间为(0,)+∞，此时()f x 无极值； ② 当0a >时，令'()0f x =，得1x a =或12x a=-（舍去）()f x ∴的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞()f x ∴有极大值为1()ln f a a=-，无极小值；③ 当0a <时，令'()0f x =，得1x a =（舍去）或12x a=-()f x ∴的增区间为(0,)2a -，减区间为(,)2a-+∞ ()f x ∴有极大值为1133()ln ln(2)2244f a a a ⎛⎫-=--=--- ⎪⎝⎭，无极小值； （II ）由（1）可知：①当0a =时，()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意；②当0a >时，()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞，依题意，得110a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，得1a ≥；③当0a <时，()f x 的单调递减区间为1,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，依题意，得1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞.法二：①当0a =时，1'()0f x x=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意； ②当0a ≠时，()f x 在区间(1,)+∞上为减函数，只需'()0f x ≤在区间(1,)+∞上恒成立.220210x a x ax >∴--≥只要恒成立，2211, 1.42210aa a a a a ⎧≤⎪∴≤-≥⎨⎪--≥⎩解得或20. （I ）232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+ 222sin 12sin 434x t t t t =--++-+223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和12⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间22⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：3导数1
各地解析分类汇编:导数11【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D.21【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A.2【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．353B ．C ．2D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D. 3【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（ ）A.21 B. 41 C. 61 D. 31【答案】D【解析】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或0x y =⎧⎨=⎩，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为3123120021211)()33333x dx x x =-=-=⎰，选D. 4【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】由直线2,21==x x ，曲线xy 1=及x 轴所谓成图形的面积为 A.415B.417C.2ln 21D. 2ln 2【答案】D【解析】根据积分的应用可知所求22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，选D. 5【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知()f x 为R上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f>′（x），则有 （ ）A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -><【答案】A【解析】构造函数()()x f x g x=，则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''''--==，6【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】曲线x e y 21=在点()2,4e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.2eB.24eC.22eD.229e 【答案】A【解析】121'2x y e =，所以在点()2,4e 的导数为142211'22y e e ⨯==，即切线斜率为212k e =，所以切线方程为221(4)2y e e x -=-，令0x =得，2y e =-，令0y =，得2x =.所以三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选A.7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数22ln y x x e ==在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．292e B ．212Se =C ．22eD ．2e【答案】D【解析】212'2y x x x =⨯=，所以在2x e =处的切线效率为22k e =，所以切线方程为2224()y x e e-=-，令0x =，得2y =，令0y =，得2x e =-，所以所求三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选D.8【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是 A.1y x =+ B.1y x =-+C.21y x =+D.21y x =-+【答案】A 【解析】1'2y x =+,所以在点P 处的切线斜率1112k ==-+，所以切线方程为(1)1y x x =--=+，选A.9【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】由直线2,,0sin 33x x y y x ππ====与所围成的封闭图形的面积为 A.12B.1C.2【答案】B【解析】由积分的应用得所求面积为2233332sin cos coscos 2cos 1333xdx xπππππππ=-=-+==⎰，选B. 10【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x【解析】设1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.11【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于A.89B.109C.169D.289【答案】C【解析】函数过原点，所以0d =。
天津市天津一中2013届高三(上)零月考数学理试题(WORD解析版)
天津一中2013届高三（上）零月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）若=a+bi（i是虚数单位，a、b∈R），则ab为（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．﹣3考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：利用复数的代数形式的乘除运算，知==﹣1+3i=a+bi，由此能求出ab．解答：解：∵====﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（3分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知可得该几何体是一个底面棱长为2侧面高为的正四棱锥则棱锥的高h==∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．3．（3分）（2005•天津）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4．（3分）若函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象过定点A，点A在直线mx+ny=1（m、n＞0）上，则的最小值为（）A．5B．2C．7D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1结合mn＞0，可得m＞0，n＞0，利用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值解答：解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）=2当且仅当即m=n=时取等号故选D点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用1的代换配凑基本不等式应用的条件5．（3分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N∗），S n为数列的前n项和，则S2006﹣2S2007+S2008为（）A．5B．﹣1 C．﹣3 D．2考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题．分析：依题意，可求得a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．从而可求得答案．解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=1﹣a n（n∈N∗），∴a n+a n+1=1．又a1=2，∴a2=﹣1，∴a3=2，同理可求，a4=﹣1，a5=﹣1，…∴a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．∴S2006=1003；同理可求得S2007=1005，S2008=1004，∴S2006﹣2S2007+S2008=﹣3．故选C．点评：本题考查数列的求和，分析出a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．6．（3分）函数y=2x﹣1+log2x的零点所在的区间为（）A．（0.5，2）B．（0.5，1）C．[0.5，1]D．[0.5，2]考点：函数的零点．专题：计算题．分析：判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点．解答：解：因为2×0.5﹣1+log20.5=log20.5＜0，2×1﹣1+log21=1＞0，又在（0.5，1）上函数y=2x﹣1+log2x的图象是连续不断的一条曲线，所以函数y=2x﹣1+log2x在区间（0.5，1）上存在零点．故选B．点评：本题考查函数零点存在的条件，须满足两条：①在区间上图象连续不断；②端点处函数值异号．7．（3分）过点M（1，2）的直线把圆x2+y2﹣4x=5分成两段弧，则劣弧最短时直线方程为（）A．3x﹣2y+2=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣2y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：设已知圆的圆心为C，根据平面几何知识，得劣弧最短时相应的弦长也最短，所以求出过点M，且与CM垂直的直线l即可，根据垂直直线斜率之间的关系算出l的斜率，最后利用点斜式列式，再化成一般式方程，即得所求．解答：解：∵劣弧最短时，相应的弦长也最短∴过点M（1，2）的直线l截圆C：x2+y2﹣4x=5，所得短劣弧对应的直线与CM垂直∵圆x2+y2﹣4x=5的圆心C（2，0）∴CM的斜率k==﹣2，可得直线l的斜率k1=﹣=由此可得直线l方程为：y﹣2=（x﹣1），整理得x﹣2y+3=0故选：D点评：本题给出圆内一点M，求经过点M且被圆截得最短弧的直线l的方程，着重考查了直线的位置关系和直线与圆相交的性质等知识，属于基础题．8．（3分）（2013•甘肃三模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．（425﹣1）B．（426﹣1）C．250﹣1 D．251﹣1考点：程序框图．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出等比数列的和．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=0+2+23+…+249==（425﹣1）故选A．点评：本题主要考查了直到型循环结构，直到型循环是先循环后判断．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题二.填空题：9．（3分）的展开式中x2项的系数为60，则实数a=±2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在的通项公式中，令x的指数等于2，求得r=2，从而得到展开式中x2项的系数为60=C62a2，解方程求得实数a的值．解答：解：的通项公式为T r+1=C6r a r，令=2可得r=2，展开式中x2项的系数为60=C62a2，∴a2=4，a=±2．故答案为：±2．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，得到60=C62a2，是解题的关键，属于中档题．10．（3分）已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得cos（45°+x）=，再利用二倍角的余弦公式求得sin2x=﹣cos（90°+2x）的值．解答：解：由题意可得cos（45°+x）=，∴sin2x=﹣cos（90°+2x）=﹣cos[2（45°+x）]=﹣2cos2（45°+x）+1=﹣2×+1=，故答案为．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．11．（3分）（2005•江苏）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，解答：解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值的求法．12．（3分）（2007•海南）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，根据比例线段的性质可知进而求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：故答案为3点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了比例线段的知识和双曲线的离心率问题．13．（3分）极坐标系中，曲线ρ=10cosθ和直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0交于A、B两点，则线段AB 的长=8．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：先把曲线和直线的极坐标方程化为普通方程，再利用|AB|=2（d为圆心到直线的距离）即可得出答案．解答：解：∵曲线ρ=10cosθ，∴ρ2=10ρcosθ，化为普通方程：x2+y2=10x，即（x﹣5）2+y2=25，∴圆心C（5，0），半径r=5．∵直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0，∴普通方程为3x﹣4y﹣30=0．圆心C（5，0）到直线的距离d==3，∴|AB|===8．故答案为8．点评：充分理解|AB|=2（d为圆心到直线的距离）是解题的关键．当然也可以先把交点A、B的坐标求出来，再利用两点间的距离公式即可求出．14．（3分）（2010•怀柔区二模）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则线段PB的长为1．考点：圆的切线方程．专题：压轴题．分析：利用直径上的圆周角是直角，切点与圆心连线与切线垂直，推出△OAB是正三角形，PB=AB=r （半径），然后求出结果．解答：解：PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∠CAB=90°，又OA⊥AP，∠PAB=30°∴∠CAO=30°△OAB是正三角形，且∠ACO=30°，∠APO=30°∴AB=PB设圆的半径为r，则；PB=1故答案为：1．点评：本题考查圆的切线方程，平面几何知识，是中档题．三.解答题：15．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC面积S的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（sin2A﹣sin2C）=2sinB（a﹣b），整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，∴S△ABC=absinC=absin=×2sinA×2sinB×=2sinAsinB=2sinAsin（﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+，则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．（1）求证：BE∥平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；（3）若PD=AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间角．分析：（1）取PD中点F，证明四边形EFAB为平行四边形，可得BE∥AF，利用线面平行的判定可得BE∥平面PDA；（2）设AC∩BD=O，证明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；（3）设平面PBE与平面ABCD所夹角为α，利用即可求得结论．解答：（1）证明：取PD中点F，则FD∥EC，FD=EC∴四边形EFDC为长方形∴EF∥CD∥AB∴四边形EFAB为平行四边形∴BE∥AF∵BE⊄面PDA，AF⊂面PDA∴BE∥平面PDA；（2）证明：设AC∩BD=O，则NO∥CE，NO=CE∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN∵PD⊥面ABCD，∴CO⊂面ABCD∴PD⊥CO，∵CO⊥BD，PD∩BD=D∴C0⊥平面PDB∴NE⊥平面PDB；（3）解：设平面PBE与平面ABCD所夹角为α∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴在△PBE中，PB=2a，BE=，PE=，∴S△PBE=∵S△BDC=，∴点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（2007•深圳二模）有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．（1）求n的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．解答：解：（1）∵当ξ=2时，有C n2种坐法，∴C n2=6，即，n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3（舍去），∴n=4．（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，∴，，，，∴ξ的概率分布列为：∴．点评：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．18．数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n（n∈N*）（1）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c值；（2）求数列{a n}的通项公式a n（3）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c（2）由递推公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1求解（3）假设存在a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，结合（2）中的通项公式进行推理．解答：解：（1）由S n=2a n﹣3n及S n+1=2a n+1﹣3（n+1）得a n+1=2a n+3∴，∴c=3（2）∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3，a n+3=（a1+3）•2n﹣1∴a n=3.2n﹣3（n∈N*）（3）设存在S，P，r∈N*，且s＜p＜r使a s，a p，a r成等差数列∴2a p=a s+a r即2（3•2p﹣3）=（3•2s﹣3）+（3•2r﹣3）∴2p+1=2s+2r∴2p﹣s+1=1+2r﹣s∵s，p，r∈N*且s＜p＜r∴2p﹣s+1、2r﹣s为偶数1+2r﹣s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项点评：本题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．19．（2013•梅州二模）已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；（3）先设出点R，S的坐标，利用求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S 的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围．解答：解：（1）由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得，，∴椭圆C1的方程为：．（4分）（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）（3）Q（0，0），设，∴，由，得，∵y1≠y2∴化简得，（10分）∴（当且仅当y1=±4时等号成立），∵，又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时，∴的取值范围是．（13分）点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．20．（2007•重庆）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c 为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令导函数=0求出a即可；（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的极小值≥﹣2c2，求出c的解集即可．解答：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．。
天津市高三数学第一次月考试题 理 新人教A版
耀华中学2013届高三年级第一次月考理科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟。
第I 卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。
1、i 是虚数单位，复数3+22-3ii等于 A 、i B 、-i C 、12-13i D 、12+13i 2、下列命题中是假命题的是 A 、(0,),>2x x sin x π∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、 ,3>0xx R ∀∈ D 、00,=0x R lg x ∃∈ 3、在下列区间中，函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为A 、（1-4，0）B 、（0，14）C 、（14，12）D 、（12，34） 4、设a ，b ∈R ，那么“>1ab”是“>>0a b ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 5、把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 A 、=(2-),R 3y sin x x π∈ B 、=(+),R 26x y sin x π∈C 、=(2+),R 3y sin x x π∈D 、 2=(2+),R 3y sin x x π∈6、已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f7、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，且1+2cos(B+C)=0，则BC 边上的高等于A 、2 D 、28、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 A 、[-2，0)U (0，l) B 、[-2，0) U [l ，+∞) C 、[-2，l] D 、(-∞，-2]U (0，l]第II 卷 (非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：3导数3
各地解析分类汇编：导数31.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）已知函数2()()xkf x x k e =-. (1)求()f x 的单调区间；(2)若对(0,)x ∀∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围。
【答案】解：(1)/221()()xk f x x k e k =-，令/()0f x =得x k =±当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增(2) 当0k >时，11(1)k kf k ee ++=>；所以不可能对0(∈∀x ，)∞+都有e xf 1)(≤； 当0k <时有（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值为24()k f k e -=，所以对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1)(≤ 即241102k k e e ≤⇒-≤<，故对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1)(≤时，k 的取值范围为1[,0)2-。
2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）（Ⅰ）已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(上是增函数,求a 的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设1)(2--=x xae e x g ，∈x []3ln ,0,求)(x g 的最小值.【答案】解:（1）a x x x f -+='12)(,∵f （x ） 在（0，1）上是增函数,∴2x+x1-a ≥0在（0,1）上恒成立,即a ≤2x+x 1恒成立, ∴只需a ≤（2x+x1）min 即可. …………4分 ∴2x+x 1≥22 （当且仅当x=22时取等号） , ∴a ≤22 …………6分 （2） 设[][].3,1,3ln ,0,∈∴∈=t x t e x设)41()2(1)(222a a t at t t h +--=--= ，其对称轴为 t=2a，由（1）得a ≤22， ∴t=2a ≤2＜23…………8分 则当1≤2a ≤2,即2≤a ≤22时,h （t ）的最小值为h （2a）=-1-42a ,当2a＜1,即a ＜2时，h （t ）的最小值为h （1）=-a …………10分 当2≤a ≤22时g （x ） 的最小值为-1-42a , 当a ＜2时g （x ） 的最小值为-a. …………12分3.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在x ∈[－1，1]内没有极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意的a ∈[3,6]，不等式()1f x ≤在x ∈[－2,2]上恒成立，求m 的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）∵f ′(x )=3x 2+2ax －a 2=3(x －3a)(x +a ), 又a >0，∴当x <－a 或x >3a时f ′(x )>0； 当－a <x <3a时，f ′(x )<0. ∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a ），(3a，+∞)，单调递减区间为 (－a ，3a).(4分） （Ⅱ）由题设可知，方程f ′(x )=3x 2+2ax －a 2=0在[－1，1]上没有实根∴⎪⎩⎪⎨⎧><'<-'00)1(0)1(a f f ，解得a >3. （8分） （Ⅲ）∵a ∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知3a∈[1，2]，－a ≤－3 又x ∈[－2,2]∴f (x )max =max{f (－2),f (2)} 而f (2)－f (－2)=16－4a 2<0f (x )max =f (-2)= －8+4a +2a 2+m （10分）又∵f (x )≤1在[－2，2]上恒成立∴f (x )max ≤1即－8+4a +2a 2+m ≤1 即m ≤9－4a －2a 2,在a ∈[3，6]上恒成立 ∵9－4a －2a 2的最小值为－87∴m ≤－87. （13分）4.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分） 已知f (x) = xlnx.（I ）求f (x) 在[t ，t+2]（t>0）上的最小值；（Ⅱ）证明：(0,)x ∀∈+∞都有121x nx e ex>-。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
. 如需改动 , 用橡皮
参考公式 : ·如果事件 A, B 互斥 , 那么 P( A B) P( A) P( B)
·棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积 柱的高 .
, h 表示棱
·如果事件 A, B 相互独立 , 那么 P( AB) P( A) P( B)
·球的体积公式 V 4 R3. 3
(17) (本小题满分 13 分) 如图 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中 , 侧棱 A1A ⊥底面 ABCD, AB// DC, AB⊥ AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 .
(Ⅰ ) 证明 B1C1⊥ CE;
(Ⅱ ) 求二面角 B1－ CE－ C1 的正弦值 .
二．填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分 .
(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位 . 若 (a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
.
6
1
(10) x
的二项展开式中的常数项为
.
x
(11) 已知圆的极坐标方程为
4cos , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, , 则| CP| =
(Ⅲ ) 设点 M 在线段 C1E 上 , 且直线 AM 与平面 ADD1A1
所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长 .
6
(18) (本小题满分
设椭圆
x2 a2
y2 b2
y2 2 px( p 0) 的准线分别交于
A, B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, △ AOB 的面积为 3 , 则 p =
天津市第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题(含答案)
天津一中2015—2016学年度高三年级第一次月考数学（理科）学科试卷一.选择题1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B = （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x <D ．{|01}x x << 【答案】B2.执行右面的程序框图，若8.0=p ，则输出的n =( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．3.已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B4 ．已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f sin )3(')(2+=π，则=)3('πf ( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+ 【答案】A5.若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是 A ．13 B ．32 C ．23 D ．12【答案】B6. 已知函数0,0,(),0,x x f x e x ≤⎧=⎨>⎩则使函数()()g x f x x m =+- 有零点的实数m 的取值范围是（ ）A.[0,1]B.(,1)-∞C. (,1)(2,)-∞+∞D. (,0](1,)-∞+∞【答案】D7.设，则多项式的常数项（ ）A. B. C. D.【答案】D8. 已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(][)10,-∞-⋃+∞ B.[]1,0- C.[]0,1D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 【答案】B二.填空题9. 复数满足2)1()1i z i +=+-（，其中i 为虚数单位，则复数z =【答案】i -1 10. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .10．【答案】243π- 11. 已知点P 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是___________________ 【答案】00135180α≤<或3[,)4ππ12.直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得的弦长为5，则实数a 的值为 . 【答案】 0或213.如图,C B A ,,是圆O 上三个点,AD 是BAC ∠的平分线,交圆O 于D ,过B 作直线BE 交AD 延长线于E ,使BD 平分EBC ∠. 若,3,4,6===BD AB AE 则DE 的长为【答案】DE=278.14.在边长为1的正三角形ABC 中,BD BC 2=,CE CA λ=，若41-=⋅，则λ的值为 【答案】3三.解答题15. 已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求：(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域．15．【解】(I)： 1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=+22cos2x x =+2sin(2)26x π=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴最小正周期22T ππ==， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数 ∴()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++，由题意得: 63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈ ∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且520P ==）（ξ，求： （1）植树小组的人数； （2）随机变量ξ的数学期望。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：2函数2
各地解析分类汇编:函数21【云南省玉溪一中2013届高三第四考次月理】函数1()0x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 ， 则下列结论错误的是 ( ) A ． ()f x 是偶函数 B ．方程(())f f x x =的解为1x =C ． ()f x 是周期函数D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】D【解析】则当x 为有有理数时，x -，x T +也为有理数，则()=()f x f x -，()=()f x T f x +； 则当x 为有无理数时，x -，x T +也为无理数，则()=()f x T f x +，所以函数()f x 为偶函数且为周期函数，所以A,C 正确.当x 为有有理数时, (())(1)f f x f x ==,即1x =，所以方程(())f f x x =的解为1x =，C 正确.方程(())()f f x f x =可等价变形为()=1f x ，此时与方程()=1f x 的解为x 为有理数，故D 错误，故选D2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）【答案】B【解析】因为函数为增函数，所以1a >，又函数(||1)f x +为偶函数。
当0x >时，(||1)(1)log (1af x f x x +=+=+，当0x <时，(||1)(1)log (1)a f x f x x +=-+=-+，选B. 3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ） A．||2x y =B．1(y g x =+C．22x x y -=+D．111y gx =+【解析】根据奇偶性定义知，A 、C 为偶函数，B 为奇函数，D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称，故选D.4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（ ）A ．（－1，0）B ．（－∞，0） （1，2）C ．（1，2）D ．（0，2）【答案】D【解析】 根据函数的性质做出函数()f x 的图象如图.把函数()f x 向右平移1个单位，得到函数(1)f x -，如图，则不等式(1)0f x -<的解集为(0,2)，选D.5【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知在函数||y x =（[1,1]x ∈-）的图象上有一点(,||)P t t ，该函数的图象与 x 轴、直线x ＝－1及 x ＝t 围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为（ ）【答案】B【解析】由题意知，当10t -<<时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当0t >时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B ．6【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5xf x =+则2(log 20)f =A ．1B ．45C ．1-D ．45- 【答案】C【解析】由()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+可知函数为奇函数，且(4)()f x f x +=，所以函数的周期为4，24log 205<<，20log 2041<-<，即225log 204log 4-=，所以22222554(log 20)(log 204)(log )(log )(log )445f f f f f =-==--=-，因为241l og 05-<<，所以24lo g 524141(l o )215555f =+=+=，所以2224(lo g 20)(l o g 204)(log5f ff =-=-=-，选C. 7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数()2x f x e x =+-的零点所在的区间是A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】A【解析】函数()2x f x e x =+-，在定义域上单调递增，(0)120f =-<，(1)10f e =->，13()022f ==>，由跟的存在定理可知函数的零点在区间1(0,)2上选A. 8【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知偶函数(),(2)(),[1,0]f x x R f x f x x ∀∈-=-∈-对都有且当时 ()2,(2013)x f x f =则=A ．1B ．—1C ．12D ．12-【答案】C【解析】由(2)()f x f x -=-得(4)()f x f x -=，所以函数的周期是4，所以11(2013)(45031)(1)(1)22f f f f -=⨯+==-==,选C. 9【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】已知函数2()=f x x cos x -，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f fB 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f fC 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f fD 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f 【答案】B 【解析】因为函数2()=f x x cos x -为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x x s i n x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<(0.6)f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B.10【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】在下列区间中，函数()=+43x f x e x -的零点所在的区间为 A 、（1-4，0） B 、（0，14） C 、（14，12） D 、（12，34）【答案】C 【解析】1114441()=2=1604f e e --<，121()=102f e ->，所以函数的零点在11(,)42，选C.11【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为A. 2B. －1C. －1或2D. 0【答案】B【解析】因为函数为幂函数，所以211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-.因为幂函数在(0,)+∞，所以530m -->，即35m <-，所以1m =-.选B. 12【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为【答案】A【解析】当0x =时，(20)(2)1y f f =-==,排除B,C,D,选A.13【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】给定函数①12=y x -，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为A. 0B. 1 个C. 2 个D. 3个【答案】C【解析】①为幂函数，102-<，所以在(0,1)上递减.②223333()24x x x -+=-+，在(0,1)上递减，所以函数23+3=2x x y -在(0,1)，递减.③1122log 1log 1y x x =-=-，在(0,1)递增.④sin2y x π=的周期，4T =，在(0,1)上单调递增，所以满足条件的有2个，选C.14【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】设3=2a log ，=2b ln ，12=5c -，则 A. <<a b c B. <<b c aC. <<c a bD. <<c b a【答案】C【解析】321log 2log 3=，21ln 2log e =，125-=222log 3log 0e >>>>，所以22110log 3log e<<<，即c a b <<。
天津一中高三数学理科一月考考试试卷
天津一中2013—2014学年高三数学（文科）一月考考试试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U =R ，集合{}|1A y y x =>，}{2,1,1,2B =--，则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =-- B ． )0,()(-∞=B AC UC ．(0,)AB =+∞ D ． {}1,2)(--=B AC U2．函数3()=2+2xf x x -在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．设11:|1|2;:()12x p x q -+<>，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知3sin ,sin()cos ,tan()5ββαβααβ=+=+=为锐角，且则（ ）A ．1B ．258C ． 2-D ． 2 5．数列{}n a 中32a =， 71a =，如果数列1{}1n a +是等差数列，那么11a =（ ） A ．0 B ． 12C ．23D ． 1 6．已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为（ ） A ． 3 B ．C ． 1D ．97．已知{n a }是首项为1的等比数列，n S 是{n a }的前n 项和，且369S S =。
则数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.1588．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．63516a -<<B ．83516a -<<- C ．63516a -<<- D ．81516a -<<-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：6平面向量
各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知点(5,6)(1,2),3M a MN a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A. 2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A.19 B 31C. 1D. 3 【答案】A【解析】因为13AN NC = ，所以14AN AC =设BP BN λ=，则()AP AB BP AB BN AB AB AN λλ=+=+=+-(1)(1)4AB AN AB AC λλλλ=+-=+- ,又29AP m AB AC −−→−−→−−→=+，所以有2491m λλ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，即8919m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选A.3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(,0)2π C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由行列式的定义可知sin 2()cos 2x f x x=sin 222sin(2)3x x x π==-，函数的图象向左平移6π个单位，得到的函数为()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以有()2s i n (2)2s i n 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数()g x 的一个零点，选B. 4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++A.aB.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b + 与c共线，所以有a b mc += ，又b c + 与a 共线,所以有b c na += ，即b mc a =- 且b c na =-+ ，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=-- ，即0a b c ++=，选D.5.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为A. -71 B. 71 C. -61 D. 61【答案】A【解析】(31,2),2(1a b a b λλλ+=---=- ，因为向量a λ+b 与a -2b 垂直，所以()(2)0a b a b λ+-= ，即3140λλ++=，解得17λ=-，选A.6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-设a 与b 的夹角为θ，则.4,22c o s πθθ===故选A ，. 7.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图，由AC c +aPA bPB += 知b c c a b a c )()()(-+-=-+-=，而与为不共线向量，0=-=-∴b c c a ，.c b a ==∴故选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++ ，所以231923cos 133a b π+=++⨯= ，所以3a b += 选C.9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则1213133cos302PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯= ,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PP PP PP PP ==- ,所以数量积最大的选A.10.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知向量),(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c + 0=，解得3k =-，选A.11.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ）A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b =【答案】B【解析】要使||||||a b a b -=+成立，则有,a b 共线且方向相反，所以当20a b += 时，满足2a b =- ，满足条件，所以选B.12.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -=，所以10+20k -=，即12k =，选D. 13.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C14.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】设,,x y ∈R 向量(,1),(1,),(2,4),a x b y c a c b c a b===-⊥+且则A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为,a c ⊥ 所以240x -=，解得2x =，又//,b c所以240y +=，所以2y =-，所以(1,1)(3,1)a b x y +=++=- ，所以||a b +，选B.15.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC上的一点，且,AD AB AD AC ⋅=⋅ 则AD AB ⋅的值等于A ．—4B ．0C ．4D ．8【答案】C【解析】由,A D A B A D A C ⋅=⋅ 得()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=,即AD CB ⊥ ，所以2,60A D B A D =∠= ,所以14242AD AB ⋅=⨯⨯= ，选C.16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 【答案】C【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选C.17.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】,延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，18.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.19.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】已知向量a ，b ，则0=∙b a是a ⊥b 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】因为向量,a b r r中有可能为零向量，所以0a b ⋅=r r 时，推不出a b ⊥r r 。
【2013南开一模】天津市南开区2013届高三第一次模拟考试 理科数学 WORD版含答案
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
(1)若(2+i)(b+i)是实数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
(A)-1(B)ห้องสมุดไป่ตู้
(C)-2(D)2
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的
值为
(A)38(B)45
(C)47(D)54
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c值为
(A)55(B)56
(C)66(D)89
(4)下列关于函数f(x)x2与函数g(x)2x的描述，正确的是
AB0
(A)XR，当x>X时，总有f(x)<g(x)；
(B)xR,f(x)<g(x)；
(C)x0,f(x)≠g(x)
(D)方程f(x)=g(x)在(0，+∞)内有且只有一个实数解
(5)已知(x1)5(2x1)3a8x8a7x7...a1xa0，则a7的值为
(A)-2(B)28
(C)43(D)52
(6)已知直线l为抛物线y22px(p>0)的准线，F为其焦点，直线AB经过F且与抛物线交于A，B两点。过点A，B做直线l的垂线，垂足分别为C，D，线段CD的中点为M，O为坐标原点，则下列命题中错误的是
(A)CFDF0(B)MF
2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)
数学(理工类)
【2013红桥一模】天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试理科数学Word版含答案
高三数学(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟。
第I 卷1至2页，第II 卷3至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!参考公式：● 如果事件A ，B 互斥，那么P(A B)=P(A)+P(B)．● 如果事件A ，B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)P(B)．● 如果在1次试验中某事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是1k k n k n n P (k )C p (p )-=-．● 柱体体积公式：V =sh ，其中S 表示柱体底面积，h 表示柱体的高．● 锥体体积公式：13V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球体的半径．● 球体体积公式：343V R π=，其中R 表示球体的半径． 第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)i 是虚数单位，计算1111i i i i-+++-= (A)-2i (B)0 (C)1 (D)2i(2)已知命题p ：2220x R,x ax a ∃∈+++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是(A)(-2，1) (B)[-1，2] (C)(-1，2) (D)(0，2](3)设变量x ，y 满足约束条件22242x y ,x y ,y ,+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数z =-x -y 的取值范围是(A)[-4，0] (B)[-8，-2] (C)[-4，-2] (D)[-4，-1](4)执行如图的程序框图，输入x =-2，h =1，那么输出的各个数的和等于(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程为(A)(x -5)2+y 2=4(B)(x +5)2+y 2=4(C)(x -10)2+y 2=64(D)(x -5)2+y 2=16(6)设f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0，l]时，12f (x )x =，则32f ()，1110f ()，138f ()由小到大的排列顺序是 (A) 138f ()<32f ()<1110f () (B) 32f ()<138f ()<1110f ()(C) 1110f ()<32f ()<138f () (D) 138f ()<1110f ()<32f () (7)等腰直角三角形ACB 中∠C=90o ，CA=CB=a ， 点P 在AB 上，且01AP AB()λλ=≤≤，则CA CP 的最大值为(A)a (B)a 2 (c)2a (D) a(8)已知f (x )是定义在[-l ，l]上的奇函数，满足f (1)=1，且当a ，b ∈[-l ，l]，a+b≠0，有f (a )f (b )a b++>0·若f (x )≤m 2-2am+1(m ≠0)，对所有的x ∈[-l ，1]，a ∈[-l ，l]恒成立，实数m 的取值范围是(A)(-2，2) (B)(-2，0)或(0，2)(C)(-∞，-2]或[2，+∞) (D )(-2，-1)或(1，2)第II 卷注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． (9)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”否则称为“非低碳族”，得到如右统计表，但由于不小心表中字母表示的部分数据丢失，现知道被调查的人中低碳族占65％，则40岁及其以上人群中，低碳族占该部分人数的频率为 。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：1集合
各地解析分类汇编:集合与简易逻辑1【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分又非必要条件【答案】D【解析】,,a b c 成等比数列,则有2b ac =，所以b =所以p 成立是q 成立不充分条件.当==0a b c =时，有ac b =成立，但此时,,a b c 不成等比数列，所以p 成立是q 成立既不充分又非必要条件，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（ ）A.{}5B. {}125， ，C. {}12345， ， ， ，D.∅【答案】B【解析】{1,5}U C A =，所以()={1,5}{2,5}={1,2,5}U B C A ，选B.【解析】当k =0时，x =1；当k =1时，x =2；当k =5时，x =4；当k =8时，x =5，故选B. 4【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）A．[]1,1- B．[]4,4- C．(][),44,-∞-+∞D．(][),11,-∞-+∞【答案】C【解析】14p x -：≤≤，记33(0)33(0)q m x m m m x m m -++-：≤≤＞或≤≤＜，依题意，03134m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩＞， ≤，≥或03134m m m ⎧⎪+-⎨⎪-⎩＜， ≤，≥，解得44m m -≤或≥.选C.5【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 【答案】C【解析】A 中命题的否定式2,0x R x x ∃∈->，所以错误.p q ∧为真，则,p q 同时为真，若p q ∨为真，则,p q 至少有一个为真，所以是充分不必要条件，所以B 错误.C 的否命题为“若22am bm >，则a b >”，若22am bm >，则有0,m a b ≠>所以成立，选C.6【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】下列命题中是假命题的是 A 、(0,),>2x x sin x π∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、 ,3>0xx R ∀∈ D 、00,=0x R lg x ∃∈ 【答案】B【解析】因为000+4sin x cos x x π+≤（），所以B 错误，选B.7【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】设a ，b ∈R ，那么“>1ab”是“>>0a b ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由>1ab 得，10a a b b b --=>，即()0b a b ->，得0b a b >⎧⎨>⎩或0b a b <⎧⎨<⎩，即0a b >>或0a b <<，所以“>1ab ”是“>>0a b ”的必要不充分条件，选B.8【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】集合{x x y R y A ,lg =∈=＞}{}2,1,1,2,1--=B 则下列结论正确的是A.{}1,2--=⋂B AB.()()0,∞-=⋃B A C RC.()+∞=⋃,0B AD.(){}1,2--=⋂B A C R【答案】D【解析】{0}A y y =>，所以={0}R C A y y ≤，所以(){}1,2--=⋂B A C R ，选D. 9【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。
《KS发布》天津一中高三上学期第一次月考数学试题含答案
5
19．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右顶点为
，上顶点为
．已知椭圆的离心率为
5， 3
| AB | 13 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 ：
与椭圆交于 ， 两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于
点 ，若 的面积是
面积的 3 倍，求 的值.
20．已知函数
f
(x)
lnx ，
g(x)
天天津津一一中中2021091-290-22002高0三高年三级年一级月一考数月学考试数卷学（试理卷）
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!
一、选择题：
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x| log 1 x ≥﹣1}，则 A∪B＝（ ）
18．已知函数 f (x) sin(2 x ) sin(2 x ) 2 cos2 x ，其中 0 ，且函数 f (x) 的最
3
3
小正周期为
（1）求 的值；
（2）求 f (x) 的单调增区间 （3）若函数 g(x) f (x) a 在区间 [ ， ] 上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3， 由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9）， V′＝12（3﹣x）（9﹣x）， 令 V′＝0，则在（0，9）内有 x＝3． 故当 x＝3 时，V 有最大值； 故选：C． 8．【解答】解：由 y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当 x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝ 0，即 x＝0 是函数的一个零点，
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天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。
若2560x x --=，则6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 错误。
∃x ∈R,使得x 2+x+1<0的否定是∀x ∈R,均有210x x ++≥，所以C 错误。
命题若x=y,则sinx=siny 正确，所以若x=y,则sinx=siny 的逆否命题也正确，所以选D.2.定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A.3.函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为 A.8π B.4π C.2πD.π【答案】C【解析】221()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242T πππω===，选C.4.设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)A.在区间[-π,2π-]上是减函数 B.在区间27[,]36ππ上是增函数 C.在区间[8π,4π]上是增函数 D.在区间5[,]36ππ上是减函数【答案】B 【解析】当2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π=+单调递减，所以sin()3y x π=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B.5.在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.6.,,x y z 均为正实数,且22log xx =-,22log yy -=-，22log z z -=，则A. x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y x z <<【答案】A【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1xx =->，即2log 1x <-，所以102x <<。
212log ()2y y y -=-=，因为10()12y <<，即20log 1y <-<，所以21log 0y -<<，即112y <<。
212log ()2z z z -==，因为10()12z <<，所以20log 1z <<，即12z <<，所以x y z <<，选A.7.已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++A.aB.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b + 与c共线，所以有a b mc += ，又b c + 与a 共线,所以有b c na += ，即b mc a =- 且b c na =-+ ，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=-- ，即0a b c ++=，选D.8.定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时, 1'()()0f x x f x -+>,则函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为A.1B.2C.0D.0或2【答案】C【解析】由1'()()0f x x f x -+>，得'()()0xf x f x x+>，当0x >时，'()()0xf x f x +>，即(())'0xf x >，函数()xf x 此时单调递增。
当0x <时，'()()0xf x f x +<，即(()'0x f x <，函数()xf x 此时单调递减。
又1()1()()xf x g x f x xx -+=+=，函数()1()xf x g x x+=的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数。
当0x >时，()11y xf x =+>，当0x <时，()11y xf x =+>，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数1()()g x f x x -=+的零点个数为0个。
选C.二、填空题:(共30分,每小题5分) 9.函数f(x)=a x+2+x a 的值域为_________.【答案】)+∞【解析】令t =则t >且22x t a =+，所以22x a t =-，所以原函数等价为2219()2()24y g t t t t ==-+=+-，函数的对称轴为12t =-，函数开口向上。
因为t >，所以函数在)+∞上函数单调递增，所以2()2g t g >=-=y >)+∞。
10.已知3sin cos 8x x =,且(,)42x ππ∈,则cos sin x x -=_________. 【答案】12-【解析】因为(,)42x ππ∈，所以sin cos x x <，即c o s s i n x x -<，所以21(cos sin )12sin cos 4x x x x -=-=，所以1cos sin 2x x -=-。
11.曲线1xy =与直线y=x 和y=3所围成的平面图形的面积为_________.【答案】4-ln3【解析】由1xy =得1y x =。
当13y x ==，解得13B x =，由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得1C x =，由3y y x=⎧⎨=⎩得3D x =.所以根据积分的应用知所求面积为13123111133111(3)(3)(3ln )(3)4ln 4ln 323dx x dx x x x x x -+-=-+-=+=-⎰⎰. 12.函数()sin(2)3f x x π=-(x ∈R)的图象为C,以下结论中:①图象C 关于直线1112x π=对称;②图象C 关于点2(,0)3π对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数;④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)【答案】①②③ 【解析】当1112x π=时，1111113)sin(2)=sin()=sin()=112123632f ππππππ=⨯---（，所以为最小值，所以图象C 关于直线1112x π=对称，所以①正确。
当23x π=时，22)sin(2)=sin =0333fππππ=⨯-（，所以图象C 关于点2(,0)3π对称;所以②正确。
2222k x k ππππ-+≤≤+，当51212x ππ-≤≤时，5266x ππ-≤≤，所以5263363x πππππ--≤-≤-，即2232x πππ-≤-≤，此时函数单调递增，所以③正确。
3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得到23sin 2()3sin(2)33y x x ππ=-=-，所以④错误，所以正确的是①②③。
13.点P(x,y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,θ∈R)上,则y x 的取值范围是 .【答案】[ 【解析】消去参数θ得曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为(2,0)-，半径为 1.设yk x =，则直线y k x =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，即2k =，平方得222141,3k k k =+=，所以解得3k =±，由图象知k的取值范围是k ≤≤，即yx的取值范围是[。
14.如图过⊙0外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C 是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .【解析】因为PA 是圆的切线，所以BAP APB ∠=∠，又C A C A P B ∠=，所以BAP ∆与BCA∆相似，所以AB PB CB AB=，所以27535AB PB CB ==⨯=，所以AB =。
三.解答题:15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.16.设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对 x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.17.已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且5|AB|=2,(1)求cos(α-β)的值;(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sinα的值.18.已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin2x+snxcosx(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m的最小正值.19.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e x(x∈R),其中A∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.20.已知函数f(x)=aln(e x+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx), a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对0≤x≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;(3)已知∆ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论∆ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科答案)一、选择题 1-4 DACB 5-8 DADC二、填空题,+∞) 10. -0.5 11. 4-ln3 12. ①②③13.[-3, 3]三、解答题 15.解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. E ξ=2*0.52+3*0.48=2.4816.解:p:∆<0且a>0,故a>2;q:a>2x-2/x+1,对∀x ∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1此时x=-1,故a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q 一真一假.故1≤a≤2 17.解:(1)由题知552)sin (sin )cos (cos 22=β-α+β-α54)cos(22=β-α-∴,所以53)cos(=β-α(2) 02,20<β<π-π<α< π<β-α<∴0，又53)cos(=β-α54)sin(=β-α∴.而135)25cos(-=-βπ则135sin -=β1312cos =β∴6533])sin[(sin =+-=∴ββαα18.解 （1）xx x c x x x f cos sin sin 3)cos 23sin 21(cos 2)(2+-+=)32sin(22cos 32sin cos sin sin 3cos 3cos sin 22π+=+=+-+=x x x x x x x x.],127,12[)(,12712,2323222Z k k k x f Zk k x k Zk k x k ∈++∈+≤≤+∈+≤+≤+πππππππππππππ的单调递减区间为故函数得由（2）)232sin(2)32sin(2)0,(m x y x y m a -+=−−−→−+==ππ.125,0)(12)1(21)(22322.2)232sin(2πππππππππ的最小正值为时当对称的图象关于直线m k Z k k m Z k k m x m x y =∈---=∴∈+=-+⋅∴=-+=19.（1）解: .3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a xx=+===，故，时，当.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=（2）[].42)2()('22xe a a x a x xf +-++=解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。