2013天津高考数学理科试题i答案

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2013年天津高考数学理试题（含答案）

2013年(天津卷)理科数学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32(C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎪⎭(D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 61x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考数学理(天津卷)WORD版有答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:的18; ③直线x + y + 1 = 0与圆2x 其中真命题的序号是:(A) ①②③(C) ②③ (5) 已知双曲线2222x y a b-=(0)p>的准线分别交于为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,△AOB则p =(B) 32 (C) 2(D) 3(6) ,3,4AB BC π=则sin BAC ∠ = (B) (C) (D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A)⎫⎪⎪⎝⎭(B)⎫⎪⎪⎝⎭(C)⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D)⎛-⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB= AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ的通项公式;(Ⅱ*), 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

2013年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．V=V=可知，若一个球的半径缩小到原来的；故的圆心到直线=相切，5．（5分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB求出双曲线的渐近线方程与抛物线的面积为，±x，±，双曲线的离心率为，所以则±=的面积为，，得6．（5分）（2013•天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）BABC=AB=，=得：BAC=x（8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．﹣﹣|+1≤讨论，可得时，﹣﹣＜时，解得0＞时，解得，时，（﹣）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得10．（5分）（2013•天津）的二项展开式中的常数项为15．=解；设•r=0的二项展开式中的常数项为=1511．（5分）（2013•天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．的极坐标为|CP|==2．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．=﹣，=，当取得最小值时，取得最小值三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合=2）∈，得﹣﹣≤﹣，）在区间sinxcosx=x=2x+2cos2x=2﹣T==≤，∴﹣≤≤﹣）取得最小值﹣时，﹣）在区间上的最大值为）=216．（13分）（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．张的所有可能结果数有=的卡片的概率为====17．（13分）（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．标系，标出点的坐标后，求出和，由求出（Ⅱ）解：，，即．=．=．的正弦值为（Ⅲ）解：=．所以．的长为．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．的方程，结合首项为的等比数列=不是递减数列，且等比数列的首项为﹣（﹣）﹣（﹣）=≤﹣==≥﹣=，总有≤，最小项的值为20．（14分）（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．，由导数在（，，一方面由﹣•，，（，，===成立，只需，2+，＜，＜，时，有成立．。

2013年高考天津卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B. 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.另法：0.52log 10xx -=⇒ 0.51log 2x x =⇒0.51log ()2xx =，画这两个函数的图像，看图可知选B8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)，由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |，而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |，(1)当a ＝0时，不合题意． (2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x | 取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A. 第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)，由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15. 11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)．∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.另法：如图建系:由题意AD=1，60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,212(-xB ， 1(2,22AC x =+,1(,22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为21。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB =AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年天津市高考数学试卷(理科)

2013年天津市高考数学试卷（理科）一．选择题：每题分，共分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（分）已知集合 ∈ ≤ ， ∈ ≤ ，则 ∩ （）．（﹣∞，．，． ﹣ ，． ﹣ ，．（分）设变量，满足约束条件，则目标函数 ﹣ 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．．．（分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为（）．．．．．（分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切．其中真命题的序号是（）．①②③ ．①② ．①③ ．②③．（分）已知双曲线﹣ （＞，＞）的两条渐近线与抛物线（＞）的准线分别交于、、三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△ 的面积为，则（）．．．．．（分）在△ 中，∠ ，，，则 ∠ （）．．．．﹣ 的零点个数为（）．（分）函数（）．．．．．（分）已知函数（）（）．设关于的不等式（）＜（）的解集为，若，则实数的取值范围是（）．．．．二．填空题：本大题共小题，每小题分，共分．（分）已知， ∈ ，是虚数单位．若（）（），则．．（分）的二项展开式中的常数项为．．（分）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则．．（分）在平行四边形中，，∠ ，为的中点．若，则的长为．．（分）如图，△ 为圆的内接三角形，为圆的弦，且 ∥ ．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，，则线段的长为．．（分）设，＞，则当时，取得最小值．三．解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（分）已知函数（） ﹣ （） ﹣ ， ∈ ．（）求（）的最小正周期；（）求（）在区间上的最大值和最小值．．（分）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为，，，；白色卡片张，编号分别为，，．从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（）求取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率．（）在取出的张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．．（分）如图，四棱柱 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ， ⊥ ，，，为棱的中点．（）证明 ⊥ ；（）求二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值．（）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．．（分）设椭圆（＞＞）的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左，右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．．（分）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（ ∈ ），且，，成等差数列．（）求数列的通项公式；（）设﹣（ ∈ ），求数列的最大项的值与最小项的值．．（分）已知函数（）．（）求函数（）的单调区间；（）证明：对任意的＞，存在唯一的，使（）．（）设（）中所确定的关于的函数为（），证明：当＞时，有．年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：每题分，共分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（分）（天津）已知集合 ∈ ≤ ， ∈ ≤ ，则 ∩ （）．（﹣∞，．，． ﹣ ，． ﹣ ，【分析】先化简集合，解绝对值不等式可求出集合，然后根据交集的定义求出 ∩ 即可．【解答】解：∵ ≤ ﹣ ≤ ≤∴ ∩ ﹣ ≤ ≤ ∩ ≤ ， ∈ ﹣ ≤ ≤故选．．（分）（天津）设变量，满足约束条件，则目标函数 ﹣ 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．．【分析】先根据条件画出可行域，设 ﹣ ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为轴上的截距最小，只需求出直线 ﹣ ，过可行域内的点（，）时的最小值，从而得到最小值即可．【解答】解：设变量、满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 ﹣ 经过点（，）时， ﹣ 最小，最小值为：﹣ ，则目标函数 ﹣ 的最小值为﹣ ．故选．．（分）（天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为（）．．．．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到，不满足 ≥ ，，执行第二次循环得到，不满足 ≥ ，，执行第三次循环得到，满足判断框的条件，退出循环，执行是，输出．故选．．（分）（天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切．其中真命题的序号是（）．①②③ ．①② ．①③ ．②③【分析】对于①由球的体积公式可知①正确；对于②通过举反例，如，，和，，；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：①由球的体积公式可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如，，和，，；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆的圆心到直线的距离半径，故直线与圆相切，③正确．故选．．（分）（天津）已知双曲线﹣ （＞，＞）的两条渐近线与抛物线（＞）的准线分别交于、、三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△ 的面积为，则（）．．．．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线（＞）的准线方程，进而求出，两点的坐标，再由双曲线的离心率为，△ 的面积为，列出方程，由此方程求出的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是 ±又抛物线（＞）的准线方程是 ﹣，故，两点的纵坐标分别是 ±，双曲线的离心率为，所以，∴则，，两点的纵坐标分别是 ± ，又，△ 的面积为，轴是角的角平分线∴，得．故选．．（分）（天津）在△ 中，∠ ，，，则 ∠ （）．．．．【分析】由，及 ∠ 的值，利用余弦定理求出的长，再由正弦定理即可求出 ∠ 的值．【解答】解：∵∠ ，，，∴由余弦定理得： ﹣ ∠ ﹣ ，∴ ，则由正弦定理得： ∠ ．故选．（分）（天津）函数（）﹣ 的零点个数为（）．．．．【分析】通过令（），将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．﹣ ，令（），【解答】解：函数（），如图，在同一坐标系中作出（）．与由图可得零点的个数为．故选．．（分）（天津）已知函数（）（）．设关于的不等式（）＜（）的解集为，若，则实数的取值范围是（）．．．．【分析】排除法：取 ﹣，由（）＜（），得（ ﹣） ﹣ ＞，分＜， ≤ ≤，＞讨论，可得，检验是否符合题意，可排除、；取，由（）＜（），得（）＞，分＜﹣ ，﹣ ≤ ≤ ，＞进行讨论，检验是否符合题意，排除．【解答】解：取 ﹣时，（） ﹣ ，∵ （）＜（），∴（ ﹣） ﹣ ＞，（）＜时，解得﹣＜＜；（） ≤ ≤时，解得；（）＞时，解得，综上知， ﹣时，（﹣，），符合题意，排除、；取时，（），∵ （）＜（），∴（）＜，（）＜﹣ 时，解得＞，矛盾；（）﹣ ≤ ≤ ，解得＜，矛盾；（）＞时，解得＜﹣ ，矛盾；综上，， ∅，不合题意，排除，故选．二．填空题：本大题共小题，每小题分，共分．（分）（天津）已知， ∈ ，是虚数单位．若（）（），则．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出，的值即可得到结果．【解答】解：因为（）（），所以 ﹣ （），所以，解得，，所以．故答案为：．．（分）（天津）的二项展开式中的常数项为．（﹣ ）中的【分析】利用二项展开式的通项公式幂指数为即可求得答案．【解答】解；设的二项展开式中的通项为，则（﹣ ），由 ﹣ 得：． ∴的二项展开式中的常数项为（﹣ ）．故答案为：．．（分）（天津）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则．【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．【解答】解：圆的极坐标方程为，圆的方程为：，圆心为（，），点的极坐标为，所以的直角坐标（，），所以．故答案为：．．（分）（天津）在平行四边形中，，∠ ，为的中点．若，则的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，． ∴﹣，化为，∵，∴．故答案为．．（分）（天津）如图，△ 为圆的内接三角形，为圆的弦，且 ∥ ．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，，则线段的长为．【分析】利用切割线定理求出，证明四边形是平行四边形，通过三角形相似求出即可．【解答】解：如图由切角弦定理得∠ ∠ ，又因为，，所以∠ ∠ ，所以直线 ∥直线，又因为 ∥ ，所以是平行四边形．因为，，，∴ ，．△ ∽△ ，即：，，故答案为：．．（分）（天津）设，＞，则当 ﹣ 时，取得最小值．【分析】由于，＞，从而，（＜），设（），（＜），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．【解答】解：∵ ，＞，∴ ，（＜）设（），（＜），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当＜时，（） ﹣ ，（），当＜﹣ 时，（）＜，当﹣ ＜＜时，（）＞，故函数在（﹣∞，﹣ ）上是减函数，在（﹣ ，）上是增函数，∴当 ﹣ 时，取得最小值．同样地，当＜＜时，得到当时，取得最小值．综合，则当 ﹣ 时，取得最小值．故答案为：﹣ ．三．解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（分）（天津）已知函数（） ﹣ （） ﹣ ， ∈ ．（）求（）的最小正周期；（）求（）在区间上的最大值和最小值．【分析】（）利用两角和的正弦公式将（）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得（） ﹣ ，再利用辅助角公式化简得（）（ ﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出（）的最小正周期；（）根据 ∈，得﹣≤ ﹣≤．再由正弦函数在区间 ﹣，上的图象与性质，可得（）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（）∵ ，（）∴ （） ﹣ （） ﹣ ﹣ ﹣﹣（）﹣ （ ﹣）因此，（）的最小正周期；（）∵ ≤ ≤，∴﹣≤ ﹣≤∴当时，（ ﹣）取得最小值﹣；当时，（ ﹣）取得最大值由此可得，（）在区间上的最大值为（）；最小值为（） ﹣ ．．（分）（天津）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为，，，；白色卡片张，编号分别为，，．从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（）求取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率．（）在取出的张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．【分析】（）从张卡片中取出张的所有可能结果数有，然后求出取出的张卡片中，含有编号为的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（）先判断随机变量的所有可能取值为，，，，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（）设取出的张卡片中，含有编号为的卡片为事件，则（）所以，取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率为（）随机变量的所有可能取值为，，，（）（）（）（）的分布列为．（分）（天津）如图，四棱柱 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ， ⊥ ，，，为棱的中点．（）证明 ⊥ ；（）求二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值．（）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【分析】（）由题意可知，，，两两互相垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到⊥ ；（）求出平面和平面的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把的坐标用和的坐标及待求系数表示，求出平面的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线与平面所成角的正弦值，代入求出的值，则线段的长可求．【解答】（）证明：以点为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）．则，而．所以 ⊥ ；（）解：，设平面的法向量为，则，即，取，得 ﹣ ， ﹣ ．所以．由（）知 ⊥ ，又 ⊥ ，所以 ⊥平面，故为平面的一个法向量，于是．从而．所以二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值为．（）解：，设 ≤ ≤ ，有．取为平面的一个法向量，设为直线与平面所成的角，则．于是．解得．所以．所以线段的长为．．（分）（天津）设椭圆（＞＞）的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左，右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出，，的关系，进而得到椭圆的方程．（）直线：（），设（，），（，），由消去得，（） ﹣ ，再由韦达定理进行求解．求得，利用，即可求得的值．【解答】解：（）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当 ﹣ 时，，得 ±，∴ ，∵离心率为，∴ ，解得，，．∴椭圆的方程为；（）直线：（），设（，），（，），由消去得，（） ﹣ ，∴ ﹣，，又（﹣，），（，），∴（，）（﹣ ．﹣ ）（，）（﹣ ．﹣），﹣（） ﹣ （）﹣ ，，解得．．（分）（天津）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（ ∈ ），且，，成等差数列．（）求数列的通项公式；（）设 ﹣（ ∈ ），求数列的最大项的值与最小项的值．【分析】（）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可构造关于的方程，结合首项为的等比数列不是递减数列，求出值，可得答案．（）由（）可得的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（）设等比数列的公比为，∵，，成等差数列．∴﹣（）﹣（）即，故又∵数列不是递减数列，且等比数列的首项为∴ ﹣∴数列的通项公式×（﹣） ﹣ （﹣ ） ﹣（）由（）得﹣（﹣）当为奇数时，随的增大而减小，所以＜≤故＜≤ ﹣当为偶数时，随的增大而增大，所以＞≥故＞≥ ﹣综上，对于 ∈ ，总有≤≤故数列的最大项的值为，最小项的值为．（分）（天津）已知函数（）．（）求函数（）的单调区间；（）证明：对任意的＞，存在唯一的，使（）．（）设（）中所确定的关于的函数为（），证明：当＞时，有．【分析】（）函数的定义域为（， ∞），求导数令（），可解得，由导数在（，），和（， ∞）的正负可得单调性；（）当＜ ≤ 时，（）≤ ，设＞，令（）（）﹣ ， ∈ ， ∞），由（）可得函数（）的单调性，可得结论；（）令，原命题转化为＜＜，一方面由（）的单调性，可得＞，从而＞成立，另一方面，令（） ﹣，＞，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．【解答】解：（）由题意可知函数的定义域为（， ∞），求导数可得（）（），令（），可解得，当变化时，（），（）的变化情况如下表：（，）（， ∞）（）﹣（）单调递减极小值单调递增所以函数（）的单调递减区间为（，），单调递增区间为（， ∞）（）证明：当＜ ≤ 时，（）≤ ，设＞，令（）（）﹣ ， ∈ ， ∞），由（）可知，（）在区间（， ∞）单调递增，（） ﹣ ＜，（） ﹣ （ ﹣ ）＞，故存在唯一的 ∈（， ∞），使得（）成立；（）证明：因为（），由（）知，（），且＞，从而，其中，要使成立，只需，即＜，即＜，只需，变形可得只需＜＜，当＞时，若（）≤ ，则由（）的单调性，有（）≤ （），矛盾，所以＞，即＞，从而＞成立，另一方面，令（） ﹣，＞，（），令（），可解得，当＜＜时，（）＞，当＞时，（）＜，故函数（）在处取到极大值，也是最大值（） ﹣ ＜，故有（） ﹣＜，即＜，综上可证：当＞时，有成立．。

2013年天津市高考数学试卷(理科)最新修正版

2013年天津市高考数学试卷（理科）一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．23．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．5854．（5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．36．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．10．（5分）的二项展开式中的常数项为．11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=时，取得最小值．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选：A．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．585【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】对于①由球的体积公式V=可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．故选：C．【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选：C．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B．【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x ＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a﹣1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i．故答案为：1+2i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．10．（5分）的二项展开式中的常数项为15．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r•中x的幂指数为0即可求得答案．【解答】解；设的二项展开式中的通项为T r+1，则T r+1=•（﹣1）r•，由6﹣r=0得：r=4．∴的二项展开式中的常数项为•（﹣1）4==15．故答案为：15．【点评】本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|==2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．△AFC∽△DFB，即：，CF=，故答案为：．【点评】本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．【分析】由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin （2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B 1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD 1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a n}不是递减数列，求出q值，可得答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为∴q=﹣∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=综上，对于n∈N*，总有≤≤故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h （x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e2t lne t ﹣t=t（e2t﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使成立，只需，即2＜，即2＜2+，只需，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．。

2013年高考理科数学天津卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·球的体积公式V ＝34π3R .其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，理1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1] 答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．故选D.2．(2013天津，理2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0过点A (5,3)，此时z 最小为－7，故选A.3．(2013天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )．A ．64B ．73C ．512D ．585 答案：B解析：由程序框图，得x ＝1时，S ＝1；x ＝2时，S ＝9；x ＝4时，S ＝9＋64＝73，结束循环输出S 的值为73，故选B.4．(2013天津，理4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )． A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 答案：C解析：设球半径为R ，缩小后半径为r ，则r ＝12R ，而V ＝34π3R ，V ′＝33344114πππ33283r R R ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以该球体积缩小到原来的18，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x 2＋y 2＝12的圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d 2=，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.5．(2013天津，理5)已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB p ＝( )．A ．1B ．32C ．2D ．3答案：C解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|抛物线y 2＝2px 的准线为2px =-，所以02p x =-，代入双曲线的渐近线的方程b y x a =±，得|y 0|＝2bp a .由2222,,ca abc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b，所以|y 0|p .所以S △AOB2p =，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)． 6．(2013天津，理6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，ABBC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )．ABC．10 D．5答案：C解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝29232+-⨯＝5，即得AC由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠3sin BAC=∠，所以sin ∠BAC. 7．(2013天津，理7)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B 解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点也就是方程2x |log 0.5x |－1＝0的根，即2x |log 0.5x |＝1，整理得|log 0.5x |＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝12x⎛⎫⎪⎝⎭，作g (x )，h (x )的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f (x )有两个零点．8．(2013天津，理8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )．A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭C．110,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D．1,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭答案：A解析：f (x )＝x (1＋a |x |)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩ 若不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y ＝f (x ＋a )的图象应在函数y ＝f (x )的图象的下边． (1)当a ＝0时，显然不符合条件．(2)当a ＞0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图．由图可知，当a ＞0时，y ＝f (x ＋a )的图象在y ＝f (x )图象的上边，故a ＞0不符合条件． (3)当a ＜0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图．由图可知，若f (x ＋a )＜f (x )的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，只需1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，则有2211112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ＜0)，整理，得a 2－a －1＜0a <<.∵a ＜0，∴a ∈1,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.综上，可得a 的取值范围是12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(2013天津，理9)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝__________.答案：1＋2i解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得10,1,a a b -=⎧⎨+=⎩解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.10．(2013天津，理10)6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________．答案：15解析：二项展开式的通项为3662166C (1)C rr r r r r r T x x --+⎛==- ⎝，3602r -=得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝(－1)446C ＝15.11．(2013天津，理11)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.答案：解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,，所以|CP |＝12．(2013天津，理12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE＝1，则AB 的长为__________．答案：12解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB＋AD.所以AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12. 13．(2013天津，理13)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．答案：83解析：∵AE 为圆的切线，∴由切割线定理，得AE 2＝EB ·ED . 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC . ∴EA ∥BC .又BD ∥AC ，∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4.由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ， ∴45CF AC BF BD ==. 又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83.14．(2013天津，理14)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝__________时，1||2||a a b+取得最小值．答案：－2解析：因为a ＋b ＝2，所以1＝1||22||a b a a b +⋅+＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b++=++≥+14||4||a a a a +=，当a ＞0时，5+1=4||4a a ，1||52||4a a b +≥；当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a ab +≥，当且仅当b ＝2|a |时等号成立．因为b ＞0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(2013天津，理15)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 2. 16．(2013天津，理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝1322252547C C +C C 6C 7=. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝3347C 1C 35=，P (X ＝2)＝3447C 4C 35=， P (X ＝3)＝3547C 2C 7=， P (X ＝4)＝3647C 4C 7=. 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.17．(2013天津，理17)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．解：(方法一)(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)1B C＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C 〉＝1111||||B C B C ⋅==⋅m m从而sin 〈m ，11B C〉＝7.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)AE＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM ，AB〉|＝AM AB AM AB⋅⋅==13λ=，所以AM(方法二)(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1EB 1C 1，EC 1，从而B 1E 2＝22111B C EC +，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E，CC 1＝2，可得C 1G＝3. 在Rt △B 1C 1G 中，B 1G，所以sin ∠B 1GC 1即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MHx ，AHx . 在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1，得EH13x =.在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得2217111893x x x =++，整理得5x 2－－6＝0，解得x. 所以线段AM18．(2013天津，理18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点为F，过点F 且与x(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB＋AD ·CB＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由3c a =，知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b-+=，解得y ==，解得b =，又a 2－c 2＝b 2，从而a ，c ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝226k -，x 1x 2＝223623k k-+. 因为A (0)，B0)，所以AC ·DB ＋AD·CB ＝(x 1y 1x 2，－y 2)＋(x 2，y 2x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++.由已知得22212623k k+++＝8，解得k ＝19．(2013天津，理19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝1n nS S -(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是25314a q a ==. 又{a n }不是递减数列且132a =，所以12q =-.故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. (2)由(1)得11,121121,.2nn n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数，为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上，对于n ∈N *，总有715126n n S S -≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为712-.20．(2013天津，理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x =当x 变化时，所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎭.(2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0.设t ＞0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0. 故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s ut f s s s s s u u====++，11 其中u ＝ln s . 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2u u <<. 当t ＞e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s ＞e ，即u ＞1，从而ln u ＞0成立．另一方面，令F (u )＝ln 2u u -，u ＞1.F ′(u )＝112u -，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1＜u ＜2时，F ′(u )＞0；当u ＞2时，F ′(u )＜0.故对u ＞1，F (u )≤F (2)＜0. 因此ln 2uu <成立．综上，当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科) word解析版

a－1＝0， a＋1＝b，
a＝1， ∴
b＝2.
∴a＋bi＝1＋2i.
10.
x－
1 x
6 的二项展开式中的常数项为________．
答案 15
解析 Tr＋1＝Cr6x6－r(－x－12)r＝(－1)rCr6x6－32r(r＝0,1，…，6)，
由题意得 6－3r＝0，∴r＝4. 2
故常数项为 T4＋1＝C46(－1)4＝C26＝6×5＝15. 2×1
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f′(b)＝22－1 b2－b22，
令
f′(b)＝0
得
b＝4.当
b∈
0，4 3
∴输出 S＝73，选 B.
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4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的1，则其体积缩小到原来的1；
1 由 y＝log0.5x，y＝ 2 x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即 f(x)在(0,1)上有一个零点．当 x>1 时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令 f(x)＝0 得
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2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标I 卷）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）=B A ∅ （B ）R =B A （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+ （B ）8π8+ （C ）π6116+ （D ）16π8+A P BC （9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

2013年天津高考数学理试题(含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷非选择题两部分共分考试用时分钟第Ⅰ卷至页第Ⅱ卷至页答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案凃写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选凃其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么)()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积表示棱柱的高如果事件相互独立那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式34.3V R π= 其中表示球的半径一．选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合 ∈ ∈ 则A B⋂=(,2]-∞ －－设变量满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数－的最小值为－－阅读右边的程序框图运行相应的程序若输入的值为则输出的值为已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的12则其体积缩小到原来的18②若两组数据的平均数相等则它们的标准差也相等③直线与圆221 2x y+=相切其中真命题的序号是①②③ ①②②③ ②③已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于两点为坐标原点若双曲线的离心率为 △ 的面积为3 则32在中 ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为已知函数()(1||)f x x a x =+ 设关于的不等式()()f x a f x +< 的解集为若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ ⎛- ⎝⎭∞年普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学第Ⅱ卷注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上本卷共小题共分二．填空题本大题共小题每小题分共分已知 ∈ 是虚数单位若则 6x⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为已知圆的极坐标方程为4cos ρθ= 圆心为点的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭则在平行四边形中60BAD ︒∠= 为的中点若·1AD BE = 则的长为如图 △ 为圆的内接三角形为圆的弦且过点做圆的切线与的延长线交于点与交于点若则线段的长为设则当时1||2||a a b+取得最小值三．解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R Ⅰ 求的最小正周期Ⅱ 求在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值本小题满分分一个盒子里装有张卡片其中有红色卡片张编号分别为白色卡片张编号分别为从盒子中任取张卡片假设取到任何一张卡片的可能性相同Ⅰ 求取出的张卡片中含有编号为的卡片的概率Ⅱ 再取出的张卡片中红色卡片编号的最大值设为求随机变量的分布列和数学期望本小题满分分如图四棱柱－中侧棱 ⊥底面 ⊥为棱的中点Ⅰ 证明 ⊥Ⅱ 求二面角－－的正弦值Ⅲ 设点在线段上且直线与平面所成角的正弦值为2 求线段的长本小题满分分设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为离心率为3 过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 Ⅰ 求椭圆的方程Ⅱ 设分别为椭圆的左右顶点过点且斜率为的直线与椭圆交于两点若··8AC DB AD CB += 求的值本小题满分分已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列其前项和为(*)n S n ∈N 且成等差数列Ⅰ 求数列{}n a 的通项公式Ⅱ 设*()1n n nT S n S ∈=-N 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值本小题满分分已知函数2l ()n f x x x =Ⅰ 求函数的单调区间Ⅱ 证明对任意的存在唯一的使()t f s =Ⅲ 设 Ⅱ 中所确定的关于的函数为()s g t = 证明当2>e t 时有2ln ()15ln 2g t t <<。

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②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 y2 1 相切. 2
其中真命题的序号是:
(A) ①②③
5．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
(B) ①②
1(a
0, b
2
0)
O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =
10．
x
x
1 6
11．已知圆的极坐标方程为
的二项展开式中的常数项为
4cos
3
,
,
中, AD = 1, BAD 60 , E 为 CD 的中点. 若 AD·BE 1, 则 AB 的长为
y2
8
2 px( p
(D) [－2,1]
(D) 585 (D) ②③
(D) 3
0) 的准线分别交于
A,
B 两点,
(A) 10 10
7．函数 f (x) 2x | log0.5 x | 1 的零点个数为
(A) 1
8．已知函数 f (x) x(1 a | x |) .
a 的取值范围是
(A)
1 2
5
, 0
(B) 10 5
(B) 2
(B)
二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分.
(C) 3 10 10
(C) 3
设关于 x 的不等式 f (x a) f (x)
1 2
9．已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]2．设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 23．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆221 2x y+=相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③5．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 36．在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)1010(B)105(C)31010(D)557．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 48．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D)52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10．61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为 .11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望. 17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD =CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直43(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.19．(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.20．(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.参考答案一、选择题1．D 提示：||222,[2,1]x x A B ≤⇒-≤≤⋂=- 2．A 提示：作出可行域，如图由图可知，当目标函数通过直线20x y --=与直线3y =的交点(5,3)时取得最小值，min 7z =-。

3．B 提示：当1x =时，1S =，此时50S ≥不成立；当2x =时，9S=，此时50S ≥不成立；当4x =时，73S =，此时50S ≥成立；所以输出的73S =。

4．C 提示：①由球体积公式343VR π=知，R 缩小到原来的12时，体积缩小到原来的18是正确的；②不一定相等，标准差反映的是数据的稳定状态，数据越分散，标准差越大，例如：1，3与0，4这两组数的平均数都是2，标准差分别为22221211[(12)(32)]1,[(02)(42)]222S S =-+-==-+-=，所以该命题为假命题；③圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离2d =与圆的半径相等，所以直线与圆相切为真命题。

5．C 因为2222,3c e c a b b a a ===+⇒=，故两条渐近线的方程为3y x =32y xp x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得两个交点坐标为33(,22p p p p --，所以213||222AOB p p S AB p ∆=⋅=⇒= 6．C 由余弦定理得2222cos 55AC BA BC BA BC BAC AC =+-⋅∠=⇒=，由正弦定理得：310sin sin sin BC AC BAC BAC ABC =⇒∠=∠∠。

7．B 在同一坐标系中作出1()()2x f x =与0.5|log |y x =，如图，由图可得零点的个数为2。

8．A 取12a=-时，1()||2f x x x x =-+，因为()()f x a f x +<，所以11()||1||22x x x x --+>（1）0x <时，解得304x -<<；（2）102x ≤≤时，解得102x ≤≤；（3）12x >时，解得1524x << 综上可知，12a =-时，35(,)44A =-符合题意，排除B 、D 取1a =时，()||f x x x x =+，因为()()f x a f x +<，所以(1)|1|1||x x x x +++>（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -≤≤时，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上可知1a =时，A φ=，不符合题意，排除C 。

法二：显然0a ≠且()f x 为奇函数当0a >时，()f x 在R 上单调递增，所以()()f x a f x +>与已知矛盾。

当0a <时，由()()||1||()f x a f x x x x a x a +<⇒-<++ 因为11[,]22A -⊂，所以12x =-时，不等式成立，解得1502a -<< 设()||1g x x x =-，显然()g x 单调递增，所以()()1g x g x a <++，如图解221()x x a -=+得212a x a +=-，解221()x x a --=-+得212a x a-=所以22011221122a aa a a⎧⎪<⎪+⎪->⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得1502a -<< 9．12i + 由101()(1)1(1)12a a a i i a a i bi a b b -==⎧⎧++=-++=⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩，故12a bi i +=+ 10．15 因为136622166()(1)r rrrrr r T C xx C x---+=-=-，令3602r -=得4r =所以4456(1)15T C =-= 11．23 因为C 的直角坐标系方程为22(2)4x y -+=，所以(2,0)C ，因为(2,23)P ，所以||23PC =。

12．12 因为1||||cos60||2AB AD AB AD AB ⋅=⋅︒=，所以2111()()||1||224AC BEAB AD AB AD AB AB ⋅=+⋅-+=-++因为1AC BE ⋅=，所以2111||||0||242AB AB AB -+=⇒=。

法二：以A 为原点建立坐标系，如图：因为1,60AD BAD =∠=︒，所以13(2D 。

设(,0)B a ，则13(2C a +，13()22a E + 所以213131(,(,12222224a a AC BE a a ⋅=+⋅-=-++因为1AC BE ⋅=所以211124aa -++= 解得12a =. 13．83由切割线定理得24AE EB ED EB =⋅⇒=，由AB BC ABC ACB ADB =⇒∠=∠=∠ 由弦切角定理得EAB EDA ∠=∠，故,//EAB ABC AE BC ∠=∠，因为//AC BD ，故四边形AEBC是平行四边形。