线代(2)期末复习题集1706

σ 是正交变换当且仅当 AT GA = G ； σ 是自伴变换（对称变换）当且仅当 AT G = GA 。
关于镜面反射，课本上已经有一到较为完善的比较灵活的习题，这里给出。 【习题 21】*（镜面反射，正交变换的第一类与第二类） （课本习题 10.7）
= 若 η 是 n 维欧式空间 V 中的一个单位向量， 定义 σ (α )
G (α1 , , α n ) =
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α 2 , α1 ) ( α 2 , α 2 ) ( α n , α1 ) ( α n , α 2 )


( α1 , α n ) (α 2 , α n ) (α n , α n )

上学期的一道作业已经证明了向量组的 Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关 （线性 相关时为半正定，这是 10 年期末考题） 。我们这里看一些别 Gram 矩阵的性质。 【习题 19】*（Gram 矩阵与基变换） （姚慕生高代习题书） 设 {e1 , en } 及 { f1 , f n } 为 n 维欧式空间 V 的两个基底，并设 {e1 , en } 到 { f1 , f n } 的过渡矩阵为 C 。证明 G ( f1 , f n ) = C T G (e1 , en )C 。 利用习题 18，可以很方便地解出下面的题目（其中包括了 12 年期末考题） 。 【习题 20】*（线性变换的矩阵和 Gram 矩阵的关系） 设 n 维欧式空间 V 的基底 {α1 , , α n } 的 Gram 矩阵为 G ， V 上的线性变换 σ 在该基下 的矩阵为 A ，证明下面的两条结论。 (1) (2)
【习题 13】 （Jordan 标准型的计算） （15 年期末考题）
1 2 1 的 Jordan 标准型 J 。 求矩阵 A = 2 1 1 5 1
极小多项式是本章的重要内容，极小多项式可以从 Jordan 标准型读出。 【习题 14】 （极小多项式） 求习题 12 中矩阵 A 的极小多项式。 极小多项式的根是特征值以及化零多项式是极小多项式的倍式， 这两条是极小多项式的 重要性质。 【习题 15】 （极小多项式） （15 年期末考题）
论。
α − 2 (η , α )η 。证明下面的结
(1) σ 是第二类的正交变换； (2) 若 V 上的线性变换 τ 以 1 为一个特征值， 且从属于特征值 1 的特征子空间的维数为 n − 1 ，则 τ 为镜面反射。
但关于镜面反射，还有下面的一个性质。 【习题 22】*（镜面反射） 在 n 维欧式空间 V 上，证明下面两个结论。 (1) 若 α , β 是 V 上的两个长度相等的向量，则存在镜面反射 σ 使 σ (α ) = β ； (2) V 上的任何正交变换都可以表成不超过 n 个镜面反射的乘积。 等距同构都有一个非常好的性质，这点需要大家注意。 【习题 23】 （等距同构的特征值） 设 σ 为 n 维内积空间 V 上的等距同构，证明 σ 的特征值的模长均为 1。 3. 奇异值分解，最小二乘解和广义逆 奇异值分解的计算是重点内容，是需要熟练掌握的。 【习题 24】 （奇异值分解的计算） （15 年期末考题）
4 2
Eisenstain 判别法的条件比较多，容易搞混，还是需要在考前仔细看看的。 【习题 10】 （Eisenstain 判别法） （姚慕生高代习题书） 证明多项式 f ( x= ) x + 1 在有理数域上不可约。
8
但是有些时候不能使用这个判别法，用反证法即可。 【习题 11】*（定理 8.12） （杨利军老师期中考题） 证明多项式 f ( x) =x + 3 x + 1 在有理数域上不可约。
+
(
) (C C )
【习题 4】*（中国剩余定理） （杨利军老师习题课） 设 a, b, c 为三个不同的实数，用 x − a, x − b, x − c 除 f ( x) 的余数分别为 r , s, t 。试求用
( x − a )( x − b )( x − c ) 除 f ( x) 的余式。
Bezout 定理是互素和最大公因式的重要内容。是有必要牢固记住的。 【习题 5】 （Bezout 定理与互素） 设 f , g , u , v ∈ F [ x] 且 f , g ≠ 0 ，若 uf + vg = ( f , g ) ，证明 ( f , g ) = 1 。
2. 因式分解（不怎么考） 因式分解的存在唯一的定理在课本上也是花了大力气去证明的， 是作为多项式理论的基 石存在的（虽然不怎么考） ，前面知道复多项式环和实多项式环中的不可约多项式都有哪些 就可以了。 【习题 6】*（因式分解） （姚慕生高代习题书） 设 f , g ∈ F [ x] 且 g ≠ 0 ，证明 g | f 的充要条件是 g | f 。
0 1 0 2
0 0 的 Jordan 标准型 J ，并求可逆矩阵 P ，使得 AP = PJ 。 0 0
对角块阵的 Jordan 标准型计算起来要容易一些，可以分块计算。 注意幂零矩阵的 k 阶 Jordan 块块数计算公式，这个虽然一般用不上，但还是看看吧。
N (k ) = rank( Ak +1 ) + rank( Ak −1 ) − 2rank( Ak )
2 2
2 2
Vieta 定理是复多项式因式分解理论的一个小成果，简单看看就可以了。 【习题 8】*（Vieta 定理） （姚慕生高代习题书） 设 x1 , x2 , x3 是方程 x + px + qx + r = 0 的三ห้องสมุดไป่ตู้根，试用 p, q, r 表示
3 2
1 1 1 + 2+ 2。 x12 x2 x3
n
注意，商空间、诱导变换和根子空间在这里都没有涉及！由于可能出在证明题中，所以 建议大家还是简单看看（估计那些的证明不会出得很难） 。
三、内积空间 1. 矩阵的幂的一些性质（与内积无关，是上一章的内容） 事实上，这个应该是上学期的内容，不过还是用一道习题表明它的重要性吧。下面的这 条结论在幂零矩阵的 Jordan 标准型的推导中中用处不小（对于列空间有类似的结论） 。 【习题 18】*（矩阵的幂） 设 A ∈ M n ( F ) ，且 m 为一个非负整数使得 N ( A ) = N ( A
T T
最优最小二乘解的计算也是较为重要的，它和广义逆的求算可以放在一起考。 【习题 26】 （最小二乘解，广义逆） （15 年期末考题）
1 设 A 同习题 23 中的 A ， b = 1 ，求 A 的广义逆及线性代数方程组 Ax = b 的（最优） 1
最小二乘解。 特殊矩阵的广义逆比较容易计算， 例如列满秩阵和行满秩阵。 对一般矩阵 A ， 有它的满 秩分解 CR （还记得满秩分解吗？） ，则有 A+ = RT RRT 验证广义逆的四个性质得到。 广义逆的秩是和原矩阵相同的。 【习题 27】*（广义逆的秩） 设 A ∈ M n ( ) ，证明 rank( A) = rank( A ) 。 4. 自伴变换和正规变换 共轭 （伴随） 变换在标准正交基下的矩阵是原矩阵的 （共轭） 转置。 这点基本年年都考。 【习题 28】 （共轭变换的矩阵） （13 年期末考题） 设 V 是二维的酉空间， ε1 , ε 2 是一组标准正交基。设 σ 为 V 上的一个线性变换，且有
1 0 设 A = 1 1 ，求 A 的奇异值分解。 0 1
课本上证明了方程 Ax = b 的最小二乘解就是方程 A Ax = A b 的解，但没有证明后者
T T
为什么一定有解。 【习题 25】*（最小二乘解的理论基础） （杨利军老师的作业） 设 A ∈ M n ( ), b ∈ n ，证明线性代数方程组 A Ax = A b 一定有解。
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二、Jordan 标准型理论 Jordan 标准型基本上是考计算了，这方面的证明题放在第三块中一起来可能酸爽一些。 可能在下面这种情况的 Jordan 标准型不太好算，建议大家动笔算一算。 【习题 12】 （Jordan 标准型的计算） （课本例题 9.1）
0 1 2 0 求矩阵 A = 0 −2 4 0
2 1 0 下的表示矩阵为 A = 0 0 1 。求 σ 的所有不变子空间。 0 0 0
【习题 17】*（不变子空间问题） 设 σ ∈ L(V ) ，其中 V 为 F 上的 n 维线性空间，且知 σ 在 F 上有 n 个不同的特征值。 证明 σ 在 V 中恰有 2 个不变子空间。
O ，求 A 的极小多项式。 O ≠ A ∈ M n () 为幂零矩阵，且有 A5 + 2 A3 =
不变子空间问题也是很有意思的问题，这里是求一个线性变换的所有不变子空间。 【习题 16】 （不变子空间问题） 设 σ ∈ L(V ) ，其中 V 为 上的 3 维线性空间且有一组基底 α1 , α 2 , α 3 。现知 σ 在此基
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多项式与其导数的公共根是多项式的重根， 这一点可能有些老师并没有提到， 下面把这 条定理给出如下。 （来自杨利军老师的课件）
然后给出一道稍微有些灵活的习题。 【习题 7】*（导数与重根的关系） 设 f , g ∈ [ x] （注意是 ！ ） ， ( f , g ) = 1 。证明 f + g 的重根是 ( f ′ ) + ( g ′ ) 的根。
线性代数(2)期末复习习题集
王振翎
说明： 每个我认为较为有趣的知识点在这里对应 1~2 道习题， 仅作检测何处知识点不牢 固用， 不能用于某知识点的深入探究。 倘若需要探究， 可以阅读复旦姚慕生编 《高等代数 （第 三版） 》的习题集（图书馆有） ，不过这学期学的是那本书后面的章节，难度较大。打*号的 题目没有时间看就算了。不保证我会给出答案（但我尽可能努力） ！ 一、多项式 1. 多项式的整除 第一题是很重要的内容，可以说是填空题的必考点了。 【习题 1】 （辗转相除法求多项式间的最大公因式） 设 f ( x) = x + 2 x − 3 x − x + 1, g ( x) = x + 2 x − x − 2 ，求 ( f , g ) 以及使得下面的等