集合知识点
集合章节知识点
集合章节重点知识点1、元素的特性：确定性 、 无序性 、 互异性．2、3、集合间的基本关系注1、子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .（子集的传递性） 注2、规定：空集是任何集合的子集，空集是任何集合的真子集.注3、含有n 个元素的集合子集个数为2n ;真子集个数为2n −1；非空真子集个数为2n -2; 4、集合的基本运算、注1、（1）交集的性质：;;;;B A A B A A B B A A A A A ⊆⇔==== φφ（2）并集的性质：;;;;A B A B A A B B A A A A A A ⊆⇔==== φ （3）补集的性质：()()();;;A A C C A C A U A C A U U U U ===φ（4）反演率(德·摩根定律) ： 交、并、补(且、或、非)之间的关系①集合形式()()()I I I C A B C A C B =,()()()I I I C A B C A C B =②命题形式：()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝（5）I I A B A B A A B B A C B C A B I⊆⇔=⇔=⇔=∅⇔=(其中I 为全集)常用的数集自然数集正整数集整数集 有理数集实数集 记法NN ∗ZQR定义符号表示 图形表示子集 集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 （即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B (或B ⊇A )真子集 集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A (A ⊆B,但A ≠B )A ⫋B(或B ⫌A)集合相等 组成集合A 与集合B 的元素完全相同或集合A,B 互为子集(A ⊆B 且B ⊆A)A ＝B定义符号表示图形表示交集由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}并集 属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}补集如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{}A U A C U ∉∈=x x x 且5、∅之一次/二次方程模型识别特征：不确定集合A 确定集合B 应用方法：讨论不确定集合A 是否为空集67、一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q . 8、p:x ∈P , q:x ∈Q 若q p ⇒,则Q P ⊆9、含有量词的命题的否定：改量词，否结论⊆。
集合知识点
集合知识点复习
【考点一】集合定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
比如：外国语高中的全体师生就构成一个集合
几个常用的数集要记住：
1子集：如果集合Ａ中任意一个元素都是集合Ｂ中的元素就说集合A和B的关系为例如：M=｛１，2，3｝N=｛2，3｝P=｛1，2，3｝M与N 的关系M与P 2真子集：
3空集表示没有任何元素的集合记为【注意{0}与∅的区别】空集是任何集合的
思考：空集是任何集合的真子集吗？
注意集合与元素之间符号用集合与集合之间符号用
4子集具有以下性质
①传递性：Ａ⊆Ｂ，B⊆Ｃ，则ＡＣ如果Ａ≠⊂Ｂ，B≠⊂Ｃ，那么ＡＣ
②子集个数：n个元素的集合有个子集真子集
练1：M=｛１，2，3｝有多少个子集真子集
M=｛a，b，c，d｝有多少个子集真子集
【考点五】集合的基本运算。
高中数学集合知识点归纳
高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体，用大写字母如A, B, C等表示。
2. 元素：集合中的每一个成员被称为元素，用小写字母如a, b, c等表示。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 集合的表示：集合通常可以通过列举法或描述法来表示。
例如，集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。
二、集合间的关系1. 子集：如果集合B的所有元素都是集合A的元素，则称B是A的子集，记作B ⊆ A。
2. 真子集：如果集合B是A的子集，并且B不等于A，则称B是A的真子集，记作B ⊂ A。
3. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合，记作A' 或 C_U(A)。
4. 交集：两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A ∩ B。
5. 并集：两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，记作A ∪ B。
三、集合运算1. 德摩根定律：对于任意集合A和B，(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。
2. 集合的幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。
3. 笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A × B。
四、特殊集合1. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。
2. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。
3. 有界集：如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数，那么这个集合是有上界的；类似地，如果所有元素都大于或等于某个实数，则集合有下界。
4. 区间：实数线上的一段，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。
五、集合的应用1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合；值域是函数输出的所有y值的集合。
数学集合考试知识点总结
数学集合考试知识点总结
一、集合的概念
1.集合的定义和表示方法
2.集合的元素和特点
3.集合的分类和运算
二、集合的表示法
1.集合的文字表示法
2.集合的符号表示法
3.集合的图示表示法
三、集合的运算
1.集合的并运算
2.集合的交运算
3.集合的差运算
4.集合的补运算
四、集合的性质
1.集合的包含关系
2.集合的等价关系
3.集合的互斥关系
4.集合的幂集和子集
五、集合的应用
1.集合在实际问题中的应用
2.集合在逻辑推理中的应用
3.集合在概率统计中的应用
六、集合的衍生概念
1.无限集合与有限集合
2.空集与全集
3.真子集与假子集
4.集合的基数和势
七、集合的证明方法
1.集合的等价证明
2.集合的包含证明
3.集合的互斥证明
4.集合的运算证明
八、集合的实际问题
1.集合的交叉问题
2.集合的包含问题
3.集合的运算问题
4.集合的应用问题
以上是数学集合考试知识点的总结，希望对大家的学习有所帮助。
集合主要知识点总结
集合主要知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体，这些元素可以是任意的事物或对象。
集合用大括号{}表示，其中的元素用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A由1，2，3，4，5这五个元素组成。
1.2 集合的性质- 集合中的元素是无序的，即集合中的元素没有先后顺序。
- 集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复。
- 集合可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、集合的运算2.1 并集定义：设A和B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有的元素组成的集合。
记法：A∪B = {x | x∈A或x∈B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2.2 交集定义：设A和B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示A和B中公共的元素组成的集合。
记法：A∩B = {x | x∈A且x∈B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
2.3 补集定义：设A是一个集合，它的补集记为A'，表示全集中除A之外的所有元素组成的集合。
记法：A' = {x | x∈全集且x∉A}例如，A = {1, 2, 3}，全集为{1, 2, 3, 4, 5}，则A' = {4, 5}。
2.4 差集定义：设A和B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示A中去掉与B中相同的元素后的集合。
记法：A-B = {x | x∈A且x∉B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
三、集合的关系3.1 子集定义：设A和B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，那么A是B的子集。
记法：A⊆B例如，A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则A是B的子集。
3.2 相等集合定义：设A和B是两个集合，如果A是B的子集，且B是A的子集，那么A等于B。
集合的知识点
集合的知识点集合是数学中一个基本的概念，在许多学科和领域中都有广泛的应用。
本文将介绍集合的定义、基本运算和常用的集合表示方法，以及集合之间的关系和重要的集合定理。
一、集合的定义集合是由元素组成的，元素之间没有顺序关系的整体。
记作A={a,b,c,...}，其中a,b,c,...为元素。
集合中的元素可以是任意对象，例如数字、字母、词语、图形等等。
二、集合的基本运算1. 并集（Union）：将两个或多个集合中的所有元素合并为一个集合。
记作A∪B。
2. 交集（Intersection）：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
记作A∩B。
3. 差集（Difference）：从一个集合中减去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素组成的集合。
记作A-B。
4. 互斥集（Disjoint）：两个集合没有共同的元素，互不相交。
5. 补集（Complement）：相对于某个全集U，一个集合未包含的元素组成的集合。
记作A'或A^c。
三、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。
例如A={1,2,3,4,5}。
2. 描述法：通过描述集合中元素的特点来表示集合。
例如A={x | x 是正整数，且x<5}，表示A是由小于5的正整数组成的集合。
3. 定义法：通过给出集合的定义来表示集合。
例如A是所有偶数的集合，可以表示为A={x | x是偶数}。
四、集合之间的关系1. 包含关系：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，则称集合B包含集合A，记作A⊆B。
若A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
2. 子集关系：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，且集合B 中存在集合A中没有的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
3. 交集为空：若两个集合的交集为空集，则称两个集合互斥，即A∩B=∅。
4. 并集和交集的关系：对于任意两个集合A和B，有下面两个重要的集合定理：- 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)- 结合律：A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)五、重要的集合定理1. 德摩根定律：- 对于任意两个集合A和B，有 (A∪B)' = A'∩B'- 对于任意两个集合A和B，有(A∩B)' = A'∪B'2. 两个集合互为补集：- 若A和B是某个全集U的子集，且A∪B=U，A∩B=∅，则称A和B互为补集。
集合知识点总结复习
集合知识点总结复习一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体。
一个集合通常用大写字母A、B、C等表示，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。
2. 集合的表示方法（1）列举法：直接列出集合中的所有元素，用大括号{}括起来。
例如：A={1, 2, 3, 4, 5}。
（2）描述法：通过一个性质或条件来描述集合中的元素。
例如：A={x|x是正整数，且x<6}。
3. 包含关系若集合A中所有的元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
若A是B 的子集，且A≠B，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。
4. 互斥和互补两个集合没有共同的元素，则称它们是互斥的。
若集合A与集合B的交集为空集，则称A 与B互斥。
若全集S中的元素中除了属于集合A的元素外，其他的都属于A的补集，记作A'。
5. 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作{}或∅。
二、集合的运算1. 交集若元素x同时属于集合A和集合B，则x是A与B的交集，记作A∩B。
即A∩B={x|x∈A 且x∈B}。
2. 并集将属于集合A或集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。
即A∪B={x|x∈A 或x∈B}。
3. 差集集合A中所有属于A但不属于B的元素所组成的集合称为A与B的差集，记作A-B。
即A-B={x|x∈A 且x∉B}。
4. 补集全集S中除了属于A的元素外，其他都属于A的补集，记作A'。
5. 幂集集合A所有子集所构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
例如：A={1,2}，则P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。
三、集合运算的性质1. 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
4. 吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。
集合知识点归纳总结
集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系等。
4. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等运算。
二、集合的分类1. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，全集是指定范围内的所有元素的集合。
2. 子集与真子集：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集；若两个集合既有子集关系又不相等，则称前者为后者的真子集。
3. 有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数无限的集合称为无限集。
三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素都放在一起，得到的新集合即为并集。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合的元素，得到的新集合称为差集。
4. 补集：相对于某个全集，与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。
四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
2. 集合的应用场景：数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。
3. 集合的问题求解：通过集合的运算和性质，解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。
五、集合的常用性质与定理1. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
2. 对称差：两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。
3. 德摩根定律：集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。
4. 集合的基数：集合的基数是指集合中元素的个数。
5. 区间表示法：用数轴上的区间来表示集合。
六、集合的应用举例1. 数学中的集合：数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。
2. 数据库中的集合：数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。
3. 概率论中的集合：概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。
(完整版)集合知识点归纳
集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……｝（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……｝（3）整数集Z={0，?1，?2，……｝（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠｛} ，≠{0}，≠｛空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤３}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
集合知识点考点总结
集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。
(2) 元素：组成集合的每个对象都称为集合的元素，通常用小写字母表示。
(3) 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即两个相同的集合只有相同的元素组成，元素的排列次序不同，它们之间也是相等的。
(4) 互异性：集合中的元素各不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。
(5) 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。
2. 集合的分类(1) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
(2) 单集：只包含一个元素的集合称为单集。
(3) 有限集和无限集：集合中元素的个数有限的称为有限集，否则称为无限集。
(4) 相等集：具有相同元素的集合称为相等集。
3. 集合的运算(1) 并集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集，通常用符号∪表示。
(2) 交集：设A和B是两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集，通常用符号∩表示。
(3) 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集，通常用符号A'表示。
(4) 差集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集，通常用符号A-B表示。
4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
(2) 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
(3) 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
(4) 吸收律：对于任意的集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
求集合知识点归纳总结
求集合知识点归纳总结1. 集合的基本概念（1）元素：集合中的对象称为元素，通常用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中的1、2、3就是集合A的元素。
（2）空集：不含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
（3）子集：若集合B的所有元素都属于集合A，则称集合B是集合A的子集，记作B⊆A。
（4）真子集：对于集合A和B，如果B是A的子集且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。
（5）交集：集合A和集合B的交集是一个新的集合，其中包含A和B的共同元素，记作A∩B。
（6）并集：集合A和集合B的并集是一个新的集合，其中包含A和B的所有元素，记作A∪B。
（7）补集：集合A相对于全集的补集，记作A'，表示全集中不属于A的元素组成的集合。
（8）笛卡尔积：对于两个集合A和B，它们的笛卡尔积是一个新的集合，其中的元素是由A和B的所有可能的有序对组成的，记作A×B。
2. 集合的运算（1）交集：对于集合A和集合B，它们的交集是一个新的集合，其中包含A和B的共同元素，记作A∩B。
（2）并集：对于集合A和集合B，它们的并集是一个新的集合，其中包含A和B的所有元素，记作A∪B。
（3）差集：对于集合A和集合B，它们的差集是一个新的集合，其中包含A中属于B补集的元素，记作A-B。
（4）补集：集合A相对于全集的补集，记作A'，表示全集中不属于A的元素组成的集合。
（5）笛卡尔积：对于两个集合A和B，它们的笛卡尔积是一个新的集合，其中的元素是由A和B的所有可能的有序对组成的，记作A×B。
3. 集合的性质（1）互斥性：对于集合A和集合B，如果A∩B=∅，则称A和B互斥，即A和B没有共同的元素。
（2）幂集：对于集合A，它的幂集是由A的所有子集组成的集合，记作P(A)。
（3）集合的基数：集合A的基数是A中元素的个数，记作|A|。
（4）集合的运算律：交换律、结合律、分配律等。
4. 集合的应用集合论作为数学的一个基本概念，广泛应用于数学分析、代数学、拓扑学等领域。
(完整版)《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{...} 如：{我校的篮球队员} ，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 用拉丁字母表示集合： A = {我校的篮球队员} , B = {1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：{a,b,c,d,...}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x | x 一3 > 2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N +整数集 Z 有理数集 Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x | x2 = 一5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A 坚 B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。
反之，集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A坚/B 或 B二/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设 A={x| x2 一1 = 0 } B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集. A坚A②真子集:如果 A坚B,且 A子 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A 坚 B (或 B二/A)③如果 A坚B, B坚C ,那么 A坚C④如果 A坚B 同时 B坚A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做 空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
结论：有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集， 2n 1 个真子集三、集合的运算运算交 集 并 集 补 集类型定 由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合 叫做 A,B 的交集．记作由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合，叫做 S 中子集 A 的 补集（或余集） 义A nB （读作‘A 交 B ’） 即 A n B=｛x|x A 且 集．记作 A U B （读作‘A并 B ’ ） ， 即 A U B记作 C U A ，即x B ｝． ={x|x A ，或 x B})． C A {x | x U , 且x A}U韦恩 A B A B A 图示 图 1 图 2(C u A) (C u B) C u (A B)AA AA性AB B AAA (C u A) (C u B) C u (A B)AB B A质A B AAB A A (C u A) U AB BAB BA (C u A)（2）交、并、补集的混合运算 ①集合交换律 AB B A A B B A②集合结合律 (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)③集合分配律 A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)（3）容斥定理card(A B) card(A) card(B) card(A B)card (A B C) card (A) card (B) card (C) card (A B)card(A B) card(B C) card(A B C)card 表示有限集合 A 中元素的个数S。
集合知识点
集合知识点1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于∉．3．集合的表示方法：另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．4．常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N*，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．5．有限集，无限集与空集．6．子集的含义：一般地，如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素，（即 若a ∈A 则a ∈B ），则称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ．读作集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ．用数学符号表示为：若a ∈A 都有a ∈B ，则有A ⊆B 或B ⊇A ．（1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于∉；集合与集合的关系及符号表示：包含于⊆，包含⊇． （2）注意关于子集的一个规定：规定空集∅是任何集合的子集．（3）思考：A ⊆B 和B ⊆A 能否同时成立？列举法描述法图示法 自然语言描述 如{15的正整数约数}数学语言描述 规范格式为{x |p (x )}元素与集合是个体与群体的关系，群体是由个体组成；子集是小集体与大集体的关系．（集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。
即A ⊆B,且B ⊆A ⇔A=B.）（4）集合A 与A 之间是否有子集关系？（任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ）7．真子集的定义：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，则称集合A 是集合B 的真子集．（1）A ⊆B 包含两层含义：即A ＝B 或A 是B 的真子集．（2）真子集的wenn 图表示（3）A ＝B 的判定（4）A 是B 的真子集的判定8．对于一个有限集而言，写出它的子集时，每一个元素都有且只有两种可能：取到或没取到．故当集合的元素为n 个时，子集的个数为2n ．9．补集的概念：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为S A (读作“A 在S 中的补集”)，即S A ＝{ x ｜x ∈S ，且x ∉A }，S A 可用右图表示．（1） 任一集合对于全集而言，其任意子集与其补集一一对应．（2）基本性质U A C A U =⋃，A A C C U U =)(10．全集的含义：如果集合S 包含我们研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集，全集通常记作U ．11．常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N*，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．则无理数集可表示为R Q ．12．交集的概念． 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与BA ∩BA BA ∪B A B的交集，记为A ∩B (读作“A 交B ”)，即A ∩B＝{ x ｜x ∈A 且x ∈B }13．并集的概念．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记为A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝{ x ｜x ∈A 或x ∈B }14．交、并集、补的性质．A ∩B ＝B ∩A ，A ∩∅＝∅，A ∩A ＝A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，Φ=⋂A C A U ，U A C A U =⋃，A A C C U U =)(，B C A C B A C U U U ⋂=⋃)(，B C A C B A C U U U ⋃=⋂)(若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，反之，若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ． A ∪B ＝B ∪A ，A ∪∅＝A ，A ∪A ＝A ，A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B ，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，反之，若A ⊆B ，则A ∩B ＝B ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝B ．15．区间的概念．一般地，由所有属于实数a 到实数b (a ＜b )之间的所有实数构成的集合，可表示成一个区间，a 、b 叫做区间的端点．考虑到端点，区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间．16．区间与集合的对应关系．[a ，b ]＝{x | a ≤x ≤b }，(a ，b )＝{x | a ＜x ＜b }，[a ，b )＝{x | a ≤x ＜b }，(a ，b ]＝{x | a ＜x ≤b }，(a ，＋∞)＝{x | x ＞a }，(－∞，b )＝{x | x ＜b }，(－∞，＋∞)＝R ．。
高中数学集合知识点归纳
高中数学集合知识点归纳一、集合的概念1. 集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2. 元素的特性确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。
无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。
二、集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
2. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
3. 图示法：包括韦恩图（Venn 图）、数轴等。
三、集合的分类1. 有限集：含有有限个元素的集合。
2. 无限集：含有无限个元素的集合。
3. 空集：不含任何元素的集合，记为∅。
四、集合间的关系1. 子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记为 A⊆B。
2. 真子集：如果 A⊆B，且存在元素x∈B 但 x∉A，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记为 A⊂B。
3. 集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为 A = B。
五、集合的运算1. 交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记为A∩B。
A∩B = {x | x∈A 且x∈B}2. 并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记为A∪B。
A∪B = {x | x∈A 或x∈B}3. 补集：设 U 为全集，集合 A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 在 U 中的补集，记为∁UA。
∁UA = {x | x∈U 但 x∉A}六、常用数集及其符号1. 自然数集：N2. 正整数集：N+ 或 N3. 整数集：Z4. 有理数集：Q5. 实数集：R。
数学集合的必备知识点
数学集合的必备知识点一、集合的概念。
1. 定义。
- 集合是把一些确定的、不同的对象汇集在一起组成的一个整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，每个学生就是这个集合的元素。
- 通常用大写字母如A、B、C等来表示集合，用小写字母如a、b、c等来表示集合中的元素。
2. 元素与集合的关系。
- 属于（∈）：如果a是集合A的元素，就说a∈ A。
例如，若A = {1,2,3}，那么1∈ A。
- 不属于（∉）：如果a不是集合A的元素，就说a∉ A。
对于集合A={xx是正整数}，0∉ A。
3. 集合中元素的特性。
- 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可。
例如，“身材较高的人”不能构成一个集合，因为“身材较高”没有明确的标准；而“身高超过180cm的人”可以构成一个集合。
- 互异性：集合中的元素是互不相同的。
例如，集合A = {1,2,2,3}不符合集合元素的互异性，应写成A={1,2,3}。
- 无序性：集合中的元素没有顺序之分。
例如，{1,2,3}和{3,1,2}是同一个集合。
二、集合的表示方法。
1. 列举法。
- 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，A={1,2,3}，B = {a,b,c}。
- 对于有限集，当元素个数较少时，列举法比较方便。
对于一些有规律的无限集，也可以用列举法表示一部分元素，然后用省略号表示其余元素。
例如，自然数集N={0,1,2,3,·s}。
2. 描述法。
- 用集合所含元素的共同特征来表示集合。
一般形式为{xp(x)}，其中x表示集合中的元素，p(x)是描述这些元素特征的条件。
例如，A={xx是大于2小于10的整数}，B={xx = 2n,n∈ Z}（表示所有偶数组成的集合）。
三、集合的分类。
1. 有限集。
- 含有有限个元素的集合。
例如，A={1,2,3}是有限集，它有3个元素。
2. 无限集。
- 含有无限个元素的集合。
如自然数集N、实数集R都是无限集。
集合相关知识点
集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
在数学中，集合是一种基本的数学对象，用于描述一组相关的元素。
本文将详细介绍集合相关知识点，包括集合的定义、性质、运算和表示方法等。
一、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
集合中的元素可以是数字、字母、符号等任何事物。
集合中的元素个数可以是有限的，也可以是无限的。
二、集合的性质1. 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即集合中的元素是无序的。
2.确定性：集合中的元素是确定的，即集合中的元素是可以明确列举出来的。
3.互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是没有重复的。
4.任意性：集合中的元素可以是任意的，即集合中的元素可以是数字、字母、符号等任何事物。
三、集合的运算集合的运算主要包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：给定两个集合A和B，它们的并集是一个包含A和B中所有元素的集合。
2.交集：给定两个集合A和B，它们的交集是一个包含A和B中共有元素的集合。
3.差集：给定两个集合A和B，它们的差集是一个包含A中有而B中没有的元素的集合。
4.补集：给定一个集合A，它的补集是一个包含全集中不属于A的元素的集合。
四、集合的表示方法集合的表示方法主要有列举法和描述法。
1.列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来表示。
例如，集合{1,2,3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.描述法：用符号表示集合中的元素，用冒号分隔。
例如，集合{x|x>0}表示包含所有大于0的实数的集合。
五、集合的应用集合在数学和实际生活中有着广泛的应用。
例如，在概率论中，样本空间和事件都可以用集合来表示；在计算机科学中，数据结构中的集合是一种基本的数据类型，用于存储一组相关的元素。
综上所述，集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
集合具有无序性、确定性、互异性和任意性等性质。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
高一数学集合知识点归纳
一、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
2. 集合的表示方法：集合通常用大写字母表示，如A、B、C等，元素用小写字母表示，如a、b、c等。
3. 集合的分类：有限集和无限集。
有限集中元素的个数是有限的，无限集中元素的个数是无限的。
二、集合的基本运算1. 并集：两个集合A和B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
2. 交集：两个集合A和B的交集是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。
3. 差集：两个集合A和B的差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。
4. 补集：一个集合A的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'或A^c。
5. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集，记作P(A)。
三、集合的性质1. 互异性：一个集合中的元素都是不同的。
2. 无序性：一个集合中的元素没有固定的顺序。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于该集合。
4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
5. 全集：包含所有元素的集合称为全集，记作U。
6. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
7. 真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，但这个集合本身不是另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
8. 相等集：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合称为相等集。
9. 空集是任意集合的子集。
10. 空集是任意非空集合的真子集。
四、集合的关系1. 包含关系：一个集合A包含另一个集合B，记作A⊆B。
2. 相等关系：两个集合A和B的元素完全相同，记作A=B。
3. 不相等关系：两个集合A和B的元素不完全相同，记作A≠B。
4. 子集关系：一个集合A是另一个集合B的子集，记作A⊆B。
5. 真子集关系：一个集合A是另一个集合B的真子集，记作A⊆B且A≠B。
6. 相等关系与包含关系的关系：如果两个集合相等，那么它们一定相互包含；如果两个集合相互包含，那么它们不一定相等。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
(完整版)集合知识点归纳
集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，¡1，¡2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
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P19练习B T2、3 P21习题B T5
大胆提出
3、力争全部达成目标，且 A层多拓展质疑,B层注重总 结，C层全部掌握，科研小 组成员首先要质疑拓展
展示自我，提高自信，我是最棒的！
总结升华
【课堂小结】
1.知识方面： （1）集合的表示方法包括列表法和描述法. （2）用列表法和描述法表示集合. 2.数学思想方面： （1）化归与转化思想 . （2）分类讨论的思想.
P19练习B T2、3 P21习题B T5
展示自我，提高自信，我是最棒的！
精彩点评（约10分钟）
展示问题
P18练习B T3 展示方式 及位置 前黑板 前黑板 前黑板 展示 小组 1、2组 3、4组 5、6组 点评 小组 7组 8组 9组 要求
1、点评人员：点评人要声 音洪亮，语言清晰；先点评 书写、对错，再点评思路； 最后点评规律方法并能拓展 （用彩笔补充） 2、其它同学：认真倾听、 积极思考,重点内容记好笔 记。有不明白或有补充的要
基础知识梳理
一、知识结构图
集合的概念 列表法
集等
集合与集合的关系
集合的运算
交集
并集 补集
高效展示（约5分钟）
展示问题
P18练习B T3 展示方式 及位置 前黑板 后黑板 后黑板 展示 小组 1、2组 3、4组 5、6组
要求
1．展示人书写认真快 速；总结规律方法 （用彩笔） 2．其他同学讨论完毕 总结整理完善，并迅 速浏览展示同学的答 案，准备点评。 3．提高效率，不浪费 一分钟。
三案导学· 高中数学必修一（人教B 版）
第一章 集合 第一章 集合(1.1～1.2) 小结与复习
编制人：张永光
学习目标
1．复习集合的有关概念，熟练集合的运算，提高 运算求解能力和分析解决问题能力。 2．自主学习，合作探究，探究集合运算的规律和 方法，学会用数学结合、分类讨论思想解决问题。 3．激情投入，享受学习数学的快乐。
当堂检测
1．【答案】D 2．【答案】
2,2
3．【答案】0是一个数；｛0｝是只含有0 是空集，不含有 这个元素的集合； 任何元素；｛ ｝是一个集合，它的元素 是 .
课堂评价
学科班长：1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
课后完成训练学案并整理巩固