大学物理(湖大版)第3章相对论答案

第三章 狭义相对论

P143．

3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？

[解答]地球的半径约为

R = 6400千米 = 6.4×106(m)，

自转一圈的时间是

T = 24×60×60(s) = 8.64×104

(s)，

赤道上钟的线速度为

v = 2πR/T = 4.652×102(m·s -1)．

将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看

南极的钟做反向的匀速直线运动．

南极和赤道上的钟分别用A 和B 表示，南极参考系取为S ，赤道参考系取为S'．A 钟指示S 系中的本征时，同时指示了B 钟的运动时间，因此又指示S'系的运动时．同理，B 钟指示S'系中的本征时，同时指示了A 钟的反向运动时间，因此又指示S 系的运动时．

方法一：以S 系为准．在S 系中，A 钟指示B 钟的运动时间，即运动时

Δt = 50×108×365×24×60×60 = 1.5768×1016(s)．

B 钟在S'中的位置不变的，指示着自己的本征时Δt'．A 钟的运动时Δt 和B 钟的本征时Δt'

之间的关系为

t '∆=

，

可求得B 钟的本征时为

2

1[1()]2v t t c

'∆=∆≈-

∆， 因此时间差为

2

1()2v t t t c

'∆-∆≈

∆= 1.898×105(s)． 在南极上看，赤道上的钟变慢了．

方法二：以S'系为准．在S'系中，B 钟指示A 钟的反向运动时间，即运动时

Δt' = 50×108×365×24×60×60 = 1.5768×1016(s)．

A 钟在S 中的位置不变的，指示着自己的本征时Δt ．

B 钟的运动时Δt'和A 钟的本征时Δt 之间的关系为

t '∆=

，

可求得A 钟的本征时为

2

1[1()]2v t t t c

'∆=∆≈-

∆， 因此时间差为

21()2v t t t c

''∆-∆≈

∆= 1.898×

105

(s)． 在赤道上看，南极上的钟变慢了．

[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式． 有人直接应用公式计算时间差

t t t '''∆-∆=

-∆22

11[1()]()22v v t t t c c

'''≈+

∆-∆=∆， 由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S 系为准来对比两钟的时间，Δt'是B 钟的本征时，Δt 是A 钟的运动时，而题中的本征时是未知的．

也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．

t t t '∆-∆=

-∆22

11[1()]()22v v t t t c c

≈+

∆-∆=∆

3．2 一根直杆在S 系中观察，其静止长度为l ，与x 轴的夹角为θ，S'系沿S 系的x 轴正向以速度v 运动，问S'系中观察到杆子与x'轴的夹角若何？

[解答]直杆在S 系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为 l x = l cos θ

和 l y = l sin θ．

在S'系中观察直杆在y 方向上的长度不变，即l'y = l y ；在x 方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得

x

x l l '= 因此

tan y x

l l θ''=

=

'，

可得夹角为

2

1/2

arctan{[1(/)]

tan }v c θθ-'=-．

3．3 在惯性系S 中同一地点发生的两事件A 和B ，B 晚于A 4s ；在另一惯性系S'中观察，B 晚于A 5s 发生，求S'系中A 和B 两事件的空间距离？

[解答]在S 系中的两事件A 和B 在同一地点发生，时间差Δt = 4s 是本征时，而S'系中观察A 和B 两事件肯定不在同一地点，Δt' = 5s 是运动时，根据时间膨胀公式

t '∆=

，

即

45=，

可以求两系统的相对速度为

v = 3c /5．

在S'系中A 和B 两事件的空间距离为

Δl' = v Δt' = 3c = 9×108(m)．

3．4 一个“光钟”由两个相距为L 0的平面镜A 和B 构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A 到镜面B 再回到原处的时间，其值为002L c

τ=

．若

将这个光钟横放在一个以速度v

行驶的火车上，使两镜面都与v

垂直，两镜面中心的连线与v

平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？

[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为

τ=

3．5 S 系中观察到两事件同时发生在x 轴上，其间距为1m ，S'系中观察到这两个事件间距离是2m ，求在S'系中这两个事件的时间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换公式

x vt x -'=

和2

t '=

，

得两个事件的空间和时间间隔公式

x '∆=

， （1a ）

2

t '∆=

（1b ）

由题意得：Δt = 0，Δx = 1m ，Δx' = 2m ．因此

x '∆=

， （2a ）

2

/xv c

t -∆'∆=

． （2b ）

由（2a ）式得它们的相对速度为

v = （3）

将（2b ）式除以（2a ）式得

2

t v x c

'∆=-

'

∆，

所以