抛物线的焦点弦性质
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102FB FA =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162PF FB FA =。
抛物线焦点弦性质2
y A F B x
联想 : 在同样的条件下， 注意到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
O 2 变题1 : 过抛物线y 2 px( p 0)焦点 F的直线， 交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 . 4
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F，
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 px 4 p2 ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
p2 A、 4
B、 p 2
p2 C、－ 4
D、 p 2
思考题: 3、 、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点,满足 A OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分 别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次函数图像，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
抛物线具有很多特性，其中之一就是焦点弦性质。
现在来介绍抛物线焦点弦性质及其推导过程。
首先，我们需要明确焦点和焦点弦的概念。
焦点：抛物线上的所有点到定点F的距离与相应的焦准线上的所有点到定直线l的距离之比保持不变，这个定点F称为抛物线的焦点。
焦点弦：焦点的直角坐标系中的述焦线称为焦点弦。
接下来，我们通过几何推导来证明焦点弦性质。
假设抛物线的焦点为F，焦准线为l。
取抛物线上的任意一点P，并以焦点F为中心，做半径为FP的圆，交抛物线于点A，焦准线上一点为B。
根据焦点定义，有AP/PF=AB/BF。
根据圆的性质，AF是正切段，即∠FAP=90°。
考虑三角形ABP，根据直角三角形性质，我们有∠FAB=∠BAP。
将这个角度关系应用于三角形ABF，我们可以得出∠ABF=∠BFA。
因此，△ABF是一个等腰三角形。
由等腰三角形的性质，我们得到AB=AF。
而且，根据直角三角形性质，∠FBA=∠BAF。
因此，折线APB是一个等角三角形。
结合等腰三角形的性质，我们可以得出∠AFP=∠PFA=∠FAP。
根据角度对应定理，∠AFP=∠PFA=∠FAP=∠ABF。
而∠AFP+∠PFA+∠FAP+∠ABF=360°，因此∠AFP=360°/4=90°。
综上所述，我们可以得出结论：焦点弦AP是一个垂直于抛物线的直线。
因此，我们成功地证明了抛物线焦点弦性质的推导过程。
焦点弦性质的重要性在于我们可以利用该性质来确定一些几何问题中的未知量。
另外，在物理学和工程领域，焦点弦性质也有广泛的应用。
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程抛物线所示的是具有经典性质的几何图形，其定义为一个特别的二次函数：当其焦点在原点上时，抛物线形式为y = ax2；当其焦点在非原点处时，抛物线形式为 y = a(x - h)\pt2 + k，其中h是抛物线的焦点的横坐标位置，k是焦点的纵坐标位置，a是抛物线的斜率系数。
抛物线具有许多经典性质，最为重要的是焦点弦性质，它是抛物线的几何和数学基础。
焦点弦的定义是连接抛物线上任意两点的直线都与焦点构成直角，或者说从焦点连接到抛物线上任意点都构成直角三角形。
证明抛物线经典性质焦点弦证明：抛物线具有经典性质焦点弦可以应用三角函数定理证明。
设点P(x,y)位于抛物线上，则有 y = a(x - h)² + k；设F为抛物线的焦点，则有 F (h,k) ；∠FPQ 为钝角，则有：tan∠FPQ = /FP/ \cos∠FPQ/PQ/即 /FP/\ G(x-h, y-k)/PQ/由已知：FP：((h - x), (k - y))PQ：((x' - x), (y' - y))可得：/(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)\tan∠FPQ = ----------------------/(x'-x)²+(y'-y)²\\式子两边同乘以(x'-x)²+(y’-y)²即 /(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)(x'-x)²+(y'-y)²\t an∠FPQ = ------------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²)²\\即/(h-x)y'+(k-y)x'-(h-x)y-(k-y)x\tan∠FPQ = -----------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²\\将已知带入即可得tan∠FPQ = 0即点F、P、Q三点构成的三角形为钝角，即证明了抛物线具有经典性质的焦点弦性质。
过抛物线的焦点的弦的一般性质
过抛物线的焦点的弦的一般性质
不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l ,BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1. 基本概念:
1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。
|AB|=.
2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点的焦半径。
|PF|=；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）. 结论1：4221p x x =⋅(定值)，22212k
p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅(定值)，k p y y 221=
+.
结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=2121112
2||||||||||. (2)若AB 所在的直线的倾斜角为α，则α
2sin 2||p AB =.
结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p
n m 211=+． 结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．
结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．
结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．
结论8：F B F A 11⊥.
结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.
结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线焦点弦性质总结30条
抛物线焦点弦性质总结30条
抛物线焦点弦性质总结
本文总结了抛物线焦点弦的30条性质，其中包括基础回顾和性质深究两部分。
基础回顾：
1.以AB为直径的圆与准线L相切；
2.x1/x2 = 4p/(p2 + (y1-y2)2)；
3.y1/y2 = -(p/(p2 + (x1-x2)2))；
4.∠AC'B = 90；
5.∠A'FB' = 90；
6.AB = x1+x2+p = 2(x3+p/2)；
7.p2 = 2sin2α/1+2sinα；
8.A、O、B三点共线；
9.B、O、A三点共线；
10.S△AOB = p；
11.AB2 = 4p(AA'+BB')/22；
性质深究：
一)焦点弦与切线
1.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上；
2.切线交点与弦中点连线平行于对称轴；
3.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点；
4.过准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦最短时，即为通径；
5.当弦AB是抛物线y=2px（p＞0）的焦点弦，且Q为AB的中点，l是抛物线的准线，AA'⊥l，BB'⊥l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M，则有PA⊥PB，
PF⊥AB，M平分PQ，PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA，FA·FB=PF2.
二)非焦点弦与切线
当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有以下类似的结论：
= y2/(y1+y2)；
2.y1/y2 = (x1-x2)/(2p-x1+x2)；。
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦经典性质
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
抛物线焦点弦的性质PPT讲稿课件
抛物线的准线相切.
探求新知
6、过点A、B作准线的垂线，垂足分 别为C、D，则△ACF和△BDF都是等腰 三角形，那么∠CFD的大小如何？
C
A
90°
.
即以 为直径的圆与
D
F
B
AB相切于F.
探求新知
7、过点A、B作准线的垂线，垂足分 别为C、D，A、O、D三点共线吗？
C
yA
OF
x
D
B
探求新知
8、若直线AO交准线于D，DB与X轴平行吗？
yA
OF
x
D
B
探求新知
9、设点M为抛物线准线与x轴的交点， 则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？
A1
yA
M OF
B
B
1
相等
x
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A 、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
yA D
M OF
x
C
B
⒈过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点．若
，则|AB|= ____8_______
线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛
物线的对称轴.
yA
O
F
x
C
B
例题讲解
yA
O
F
x
C
B
例题讲解
yA
O x
B
例题讲解
yA
O x
B
例题讲解
OF
x
B
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，
y2)
1 、 焦 点 弦 AB的 长 如 何 计 算 ？
y
|AB |＝x1＋x2＋p
抛物线焦点弦性质应用
2)
=
2
2 ;
2
3.焦半径： || + || = ; ||，||一个较长，一个较短.
不论开口向上还是向下，因为sinɑ > 0，
所以，较长 =
, 较短 =
;
1 − ɑ
1 + ɑ
d
2
4.面积：S∆OAB=2|ɑ| ; 若是到的距离，则
直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB
＝ 2 2 .
例 1 已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F 的
→ →
直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若OA·OB＝－12，则抛物线 C 的方程为
A.x2＝8y
例2
B.x2＝4y
C.y2＝8x
√
焦点弦的几个结论（AB是过焦点F的弦，A(x1,y1)，
B(x2, y2)(ɑ为倾斜角)y2=±2px（p>0）.
1.
2
坐标积：x1x2= ，12
4
= −2;
3 p2
OA OB
，AOB为钝角.
4
2.弦长公式： |AB|=|x1+x2|+p=2(1 +
3.焦半径：
1
||
1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于
9
A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|= 2
，k= 2 2 .
2.过抛物线y2=12x的焦点F的直线l与抛物线交于
A，B两点，若|AB|=16，则直线斜率k=
|AF|=
12，或4
，|BF|= 4，或12
, பைடு நூலகம்AOB
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。
在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。
首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。
我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。
标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。
焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。
现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。
假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。
首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。
根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。
所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。
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2
A
B
OC || OA且共点O， 直线AC过点O
二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点，且OA⊥OB，
1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
2. 求证：直线AB过定点；
3. 求弦AB中点P的轨迹方程；
4. 求△AOB面积的最小值；
5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且 OA⊥OB，
2p 2p 4p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y x1 x 2 p |AB|=|AF|+|BF|=
（1 900 时，k不存在， ） p p 易得A（ ，p），B（ ，-p）， 2 2 2p A B =2P= sin 2 900
O
F B
x
y y p4 p2 x1x2 (定值） 2 2p 2p 4p 4
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
解：过A，B点作准线的垂线，垂足 P, Q 为
p p p P( , y1 ), Q( , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
[解答] (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点P(x0, y0)，
kOA y1 y2 , kOB x1 x2
∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1，∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1，y22 = 2px2
y1 y2 y1 y2 0 2p 2p
O B
A
θ F
x
p （2） 900 时，斜率k tan ，直线方程为y tan x ） （ 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B p x1 x2 sin 2
思考：焦点弦何时最短？ 过焦点的所有弦中，通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 1 2
B`
F B
O
F B
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
证明：如图， M M1 A A1 B B1 2 AF BF 2 AB 2
l A1
y
A F M
X
故以AB为直径的圆与准线相切. M1 O
O
B1
5 1 4 6 3
F
X
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
0
y1y2=-p2;
y
证明：思路分析：韦达定理
A
p y1 y2 - p ，x1 x2 ； 4
2
p p 易得A（ ，p），B（ ，-p）， 2 2 2
2 p | y1 y2 | 4 p 2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
x3 AB : y y3 ( x x3 ) y3 y3 y3 即x ( y y3 ) x3代入y 2 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2 由(1)知，y1y2=-4p2， y y 2 px3 0, x3 x3 2 2 py3 2 px3 4 p 2 整理得：x32+y32 -2px3=0， x3
∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (4)求△AOB面积的最小值；
(4)
S AOB S AOM S BOM 1 | OT | (| y1 | | y2 |) p (| y1 | | y2 |) 2
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1 1 2 (7) AF BF p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
y
(2)通径长为2p
y
A` A
A
x
o
法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p ( my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2 2 1 2 2
设（x1，y1），（x2，y2）则y1 y2 p 2 . A B
C
B
y1 py1 p p y= x，x=- 联立得C （- ，） x1 2 2 2x1
py1 py1 p y1 y2 yc - 2 y2 y1 2x1 y1 y1 2 2p
2
BC || X 轴
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. y (2001年高考题) 证明 : 设直线AB的方程 : p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 O F y 2 2 pmy p 2 0. C
p p 7) AF X 1 X 2 BF 2 2
AF
BF
p
p p X1 X 2 1 1 1 1 2 2 p p p p AF BF X1 X2 X1 X 2 2 2 2 2 x1 x2 p x1 x2 p 2 2 p p p p2 p x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2y) A 2 4 4 4 2 x1 x2 p 2 p O F ( x1 x2 p ) p B 2
二、抛物线的焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
A
(1)|AB|=x1+x2+p
(3)x1x2=p2/4;
(2)通径长为2 p
O
y1y2=-p2;
θ F
B
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
x
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 O F y 2 2 pmy p 2 0.
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 x 0 p( k 2 2 ) k y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
y 2p ( x 2 p) y1 y2
∴ AB过定点T(2p, 0).
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且 OA⊥OB， (3) 求弦AB中点P的轨迹方程；
2p 2p (3)设OA∶y = kx，代入y2=2px 得: k 0， A ( k 2 , k )
2 2
∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，
(2) 求证：直线AB过定点；
[解答](2)∵ y12=2px1，y22=2px2∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)
y1 y2 2p x1 x2 y1 y2
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y1 y2 - p
y p 2 py 2 消元得y 2 （ ）即y p p2 0 k 2 k 2 2 2
2
p 代入抛物线方程y2 2 px 则直线AB方程为y=k（x- ） 2
y1 y1 p ；x1 x2 2 p 2 p 4
k AB
2p y1 y2
2p 直线AB : y y1 ( x x1 ) y1 y2
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2
2 px 4 p2 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p 2 y y1 y2 y1 y2