运筹学对偶原理

3.3 对偶的经济解释
原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1
s.t.
a11x1
a 21x1
c2x2 a12x 2 a 22x 2
关系2 标准性LP问题的对偶关系 非 对 称 对 偶
Y 自 由
关系3 一般对偶关系
关系3 一般对偶关系
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
目标函数 MinW
约束条件数：m个
对偶变量数：m个
第i个约束条件类型为“≤” 第i个变量≥0
第i个约束条件类型为“≥” 第i个变量≤0
Y ≥0
max z=CTX s.t. AX=b
X ≥0
min w=bTY s.t. ATY ≥C
Y：自由
Fra Baidu bibliotek
min z=CTX
s.t. AX≤b
X ≥0
max w=bTY s.t. ATY≤C
Y ≤0
求对偶问题
min Z 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
182x1x191x32 x2
引进松弛变量
max y=bTY
s.t. ATY≤C
对偶
Y≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b
X, XS≥0
X，Xs
max y=bTY s.t. ATY+YS=C
Y, YS≥0
Y，Ys
XTYS=0 YTXS=0
互补松弛关系
原始问题的变量
x1
xj
原始问题的松弛变量 xn xn+1 xn+i xn+m
x1 , x2 ≥ 0
对偶问题为:
Min w = 8y1 + 4y2 2y1 + 0 y2 ≥ 1 2y1 + 2 y2 ≥ 2 y1 , y2 ≥0
Cj
Cb xB b 0 x3 8 0 x4 4
0
0
x3 4
2
x2 2
4
1
x1 2
2
x2 2
6
最优解为: x1=2,
y1=1/2,
120
x1 x2 x3 221
10
x3
11 14
x1 0, x2符号不限, x3 0
max W 7 y1 11y2 14 y3
4 y1 8y2 12y3 4
5y61
y1
9y2 13 10 y2
y3
2 3
y1符号不限, y2 0, y3 0
•例题 minZ=3x1+2x2-6x3+x5
2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7 x1+ 2x3 -x4 ≤ 4 -x1+3x2 -x4+ x5 =-2 x1，x2，x3 ≥0; x4 ≤ 0;x5无限制
X ≥0
对偶的定义
min w=bTY s.t. ATY≥C
Y ≥0
min z’=-CTX s.t. -AX ≥ -b
X ≥0
对偶的 定义
max w`=-bTY
s.t. -ATY ≤-C
Y≥0
•2 弱对偶性：极大化原问题 的任一可行解的目标函数值， 不大于其对偶问题任意可行解 的目标函数值
• 3 最优性：X°、Y°分别为 原问题与对偶问题的可行解， 且CX°=Y°b，则两者均为最优 解。
y1 yi ym ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
[例4] 求解下列LP问题，并给出对偶问题的最优解
Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 0 x1 + 2 x2 ≤ 4
第i个约束条件类型为“=” 第i个变量是自由变量
决策变量数：n个
约束条件数：n
第j个变量≥0
第i个约束条件类型为“≥”
第j个变量≤0
第i个约束条件类型为“≤”
第j个变量是自由变量
第i个约束条件类型为“=”
几种形式的对偶关系
max z=CTX s.t. AX ≤b
X ≥0
min w=bTY s.t. ATY ≥C
020
y-31 y4-2
y01
20 1
01 0
-1 0 0
y3 y4
y1
1 0 1/2
01 0
y3 y4
y1
0 0 1/2
x2=2, x3=0, x4=0 y2 =1/2, y3 =0, y4 = 0
0 x4 0
1
y20 -1
1/2
1 y2 -1/2
1/2 y2
1/2
8/2=4 4/2=2 Min
4/2=2 /
3.1.2 对偶关系 关系1 规范对偶关系
原始问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b
X ≥0
对偶问题
min w=bTY s.t. ATY ≥C
Y ≥0
对称对偶
max
P1 m
CT
A
≤b
n 原始问题 Primal problem
min
bT
n AT ≥ C
对 D1 偶 问 题
m Dual problem
第三章 对偶原理
3.1 LP的对偶关系
DUAL
3.1.1问题的提出
例1:某工厂拥有A、B、C三个车间，生产甲、
乙两种产品。每件产品在生产中需要占用生 产能力时数，每件产品可以获得的利润以及 三个车间可利用的时数如下表所示：
产品甲
x1
A
1
B
0
C
3
利润（百元/件） 3
产品乙 生产能力
x2 （工时/天）
•P 77
4 对偶定理：LP问题的P和D问题
1）若一个问题有最优解，则另一问题也 有最优解，且目标函数值相等。
2） 原问题无界，对偶问题无可行解。
5 兼容性
原始问题的检验矢给出对偶问题的一个基本解
6、原始问题和对偶问题最优解之间的 互补松弛关系
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
max ω=7y1+4y2-2y3
2y1+ y2- y3 ≤3
y1 +3y3 ≤2
-4y1+ 2y2 ≤-6
y1 -y2 -y3 ≥ 0
3y1
+y3=1
y1 ≥ 0y2 ≤ 0y3 无约束
3.2 对偶问题的基本性质
• 1 对称性：对偶问题的对偶问题 是原问题
对偶的对偶就是原始问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b
0
8
2
12
4
36
5
目标函数 Max z=3x1+5x2
约束条件
x1
8
s.t.
2x2 12
3x1 +2x2 36
x1，x2 0
设有，y1 ,y2 , y3 分别为出售A，B，C工时所得 利润（百元/工时），w为总盈利额（百元）
对偶的定义
线性规划问题在形式上，可以形成一对对称 问题，对任何线性规划求最大值问题，都有 一个与之对称的求最小值问题，这两个有关 的约束条件的系数矩阵，具有相同的数据， 仅形式互为转置，并且目标函数与约束右端 项互换，其目标函数的最优值也是彼此相等 的，我们把线性规划的这个对称问题称为对 偶问题。