线性代数历年试卷(全)

《线性代数》教学大纲教学内容和基本要求行列式理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。

矩阵理解矩阵的概念；理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。

矩阵的初等变换与Gauss消元法理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。

向量组的线性相关性理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。

相似矩阵和二次型理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。

01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷一（33%）填空题（E 表示单位矩阵，O 表示零矩阵，T A 指矩阵A 的转置矩阵）： 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ=；999()T αβ= ；设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ；若向量组，则当参数k 时，123,,ααα线性相关；22⨯矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎝⎭； 设矩阵A 及A E +均可逆，1()G E A E -=-+，则1G -= ； 分块矩阵A E E O ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为⎛⎫⎪⎝⎭； 设65A ⨯是矩阵。

若齐次线性方程组Ax θ=的解空间是2维的，则齐次线性方程组T A x θ=的解空间是维的；与向量(1,0,1)T α=，(1,1,1)T β=均正交的一个单位向量为 ；已知矩阵1243M k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，TA MM =，则当数k 满足条件 时，A 是正定的；若n 阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，且有两个不同的特征值, 则当参数k 满足条件 时，矩阵E kA +是正定的；二（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭。

三（12%）设3阶方阵A 有特征值1()1-二重和，12101,111αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是其相应于特征值1 的特征向量，3001α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是其相应于特征值1-的特征向量。

求9999A A 及。

若3阶实对称矩阵B 的特征值也是1()1-二重和，证明：A 与B 必定相似。

四（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩ 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。

五（12%）矩阵111131201302A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。

求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩问：是否存在秩大于2的矩阵C 使得AC O =？为什么？六（12%）设实对称矩阵1041302.0044k A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似 求参数k 的值；求一正交矩阵,.T Q Q AQ B =使得七（7%）证明题：设12,λλ 是矩阵A 的两个互异的特征值，12,ηη是A 的属于1λ的线性无关的特征向量，3η是A 的属于2λ的特征向量。

证明：123,,ηηη线性无关。

已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，矩阵A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量（注：A ，B的特征值未必相同）。

证明AB BA =．03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷（24%）填空题：假设矩阵10010002Aλ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则nA⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。

假设向量组A：111,,111tttαβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当参数t满足条件时，向量组A的秩为1；时A的秩为2；时A的秩为3。

若向量11bη⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11120120aA⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭的特征向量，则(),a b=()。

设矩阵11aAb⎛⎫= ⎪⎝⎭，0110B⎛⎫= ⎪⎝⎭，且22()()A B A B A B+-=-，则参数,a b满足条件。

若矩阵30431100A x⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭与对角阵Λ相似，则x满足条件。

若1a A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵，则,,a b c 满足条件 。

若对满足条件234A A E O +-=的实对称矩阵A ， aE A +都是正定矩阵，则实数a 必定满足条件 。

（8%）求矩阵1111111111x x x A x xx ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式det()A 的值。

（15%）已知矩阵1111212A pp ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，向量313,11b q η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

若η是线性方程组Ax b =的解，试求,p q 的值，并求这时Ax b =的通解；若Ax b =有无穷多组解，但η不是Ax b =的解，求,p q 的值。

（15%）解矩阵方程2XA X B=+。

其中301012003A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

（15%）设二次型22212312313(,,)22f x x x x x x x x =+++写出二次型f的矩阵；求一正交变换X QY=将f化成标准形，并写出相应的标准形。

（12%）设3阶矩阵A 的特征值是2（二重）和4，且()101Tα=，()010Tβ=是A 的相应于特征值2的特征向量，()101Tγ=-是A 的相应于特征值是4的特征向量。

求矩阵A 及(2)n A E -。

（5%）已知矩阵122A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311B y ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

问：当参数,x y 满足什么条件时，矩阵方程AX B =有解，但BY A =无解？（6%）证明题：已知向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示。

若向量组123,,βββ的秩为2，证明：12,αα线性无关。

设2阶方阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a d +=，1ad bc -=。

若,b c 不全为零，证明：A 不与任何对角阵相似。

04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷一、27%）填空题若矩阵45a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2003B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AB BA =，则,a b 的值分别为 ；设对任意列向量a Xbc ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，23456a b c AX a b c ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则矩阵A = ；设３阶方阵()123A ααα=，()2313123B αααααα=---若A 的行列式 3A =，则矩阵B 的行列式B = ； 设A 为n 阶可逆方阵，2n 阶矩阵EA B OA ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为 ； 齐次线性方程组1233230x x x ++=的一个基础解系为 ；若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则参数t 的取值范围是 ；若矩阵2ab Ac a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭是正交矩阵, 则参数,,a b c 的值分别为 ；假设３阶矩阵A 的特征值为2,1,1-。

则行列式1A A -+的值为 ；若实二次型,f g 的矩阵分别为1012001012A a B b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，则,f g 的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数,a b 满足 。

二（14%）假设n 阶矩阵A 满足223A A E O +-=。

证明矩阵A 及A E +均可逆，并分别求1A -及1()A E -+；证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不可逆。

三（14%）假设矩阵111111A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。