2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第九章 9.7抛物线

§9.7抛物线

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程和几何性质

概念方法微思考

1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．

2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？

提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫

a 4，0，准线方程是x ＝－a

4

.( × )

(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么

抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编

2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 答案 B

解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.

3．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.14

5 D ．3

答案 A

解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离， 由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．

∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离， 即

|3＋7|

32＋42

＝2.故选A.

4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y

解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠

5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x

答案 D

解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p

2

＝2，

所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.

6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．

答案[－1,1]

解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，

故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，

代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，

解得－1≤k≤1.

抛物线的定义和标准方程

命题点1定义及应用

例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案 4

解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案2 5

解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，

即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.

若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．

答案32－1

解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，

故d2＋|PF|的最小值为

|1＋5|

12＋(－1)2

＝32，

所以d1＋d2的最小值为32－1.

命题点2求标准方程

例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()

A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x

C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x

答案 A