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浙江省高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

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浙江省金华市十校2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析

浙江省金华市十校2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析

浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试题一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.在空间直角坐标系中,点与点（）A. 有关平面对称B. 有关平面对称C. 有关平面对称D. 有关轴对称【结果】C【思路】【思路】利用“有关哪个对称,哪个坐标就相同”,得出正确选项.【详解】两个点和,两个坐标相同,坐标相反,故有关平面对称,故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系,考查理解和记忆能力,属于基础题.2.圆与圆地位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【结果】A【思路】【思路】计算两个圆地圆心距以及,比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆地圆心分别为,圆心距,两个圆半径均为,故,所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆地位置关系,考查圆地圆心和半径以及圆心距地计算,属于基础题.3.“”是“”地（）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】将两个款件相互推导,依据能否推导地情况选出正确选项.【详解】当“”时,如,,故不能推出“” .当“”时,必然有“”.故“”是“”地必要不充分款件.【点睛】本小题主要考查充分，必要款件地判断,考查含有绝对值地不等式,属于基础题.4.给定①②两个命题：①为“若,则”地逆否命题。

②为“若,则”地否命题,则以下判断正确地是（）A. ①为真命题,②为真命题B. ①为假命题,②为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题【结果】C【思路】【思路】判断①原命题地真假性,得出其逆否命题地真假性.写出②地否命题,并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若,则”,由于时,,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系,考查命题真假性地判断,属于基础题.5.设是两款异面直线,下面命题中正确地是（）A. 存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面B. 存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面C. 不存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面D. 不存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面【结果】A【思路】【思路】画出一个正方体,依据正方体地结构特征,结合线，面平行和垂直地定理,判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示,分别是地中点.由图可知,,平面,平面.由此判断A选项正确,本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线地位置关系,考查线面平行等知识,属于基础题.6.已知,则（）A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数地导数,然后令求出正确选项.【详解】依题意有,故,所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数地导数,考查复合函数地导数计算,考查函数除法地导数计算,属于中档题.7.如图,在空间四边形中,,,,,则异面直线与所成角地大小是（）A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】通过计算出地数量积,然后利用夹角公式计算出与所成角地余弦值,进而得出所成角地大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为,则,故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量地数量积,计算空间两款异面直线所成角地大小,考查化归与转化地数学思想方式,考查数形结合地数学思想方式,属于中档题.要求两款异面直线所成地角,可以通过向量地方式,通过向量地夹角公式先计算出夹角地余弦值,再由此得出所成角地大小.8.经过坐标原点地直线与曲线相切于点.若,则A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数在上地表达式,利用导数求得切线地斜率,写出切线方程,利用切线方程过原点求出切点地坐标满足地等式,由此得出正确选项.【详解】当时,故,.所以切点为,切线地斜率为,由点斜式得,将原点坐标代入得,即,故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点地曲线切线方程地求解方式,考查含有绝对值地函数地思路式,考查利用导数求曲线地切线方程,考查同角三角函数地基本关系式,属于中档题.本题地关键点有两个：一个是函数在上地表达式,另一个是设出切点,求出切线方程后,将原点坐标代入化简.9.已知椭圆地右焦点是,为坐标原点,若椭圆上存在一点,使是等腰直角三角形,则椭圆地离心率不可能为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】分别依据为直角时,椭圆地离心率,由此得出正确地选项.【详解】当时,代入椭圆方程并化简得,解得.当时,,,故.当时,,即,,,解得.综上所述,C选项不可能,故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形地性质,考查椭圆离心率地求解方式,属于中档题.10.在正方体中,分别为线段，上地动点,设直线与平面，平面所成角分别是,则（）A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】在图中分别作出直线与平面，平面所成地角,依据边长判断出,求出地表达式,并依据表达式求得地最小值,也即是地最大值.【详解】设正方体边长为.过作,而,故平面,故.同理过作,得到.由于,故,所以,即.而,当得到最小值时,得到最小值为,即得到最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成地角,考查三角函数最值地判断与求解,属于中档题.二，填空题（每题4分,满分20分,将结果填在答题纸上）11.已知直线：,若地倾斜角为,则实数_______。

浙江省2022学年高二上学期期末考试数学试题含解析

浙江省2022学年高二上学期期末考试数学试题含解析

第一学期期末考试试题高二数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基础题型.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A 错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直，但原直线不一定垂直，所以B错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，，所以，所以.故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.【答案】 (1). 二 (2).【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可. 【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二 (2).【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】先将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得. 【详解】（1）由、分别是、的中点得，又在平面外，所以平面（2）由，是中点得由平面平面得点在平面内的射影在上.平面∴【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直，熟记判定定理和性质定理，即可判断出结果.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）因为与，两点连线的斜率之积等于所以，，整理得：即为所求;（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或∴（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：则，即由得.直线与距离为，所以当时，距离最小为.【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，由题意列出方程化简即可求出结果；第二问求弦长，通常需要联立直线与曲线方程，结合弦长公式求解；第三问求椭圆上的点到定直线上的距离的问题，可转化为求与定直线平行切与椭圆相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解即可，属于常考题型.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.（2）∵，，故.又，，，从而.从，可得平面平面平面，，平面以、、为、、轴建系得，，，，, 则，,,设平面的法向量为，则，即，令，则，记直线与平面所成角为，所以有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间向量的方法求线面角，需要考生熟记判定定理即可证明线面平行；对于线面角的求法，常用向量的方法，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量夹角即可确定线面角，属于常考题型.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】（1）由点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可写出直线方程；（2）①依题意联立直线与抛物线方程，由韦达定理，直接求，的斜率之积即可；②由①分别设出直线，的斜率，由直线与直线联立求出横坐标，进而求出的横坐标，再由即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：∴方程为，即（2）①联立直线与抛物线方程并整理得：∴，.所以，②设，的斜率分别为，.则由得：，所以所以或∴.的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，求直线的方程通常只需要求出斜率和定点即可；判断直线垂直，通常只需两直线斜率之积为-1，在处理此类问题时，也会用到联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解，属于常考题型.。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

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浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则=A．B．C．D．2.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A．B．C．D．3.已知，则的值为A．B．C．D．4.已知，则的大小关系是A．B．C．D．5.是恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.函数的图象大致是（）A．B．C．D．8.已知函数 (、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9.已知数列的前项和为，，当时，，则（）A．1006B．1007C．1008D．100910.对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.已知，记：，试用列举法表示_____．2.若实数满足则的最小值为__________；3.__________．4.已知数列为等比数列，且成等差数列，若，则________．5.函数的最大值为__________．6.中,为线段的中点,,,则________.7.已知函数的图象上关于直线对称的点有且仅有一对，则实数的取值范围为_______________.三、解答题1.(本题满分12分) 设,其中,如果，求实数的取值范围.2.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递减区间；（II）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.3.设函数.（I）求证：当时，不等式成立；（II）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.4.（本小题满分10分）已知等差数列满足．（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和．5.已知数列满足：，（）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）求证：．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合或，，故选C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以．由条件可知>0，故．故选D.3.已知，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.4.已知，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以，故选A．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5.是恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设成立；反之，，故选A.6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式的解集为R.可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0，得：，解得：0<a<4，当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R.综上可得：实数a的取值范围为(0,4].本题选择D选项.7.函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，故排除D；时，，故可排除B；故选A.8.已知函数 (、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：B．9.已知数列的前项和为，，当时，，则（）A．1006B．1007C．1008D．1009【答案】D【解析】，故选D.10.对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C.点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题，变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n的取值范围.二、填空题1.已知，记：，试用列举法表示_____．【答案】{﹣1，0，1，3，4，5}【解析】{﹣1，0，1，3，4，5}.2.若实数满足则的最小值为__________；【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线x+y−2=0，x=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如图所示。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

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浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．7.已知的大小关系为（）A．B．C．D．的大小关系不确定，与的取值有关8.已知下列各式：①；②；③；④.其中存在函数对任意的都成立的是（）A．①④B．③④C．①②D．①③9.设函数,若存在实数,使得对任意的都有，则的最小值是（）A．B．C．D．10.定义在上的可导函数满足,当时实数满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若则________,用表示为________.2.已知的展开式中二项式系数和为64，则________,该展开式中常数项为________.3.已知函数.若时方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________；若的值域为，则实数的取值范围是________.4.函数的奇偶性为________,在上的增减性为________(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.5.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________.6.已知的最小值为，则实数____.7.已知函数在区间上有零点，则的最大值是________.三、解答题1.已知，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.2.(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求.(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？3.已知,函数满足(Ⅰ)求的解析式,并写出的定义域；(Ⅱ)若在上的值域为，求实数的取值范围.4.已知函数.(Ⅰ)证明: 当时,.(Ⅱ)证明: 当时, .5.已知，函数.(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)已知存在实数对任意总存在两个不同的使得，求证：.浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合A={x|-1≤x≤3}=[-1，3]，B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}=[1，2]，B）=[-1，3]∩[2，+∞）∪（-∞，1]=[2，3]∪[-1，1]，则A∩（∁R本题选择B选项.2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题选择D选项.3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【解析】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2.本题选择C选项.4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】“a>b”不能推出“a1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a+1>b”，但“a+1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意；本题选择B选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，排除.由于，排除.由于，故函数在为减函数，排除.所以选.点睛:本题主要考查函数图像的判断.一般采用特殊值的方法利用选项中图像的特殊性，对进行赋值，然后利用相应函数值来排除错误的选项.本题还可以利用导数来判断，利用导数，可求得原函数的导数为，故当，函数单调递增，当时，函数单调递减.6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．【解析】根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论： ①当取出的4个数都是奇数,有种情况， ②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有种情况， ③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有种情况，根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法； 本题选择D 选项.7.已知的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定，与的取值有关【答案】C【解析】∵1<a <b ，∴b −1>a −1>0，∴m =a b −1>a a −1>n =b a −1，则m >n ， 本题选择C 选项.8.已知下列各式：①；②；③； ④.其中存在函数对任意的都成立的是 （ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ⩾1),可得|x |=t −1,则f (t )=(t −1)2+1， 即有f (x )=(x −1)2+1对x ∈R 均成立； ②，对0<t ⩽1,y =f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2−2x )=|x |,令t =x 2−2x ，若t <−1时，x ∈∅； t ⩾−1,可得,y =f (t )不能构成函数；④f (|x |)=3x +3−x .当x ⩾0时,f (x )=3x +3−x ；当x <0时,f (−x )=3x +3−x ;将x 换为−x 可得f (x )=3x +3−x ；故恒成立。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

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浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A．{3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{﹣2，0，2}2.设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A．B．C．D．3.设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A．B．C．D．4.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．5.sin15°cos15°=（）A．B．C．D．6.函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）7.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α8.若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件9.下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．10.圆（x+2）2+y 2=4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=9的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离11.若实数x ，y 满足不等式组 ，则z=2x ﹣y 的最小值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣212.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，以OO 1所在直线为轴旋转线段BC 1形成的几何体的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ．13.设函数f （x ）=x 2+bx+c （b ，c ∈R ），若0≤f （1）=f （2）≤10，则（ ） A ．0≤c≤2 B ．0≤c≤10 C ．2≤c≤12D ．10≤c≤1214.已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若,则实数对（x ，y ）可以是（ ）A ．B ．C ．D ．15.设A ，B 是函数f （x ）=sin|ωx|与y=﹣1的图象的相邻两个交点，若|AB|min =2π，则正实数ω=（ ） A ．B ．1C ．D ．216.设函数f （x ）=2017x+sin 2017x ，g （x ）=log 2017x+2017x ，则（ ） A ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≥g （x ）B ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＞g （x ）C ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≤g （x ）D ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＜g （x ）17.设F 为双曲线（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，B 两点，OA ⊥AB ，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．18.设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时，（ ） A ．λ先变小再变大 B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小 D ．λ是一个定值二、填空题1.设抛物线x 2=4y ，则其焦点坐标为_____，准线方程为_____．2.在平行四边形ABCD 中，AD= ，AB=2，若 ，则 =_____．3.设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S n =2a n ﹣n ，则 =_____．4.在△ABC 中，∠ABC=，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ．若平面ABC 与平面α所成的二面角为，则sinθ=_____．三、解答题1.设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]． （1）若Q，求cos （α﹣）的值；（2）设函数f （α）=sinα•（ ），求f （α）的值域．2.如图，P 是直线x=4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B （1，0），直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A （﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点． （1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．3.设函数f（x）=，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y=在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A．{3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{﹣2，0，2}【答案】B【解析】 ,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2.设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选B3.设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选D4.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C 5.sin15°cos15°=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A6.函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】，则定义域为，选C7.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面内；选项C 错误，只有当直线在同一平面内时有选项D正确，故选D8.若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有；当时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9.下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【答案】D【解析】选项A ： ，是偶函数； 选项B ： ，偶函数 ； 选项C ： ，偶函数；选项D ：，奇函数，故选D10.圆（x+2）2+y 2=4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=9的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离【答案】B【解析】由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。

浙江高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ） ()()22153x y -++=A ．B ． ()1,5-()1,5-C ．D ．()1,5,3-()1,5,3-【答案】B【分析】直接利用圆的标准方程得到答案. 【详解】圆的标准方程为 ()()22153x y -++=则圆心为()1,5-故选：B2．双曲线的渐近线方程为（ ）2212y x -=A ．B ．C ．D ． 2y x =±12y x =±y =y =【答案】C【分析】根据双曲线方程，求得，即可直接写出渐近线方程.,a b【详解】对双曲线，焦点在轴上，且，故，2212y x -=y 222,1a b ==1a b ==则其渐近线方程为：. y =故选：C.3．若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ） 1l 2l ()1,2,2a =-()2,3,2b =- 1l 2l A ． B ．C ．、相交不垂直D ．不能确定12l l ⊥12l l //1l 2l 【答案】A【分析】由题可得，即可判断.0a b ⋅=【详解】由题意，直线、的方向向量分别为，， 1l 2l ()1,2,2a =-()2,3,2b =- ，2640a b ⋅=-+-=∴与的位置关系是. 1l 2l 12l l ⊥故选：A.4．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A ．x-2y-1=0 B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0【答案】A【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5．三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝，用，，OA a OB b OC c a b表示，则等于（ ）cNM NMA ．B ．()12a b c -++ ()12a b c +- C ．）D ．()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】()1122OM ON O NM A OB OC =-=+- . ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B6．已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）212323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=n n b na =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭A ．B ．C ．D ．20224045404640474044404520234047【答案】D【分析】根据题意得到，再利用裂项法求和即可.21n b n =-【详解】由题知：数列满足，设，212323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=n n b na =所以的前项和为，则.{}n b n n T 2n T n =当时，，1n =111T b ==当时，， 2n ≥()221121-=-=--=-n n n b T T n n n 检验：当时，，符合. 1n =111b T ==所以. 21n b n =-令，前项和为. ()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n S 则. 202311111111202311233540454047240474047S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D7．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区[0,1]间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四1[0,]32[,1]3段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了1[0,]921[,]9327[,]398[,1]9三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或n (,)a b (,]a b [,)a b 的区间长度均为）[,]ab b a -A ．B ．C ．D ．11(3n-21(3n-12(31n-⨯12()32n-⨯【答案】B【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第次操作剩余区间的长度和，即可得解.n 【详解】解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得： [],a b b a -每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，()13b a -13第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，()13b a -()23b a -第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， ()19b a -()49b a -第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， ()127b a -()827b a -第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为， ()181b a -()1681b a -⋯⋯第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为， n 12n -()13n b a -()23nn b a -所以； ()23nn na b a =-设定义区间为，则区间长度为1，[]0,1所以第次操作剩余区间的长度和为，n 23nn n b =则去掉的区间长度和为.213nn -故选：B8．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆C 的离心率2222:1(0)x y C a b a b +=>>()()12,0,,0F c F c -C 为“黄金椭圆”．O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，A 和B 分别为椭圆C e =的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（ ） A ．a ，b ，c 成等比数列 B ．190F AB ∠=︒C ．D ．若轴，则222111a b c +=1PF x ⊥OP AB ∥【答案】D【分析】对于A,根据离心率公式，验证即可; 2b ac =对于B, 根据勾股定理以及离心率公式判断B 是否正确； 对于C,根据A 的结论，即可验证;对于D, 根据结合斜率公式以及离心率公式判断D 是否正确；=PO AB k k【详解】对于A,, c e c a ===22222b ac a ⎫=-=-⎪⎪⎭,故a,b,c 成等比数列,故A 正确; 22,ac b ac ==∴=对于B, 因为，所以即，， e 2b ac =()22222b a c a c =+--所以，故，故B 正确；2222()a c a a b +=++190F AB ∠=︒对于C,要证，只需证，只需证，即，222111a b c +=222111b c a =-222221a c b a c =-22221b b a c =只需证，由A 得，显然成立，故C 正确;22411b ac =对于D ，轴，且，所以，，1PF x⊥PO AB ∥2(,)b P c a -=PO AB k k 所以，解得，所以D 不正确． 2b c a b a =--b c =e =故选：D ．二、多选题9．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项v1n u r 2n u u r 中，正确的是（ ）A ．∥⇔α∥βB ．⊥⇔α⊥β 1n u r 2n u u r1n u r 2n u u rC ．∥⇔l ∥αD ．⊥⇔l ∥αv 1n ur v 1n ur 【答案】AB【解析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可.【详解】解：为直线l 的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， v1n u r 2n u u r 则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l ⊥α，⊥⇔l ∥α或l ⊂α.1n u r 2n u u r 1n u r 2n u u r v 1n u r v 1n ur 因此AB 正确. 故选：AB.10．设等差数列的前n 项和为，其公差，且，则（ ）． {}n a n S 1d >7916+=a a A ． B ． 88a =15120S =C ． D ．11a <22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为，所以，解得：.故A 正确； 7916+=a a 978216a a a +==88a =对于B ：.故B 正确；()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=对于C ：因为，所以，所以.88a =178a d +=187a d =-因为，所以.故C 正确；1d >11a <对于D ：因为，所以，所以. 88a =268a d +=286a d =-因为，所以.故D 错误. 1d >22a <故选：ABC11．已知圆与圆，则下列说法正确的是()()221:1311C x y -+-=2222:2230C x y x my m ++-+-=（ ）A ．若圆与轴相切，则 2C x 2m =B ．若，则圆C 1与圆C 2相离3m =-C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线与圆C 1始终有两个交点 210kx y k --+=【答案】BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线过定点以及在圆C 1内判断即可.210kx y k --+=()2,1()2,1【详解】因为，，221:(1)(3)11C x y -+-=222:(1)()4C x y m ++-=对A ，故若圆与x 轴相切，则有，故A 错误；2C ||2m =对B ，当时，B 正确； 3m =-1262C C ==>>对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C 24(62)20x m y m +-+-=错误；对D ，直线过定点，而，故点在圆210kx y k --+=()2,122(21)(13)511-+-=<()2,1内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D 正确.221:(1)(3)11C x y -+-=210kx y k --+=1C 故选：BD12．数列中，，则下列结论中正确的是（ ） {}n a ()()*122110,1,N 2n n n a a a a a n ++===+∈A ． B ．是等比数列 01n a ≤≤{}1n n a a +-C ． D ．8109a a a <<9108a a a <<【答案】ABD【分析】由题意可得到，得到是等比数列，进而得到()21112n n n n a a a a +++-=--{}1n n a a +-，再利用累加法得到，然后逐项判断. 1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】因为数列中，， {}n a ()()122110,1,2n n n a a a a a n *++===+∈N 所以，即， ()()2112n n n n a a a a +++-=--()21112n n n n a a a a +++-=--则是以1为首项，以为公比的等比数列，{}1n n a a +-12-所以，故B 正确；1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由累加法得， 01211111111212112223212n n n n a a ---⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ 所以， 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当n 为奇数时，是递增数列，所以，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1302n a a ≤=<当n 为偶数时，是递减数列，所以，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2213n a a <≤=所以，故A 正确； 01n a ≤≤又，所以，故C 不正确，D 正确，810798921212111,13232,32a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9108a a a <<故选：ABD三、填空题13的倾斜角是___________．10y -+=【答案】（或） 60︒π3【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可.【详解】的倾斜角为（）， 10y -+=α0180α︒≤<︒化为斜截式得：，10y -+=1y =+∴该直线的斜率，tan k α==∵， 0180α︒≤<︒∴.60α=︒故答案为：（或）. 60︒π314．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺. 【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项. 【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n a d ，解得 14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-= 101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺. 6.5故答案为：6.515．已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直2212x y +=11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AB 线的方程是__________. l 【答案】2230x y +-=【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，AB 【详解】设，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y 222212121,122x x y y +=+=两式相减化简得，而是中点，得， 1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-P AB 12122,1x x y y +=+=代入得，故直线方程为，即，12121y y k x x -==--AB 1(1)2y x -=--2230x y +-=点在椭圆内，故直线与椭圆相交， P 故答案为：2230x y +-=16．如图，正方体的棱长为4，点P 在正方形的边界及其内部运动.平面区1111ABCD AB C D -ABCD 域W 由所有满足的点P 组成，则四面体的体积的取值范围_________.14A P ≤≤1P A BC -【答案】 1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到AP 1A A AP ⊥0||2AP ≤≤P 以为圆心2为半径的圆面上，再根据得到当在边上时四面A 141111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅A P AD 体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范P AB 围.【详解】连接，如图所示，AP因为平面，平面，所以，1A A ⊥ABCD AP ⊂ABCD 1A A AP ⊥∵，由；14A A =14A P ≤≤0||2AP ≤≤所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，P A 1411113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅A 所以当在边上时，四面体的体积的最大值是. P AD 1P A BC -1132444323⨯⨯⨯⨯=所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时， P AB PBC S A 14242PBC S =⨯⨯=△所以四面体的体积的最小值是，所以，1P A BC -1164433⨯⨯=11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：. 1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，13V Sh =通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.四、解答题17．已知是等差数列的前项和，，. n S {}n a n 15a =-340a a +=(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求的值. 40n S =n 【答案】(1) 27n a n =-(2) 10【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解； （2）先求前项和，再建立方程求解即可.n 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， {}n a d 15a =-所以. ()()3411123251050a a a d a d a d d +=+++=+=-+=解得.2d =所以.()1127n a a n d n =-=-+（2）. ()252762n n n S n n -+-⋅⎡⎤⎣⎦==-因为，所以，解得或. 40n S =2640n n -=10n =n =-4因为，所以.*n ∈N 10n =18．已知圆C ：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P （4，－1），过点P 作直线l . (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 【答案】(1)x ＝4或3x ＋4y-8＝0.(2)【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C 的圆心为（2，3），半径r ＝2 当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切； 当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k （x －4），即kx －y －4k －1＝0，则圆心到直线的距离为，解得，d r =234k =-所以此时直线l 的方程为3x ＋4y-8＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y-8＝0.（2）当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y-3＝0，圆心到直线l 的距离d故所求弦长为：.==19．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. 22y px =0p >F ()02,A y 4AF =(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. l y x m =+P Q OP OQ ⊥m 【答案】(1) 28y x =(2) 8-【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；0(2,)A y 4AF =（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 1122(,),(,)P x y Q x y 28y x my x =+⎧⎨=⎩OP OQ ⊥0OP OQ ⋅= 【详解】（1）由抛物线过点，且， 22(0)y px p =>0(2,)A y 4AF =得 2442pp +=∴=所以抛物线方程为；28y x =（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，l y x m =+P Q 设，联立 1122(,),(,)P x y Q x y 28y x my x =+⎧⎨=⎩得，22(28)0x m x m +-+=所以，()22Δ28464320m m m =--=->所以，2m <所以2121282,x x m x x m +=-=因为，OP OQ ⊥所以，0OP OQ ⋅=则， 2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，即，222(82)0m m m m ∴+-+=280m m +=解得或，0m =8m =-又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 0m =O 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为.m 8-20．如图，正三棱柱的棱长都为2，D 为的中点．111ABC A B C -1CC（1）求证：平面；1AB ⊥1A BD （2）求直线与平面所成角的大小； 1CC 1A BD （3）求点C 到平面的距离． 1A BD 【答案】（1）详见解析；（2）；（34π【分析】（1）以BC 的中点O 为原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，由11,,AB BD BA证明；1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=（2）由（1）知：是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，(11,2,AB =1A BD 1CC 1A BD θ由求解； 1111sin AB CC AB CC θ⋅=⋅（3）根据，由求解. ()2,0,0BC =-11AB BC d AB ⋅=【详解】（1）以BC 的中点O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，(()()()(11,1,0,0,1,1,0,1,2,0,A B D B A -所以，(()(111,2,,2,1,0,AB BD BA ==-=-因为，且， 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=1BD BA B = 所以平面；1AB ⊥1ABD （2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，(11,2,AB = 1A BD ()10,2,0CC =设直线与平面所成角为，1CC 1A BD θ则，sin θ=因为，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦所以；4πθ=（3）因为，()2,0,0BC =-则点C 到平面的距离为1A BD 11AB BC d AB ⋅== 21．已知数列的前项和为，，且.{}n a n n S 123a =-220++=n n S a (1)求数列的通项公式，{}n a (2)设数列满足（），求数列的前项和为 {}n b ()230n n b n a +-=*n ∈N {}n b n n T 【答案】(1)1(2)(3n -⨯(2)331()()4243nn n T =---【分析】(1)利用与的关系，分和讨论，得到数列为等比数列，即可求解； n S n a 1n =2n ≥{}n a (2)结合（1）的结论，利用错位相减法即可求出数列的前项和为. {}n b n n T 【详解】（1）因为，220++=n n S a 当时，，解得：，1n =11220++=S a 123a =-当时，则有，2n ≥11220--++=n n S a 两式相减可得：，所以，120n n n a a a -+-=113n n a a -=因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，1203a =-≠{}n a 23-13所以数列的通项公式为.{}n a 1211()((2)()333n nn a -=-⨯=-⨯（2）由可得：，2(3)0+-=n n b n a 1(3)(3nn b n =-所以23111111(2)(1)()0((4)((3)()33333n nn T n n -=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ 2341111111(2)()(1)()0((4)()(3)(333333n n n T n n +=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ 两式相减可得： 23412211111((()()(3)()3333333n n n T n +-=+++++--⨯ ()1111193211113133232313n n nn n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+--⨯=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以.331()()4243nn n T =---【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平π面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为2222:1(0)x y C a b a b +=>>2πC （1）求椭圆的标准方程；C（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A 关于轴的对称点为(4,0)P x l C AB 、y ，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，M B N P M N 、、l 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.22:14x C y +=(1,0)-【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得C 2c 2222:1(0)x y C a b a b+=>>2π，求出，即可求出椭圆的标准方程；2ab ππ=a b ，C （2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与:l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y M N :l x my t =+椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将C 12y y +12y y ⋅P M N 、、PM PN k k =，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.12y y +12y y ⋅m t ，l 【详解】（1）椭圆的面积等于，，2222:1(0)x yC a b a b+=>>2π2ab ππ∴=，椭圆的焦距为2ab ∴=C 2c ∴， 22222,2,1a b c ab c a b =⎧⎪=∴+=⎪⎩==⎨ 椭圆方程为∴22:14x C y +=（2）设直线，，则，，三点共:l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 11(,)M x y -22(,)N x y --P M N 、、线，得121244PM PN y y k k x x =⇒=--+，1221(4)(4)0y x y x ∴+++=直线与椭圆交于两点,, :l x my t =+C A B 、11x my t =+22x my t =+1221(4)(4)0y my t y my t ∴+++++=，，()()1212240my y t y y ∴+++=由，得，， 2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)240m y mty t +++-=∴122212224440mt y y m t y y m ⎧+=-⎪+⎪-⎪⋅=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩，代入中，12221222224444m t mt y y m t y y m ⎧+=-⎪+⎪-⎪∴⋅=⎨+⎪⎪⎪⎩+>()()1212240my y t y y +++=，，()2224240424t mt m m m t --⎛⎫∴++⎝++= ⎪⎭()()()220424m t t mt ∴--++=8(1)0m t ∴+=当，直线方程为，则重合，不符合题意； 0m =l x t =M N 、当时，直线,所以直线恒过定点.1t =-:1l x my =-l (1,0)-。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

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浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，A．B．C．D．2.已知复数满足，则A．B．C．D．3.“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.下列函数中值域为（0，）的是A．B．C．D．5.若，则的取值范围是A．B．C．D．6.观察，，则归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则=A．B．C．D．7.函数的图象的大致形状是A．B．C．D．8.若展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是A．21B．－21C．D．9.若都是实数，且，，则与的大小关系是A．B．C．D．不能确定10.由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A．12个B．48个C．84个D．96个二、填空题1.设某气象站天气预报准确率为0.9，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率为__________。

2.设函数，满足，则的值是__________。

3.曲线在点P（0，1）处的切线方程是__________。

4.函数的最小值是__________。

5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率是，得2分的概率是，不得分的概率是（），已知他投篮一次得分的数学期望是2（不计其它得分），则的最大值是__________。

6.设存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是__________。

三、解答题1.已知函数，在区间上有最大值4、最小值1，设函数。

（1）求、的值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围。

2.袋中有红、白两种颜色的小球共7个，它们除颜色外完全相同，从中任取2个，都是白色小球的概率为，甲、乙两人不放回地从袋中轮流摸取一个小球，甲先取，乙后取，然后再甲取……，直到两人中有一人取到白球时游戏停止，用X表示游戏停止时两人共取小球的个数。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

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浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在平面直角坐标系中，过（1，0）点且倾率为－1的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知数列是等差数列,若,则（ ） A ．B ．C ．D ．3.圆的圆心坐标、半径分别是（ ）A ．（2，－3）、5B ．（－2， 3）、5C ．（－2， 3）、D ．（ 3，－2）、4.设，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为 AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点， 则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7.已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l 过点P （－1,6），且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题正确的是（ ）A ．若B ．若C ．若D ．若9.若变量满足约束条件且的最小值为，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.若正实数满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值12.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．[二、填空题＝1.数列的一个通项公式an2.已知直线ax＋y＋2＝0与直线x－（3a－1）y－1＝0互相垂直,则a =3.若成等差数列，则 .4.在圆内过点有条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么的取值集合为5.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是 c，体积是 .6.已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若将DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是 ;此时四面体F—ADP的外接球的半径是 .三、解答题1.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若函数有最大值，求实数的值．2.已知圆：，点（6，0）．（1）求过点且与圆C相切的直线方程；（2）若圆M与圆C外切，且与轴切于点，求圆M的方程．3.如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA =" AB" =" 2a," DC =" a" , F为EB的中点，G为AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角B—FC—G的正切值.4.已知数列是首项的等差数列，设．（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数m的最大值．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.在平面直角坐标系中，过（1，0）点且倾率为－1的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知条件可知直线方程为，图像不过第三象限【考点】直线方程2.已知数列是等差数列,若,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】等差数列性质3.圆的圆心坐标、半径分别是（）A．（2，－3）、5B．（－2， 3）、5C．（－2， 3）、D．（ 3，－2）、【答案】C【解析】由圆的标准方程可知圆心坐标、半径分别是（－2， 3）、【考点】圆的标准方程4.设，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数在R 上是单调增函数可知当时有 【考点】不等式性质5.无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线方程变形为，定点为【考点】直线方程6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为 AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点， 则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【解析】EF 与平行，GH 与平行，由是正三角形可知异面直线EF 与GH 所成的角为60° 【考点】异面直线所成角7.已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l 过点P （－1,6），且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】直线PA 的斜率，倾斜角等于135°，直线PB 的斜率，倾斜角等于45°，结合图象由条件可得直线l 的倾斜角α的取值范围是：90°＜α≤135°，或45°≤α＜90°．【考点】直线倾斜角与斜率 8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题正确的是（ ） A ．若B ．若C ．若D ．若【答案】D【解析】A 中可能在内，B 中有可能在面内，有可能在面内，D 中由面面垂直的判定定理可知结论正确【考点】线面平行垂直的判定与性质 9.若变量满足约束条件且的最小值为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】目标函数的最小值为-8，∴y=-3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为-1，则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方，即3x+y=-8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为-8，由，解得，即A（-2，2），同时A也在直线x+k=0时，即-2+k=0，解得k=2【考点】线性规划问题10.不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】绝对值不等式性质11.若正实数满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】A中，最小值为4；B中，最大值为；C中，最大值为；D中由，最小值为【考点】不等式性质12.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．[【答案】B【解析】：∵直线x+y+m=0与圆交于不同的两点A，B，故AB为圆的一条弦，且圆心O（0，0），半径r=2，设线段AB的中点为C，根据向量加法的平行四边形法则，可得，∴，即为，即，根据圆中弦的性质，则△OAC为直角三角形，∴在Rt△OAC中，OA=r=2，OC≥AC，∴≤OC＜2，∵OC为点O到直线x+y+m=0的距离，故，∴，解得m∈，【考点】直线与圆相交的弦长问题二、填空题＝1.数列的一个通项公式an【答案】【解析】由数列前几项可知数列为等比数列，公比为-4，首项为-1，所以通项公式为【考点】等比数列通项公式2.已知直线ax＋y＋2＝0与直线x－（3a－1）y－1＝0互相垂直,则a =【答案】【解析】由两直线垂直可得系数满足【考点】直线垂直的位置关系3.若成等差数列，则 .【答案】【解析】由已知可得【考点】等差数列4.在圆内过点有条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么的取值集合为【答案】【解析】圆的圆心为C ，半径为，过点P最短弦的弦长为，过点P 最长弦长为圆的直径长，∴4+（n-1）d=5，∵，【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性5.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是 c，体积是 .【答案】，4【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴几何体的表面积是,其体积：【考点】三视图及几何体表面积体积6.已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若将DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是 ;此时四面体F—ADP的外接球的半径是 .【答案】，【解析】：∵形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=在Rt△ABP中，BP=∵BC=BP+PC=整理得，令，则，则当，即时，y取最小值【考点】点、线、面间的距离计算三、解答题1.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若函数有最大值，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将代入得到不等式，结合二次函数可求解其解集；（2）结合二次函数性质可利用最大值得到的值试题解析：（1）当时，，由得解得或故不等式的解集为（2）二次函数有最大值，必须由得解得由于，故实数【考点】一元二次不等式解法及二次函数2.已知圆：，点（6，0）．（1）求过点且与圆C相切的直线方程；（2）若圆M与圆C外切，且与轴切于点，求圆M的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】（1）由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径可得到关于直线斜率k的方程，从而求得k，得到直线方程；（2）求圆的方程一般采用待定系数法，设出圆的方程后由直线与圆相切，圆与圆相切的位置关系得到关于圆心半径的关系式，从而求得圆的方程试题解析：（1）解法1：圆C化为标准方程是故圆心坐标为C（3，2）半径. 设切线的方程为，即由点到直线的距离公式得解得所以即又也是切线方程所以切线的方程为或解法2：圆C化为标准方程是故圆心坐标为C（3，2）半径. 设切线的方程为即，由点到直线的距离公式得，解得所以切线的方程为或（2）设圆心，则半径∴要使圆M与圆C外切，则须有:∴化简得解得或所以圆M的方程为或．【考点】1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系；3.直线与圆的方程3.如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA =" AB" =" 2a," DC =" a" , F为EB的中点，G为AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角B—FC—G的正切值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；（2）易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影，故分别计算面积可求二面角的余弦值，从而得解试题解析：（1）∵F、G分别为EB、AB的中点,∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC, 所以∥且 FG = DC,∴四边形FGCD为平行四边形, ∴FD∥GC, 又GC面ABC, FD面ABC.∴FD∥面ABC.（2）因为是正三角形，是的中点，所以又作于点连则面即为所求二面角的平面角.方法二（向量法）分别以所在直线为轴建系如图,则平面的法向量设平面的法向量则则设二面角B—FC—G的大小为则故二面角B—FC—G的正切值为.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定4.已知数列是首项的等差数列，设．（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数m的最大值．【答案】（1）详见解析（2）（3）11【解析】（1）运用等差数列的通项公式，可得公差d=3，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和；（3）求得．设，判断为单调递增，求得最小值f（1），再由恒成立思想可得m的范围，进而得到最大值试题解析：（1）∴数列的等比数列（2）（3）因为. 则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立。

浙江省宁波市高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江省宁波市高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角的大小为（ ） :10l x +=A ． B ． C ． D ．30 60 120 150 【答案】D【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得的斜率为， :10l x ++=y =l k =设直线的倾斜角为，则 l αtan α=因为，所以， 0180α≤<o 150α= 故选：D.2．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） ()3,1-340x y +=A ． B ． ()()22314x y -++=()()22314x y ++-=C ． D ．()()22311x y -++=()()22311x y ++-=【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心到直线的距离，1d r ===所以圆的方程为. 22(3)(1)1x y ++-=故选：D.3．空间中有三点，，，则点P 到直线MN 的距离为（ ） ()1,2,2P --()2,3,1M -()3,2,2N -A ．B ．C ．3D ．【答案】A【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.()1,1,1MN = MN )1,1,1u因为，故, ()1,1,3PM =- PM == )113PM u ⋅=-+=所以点到直线P MN ==故选：A4．设等比数列满足，，则（ ） {}n a 121a a +=-133a a -=-4a =A ．8 B ．C ．4D ．8-4-【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【详解】解：设等比数列的公比为，，，{}n a q 121a a +=- 133a a -=-，， 1(1)1a q ∴+=-21(1)3a q -=-解得：，.2q =-11a =则.34(2)8a =-=-故选：.B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5．函数的图像在点处的切线方程为（ ） 43()2f x x x =-(1(1))f ，A ． B ． 21y x =--21y x =-+C ．D ．23y x =-21y x =+【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方()y f x =()f x '()1f ()1f '程，化简即可.【详解】，，，，()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-因此，所求切线的方程为，即. ()121y x +=--21y x =-+故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题6．已知直线，点是圆内一点，若过点A 的圆的最短弦所在2:0++=l ax by r (),A a b 222:C x y r +=直线为m ，则下列说法正确的是（ ） A ．l 与圆C 相交，且 B ．l 与圆C 相切，且 l m ⊥//l m C ．l 与圆C 相离，且 D ．l 与圆C 相离，且l m ⊥//l m 【答案】D【分析】由题可得，利用圆的性质可得过点222a b r +<r >A 的圆的最短弦与垂直，进而即得.CA 【详解】因为点是圆内一点， (),A a b 222:C x y r +=所以，222a b r +<所以圆心到直线，()0,0C 2:0++=l ax by r r >所以直线l 与圆C 相离，由圆的性质可知当时，过点A 的圆的弦最短，此时， CA m ⊥m a k b=-所以. //l m 故选：D.7．设点是抛物线：上的动点，点是圆：上的动点，是点P 1C 24x y =M 2C 22(5)(4)4x y -++=d P 到直线的距离，则的最小值是（ ） 1y =-d PM +A ．B ．C ．D ．1212+【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标，由抛物线定义得到，数形结合得到()0,1F M P d PM P F +=+即为的最小值，得到答案.22FC -d PM +【详解】由定义知：抛物线的焦点坐标为，连接， ()0,1F 2C F 则，所以，PF d =M P d PM P F +=+圆：的圆心为，半径为， 2C 22(5)(4)4x y -++=()25,4C -2r =则使得取的最小值， 2FC r -d PM +，故的最小值为.=d PM +2故选：B8．已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则()0,0O ()3,0A C ()()22220y x r r +=->P 2PA PO =的取值可以为（ ）r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据，求得点的轨迹是圆，然后由两圆相切求解. 2PA PO =P 【详解】设，因为， (),P x y 2PA PO =所以=整理得 ，()2214x y ++=所以满足点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆， 2PA PO =P ()1,0-由题意可得，当两圆相切即可，当两圆相外切时， ，解得 ， ()212r --=+1r =当两圆相内切时，，解得 ， ()212r --=-=5r 故选：A二、多选题9．已知平面的一个法向量为，以下四个命题正确的有（ ） α()1,2,1n =-A ．若直线的一个方向向量为，则l ()2,4,2u =--//l αB ．若直线的一个方向向量为，则 l ()2,4,2u =--l α⊥C ．若平面的一个法向量为，则β()1,0,1m =//αβD ．若平面的一个法向量为，则β()1,0,1m =αβ⊥【答案】BD【分析】由，可判断AB ；由可判断CD0n u ⋅≠ 2u n =-0n m ⋅= 【详解】对于AB ：平面的一个法向量为， α()1,2,1n =-直线的一个方向向量为，l ()2,4,2u =--所以，282120n u ⋅=---=-≠所以与不垂直， n u又，2u n =- 所以，//u n 所以，故A 错误，B 正确；l α⊥对于CD ：平面的一个法向量为， α()1,2,1n =-平面的一个法向量为，，β()1,0,1m =所以，1010n m ⋅=+-=所以，n m ⊥ 所以，故C 错误，D 正确； αβ⊥故选：BD10．已知双曲线的左､右焦点分别为､，左右顶点分别为，点是双曲线上的点221916x y -=1F 2F ,A B P （异于），则下列结论正确的是（ ） ,A B A ．该双曲线的离心率为2B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．若，则的面积为16 12PF PF ⊥12PF F △D ．点到两点的连线斜率乘积为 P ,A B 169【答案】BCD【分析】由双曲线方程得，然后计算离心率，确定渐近线方程，即可判断AB ；结合双曲线的,,a b c 定义和垂直求得，从而可得的面积，即可判断C ；设，根据直线的斜率公12PF PF 12PF F △(,)P x y式及点在双曲线上计算即可判断D ．【详解】由双曲线方程得，，， 3a =4b=5c ==焦点为，，， 1(0,5)F -2(0,5)F ()(),3,03,0A B -离心率为，A 错； 53c e a ==渐近线方程是，B 正确；43y x =±若，不妨设，12PF PF ⊥12,PF m PF n ==则，∴，，C 正确； 222610m n m n ⎧-=⎨+=⎩32mn =121162PF F S mn ==△设，则，， ()(,)3P x y x ≠+221916x y -=()222169161699x x y -=-=，故D 正确. ()222216916933999PA PB x y y yk k x x x x -⋅=⋅===+---故选：BCD.11．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） {}n a n n S d 10911S S S <<A ． B ．C ．D ．0d >10a >200S <210S >【答案】AD【分析】对AB ，根据通项与的关系可得，即可判断； n a n S 100a <110a >对CD ，根据等差数列前项和的公式，结合等差数列的性质判断即可n 【详解】因为，，所以，，故等差数列首项为负，109S S <1011S S <109100S S a -=<1110110a S S =>-公差为正，所以，，故A 正确，B 错误；由，可知，所以0d >10a <911S S <11910110S S a a -=+>，故C 错误；因为，所以，故D 正确．()()20120101110100S a a a a =+=+>110a >2111210S a =>故选：AD12．（多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()f xA ．在处取得极大值 ()f x 1x =B ．是的极小值点=1x -()f x C ．在上单调递减，在上单调递增 ()f x ()2,4()1,2-D ．是的极小值点 2x =()f x 【答案】BC【分析】利用图像判断的正负，得到函数的单调性进而逐项判断 ()f x '【详解】当时，，∴不是 的极值点，∴A 错误；1x =()10f '≠1x =()f x 当时，，当时，，∴ 在上单调递减，在()3,1x ∈--()0f x '<(1,2)x ∈-()0f x ¢>()f x ()3,1--上单调递增，∴是 的极小值点，∴B 正确；()1,2-=1x -()f x 当时，，∴在上单调递减，∴是的极大值点，∴C 正确，D 错()2,4x ∈()0f x '<()f x ()2,42x =()f x 误． 故选：BC ．三、填空题13．已知等差数列，，=___________ {}n a 11132a a e +=12a 【答案】e【分析】由等差中项的性质计算即可.【详解】由等差数列性质可知：， 1113122a a a +=又，故. 11132e a a +=12e a =故答案为：e14．已知，，，，若四点共面，则＝()0,0,0O ()2,2,2A --()1,4,6B -(,8,8)C x -O A B C 、、、x_______． 【答案】8【分析】四点共面，则存在唯一的λ、μ使得，据此即可求出x .O A B C 、、、OC OA OB λμ=+【详解】∵，，，， ()0,0,0O ()2,2,2A --()1,4,6B -(,8,8)C x -∴，，，(2,2,2)OA =-- (1,4,6)OB =-(,8,8)OC x =- ∵四点共面，则有，即O A B C 、、、OC OA OB λμ=+ 2,824,826.x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩解得． 8x =故答案为：8.15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高ABC A (5,1)A AB CM 250x y --=AC 所在直线方程为，则点坐标为___________.BH 250x y --=C 【答案】()4,3【分析】先根据直线AC 与直线BH 垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直2AC k =-线AC 方程，与CM 所在直线联立求出点C 坐标即可. 250x y --=【详解】因为边AC 上的高BH 所在直线方程为， 250x y --=∴ ，且，∴ 1AC BH k k ⋅=-12BH k =2AC k =-∵的顶点，ABC A ()5,1A ∴直线AC 方程：，即，()125y x -=--2110x y +-=与联立， ，解得：，250x y --=2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩43x y =⎧⎨=⎩所以顶点C 的坐标为， ()4,3故答案为：.()4,316．设椭圆的左焦点为，下顶点为，若存在直线与椭圆交于两点，22221(0)x y a b a b +=>>F A l ,B C 且的重心为，则直线斜率的取值范围为___________. ABC A F BC 【答案】(【分析】设的中点为，由的重心为，可得，BC ()()()001122,,,,,M x y B x y C x y ABC A F 23AF AM =从而可求得点的坐标，再利用点差法结合点在椭圆内，即可得出答案. M M 【详解】设的中点为，BC ()()()001122,,,,,M x y B x y C x y ，()()0,,,0A b F c --因为的重心为，所以，ABC A F 23AF AM =即，所以，即，()()002,,3c b x y b -=+0031,22x c y b =-=31,22M c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭则， 12123,x x c y y b +=-+=又在椭圆上，,B C 则有， 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-所以， ()()212122212123b x x y y bc x x a y y a +-=-=-+即， 23BC bck a =因为点在椭圆内，31,22M c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，所以，即，2291144c a +<223a c >2103e <<， ()()22222224224499119924BCa c cbc k e e e a a -⎡⎤⎛⎫===-+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，，当时，，20e =20BC k =213e =22BC k =所以，所以，202BC k<<0BC k <<即直线斜率的取值范围为.BC (故答案为：.(【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对三角形重心的理解，即中线的交点，由此求出中点坐标，再运用点差法结合中点在椭圆内计算即可.四、解答题17．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分. 26C y x =：1(2)P ，l A B 、AB P (1)求直线的方程； l (2)求弦的长度. AB 【答案】(1) 35y x =-【分析】（1）由点差法得出斜率，再写出方程；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式求出弦的长度. AB 【详解】（1）设则， ()()1122,,,A x y B x y 122y y +=由，可得 21122266y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212126y y y y x x -+=-所以，得直线的方程为. 12121263l y y k x x y y -===-+l 35y x =-（2）联立方程，得，2635y xy x ⎧=⎨=-⎩22100y y --=得，所以12122,10y y y y +==--=18．已知数列满足 {}n a 123(21).n a a n a n +++-= (1)求的通项公式； {}n a (2)求数列的前项和. 1{}n n a a +n n S 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21n nS n =+【分析】（1）根据求解即可；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为， ()12321n a a n a n +++-= 故当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 上述两式相减，得，所以， ()()2112n n a n -=≥()2121n a n n =-≥又可得，符合上式， 11a =所以； 121n a n =-（2）由（1）可得，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则. 11111112335212121n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =3，BC =5.（1）求证：AA 1⊥平面ABC ； （2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 1625【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明平面； 1AA ⊥ABC （2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角的余弦值. 111A BC B --【详解】（1）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ， 所以AA 1⊥平面ABC ；（2）由（1）知，，． 1AA AC ⊥1AA AB ⊥由题意知，，， 3AB =5BC =4AC =所以．AB AC ⊥如图，以为原点建立空间直角坐标系，A A xyz -则，3，，，0，，，3，，，0，． (0B 0)1(0A 4)1(0B 4)1(4C 4)设平面的法向量为，，，11A BC (n x =y )z 则，即．111·0·0n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 34040y z x -=⎧⎨=⎩令，则，，3z =0x =4y =所以．(0,4,3)n =同理可得，平面的法向量为．11BC B (3,4,0)m =所以． 16cos ,||||25m n m n m n <>== A由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．111A BC B --111A BC B --162520．已知.()()2,R f x x x c c =-∈(1)若在处有极大值，求的值；()f x 2x =c (2)若，求在区间上的最小值. 03c <<()f x [1]2，【答案】(1)6c =(2) ()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩【分析】(1)求出，令，解得，再分别讨论，利用函数在()()()3f x x c x c =--'()20f '=c ()f x 2x =处有极大值，从而得出答案；(2)确定函数的单调性，即可求在区间上的最小值. ()f x []1,2【详解】（1）由题知，， ()()()3f x x c x c =--'由题意，，得或，()()()2260f c c '=--=2c =6c =当时，在上，在上， 2c =()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>2,23⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<此时，在处有极小值，不符题意；()f x 2x =当时，在上，在上， 6c =()(),2,6,-∞+∞()0f x ¢>()2,6()0f x '<此时，在处有极大值，符合题意. ()f x 2x =综上，.6c =（2）令，得或，()0f x '=3cx =x c =由，则在上，在上，03c <<(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()0f x ¢>,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<即在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭由题意，，13c<当时，在区间上单调递减，则，23c ≤<()f x []1,2()2min ()22(2)f x f c ==-当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则，12c <<()f x ()1,c (),2c ()min ()0f x f c ==当时，在区间上单调递增，则，01c <≤()f x []1,2()2min ()1(1)f x f c ==-综上，. ()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩21．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．1(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出1361015与的递推关系，并求出数列的通项公式； n a ()*1,2n a n n -∈≥N {}n a (2)设，证明：. ()1=,N 12nn n a n b n *-∈+⋅123+2n b b b b +++< 【答案】(1)，（）； 1n n a a n --=(1)2n n n a +=*N n ∈(2)证明见解析.【分析】（1）根据已知写出与的递推关系，再利用累加法求出数列的通项n a ()*1,2n a n n -∈≥N {}n a 公式；（2）先求出，再利用错位相减法求出，即得证.12nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭123+n b b b b +++ 2=22n n +-【详解】（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：，11a =时， 所以有2n ≥1n n a a n --=()()112n n n n n a a a a a ---=-+-+()211(1)a a a n n ⋅⋅⋅+-+=+-， (1)212n n ++++=L 故,该式对a 1=1也成立. (1)2n n n a +=所以 （） (1)2n n n a +=*n ∈N （2）解：由题得，所以， ()1(1)2=,N 12n nn n n n b *-+∈+⋅12nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭设，123+n n b b b T b +=++ 所以，（1）21111()2(+()222n nT n ⨯++⨯=⨯ 所以，（2）23+11111()212()+()222n n n T ⨯+⨯+=⨯ （1）（2）得，-23+11111()(+()(22211+222n n n n T ++-= 所以， +111[1()]11()2221212n n n n T --=-所以+111111()()1((1)2222=12n n n n n T n =-+--所以=2(1(22)nn T n -+所以 1232+=22n nb n b b b ++++- 故.123+2n b b b b +++< 22过点. 22221(0)x y C a b a b +=>>：A ⎛ ⎝(1)求椭圆的方程;C (2)设直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交直线于点.():1l y k x =-C E F 、AE AF 、3x =M N 、当面积为8时,求的值.AMN A k 【答案】(1)22:12xC y +=(2). k =【分析】(1)根据离心率和点,建立等式,结合,解出即可;A ⎛ ⎝222a b c =+,,a b c (2)设出点坐标,写出直线的方程,取,解得的纵坐标,将直线与椭圆联立,解得,E F AE AF 、3x =M N 、l ,代入中化简,根据,使其等于8,即可求得的值.1212,x x x x +⋅M N MN y y =-122MN S MN =⨯A k 【详解】（1）由题意:,又, 221112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222a b c =+解得,所以椭圆的方程为:;1a b ==C 22:12x C y +=（2）设,则,()()1122,,,E x y F xy ):1AE y x =-令,得同理3x =M y =N y =联立,得, ()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩222212102k x k x k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭则, ()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++所以MMN y =-=则, 1282AMN S MN =⨯==△求得.k =【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线综合题,属于中难题,关于此类问题的思路有: (1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程; (2)分情况讨论直线斜率是否存在; (3)设直线方程,联立方程组; (4)判别式大于零,韦达定理;(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.1212,x x x x +⋅。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．102.已知，若，则A．1B．4C．-1D．-43.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是A．B．C．D．5.已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．6.若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是A．B．C．D．7..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A．B．C．D．8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图．其中真命题的个数是A．3B．2C．1D．09.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．10.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是A．若与所成的角相等，则B．若，，则C．若，则D．若，则11.如图，正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为A．B．C．D．12.已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为A．B．C．D．13.已知圆：，圆：，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.命题“”的否定是．2.两条平行直线与间的距离为 .3.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为.4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .5.已知三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，则以为球心且1为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是 .6.已知点在直线上，若圆 (为坐标原点)上存在点使得，则的取值范围为.三、解答题1.已知函数．设方程有实数根；函数在区间上是增函数.若和有且只有一个正确，求实数的取值范围．2.如图，边长为2的菱形中，，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.（1）求证:；（2）求二面角的余弦值.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．4.如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为梯形，∥，⊥，，点在棱上，且．（1）当时，求证：∥面；（2）若直线与平面所成角为，求实数的值．5.已知圆心为点的圆与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）对于圆上的任一点，是否存在定点 (不同于原点)使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．10【答案】B【解析】直线和坐标轴的交点分别为和，三角形的面积，故B正确.【考点】直线的方程及应用.2.已知，若，则A．1B．4C．-1D．-4【答案】D【解析】若，则，解得-4.【考点】向量的坐标表示、向量的数量积.3.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”可以推出“”，而当“”时，；因此“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件与必要条件.4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是A．B．C．D．【答案】B【解析】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，即，所以这个圆柱的底面直径与高的比是，故B正确.【考点】空间几何体的表面积和体积.5.已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】变量满足约束条件的线性区域如下图，z表示斜率为-2的直线的纵截距，当经过点时，z取得最大值6，故C正确.【考点】线性规划、最值问题.6.若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是A．B．C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为，则点P到平面的距离为=，故C正确.【考点】空间向量、向量的运算.7..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，=，故D正确.【考点】空间向量的运算.8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图．其中真命题的个数是A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】由空间几何体的三视图的知识可知，三个命题均正确，故A正确.【考点】空间几何体的三视图.9.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】求的最小值，即求点与点的距离的最小值，也就是点到直线的距离，所以的最小值=，故A正确.【考点】点到直线的距离、动点问题.10.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是A．若与所成的角相等，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】A选项：若与所成的角相等，则或相交或异面；B选项：若，，则或相交或异面； C选项：若，则或相交； D选项正确.【考点】直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系.11.如图，正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为A．B．C．D．【答案】B【解析】取的中点F，连接BF,直线在面上的投影为,而与所成的角为,由三垂线定理可得直线与所成的角为.【考点】异面直线所成的角、三垂线定理.12.已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为A．B．C．D．【答案】C【解析】当点在轴时设，因为，所以，解得；当点在轴时设，因为，所以，解得，所以满足条件的点有3个.【考点】直线的斜率、两直线的位置关系.13.已知圆：，圆：，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】圆是以为圆心，半径为2的圆；圆是以为圆心，半径为4的圆，两圆内含；当点到切线的距离最小为1时，最大为，此时面积最大为；当点到切线的距离最大为3时，最小为，此时面积最小为.【考点】圆的方程、圆与圆的位置关系.二、填空题1.命题“”的否定是．【答案】【解析】全称命题的否定为特称命题，结论也否定.【考点】命题的否定、全称命题.2.两条平行直线与间的距离为 .【答案】【解析】由两平行直线之间的距离公式,可得.【考点】两平行直线之间的距离公式.3.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为.【答案】.【解析】由三视图可知该几何体为同底面的圆锥和圆柱的组合体，该几何体的体积为.【考点】空间几何体的三视图、空间几何体的体积.4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .【答案】2【解析】等价于，即直线的下方和直线的上方，而与直线围成三角形区域，当时，不等式组表示的平面区域的面积为.【考点】不等式中的线性规划问题.5.已知三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，则以为球心且1为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是 .【答案】【解析】由已知条件可用等体积转换求得点到的距离为，所以重叠部分是以为球心且1为半径的球的，即.【考点】空间几何体的体积.6.已知点在直线上，若圆 (为坐标原点)上存在点使得，则的取值范围为.【答案】【解析】由已知条件得圆O与直线相离，当在且满足时，是圆O的切线；当且满足时，与圆O相离，即满足条件的点不存在；同理当时点亦不存在；综上可知的取值范围为.【考点】直线与圆的位置关系，圆的方程.三、解答题1.已知函数．设方程有实数根；函数在区间上是增函数.若和有且只有一个正确，求实数的取值范围．【答案】.【解析】若命题为真，则；若命题为真，则；而和有且只有一个正确，分真假、假真两种情况谈论即可.试题解析：； 2分. 3分若真假,则；若假真,则. 7分所求实数的取值范围为 8分【考点】命题之间的关系、函数的单调性、零点.2.如图，边长为2的菱形中，，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.（1）求证:；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明过程见试题解析；（2）二面角的余弦值余弦值为.【解析】（1）取的中点,先证明,即，即可证；（2）先找出二面角的平面角，再根据余弦定理即可求出二面角的余弦值.试题解析：(1)证明:取的中点,连结,因,则,,则, 3分因, 所以 4分(2)由已知, ,所以是二面角的平面角. 5分.则.所求角的余弦值为. 8分【考点】直线与平面的位置关系、二面角.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.4.如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为梯形，∥，⊥，，点在棱上，且．（1）当时，求证：∥面；（2）若直线与平面所成角为，求实数的值．【答案】（1）证明过程见试题解析；（2）实数的值为.【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点M,连结ME, 先证明，再证明∥面；先以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系, 求出各点的坐标，再求出平面的一个法向量为, 而已知直线与平面所成角为，进而可求实数的值．试题解析：（Ⅰ）证明:连接BD交AC于点M,连结ME,因∥,当时,.则∥面． 4分（Ⅱ）由已知可以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则,由,可得E点的坐标为 6分所以.设平面的一个法向量为,则,设,则,,所以8分若直线与平面所成角为,则, 9分解得 10分【考点】空间向量、直线与平面的位置关系.5.已知圆心为点的圆与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）对于圆上的任一点，是否存在定点 (不同于原点)使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)圆C的标准方程为；（2）存在满足条件的点A，且．【解析】(1)由点C到直线的距离求出圆的半径，然后可得圆的标准方程；（2）设满足，设定点A，=，即，两方程联立解得，此时A点坐标为.试题解析：(1)点C到直线的距离为,. 2分所以求圆C的标准方程为. 4分(2)设且.即设定点A,(不同时为0),=(为常数).则 6分两边平方,整理得=0代入后得所以, 9分解得即． 10分【考点】圆的方程、圆与直线的位置关系、定值问题.。

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列的前项和为，首项为，公差为，则（ ） {}n a n n S 1a d 42S a -=A ． B ． C ． D ．134a d +135a d +144a d +145a d +【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解. n 【详解】因为，所以， 412146,S a d a a d =+=+42S a -=135a d +故选:B.2．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（ ） B ()1,2,2A Oxy B ABA ．B ．C ．D ．()1,0,2;2()1,0,2;3()1,2,0;2()1,2,0;3【答案】C【分析】直接求出点的坐标和的模长.B AB【详解】因为点是点在坐标平面内的射影， B ()1,2,2A Oxy 所以.()1,2,0B 所以， ()0,0,2AB =-所以. 2AB = 故选：C3．若直线，则（ ） :l y kx =22:4O x y +=k =A ． B ． C ． D ．0k =1k =1k =-1k =±【答案】D【分析】先求圆心到直线的距离，结合弦长和勾股定理可得答案. 【详解】因为的圆心为，半径为，22:4O x y +=()0,0O 2r =所以圆心到直线的距离为；l d =，所以，解得. 222d r +=1k =±故选：D.4．已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，22:1C x y -=12,F F ,A B 1F 且的周长为8，则（ ） 2ABF △AB = A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用双曲线的定义求解. 【详解】解：因为双曲线， 22:1C x y -=所以a =1，由双曲线的定义得：， 212122,22AF AF a BF BF a -==-==两式相加得 ，2244AF BF AB a +-==又因为的周长为8，即 ， 2ABF △228AF BF AB ++=两式相减得 ， 2AB =故选：A5．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）A BCD -1,M CD AB AM ⋅=A ．B ．C ．D ．14-1412-12【答案】D【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案.AM【详解】因为M 是棱CD 的中点，所以()12AM AC AD =+所以1122AB AM AB AC AD ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ ()12AB AC AB AD =⋅+⋅ ()1cos 60cos 602AB AC AB AD =+. 111111112222⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：D.6．已知01,01x y ≤≤≤≤（ ）A ．2B ．C ．D ．32【答案】B【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.【详解】如图，设，， ， ， (,)P x y (0,0)O (0,1)A (1,1)B (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (0,0)O与之间的距离； (,)P x y (0,1)A与之间的距离； (,)P x y (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (1,1)B+，PO PA PB PC =+++其中是以1为边长的正方形内任意一点，(,)P x y OABC，PO PB OB +≥=PA PC AC +≥=故， PO PA PB PC +++≥当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为12x y ==故选：B7．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）{}n a n n S ()(),,,n n n a n S A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. n 【详解】设等比数列的首项为，公比为， {}n a 1a q A 选项，时，，图象符合.1n a =n S n =B 选项，时，，图象符合.11, 1.1a q ==()11 1.11.1,101.111 1.1nn n n n a S --===--C 选项，时，，图象符合. 11,2a q ==-()()1122,3nn n n a S ---=-=D 选项，由图可知，都是负数，所以， 123,,a a a 10,0,0,0n n a q a S <><<但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D 选项图象不符合. 4n ≥n a n S 故选：D8．在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为O xyz -()000,,P x y z (),,m a b c=α，经过点且一个方向向量为的直线的方()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=P ()(),,0n v v μωμω=≠l 程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为000x x y y z z v μω---==α，直线的方程为，则直线到平面的距离为（ ） 35410x y z -++=l 354x y z==l αA ．0B C D【答案】C【分析】根据线面距离的空间向量坐标运算求法直接求解.【详解】由题可知点在直线上，取平面内一点,(0,0,0)O l α1(0,0,)4P -根据题设材料可知平面一个法向量为，α()3,5,,4m =-,1(0,0,)4OP =- 所以 cos ,OP m OP m OP m ⋅<>===所以直线到平面的距离为 l α1cos ,4OP OP m <>==故选:C.二、多选题9．已知直线，下列说法中正确的是（ ） 1y =A ．倾斜角为 B ．倾斜角为 180 0 C ．斜率不存在 D ．斜率为0【答案】BD【分析】根据直线方程得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为， 1y =所以斜率为0，倾斜角为， 0 故选：BD10．记为等比数列的前项和，则（ ）n S {}n a n A ．是等比数列B ．是等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +C ．成等比数列 D ．成等比数列23,,n n n S S S 232,,n n n n n S S S S S --【答案】AB【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.【详解】设等比数列公比为，则有， (0)q q ≠1n na q a +=所以，所以是以为公比的等比数列，A 正确； 11111n n n na a a q a ++==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1q ，所以是以为公比的等比数列，B 正确； 2121n n n n a a q a a +++={}1n n a a +2q 若公比，则，所以不能构成等比数列，C 错误； 1q =-20n S =23,,n n n S S S 若公比，且为偶数，则都等于0， 1q =-n 232,,n n n n n S S S SS --此时不能构成等比数列，D 错误. 故选:AB.11．若曲线是由方程和 ） E 1x -=1y -=A ．曲线关于直线对称E y x =±B ．曲线围成的图形面积为E 4π+C ．若点在曲线上，则的取值区间是 ()00,x y E 0x ⎡⎣D ．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 222(0)x y r r +=>E r 【答案】AD【分析】对条件作代数变换得到E 是由4个半圆组成，作曲线E 的图形，根据图形的性质逐项分析.【详解】由， 得 或 ，1x -=0,1x ≥∴≥1x ≥1x ≤-当 时， ， 是圆心为 ，半径为1的半圆，1x ≥()22111x x y -=-+=∴()1,0同理可得E 的其他部分，分别为圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆，()1,0-()0,1圆心为 半径为1的半圆； ()0,1-作曲线E 的图形如下图：图中虚线部分 是边长为2的正方形； ABCD 对于A ，显然图形关于 对称，正确；y x =±对于B ，图形的面积 ，错误；21224242ππ⨯=⨯+⨯=+对于C ，由图可知 的取值范围是 ，错误；0x []22-,对于D ，覆盖住曲线E 的圆的半径的最小值显然是2，正确； 故选：AD.12中，则下列命题中正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离之比为2，则P 11AA BB AD 11BC 动点的轨迹是圆P B ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到面的距离之比为2，P 11AA BB AD 11BB CC 则动点的轨迹是椭圆P C ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离相等，则动P 11AA BB AD 1BB 点的轨迹是抛物线PD ．若点是线段的中点，分别是直线上的动点，则的最小值是P 1A B ,M N 1,AC CD PM【答案】ACD【分析】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，由题得，代入坐标化简即得解；对12AP PB =于选项B ，代入坐标化简即得解；对于选项C ，代入坐标化简即得解；对于选项=2AP PE AP PE =D ，对任意的点，固定点时，当时，最小，即最小，把平M M MN CD ⊥PM PM MF +面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，即得解. 1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +【详解】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，则设因为1(0,0,0),A B (,0,),P x z 平面, 所以,所以点到直线的距离就是,同理点到直线的距离AD ⊥11A B BA AD AP ⊥P AD AP P 11B C就是.所以,1PB 12AP PB ==2216((9x y +=，它表示圆，所以该选项正确；对于选项B ，过点作,垂足为,因为平面平面，则点到平面的P 1PE BB ⊥E 11A B BA ⊥11BB CC P 11BB CC距离就是.所以,因为，所以PE =2AP PE )E z，所以动点的轨迹是双曲线，所以该选项2256(3x z =∴-=P 错误；对于选项C ，点到直线的距离就是.所以，所以P 1BB PE AP PE =，所以动点的轨迹是抛物线，所以该选项正确； 22(1z x =∴=P 对于选项D ，对任意的点，固定点时，过点作平面，垂足为，连接，M M M MF ⊥ABCD F FN当时，最小，此时平面, 所以, 由于MN CD ⊥PM CD ⊥MNF CD FN ⊥. 所以. 如下图，,CF CFMF FN AC AC ==∴=MF MN =PM PM MF =+把平面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，此时1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +故该选项正确. PM MF BC +==故选：ACD三、填空题13．已知直线，直线，若，则__________. :20l x ay ++=:230m x y --=l m ⊥=a 【答案】##120.5【分析】根据两条直线垂直的充要条件算出答案即可. 【详解】因为，所以，解得， l m ⊥1120a ⨯-=12a =故答案为：.12四、双空题14．已知数列满足：，则__________；__________.{}n a ()21221n a a na n n +++=+ 2a =n a =【答案】 531n -【分析】利用赋值可得，利用退位相减可得.2a n a 【详解】当时，；当时，，所以.1n =12a =2n =12212a a +=25a =①()21221n a a na n n +++=+ 当时，② 2n ≥()()2121211n n a a n a n -+++-=- ①-②得，，整理得. ()()2211n na n n n n =+--31n a n =-故答案为：531n -五、填空题15．已知抛物线的焦点为，点在上，点，若的最小值为5，则2:4C y x =F P C ()4,A m PA PF +__________.m ∈【答案】[]4,4-【分析】讨论点A 与抛物线的位置关系，结合的最小值为5，列出不等关系，求得m 的PA PF +范围，可得答案.【详解】当线段与抛物线C 没有公共点，即点在抛物线外部时，或AF ()4,A m 216,4m m >∴>，4m <-此时当三点共线时，最小，最小值为， ,,A P F PA PF +5=解得或，不合题意；4m =4m =-当点在抛物线上时，或，此时， ()4,A m 216,4m m =∴=4m =-||5AF =即此时重合；,A P点在抛物线内部时，， ()4,A m 216,44m m <∴-<<设抛物线C 的准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ， 过点A 作l 的垂线，垂足为B ，则,共线时，取等号，符合题意， 415PA PF PA PQ AB +=+≥=+=,,()P A B Q 综合上述可得若的最小值为5，则， PA PF +[]4,4m ∈-故答案为：[]4,4-16．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为1C 2C 22212:1,,43x y C F F +=2C 的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经B 2F 1C 1F B 抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另D x 1F 2C P 一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于Ex 1cos BF P ∠=__________.【答案】 2326【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与2BF D E 2EF 椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得.P 11,F B F P 1cos BFP ∠【详解】由题意得：12(1,0),(1,0),(0,F F B -可得抛物线方程，直线 :,24yx =2BF 1)y x =-联立，可得； )241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩A (3,D，即. 34E E y x ==3(4E直线：，联立椭圆方程，得，解得或2EF1)y x =--)221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩A 265128600x x -+=65x =（舍），所以； 1013x =6(,5P 则，所以. 1111(1,(,5F B F P == 1111123cos 26F B F P BF P F B F P ⋅∠== 故答案为：. 2326六、解答题17．已知等差数列的公差为2，且成等比数列，{}n a 235,,1a a a -(1)求的通项公式；{}n a (2)记，若数列的前项和.121n a n n b a -=+-{}n b n n T 【答案】(1)2n a n =(2) ()22413n n -+【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；(2)分组求和.【详解】（1）由题知()23251a a a =-即解得，()()()2111427,a a a +=++12a =所以.()112n a a n d n =+-=（2） 21212n n b n -=-+. ()2141(21)214n n n T n -+-=⋅+-()22413n n -=+18．已知双曲线的焦点. 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F ()1,0(1)求双曲线的方程；C (2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.()2,3A l C l 【答案】(1) 2213y x -=(2)或)23y x =-+21y x =-【分析】（1）利用点到直线的距离求出b ，再结合顶点求出a ，从而求出双曲线方程； （2）设直线方程，联立双曲线，分类讨论，判别式法求解【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>b y x a =(c,0)F by x a =，所以，又，b =b =1a =所以双曲线方程为 2213y x -=（2）由题知，直线的斜率必存在.l 设直线方程为：l ()23y k x =-+联立，消y 得 ()223213y kx k y x ⎧=+-⎪⎨-=⎪⎩()()2222364412120k x k k x k k ----+-=①当时，上述方程只有一解，符合题意，230k -=所以；)23y x =-+②当时，为使上述方程只有一解即，230k -≠Δ0=， ()()22226443(41212)0k k k k k ----+-=化解得：，所以，2440k k -+=2k =所以.21y x =-综上，直线方程为：或.l )23y x =-+21y x =-19．在一个平面上，，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针()()6,0,0,8A B -()1,3C -()0r r >C 而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.P C (1)若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；6r =A B (2)若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.P PA PB ⊥r 【答案】(1)最近距离为，最远距离为 7567555r ≤≤【分析】（1）先求点的轨迹方程，结合圆心到直线的距离可得答案；P （2）先求以为直径的圆的方程，结合两圆的位置关系可得答案.AB 【详解】（1）设机器人所在位置，则,(),P x y 22(1)(3)36x y -++=所以的轨迹是以为圆心，6半径的圆.P C 直线的方程为：，即, AB 168x y +=-43240x y -+=点到直线的距离为, C AB 375d所以到直线的最近距离为， P AB 75d r -=到直线的最远距离为. P AB 675d r +=（2）的轨迹方程为P 222:(1)(3)(0)C x y r r -++=>A 设中点， AB ()3,4,10M AB -=所以以为直径的圆方程，AB 22:(3)(4)25M x y ++-=A 因为，所以也在上.AP BP ⊥P M A 所以与有公共点，即， C A M A 55r CM r -≤≤+.55r -≤≤20．如图，在多面体中，已知，，，，ABCDE AB DE ∥AB BD ⊥AE CE =22AB BD DE ===为等边三角形.BCD △(1)求证：；AC BE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值.ACE BCE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）解法一，取中点，中点，连，，以为坐标原点，建立空间直AC M BC F ME DF F 角坐标系，利用证明即可；解法二，利用线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理求0AC BE ⋅= 解即可；（2）解法一：利用空间向量法求解即可；解法二：作于于，连接，由AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 勾股定理可得即为所求二面角.BHM ∠【详解】（1）解法一：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且， MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 所以两两垂直，,,FM FC FD 建立如图所示的空间直角坐标系，则，F xyz -()()1,0,0,1,0,2C A -， ()()()()1,0,0,,2,0,2,B E AC BE -=-= 因为，所以.2020AC BE ⋅=+-= AC BE ⊥解法二：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且，MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 又因为平面，所以平面平面，AB ⊂ABDE ABDE ⊥BCD 取中点，连，BD O ,AO CO因为平面平面，所以平面，ABDE BCD BD =CO ⊥ABDE 又因为平面，所以，BE ⊂ABDE CO BE ⊥又，所以， 1tan tan AOB EBD∠∠=AO BE ⊥因为，平面，AO CO O = ,AO CO ⊂AOC 所以平面，BE ⊥AOC 又因为平面，所以.AC ⊂AOC BE AC ⊥（2）解法一：， ()()()2,0,2,,AC CE BE =-=-= 设平面的法向量为，则ACE (),,m x y z = ，解得，2200m AC x z m CE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()1,0,1m = 设平面的法向量，则BCE (),,n x y z = ，解得，00n CE x z n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,n = 设所求夹角为，则θcos m n m n θ⋅=== 解法二：作于于，连接，AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 在中，ACE △AE CE AC ===所以AG CG ==在中，，BCEA 2,BC BECE ===所以 BH CH ==所以为的中点，H CG 所以 ,MH AG MH =∥所以，MH CE ⊥所以为平面与平面夹角或其补角，BHM ∠ACE BCE 由平面得，BM ⊥ACE 在中，（也可利用余弦定理求得） Rt BMH A cos MH BHM BH ∠=21．已知数列的前项和为. {}n a n 11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-(1)求及的通项公式；23,S S {}n a (2)若对任意的恒成立，()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- *2,N n n ≥∈求的最小值.λ【答案】(1)，2312,39S S ==3n n a =(2) min 9128λ=【分析】（1）先求得求，然后利用累乘法求得，利用求得. 23,S S n S 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a （2）利用裂项求和法化简题目所给不等式，结合分离常数法求得的最小值.λ【详解】（1）， 1322233,12313131233,3911S S S --=⨯=⨯-===-时，， 2n ≥()132112213312nn n n n n S S S S S S S S S S ----=⋅⋅⋅⋅⋅= 时上式也符合，即，1n =()3312n n S -=所以，时，，2n ≥13n n n n a S S -=-=时，上式也符合.1n =所以，.3n n a =（2）时，2n ≥ ()()()()111331111231313131n n n n n n n n a a a ---⎛⎫==- ⎪------⎝⎭故()()()()()()3212231111111n n n a a a a a a a a a -+++------ 3112231n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以对任意的均成立， 23111223131n n λ⎡⎤⎛⎫≥⋅-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦*2,N n n ≥∈由于， 11318n ≤-所以，故. 9128λ≥min 9128λ=22．已知椭圆，右焦点为，抛物线的焦点22122:1(0)x y C a b a b +=>>2F 22:2C x by=-到其准线的距离为1.F (1)求的标准方程；12,C C (2)若过于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦2F 1C ,B D y ,A BD y E BD 为直径的圆的面积为的面积为，求.M 1,S MAE A 2S 12:S S (3)已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线2n ≥*n ∈N 2231n n --1C ,P Q PQ N 上.记的横坐标为，求的最大值.2C N n x n x【答案】(1) 22212:1,:22x C y C x y +==-(3) 89【分析】（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得出的值，再由椭圆的离心率公式求出的p b ,a c 值，求出椭圆和抛物线的标准方程；（2）直线与椭圆联立方程组，由弦长公式求出的长度，由圆的面积公式，从而求出；利用||BD 1S 韦达定理和中点坐标公式，求出点坐标，从而求出的中垂线方程，求出点坐标，由、M BD E A点坐标，利用三角形面积公式，求得，最后求出 M 2S 12S S （3）利用点差法求出的斜率与的斜率的关系，把点代入抛物线方程，求出的表达式，PQ ON N n x 利用证明数列的单调性的方法，证明单调递减，由于椭圆和抛物线图象的对称性，可以得到n x 2nx 一定小于等于它们交点的横坐标的平方，从而得出的范围，结合的单调性，从而求出的最2n x n x n x 大值.【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，22:2C x by =-F b ∴1,b =，22222222112c c a b b e e a a a a -==∴===-= 221,2b a ∴=. 21,2,b a a =∴== ∴22212:1,:22x C y C x y +==-（2），直线的方程为：，()21,0F BD )1y x =-所以，设， (0,A ()()1122,,,B x y D x y 联立，得. 221)12y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩271240x x -+=，∴1212124,77x x x x +==2BD x ∴=-===. 221||32ππ()π249BD S ∴=⋅=⋅=12121212126(,),,,22727x x y y x x M x x ++++=∴= 将点代入直线方程得到 M )1y x =-122y y +=的中点∴BD 6,7M ⎛ ⎝的中垂线方程为：BD 67y x x ⎫=-=⎪⎭令得，. 0x=y=∴E ⎛ ⎝ 211(22M E S AE x y ==-=. 12S S ∴==（3）设,代入得()()(),,,,,N N P P Q Q P x y Q x y N x y ,作差整理得， ，即22221212p P Q Q x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()2()()P Q P Q P Q P Q x x x x y y y y -+=--+2()P Q P Q P Q P Q y y x x x x y y -+=--+；()2P QPQ P Q x x k y y +=-+,即； 2,2,P Q N P Q N x x x y y y +=+= 1,22N PQ PQ N O N x k k y k ∴=-∴=-12PQ ON k k ⋅=-∵，点在抛物线上，N n x x =N ，，， ∴212N n y x =-12N n n y x x ∴=-∴12ON n k x =-且 22222233111,(),(222311n n PQ n n n n k x x n n n ----=∴⋅-=-∴=≥-- N )n *∈∵， 2221121(1)112230333n n n n n n n n n x x +---+---++-=-=<.∴234,,n x x x x >>>> 联立，得到其交点的横坐标为，， 222122x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩A 21x =∴201n x ≤≤（不符合要求），（不符合要求），（不符合要求），（符合）. 23x =383x =453x =589x =的最大值为. ∴n x 89【点睛】方法点睛：圆锥曲线中三角形面积的求解方法：（1）公式法：利用弦长公式求出弦长作为三角形的底边长，利用点线距求出三角形的高线长，结合三角形的面积公式可得答案；（2）分割法：把三角形分割成易于求解的若干三角形，求解面积之和即可.。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（）A．B．C．D．2.若抛物线的焦点为，则的值为( )A．B．C．D．3.是方程表示圆的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5.命题“若，则或”的否定是（）A．若，则或B．若，则且C．若，则或D．若，则且6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（）A．B．C．D．8.一个动圆与定圆：相内切，且与定直线：相切，则此动圆的圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．9.直线与曲线的交点个数为（）A．0B．1C．2D．310.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.双曲线的渐近线方程是_________________．2.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．3.直线的倾斜角的余弦值为________．4.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．5.在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．6.若圆与圆的公共弦的长为8，则___________．7.对于曲线有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线对称；（4）．其中正确的有________（填上相应的序号即可）.三、解答题1.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.2.已知命题：存在使得成立，命题：对于任意，函数恒有意义.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是假命题，求实数的取值范围.3.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，底面是边长为的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（1）求证：侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值．4.已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由两个球的体积之比为及球的体积公式、知，，再由其表面公式、得，即为所求.【考点】球的体积与表面积.2.若抛物线的焦点为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A.【解析】先将抛物线方程化为标准方程即，所以其焦点的坐标为，由已知其焦点为得，即可解出.【考点】抛物线的定义.3.是方程表示圆的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A.【解析】当时，方程，即表示圆，即充分性成立；当方程表示圆，即，所以，即，并不能推出，即必要性不成立，因此选A.【考点】圆与圆的方程；充分与必要条件.4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C.【解析】举出反例逐一验证选项的正确性.A不正确，满足的直线还可能平行于，即∥；B不正确，满足的直线还可能平行于，即∥；C正确；D不正确，满足的直线还可能平行于，即∥.【考点】空间直线与平面的位置关系.5.命题“若，则或”的否定是（）A．若，则或B．若，则且C．若，则或D．若，则且【答案】D.【解析】命题的否定仅仅否定命题的结论，即或的否定为且，故应选D.【考点】命题的否定.6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，其底面为等腰三角形，底面三角形的底边长为与高为1，把数据代入棱柱的体积公式计算得．【考点】由三视图求面积、体积．7.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由双曲线与椭圆的离心率的定义知，双曲线的离心率和椭圆的离心率分别为、，然后由题意得，即，将其两边平方化简即可得出结论.【考点】双曲线的几何性质；椭圆的几何性质.8.一个动圆与定圆：相内切，且与定直线：相切，则此动圆的圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由题意知点到定点的距离等于点到定直线：的距离减去1，即点到定点的距离等于点到定直线：的距离，由抛物线的定义知，点的轨迹方程为抛物线，且焦点为，准线方程为：，即【考点】抛物线的定义.9.直线与曲线的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.【解析】根据曲线的方程可分两种情况讨论：（1）当时，联立曲线方程与直线得：，应舍去；（2）当时，联立曲线方程与直线得：.【考点】直线与曲线的综合应用.10.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以，令，，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.【考点】立体几何与空间向量.二、填空题1.双曲线的渐近线方程是_________________．【答案】.【解析】令双曲线的右边为0，可得，整理化简即可得到双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的简单性质．2.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．3.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．4.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．5.在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．【答案】.【解析】连接，，连接.由正方体的性质可得，且，所以平面，所以可得为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为，则，.在中，，从而得到答案为.【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．6.若圆与圆的公共弦的长为8，则___________．【答案】或.【解析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程即，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到，即可得到，从而解得或.【考点】直线与圆相交的性质．7.对于曲线有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线对称；（4）．其中正确的有________（填上相应的序号即可）.【答案】（2）、（3）.【解析】(1) 曲线中含有项，方程不表示圆，即不正确；（2）在原方程中，同时将换成，且将换成，方程不变，就说明曲线关于原点对称；（3）在原方程中，将，，互换，方程不变，因此曲线关于直线对称；（4）时，，所以，不满足，即（4）不正确.【考点】轨迹方程．三、解答题1.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．2.已知命题：存在使得成立，命题：对于任意，函数恒有意义.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据函数的根的存在性定理分两类存在一个满足条件和存在两个满足条件，求出是真命求实数的取值范围；（2）本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先求出简单命题为真命题的参数范围，再根据真值表进行判断．试题解析：（1）设，对称轴为，若存在一个满足条件，则，得，若存在两个满足条件，则，得，故满足条件的实数的取值范围为.（2）由题意知都为假命题，若为假命题，则或若为假命题，则由得或，故满足条件的实数的取值范围为或.【考点】复合命题的真假．3.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，底面是边长为的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（1）求证：侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值．【答案】（1）证明：连接并延长与交于点，则由题意及相似关系可知点为的中点，所以三点共线，从而可得，因此侧面；（2）．【解析】（1）要证明直线侧面，即证明平行于侧面的某条直线，而由题意及相似关系易知，即可证明之；（2）这问的关键是找出平面与底面所成二面角的平面角，由侧面底面知，过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，于是即为所求二面角的平面角，然后根据相似关系可求该二面角的平面角的正切值．试题解析：（1）证明：连接并延长与交于点，则由题意及相似关系可知点为的中点，所以三点共线，从而可得，因此侧面．（2）经过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，所以即为所求二面角的平面角且，则，并由相似关系得：，故，即为所求二面角的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．4.已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线，且直线的方程为．【解析】（1）由题意可得的两个关系式即，解之即可得椭圆的方程；（2）先假设存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用点恰为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设直线的方程为，代入椭圆方程，求，，，，均用含的式子表示，再代入上面所求等式中，求，若能求出，则存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心，若求不出，则不存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．试题解析：（1）由题意可得，解得，，故椭圆方程为．（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，因为，，故．于是设直线的方程为，由得．由，得，且,．由题意应有，又，故，得．即．整理得．解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程为．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．。

浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） l (-A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，是直线的一个方向向量， (-l所以直线的斜率 l k =所以直线的倾斜角为． l 120︒故选：C ．2．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）．A ．150，15B ．150，20C ．200，15D ．200，20【答案】A【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容A B C 10%量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数. C 15%50%C 【详解】由图得样本容量为，1()35020045015%100015%150++⨯=⨯=抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户． 20015%30⨯=C 300.515⨯=故选：A.3．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1111ABCD A B C D -1，且两两夹角为，则的长为（ ）60︒1ACAB ．2C D【答案】D【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. AB a =AD b =1AA c = 1AC a b c =++ 1AC 【详解】解：记，，，AB a =AD b =1AA c = 由题意可知，，1a b c === ,,,60a b b c c a ︒〈〉=〈〉=〈〉=所以，11cos 601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭所以1AC =1AC 故选：D.4．设空间两个单位向量与向量，则()(),,0,0,,OA m n OB n p == ()1,1,1OC = （ ）,OA OB =A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由n m p===即可求结果.2cos ,OA OB n =【详解】由题意可得，即，222211cos ,cos ,m n n p OA OCOB OC ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪==⎪⎩222211m n n p m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩n m p ==又，即，且， 2cos ,OA OB n = 1cos ,2OA OB = ,[0,π]OA OB ∈ 所以.π,3OA OB =故选：C5．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，记垂足为，点在双曲线上，且22221x y a b-=F P Q 满足，则双曲线的离心率为（ ）FP PQ =ABCD ．2【答案】A【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由P b y x a =-FP ()ay x c b =+2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案. FP PQ = 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：设在渐近线上，直线的方程为，P b y x a=-FP ()ay x c b =+由，得，即，()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，得为的中点，又因为 FP PQ =P FQ (),0F c -所以， 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在双曲线上，所以化简得： Q 2222222()41,2c a a a c c --=225,c a =所以 ce a==故选：A6．已知函数在处有极值0，则的值为（ ） 322()3f x x ax bx a =+++=1x -a b +A ．4 B ．7C ．11D ．4或11【答案】C【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求()f x =1x -'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩,a b 得答案【详解】解：由，得， 322()3f x x ax bx a =+++'2()36f x x ax b =++因为在处有极值0，()f x =1x -所以，即，解得或，'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩2130360a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩13a b ==⎧⎨⎩29a b =⎧⎨=⎩当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍13a b ==⎧⎨⎩'22()3633(1)0f x x x x =++=+≥()f x R 去，当时，，令，得或，经检验 和都为函29a b =⎧⎨=⎩'2()3129f x x x =++'()0f x ==1x -3x =-=1x -3x =-数的极值点，综上， 29a b =⎧⎨=⎩所以， 2911a b +=+=故选：C7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准22221x y a b-=(6,A 221259x y +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．221142x y -=221133-=x y 221106x y -=221124x y -=【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方(6,A 22221x y a b-=222c a b =+程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 221259x y +=()4,0±双曲线焦点为，且， ∴()4,0±4c =将代入双曲线，(6,A 22221x y a b-=得， 223681a b-=又， 22216c a b =+=解得，，212a =24b =故双曲线的方程为，221124x y -=故选：D.8．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是,()0x ∈+∞e ln 1ax x x ax ++<（ ） A ．B ．C ．D ．21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),e -∞-(),1-∞-【答案】B【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究e ln e 1ax ax x x +<()lnf x x x =+(e )(1)ax f x f <单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围. ()f x 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =【详解】由题设，即，e ln ln e 1ax ax x x ++<e ln e 1ax ax x x +<令且，上述不等式等价于，()ln f x x x =+,()0x ∈+∞(e )(1)1ax f x f <=而，故在上递增，则有在上恒成立， 1()10f x x'=+>()f x (0,)+∞e 1ax x <(0,)+∞所以在上恒成立，记，令，则，11ln a x x <(0,)+∞1t x=∈(0,)+∞()ln g t t t =()1ln g t t =+'当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，10et <<()0g t '<()g t 1e t >()0g t '>()g t 所以在上递减，在上递增，则，故.11ln y x x =(0,e)(e,)+∞min e 1|e x y y ===-1e<-a 故选：B.【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为e ln e 1ax ax x x +<()ln f x x x =+在上恒成立，再次构造研究最值求范围. 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()124,0,4,0F F -221259x y +=B ．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()125,0,5,0F F -221169x y -=C ．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P 的轨迹方程(),P x y ()5,0F (),P x y :5l x =-为220y x =D ．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 ()()2,0,2,0A B -(),P x y 12PA AB =(),P x y 0x =【答案】AC【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A ：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，，210a =5a =4c =x 29b =所以动点P 的轨迹方程为，A 对；221259x y +=选项B ：由双曲线定义可知，， 1228PF PF a -==所以，，，4a =5c =29b =所以动点P 的轨迹方程为，，B 错；221169x y -=()0x >选项C ：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 52p=所以动点P 的轨迹方程为，C 对； 220y x =选项D ：因为， 122PA AB ==由圆的定义可知，圆心，半径， ()2,0A -2r =所以动点P 的轨迹方程为，D 错； ()2224x y ++=故选：AC.10．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，将沿DE 翻折到的位置，22AB AD ==ADE V 1A DE △1A ∉平面ABCD ，M 为的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ） 1AC A ．恒有平面 //BM 1A DE B ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥 1A DEM -D ．存在某个位置，使得平面平面 1A DE ⊥1ACD 【答案】CD【分析】对选项A ：取的中点,可得，所以平面；（也可以延长1A D N //BM EN //BM 1A DE ,DE CB 交于,得,从而平面）H 1//MB A H //BM 1A DE 对选项B ：在可求得为定值，所以为定值；DNE △EN BM 对选项C ：三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，当平面平面1C A DE -1M A DE -1A DE ⊥ABCD 时，求得三棱锥体积的最大值，可求得三棱锥的体积的最大值；1C A DE -1A DEM -对选项D ：假设平面平面，由面面垂直可得，求得，故,,三1A DE ⊥1ACD 11A E A C ⊥11A C =1A C D 点共线，与平面矛盾.1A ∉ABCD【详解】对选项A ：取的中点,连结，，可得且，所以四边形是平1A D N MN EN =MN BE //MN BE BMNE 行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故选项A 结论正//BM EN BM ⊄1A DE EN ⊂1A DE //BM 1A DE 确；（也可以延长交于,所以，所以,又平面，平面,DE CB H HB BC =1//MB A H BM ⊄1A DE 1A H ⊂1A DE ，从而平面） //BM 1A DE对选项B ：因为，， 12DN =DE =145A DE ADE ∠=∠=︒根据余弦定理得，得 211522424EN =+-=EN =因为，故，故选项B 结论正确； EN BM =BM =对选项C ：因为为的中点，M 1AC 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，1C A DE -1M A DE -故三棱锥的体积，其中表示到底面的距离，1C A DE -1113C A DE A DEC CDE V V S h --==⋅A h 1A ABCD当平面平面时，达到最大值，此时 1A DE ⊥ABCD h h此时 111121332A DEC CDE V S h -=⋅=⨯⨯⨯=A所以三棱锥C 结论错误； 1A DEM -对选项D ：假设平面平面，平面平面，，平面1A DE ⊥1ACD 1A DE 11A CD A D =11A E A D ⊥1A E ⊂，1A DE 故平面，又平面，所以， 1A E ⊥1ACD 1AC ⊂1ACD 11A E A C ⊥则在中，，. 1A CE △190EA C ∠=︒11,A E EC ==11A C =又因为，，所以，故,,三点共线，11A D =2CD =11A D A C CD +=1A C D 所以，得平面，与题干条件平面矛盾，故选项D 结论错误； 1A CD ∈1A ∈ABCD 1A ∉ABCD 故选：CD11．已知曲线分别是曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）2212:1,,9x y C F F m+=A ．若，则曲线C 的两条渐近线所成的夹角为3m =-2π3B ．若曲线C 的离心率，则2e =27m =-C ．若，则曲线C 上不存在点P 使得 6m =12π2F PF ∠=D ．若，P 为曲线C 上一个动点，则面积的最大值为 4m =12F PF △【答案】BC【分析】对于A 选项：求出双曲线的渐近线，求出两渐近线的夹角； 对于B 选项：根据双曲线的离心率求即可；m 对于C 选项：先判断出短轴顶点与两焦点连线夹角为锐角，可知不成立； M 12π2F PF ∠=对于D 选项：当P 在短轴顶点时面积的最大值.12F PF △【详解】对于A 选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程3m =-22:193x y C -=x为， y =故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A 选项错误；π5π,66C π3对于B 选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故， 2e =C x 3,2a e ==6c =所以，所以，故B 选项正确；2236927m c a -=-=-=27m =-对于C 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，6m =22:196x y C +=x 2229,6,3a b c ===设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，C (M 则，故为锐角，222122461cos 02183a a c F MF a +-∠===>12F MF ∠所以曲线上不存在点，使得，故C 选项正确；C P 12π2F PF ∠=对于D 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，4m =22:194x y C +=x 此时，为上一个动点，2229,4,5a b c ===P C则面积的最大值为D 选项错误. 12PF F △112222S c b =⨯⨯=⨯⨯=m ax 故选：BC12．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ） ()ln f x x x =()212g x x =A ．若方程有两个不同的实数根，则；()f x k =1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程恰好只有一个实数根，则；()2kf x x =0k <C ．若，总有恒成立，则； 120x x >>()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦m 1≥D ．若函数有两个极值点，则实数．()()()2F x f x ag x =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交()y f x =y k =点，即可判断A 选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有1x =1x ≠y k =ln xy x=一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增1122()()()()mg x f x mg x f x ->-()()y mg x f x =-(0,)+∞函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C 选项；m 有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 2()ln (0)F x x x ax x =->【详解】解：对于A ，的定义域，， ()f x (0,)+∞()ln 1f x x '=+令，有，即，()0f x '>ln 1x >-1x e>可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，()f x 1(0,)e 1+e ∞（，），且当时，又，min 11()()f x f e e∴==-0x →()0f x →(1)0f =从而要使得方程有两个不同的实根，()f x k =即与有两个不同的交点，所以，故A 正确；()y f x =y k =1(,0)k e∈-对于B ，易知不是该方程的根，1x =当时，，方程有且只有一个实数根， 1x ≠()0f x ≠2()kf x x =等价于和只有一个交点， y k =ln xy x=，又且， 2ln 1(ln )-'=x y x 0x >1x ≠令，即，有，0'>y ln 1x >>x e知在和单减，在上单增， ln xy x=0,1（）1e （，）+e ∞（，）是一条渐近线，极小值为, 1x =e 由大致图像可知或，故B 错误； ln xy x=0k <=k e 对于C ，当时，恒成立， 120x x >>[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-等价于恒成立， 1122()()()()mg x f x mg x f x ->-即函数在上为增函数， ()()y mg x f x =-(0,)+∞即恒成立， ()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥即在上恒成立， ln 1+≥x m x (0,)+∞令，则，ln 1()x r x x+=2ln ()xr x x -'=令得，有，()0r x '>ln 0x <01x <<从而在上单调递增，在上单调递减， ()r x (0,1)(1,)+∞则，于是，故C 正确； max ()(1)1r x r ==m 1≥对于D ，有两个不同极值点， 2()ln (0)F x x x ax x =->等价于有两个不同的正根， ()ln 120F x x ax +-'==即方程有两个不同的正根， ln 12x a x+=由C 可知，，即，则D 正确. 021a <<102a <<故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．三、填空题13．甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是______． 【答案】815【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可. 【详解】解：分两种情况讨论如下：甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为1223515⨯=；甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；232355⨯=综上，所求概率为. 22851551+=故答案为：． 81514．已知，，，点Q 在直线OP 上运动，则当取得最(1,2,3)OA = (2,1,2)OB = (1,1,2)OP =QA QB ⋅ 小值时，点Q 的坐标为（O 为坐标原点）__________.【答案】448,,333⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. QA QB ⋅【详解】设，则，(,,)Q x y z (,,)OQ x y z =因为点Q 在直线OP 上运动，所以， OP OQ∥所以，即，， 112x y z==y x =2z x =所以， (,,2)OQ x x x =所以()()(1,2,32)(2,1,22)QA QB OA OQ OB OQ x x x x x x ⋅=-⋅-=---⋅---=， 2(1)(2)(2)(1)(32)(22)61610x x x x x x x x --+--+--=-+所以当时，取得最小值，此时点Q 的坐标为. 164263x -=-=⨯QA QB ⋅ 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.448,,333⎛⎫⎪⎝⎭15．已知直线，若∥，则与之间的距离为__________. 12:2320,:640l x my m l mx x +-+=+-=1l 2l 1l 2l【详解】∵∥，∴∴，∴直线的方程分别为,1l 2l ()23120{62120m m m -=-++≠2m =12,l l 30,320x y x y +=+-=1l与2l. 16．已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 m n ()e 1x f x mx n =-+-()0f x ≥R x ∀∈n mm-______. 【答案】1-【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小0m >值，依题意可得，即可得到，从而得到()min ln 10f x m m m n =-+-≥ln 1n m m m ≥-+，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出1ln 2n m m m m -≥-+()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞函数的最小值，即可求出的取值范围. n mm-【详解】解：因为，所以，()e 1x f x mx n =-+-()e x f x m '=-若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题0m ≤()0f x '>()f x R x →-∞()f x →-∞意，所以，令，解得，当时，当时， 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<ln x m >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),ln m -∞()ln ,m +∞所以， ()()min ln ln 10f x f m m m m n ==-+-≥所以，则， ln 1n m m m ≥-+ln 21n m m m m -≥-+则， 1ln 2n m m m m-≥-+令，， ()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞则，所以当时，当时， ()22111x g x x x x-'=-=1x >()0g x '>01x <<()0g x '<即在上单调递减，在上单调递增，所以， ()g x ()0,1()1,+∞()()min 11g x g ==-所以，即的最小值为. 1n mm -≥-n m m-1-故答案为：1-【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： ，得到如下的频率分[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,,90,100⋯布直方图．(1)求出频率分布直方图中m 的值：利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的的概率． 【答案】(1)，平均数为71，众数为75，中位数为； 0.030m =73.33(2) 310【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，利用频率分布直方图求出平均数，众0.030m =数和中位数；（2）先求出一等品和二等品频率之比，进而利用分层抽样得到抽出10个口罩中，一等品和二等品的个数，再利用超几何分布求出答案.【详解】（1），解得， ()100.0050.0100.0150.0150.0251m ⨯+++++=0.030m =估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为，()450.010550.015650.015750.030850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为的频率为，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数[)70,800.030100.3⨯=为， 7080752+=因为，，100.0100.10.5⨯=<()100.0100.0150.250.5⨯+=<，，()100.0100.0150.0150.40.5⨯++=<()100.0100.0150.0150.0300.70.5⨯+++=>故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在内， [)70,80设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为， x 则，解得，()700.0300.50.4x -⨯=-73.33x ≈故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为.73.33（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为二等品的频率为，故一等品的频率为，()100.0100.0150.0150.4⨯++=10.40.6-=故一等品和二等品频率之比为，0.6:0.43:2=故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为310632⨯=+个，二等品个数为4个，所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 1264310C C 3C 10=18．已知直线和圆．():12530,R l m x my m m -+-+=∈()()22:214C x y -+-=(1)证明：圆C 与直线l 恒相交；(2)求出直线l 被圆C 截得的弦长的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)【分析】（1）求出直线过的定点A ，得到在圆C 内，证明出圆C 与直线l 恒相交； ()3,1A （2）数形结合得到直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小AC 值.【详解】（1）变形为，():12530l m x my m -+-+=()0253m x y x -+-=+令，解得，25030x y x +-=⎧⎨-+=⎩31x y =⎧⎨=⎩故直线过定点，l ()3,1A 因为，故在圆C 内，故圆C 与直线l 恒相交；()()22321114-+-=<()3,1A （2）因为直线过定点，且在圆C 内， l ()3,1A ()3,1A 故当直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小， AC其中，1CA ==圆的半径为2， ()()22:214C x y -+-=故弦长最小值为=19．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋6x －a .92（1）若对任意实数x ，≥m 恒成立，求m 的最大值； ()f x '（2）若函数f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪. 345(,)2+∞【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围． 【详解】（1）＝3x 2－9x ＋6＝，()f x '23333(244x --≥-由≥m 恒成立，可得m ≤－， ()f x '34即m 的最大值为－. 34（2）＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)， ()f x '由>0⇒x >2或x <1，由<0⇒1<x <2，()f x '()f x '∴f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f （1）＝－a ，f (x )极小值＝f （2）＝2－a . 52∵f (x )恰有一个零点，∴－a <0或2－a >0， 52即a <2或a >， 52所以a 的取值范围为(－∞，2)∪.5(,)2+∞20．如图①，在等腰梯形ABCD 中，，将沿AC 折起，使得,222AB CD AB AD CD ===∥ADC △，如图②．AD BC ⊥(1)求直线BD 与平面ADC 所成的角；(2)在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角的平面角的大小为?若存在，指出点E 的E AC D --π4位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1). π4(2)存在,分析见解析.【分析】（1）通过线面垂直的判定证明平面ADC ，直线BD 与平面ADC 所成的角，即为BC ⊥，通过即可求出结果. （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，BDC ∠tan BCBDC DC∠=C CA x CB 所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC 的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用向量法求y C z 出满足的点E ，使得二面角的平面角的大小为，并能求出相应的()01BE tBD t =≤≤ E AC D --π4实数的值.t 【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，，,222AB CD AB AD CD ===∥由平面几何知识易得，∴π3B = , 22222π21221cos33AC AB BC ∴=+-⨯⨯⨯==-,又，，平面ADCAC CB ∴⊥ AD BC ⊥ AD AC A = BC ∴⊥直线BD 与平面ADC 所成的角，即为， ∴BDC ∠. 1πtan 1,14BC BDC BDC DC ∠===∴∠= 直线BD 与平面ADC 所成的角为.∴π4（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为. E AC D --π4由（1）知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作AC CB ⊥ C CA x CB y C 垂直于平面ABC 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.z平面ADC ，又平面ABC ，平面ADC 平面ABC ，是顶角为的等腰三BC ⊥ BC ⊂ ∴⊥ADC ∠2π3角形，知轴与底边上的中线平行， z ADC △则 ())()10,0,00,1,02C AB D ⎫⎪⎪⎭，，，，,令，则 11,)2CA BD ∴==- ()01BE tBD t=≤≤ ,2t E t ⎫-⎪⎪⎭，，设平面ACE 的法向量，则 ,2t CE t ⎫∴=-⎪⎪⎭ (),,m x y z = 00CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，， ()0210t y tz =-+=⎪⎩y t =()21z t =-()0,,22m t t ∴=- 平面ADC 的一个法向量为.要使二面角的平面角的大小为，()0,1,0n = E AC D --π4则或（舍去）. πcos 4m n m n ⋅===⋅ 23t =2t =所以在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为，此时E 在线段BD 上靠E AC D --π4近D 的三等分点处.21．已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M 12F MF ∠最大值时，.π3()1216MF MF MF +⋅= (1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为P 4x =P x P C PA PB ，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为A B B x B 'AB 'x G 2AF G △2BF G △1S ， ，求的最大值.2S 12S S -【答案】(1)22143x y +=【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求与的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中a c ，即可求得与，也就得出椭圆方程.222a b c =+a b (2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线的定点坐标，然后解AB 设的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点的坐标，由此求出的关系AB G 12S S -式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意有当为椭圆短轴端点时M 最大，此时，则 12F MF ∠12π3F MF ∠=为正三角形，则12F MF △2a c =且()1211π22cos66MF MF MF MO MF b a +⋅=⋅=⋅==，，∴ba =222a b c =+∴2a =b =1c =故椭圆方程为.22143x y +=（2）设，，， ()11,A x y ()22,B x y ()()4,0P t t ≠若，则切线方程为，10y =1x x =若，则在处的切线的斜率必定存在， 10y ≠A 设该切线的方程为，()1111y k x x y kx y kx =-+=+-由可得， 11223412y kx y kx x y =+-⎧⎨+=⎩()22113412x kx y kx ++-=整理得， ()()2221111348()4120k x k y kx x y kx ++-+--=故， ()()2222111164()4344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦整理得到：，故，2211211390216x x k k y y ++=1134x k y =-故切线方程为：， 211111111333124444x x x y x y x y y y y =-++=-+故：， PA 11143x x y y+=综上，：，同理： PA 11143x x y y +=PB 22143x x y y +=因，都过点，则，PA PB ()4,P t 1113y t x +=2213y tx +=则方程为，即过定点. AB 13ytx +=AB ()1,0故设方程为，，AB 1x my =+0m ≠联立， 2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩ ∴()2234690m y my ++-=，，又 ∴122634m y y m -+=+122934y y m -=+()22,B x y '-直线方程为：，令得 AB '()211121y y y y x x x x ---=--0y =()()122112211212121212112G my y my y x y x y my y y y x y y y y y y ++++++===+++， 21212293421214634y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+=-++∴()4,0G ∴12212122613322234mS S F G y y y y m -=⋅-=+=⋅+2994343m m m m==≤=++当且仅当即，43m m =243m=m =故最大值为12S S -22．设，，已知和在处有相同的切线.()()1xf x ae x =+()22g x x bx =++()f x ()g x 0x =（1）求，的解析式；()f x ()g x （2）求在上的最小值；()f x [],1(3)t t t +>-（3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 2x ∀≥-()()kf x g x ≥k 【答案】（1）；.()2(1)x f x e x =+2()42g x x x =++（2）． 2min2,32()2(1),2x e t f x e t t ⎧--<<-=⎨+≥-⎩（3）.2[1,e ]【详解】试题分析：（1）先求的导函数，再由题设得：.2()(1),()2x f x ae x g x x bx =+=++，从而可列方程组解得的值；,a b （2）利用导数判函数的单调性，进而求出函数在上的最小值；()(1)x f x ae x =+()f x [,1](3)t t t +>-要注意对 的取值分类讨论；t （3）令，利用导数研究此函数的极值，由其极小值非()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---负可求实数的取值范围.k 试题解析：解：（1）()(2)x f x ae x '=+()2g x x b =+'依题意，即， 2{2a a b ==2{4a b =∴= ()2(1)x f x e x =+（2）()2(2)x f x e x +'=在上递减，在递增()f x (,2)-∞-(2,)-+∞3t >- 12t ∴+>-①当时32t -<<-在递减，在递增()f x [,2]t -[2,1]t -+2min ()(2)2f x f e -=-=-②当时 在递增2t ≥-()f x [,1]t t +min ()()2(1)tf x f t e t ==+ 2min2 32(){2(1) 2t e t f x e t t --<<-∴=+≥-（3）令()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---由题意时 恒成立2x ≥-()0F x ≥()0220,1F k k ∴=-≥∴≥()()()221x F x x ke =+-'在 上只可能有一个极值点 ()2,x F x ≥-∴ [)2,-+∞1lnk①当 即 时， 在递增 1ln2k<-2k e >()F x [)2,-+∞不合题意 ()()()22min 22F x F e k e ∴=-=-②当 ，即 时 符合题意 1ln2k =-2k e =()()min 20F x F =-=③当，即 时 1ln 2k=-21k e ≤<在 上递减，在 上递增； ()F x 12,ln k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1ln ,k ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ 符合题意 ()()min 1ln ln 2ln 0F x F k k k ⎛⎫==⋅-> ⎪⎝⎭综上所述实数的取值范围是：k 21e ⎡⎤⎣⎦，【解析】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想与分类讨论的思想.。

浙江省名校高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江省名校高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（ ） 212x y =A ．B ．C ．D ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】由题意可知，所以抛物线的焦点坐标为， 11224p p =⇒=212x y =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：D2．过点向圆作切线，则切线长为（ ） ()0,022(3)(4)1x y -+-=A ．B ．5CD ．24【答案】A【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.【详解】因为圆的圆心为，半径为， 22(3)(4)1x y -+-=()3,4C 1r =作出图形，连接，易知， ,OC PC PC PO ⊥因为到的距离为， ()0,0O ()3,4C 5OC ==.==故选：A.3．若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（ ）()y f x =()y f x =()y f x '=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解. ()f x 【详解】由函数的图象可知，当时，从左向右函数先增后减， ()f x 0x <()f x 故时，从左向右导函数先正后负，故排除AB ； 0x <()f x '当时，从左向右函数先减后增，0x >()f x 故时，从左向右导函数先负后正，故排除D. 0x >()f x '故选：C.4．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有，则（ ）22OP OA OB OC =-++A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面【答案】B【分析】根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.,,AP BP PC 【详解】由，得， 22OP OA OB OC =-++=2(+)OP OB OC OP OP OA --- 即，故共面.2BP PC AP =+,, AP BP PC 又因为三个向量有同一公共点P ，所以共面. ,,,P A B C 故选：B5．中国营养学会把走路称为“最简单､最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能､血管弹性､肌肉力量等，甲､乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（ ）A ．甲走路里程的极差等于11B ．乙走路里程的中位数是27C ．甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差 【答案】C【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】由图可知，7-12月甲走路的里程为：31,25,21,24,20,30， 乙走路的里程为：29,28,26,28,25,26，所以甲走路里程的极差等于，故A 正确； 312011-=乙走路里程的中位数是，故B 正确； 2628272+=甲下半年每月走路里程的平均数为，31252124203015166+++++=乙下半年每月走路里程的平均数为，29282628252616236+++++=故C 错误；由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据， 所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差， 故D 正确. 故选:C.6．已知椭圆C ：，F 为椭圆C 的左焦点，A 点为椭圆C 上一点，点A 关于坐标()22221,0x y a b a b+=>原点的对称点为B ，，则该椭圆的离心率可以为（ ）π2AFB ∠<A ．BCD 12【答案】C【分析】设为椭圆的右焦点，为椭圆的上顶点，连接，，，，根据题意得到2F M 2AF 2BF MF 2MF 四边形为平行四边形，从而得到，结合余弦定理得到，从而得2AFBF 22π2FMF FAF ∠>∠>222a c <，即可得到答案. 1e <【详解】设为椭圆的右焦点，为椭圆的上顶点，连接，，，，如图所示：2F M 2AF 2BF MF 2MF因为A 点为椭圆C 上一点，点A 关于坐标原点的对称点为B ， 所以四边形为平行四边形. 2AFBF 因为，所以，π2AFB ∠<2π2FAF ∠>因为， 22π2FMF FAF ∠≥∠>所以，即， ()222222cos 02a a c FMF a+-∠=<222a c <所以. 212e >1e <<因为，故A ，B ，D 错误， 12⎫⎪⎪⎭故选：C7．已知函数．则下列结论中正确的是（ ）()()()320,e x f x x x x +-=∈+∞A ．函数既有最小值也有最大值 B ．函数无最大值也无最小值 ()y f x =()y f x =C ．函数有一个零点 D ．函数有两个零点()y f x =()y f x =【答案】C【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB 错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C 正确，D 错误，得到答案.()32g x x x =+-()10g =【详解】，，，， ()()()2323133e e x xx x f x x x x '--+-+-+==()0,x ∈+∞210x +>e 0x >当时，，函数单调递增； ()0,3x ∈()0f x ¢>当时，，函数单调递减. ()3,x ∈+∞()0f x '<故函数有最大值，无最小值，AB 错误，设，则恒成立，函数单调递增，()32g x x x =+-()2310g x x '=+>且，故函数有一个零点，C 正确，D 错误. ()11120g =+-=故选：C8．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依12F F 、T S 1F 次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，S T 1F 1t S 1F 经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）T 1F 2t 213t t =T SA ．B ．C ．D ．1:21:32:13:1【答案】D【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据1ABF A 1CDF A 光速相同，且 求解.213t t =【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得， 1212BF BF a +=2122AF AF a -=两式相减得 ， 11221222BF AF BF AF a a ++-=-所以 的周长为 ， 1ABF A 1222a a -在图②中，的周长为，1CDF A 14a因为光速相同，且 ，213t t =所以 ，即 ， 1122122143ta a t a -==123a a =所以，122:23:1a a =即的长轴长与的实轴长之比为， T S 3:1故选：D二、多选题9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）A ．事件A 与事件B 的样本点数分别为12，8 B ．事件A ，B 间的关系为 A B ⊆C ．事件发生的概率为D ．事件发生的概率为A B ⋃1120A B ⋂25【答案】CD【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A 、B 的结果情况，即可判断选项A 、B ；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C 、D.【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，(),a b 则所有的情况有：，，()()()()()1,1,1,2,1,3,1,5,1,6()()()()()2,1,2,2,2,3,2,5,2,6，，共20种，()()()()()3,1,3,2,3,3,3,5,3,6()()()()()4,1,4,2,4,3,4,5,4,6其中满足事件A 的结果有：，，，()()1,5,1,6()()2,5,2,6()()()3,3,3,5,3,6，共11种，()()()()4,2,4,3,4,5,4,6其中满足事件B 的结果有：，，()()2,5,2,6()()()3,3,3,5,3,6，共8种，故选项A 错误；()()()4,3,4,5,4,6因为事件B 的结果均在事件A 中包含，故，故选项B 错误； B A ⊆因为，所以的结果数有11种， A B A ⋃=A B ⋃所以，故选项C 正确； ()1120A B P =因为，所以的结果数有8种，A B B = A B ⋂故，故选项D 正确. ()82025A B P == 故选：CD10．已知圆M ：，直线l ：，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M ()()22114x y +++=20x y +-=的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线AB 的方程为 B ．四边形MAPB 面积的最小值为4 ()1,1P 0x y +=C ．线段AB 的最小值为D ．当时，点P 横坐标取值范围是3APB π∠>()1,3-【答案】ABD【分析】当时，可求出点到直线距离，然后结合斜率可解得直线AB 的方程，即可判()1,1P M AB断A ，对于B ，，求出的最小值即可判断，对1222MAPB APM S S AM PA ==⨯⨯⨯=A PM 于C ，可分析出最小时，最小，即可判断，对于D ，当时，可求出，PM AB 3APB π∠>4PM <然后可求出点P 横坐标取值范围，即可判断.【详解】圆M ：的圆心，半径为，()()22114x y +++=()1,1M --2对于A ，当时，，所以是等腰直角三角形， ()1,1P PM =2=PAM △所以，， 45AMP ∠=︒90AMB ∠=︒所以点到直线距离为， M AB 2ABMS AB==A 因为，所以，设的方程为， 1PM k =1AB k =-AB y x m =-+由点到直线，解得或（舍）M AB 0m =4m =-所以直线AB 的方程为，故A 正确， 0x y +=对于B ，因为，， 2MA MB ==PA AM ⊥，所以，1222MAPB APM S S AM PA ==⨯⨯⨯=A当取最小值时，四边形MAPB ，PM所以四边形MAPB 面积的最小值为，故B 正确；4=对于C ，因为在中，，所以当最小时，最小，MAB △2MA MB ==AMB ∠AB当最小时，最小，最小，最小，AMB ∠AMP ∠πsin 4PA AM =⨯PM 由前面知，所以此时C 错误， minPM=142MAPB S PM AB =⋅=AB =<对于D ，当时，，所以， 3APB π∠>6APM π∠>21sin 2APM PM ∠=>所以，设，解得，故D 正确，4PM <(),2P x x -4<13x -<<故选：ABD11．已知抛物线C ：的焦点为F ，是C 上位于第一象限内的一点，若C()220y px p =>()00,P x y 在点P 处的切线与x 轴交于N 点，且，则下列说法正确的是（ ） 30FPN ∠=︒A． B ．以PF 为直径的圆与y 轴相切 02p PF x =+C ． D ．直线OP O 为原点） 23PF p =【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义可判断A ，算出以PF 为直径的圆的圆心和半径，可判断B ，设出切线方程为，然后与抛物线方程联立消元，由求出，然后可判断CD. ()00y k x x y =-+Δ0=k 【详解】由抛物线C ：可得，其准线方程为，()220y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-所以根据抛物线的定义可得，故A 正确，02pPF x =+以PF 为直径的圆的圆心为，半径为， 002,22p x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0224PF x p =+所以圆心到的距离等于半径，即以PF 为直径的圆与y 轴相切，故B 正确， y C 在点P 处的切线的斜率存在且不为，设其方程为，0()00y k x x y =-+联立可得，()0022y k x x y y px⎧=-+⎨=⎩2002220ky py py pkx -+-=由可得， ()20044220p k py pkx ∆=--=02y k x =所以切线的方程为，令可得， ()00002y y x x y x =-+0y =0x x =-所以，所以，()0,0N x -02pFN x PF =+=因为，所以，所以30FPN ∠=︒30FNP ∠=︒002y x =所以OPD 正确， 00y x =由可解得，所以，故C 错误， 0020022y x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩032x p =2PF p =故选：ABD12．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ） ()ln f x x x =120x x <<A ．B ．()()2112<x f x x f x ()()1122+<+x f x x f x C ．D ．当时，()()12120f x f x x x -<-ln 1x >-()()()1122212x f x x f x x f x +>【答案】AD 【分析】设，函数单调递增，可判断A ；设，则()()ln f x g x x x==()g x ()()h x f x x =+不是恒大于零，可判断B ；，不是恒小于零，可判断C ；()ln 2h x x ='+()ln f x x x =()ln 1'=+f x x 当时，，故，函数单调递增，故1x e>ln 1x >-()ln 10f x x +'=>()ln f x x x =，()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦即，由此可判断D.得选项. ()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>【详解】解： 对于A 选项，因为令，在上是增函数，所以当()()ln f x g x x x==()0,+¥120xx <<时，，所以，即．故A 选项正确； ()()12g x g x <1212()()f x f x x x <()()2112<x f x x f x 对于B 选项，因为令，所以，所以时，()()ln g x f x x x x x =+=+()ln 2g x x '=+()2,x e -∈+∞单调递增，时，单调递减．所以与无()()0,g x g x '>()20,x e -∈()()0,g x g x '<()11x f x +()22x f x +法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令，所以时，在单调递减，()ln 1f x x '=+10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，在单调递增，所以当时，，故()()0,f x f x '>1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x e <<<()()12f x f x >成立，当时，，．故C 选项错误； 1212()()0f x f x x x -<-121e x x <<()()12f x f x <1212()()0f x f x x x ->-对于D 选项，由C 选项知，当时，单调递增，又因为A 正确，成ln 1x >-()f x ()()2112<x f x x f x 立，所以 ()()()()()()()112221112221122x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ⋅⋅⋅--⋅+->+,故D 选项正确.()()()()112212x f x f x f x f x x =-+⎡-⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()()12120x x f x f x =-->⎡⎤⎣⎦故选：AD ．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题13．已知某质点的位移s （单位：米）与时间t（单位：秒）的运动方程为πcos 4s t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该质点在秒时的瞬时速度为__________米/秒． 1t =【答案】0【分析】根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度即为某点关于位移的导数，求导然后代入即1t =可.【详解】根据导数的物理意义，对运动方程πcos 4s t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导得;，令 解得；πcos sin 4s t t t t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭1t =()10t s ='=即该质点在秒时的瞬时速度为0， 1t =故答案为：014．某工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续天生产的手套数依次为（单位：万512345,,,,x x x x x 只）．若这组数据的方差为，且，则该工厂这天平均每天生产手套12345,,,,x x x x x 652150i i x ==∑5___________万只． 【答案】2【分析】由可直接求得结果.()552221111555i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑【详解】，.()()55222221111155056555i i i i s x x x x x ==⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭∑∑ 2x ∴=故答案为：.2四、双空题15．在四棱锥中，底面为平行四边形，，P ABCD -ABCD 1PA AB AD ===，为棱的中点，则______，异面直线与所成角的余弦60PAB PAD BAD ∠=∠=∠= E PC BE=BE PA 值为__________．【答案】【分析】画图，利用平面向量的表示及求模和向量数量积即可解决第一空，利用平行性质找出异面直线角，在三角形中求解即可.【详解】如图所示：连接交于点，在连接，,BD AC O OE因为，， 1PA AB AD ===60PAB PAD BAD ∠=∠=∠= 所以为等边三角形， ,,PAB PAD ABD A A A 又底面为平行四边形，ABCD 所以，1PB BC ==由，PC PA AC PA AD DC PA AD AB =+=++=++ 所以()22222222PC PA AD ABPA AD AB PA AD AB AD PA AB =++=+++⋅+⋅+⋅ ，1111112112112112222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为， 1PB BC ==所以， 222PB BC PC +=所以为等腰直角三角形， PBC A又为斜边的中点，所以 E PC BE =因为分别为的中点， ,O E ,AC PC 所以，且，OE A PA 1122OE PA ==所以异面直线与所成角为, BE PA BEO ∠因为，，1AB AD ==60BAD ∠=所以， 112BD OB =⇒=在中，,BEO △222OE OB BE +=cosEO BEO BE ∠===.五、填空题16．已知a ，，若关于x 的不等式在上恒成立，则的最大值为R b ∈1e 1x x kx b -+++≥[)1,+∞21b k --__________． 【答案】1-【分析】问题等价于的图象恒不在直线的下方，再利用导数的几何()1()e 11x f x x x -=++≥y kx b =+意义求出，最后构造函数，求出最大值即可.,k b ()e t g t t =-【详解】设，则在上单调递增， 1()e 1x f x x -=++1()e 10,()x f x f x -'=+>[)1,+∞且由及指数函数的性质可知，的图像增长越来越快，11e ()x f x -'=+()f x 而在上恒成立，等价于的图象恒不在直线1e 1x x kx b -+++≥[)1,+∞()1()e 11x f x x x -=++≥y kx b=+的下方，所以当直线与函数的图象相切时，满足题意，y kx b =+1()e 1x f x x -=++设切点为,则，()0100,e 1x x x -++01e 1x k -=+所以切线方程为，()()()001100e 1e 1x x y x x x --=++--+所以，()()()00011100011e1e 1e x x x b x x x ---+--=+++=+所以， ()000101001111()e 2e 11e x x x x b x x k -----==-≥---令，则，设，01t x =-0t ≤()e t g t t =-则，当时，单调递增.()1e t g t '=-0t ≤()()0,g t g t '≥. ()()max 01g t g ∴==-故答案为：1-【点睛】关键点睛：这道题的关键是把问题转化为的图象恒不在直线()1()e 11x f x x x -=++≥的下方，利用导数的几何意义求出.y kx b =+,k b六、解答题17．已知函数（k 为常数，且）．()()()22ln 1f x x k x =+-+0k ≠(1)当时，求在处的切线方程；1k =()f x 0x =(2)若函数在区间上存在极值，求实数k 的取值范围． ()f x ()0,1【答案】(1) 20x y +-=(2) ()0,4【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异()f x ()0,1()00,1x ∃∈()00f x '=0x 号，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）当时，，， 1k =()()()22ln 1f x x x =+-+()1,x ∈-+∞所以，()()()2002ln 012f =+-+=所以， ()121f x x x '=-+所以在处的切线的斜率为， ()f x 0x =()1020101k f '==⨯-=-+所以在处的切线方程为，即.()f x 0x =()()210y x -=--20x y +-=（2）因为，，()()()22ln 1f x x k x =+-+()1,x ∈-+∞所以， ()21kf x x x '=-+因为函数在区间上存在极值，()f x ()0,1所以，使得，两侧的导数异号， ()00,1x ∃∈()00f x '=0x 所以，即，， 00201kx x -=+20022k x x =+()00,1x ∈令，，()200022g x x x =+()00,1x ∈由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，012x =-所以在上单调递增，()0g x ()0,1所以，即, ()()()001g g x g <<()004g x <<所以实数k 的取值范围为.()0,418．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康．中国成人的BMI 数值标准是：()()22kg m BMI =体重身高为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面18.5BMI <8.523.9BMI <≤2427.9BMI ≤<27.9BMI ≥是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其BMI 值分成以下五组；，，，，，得到相应的频率分布直方图．[)12,16[)16,20[)20,24[)24,28[]28,32(1)根据频率分布直方图，求a 的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI 的样本数据的25百分位数；(2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机[)16,20[)24,28抽取两人，求抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率． 【答案】(1)，样本数据的25百分位数为.0.04a =20.5(2) 815P =【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积和为1即可求得，再由百分位数定义即0.04a =可得样本数据的25百分位数为；20.5（2）由图可知在区间，的样本数据之比为，利用分层抽样得到的数据分别为2[)16,20[)24,2812和4，再根据古典概型列举计算可得抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率为. 815P =【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4，所有矩形面积和为1， 所以，解得；()0.010.10.080.0241a ++++⨯=0.04a =由可知，样本数据的25百分位数位于区间内， ()0.0140.2a +⨯=[)20,24设第25百分位数为，则；n 0.250.220420.50.14n -=+⨯=⨯所以样本数据的25百分位数为.20.5（2）根据频率分布直方图可知，在区间，的样本数据之比为， [)16,20[)24,2812利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，[)16,20[)24,28则有2人的BMI 值在区间内，有4人的BMI 值在区间内； [)16,20[)24,28记BMI 值在区间内的编号为，在区间内的编号为； [)16,20,a b [)24,281,2,3,4从这6个人中随机抽取两人，所有样本点组成的样本空间为：，共()()()()()()()()()()()()()()(){}Ω,,,1,,2,,3,,4,,1,,2,,3,,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4a b a a a a b b b b =种组合；15设事件为“抽取到两人的BMI 值不在同一组”，则A ，共种，()()()()()()()(){},1,,2,,3,,4,1,2,,3,,4A a a a a b b b b =8所以抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率为. 815P =19．已知双曲线C ：的渐近线方程为，且过点．()222210,0x y a b a b -=>>y =)(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 是双曲线的右焦点，Q 是双曲线上的一点，过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，且，求直线l 的斜率．20MQ QF +=【答案】(1)2213x y -=(2)k =【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；y x =)（2）由题意设直线方程为，令，得到M 的坐标，设，根据()2y k x =-0x =(),Q x y 20MQ QF +=，用k 表示点Q 的坐标，再根据点Q 在双曲线上，代入双曲线方程求解.【详解】（1）解：因为双曲线C ：的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>y =所以b a =又因为双曲线C ：过点，()222210,0x y a b a b -=>>)所以，解得， 22611a b-=223,1a b ==所以双曲线的方程为；2213x y -=（2）由（1）知：，则，2224c a b =+=()2,0F 由题意设直线方程为，令，得，则，()2y k x =-0x =2y k =-()0,2M k -设，则，(),Q x y ()(),2,2,MQ x y k x y QF =+-=-因为，20MQ QF += 所以，则，()(),22,02x y k x y +-+-=4020x y k -=⎧⎨-+=⎩解得，因为点Q 在双曲线上，42x y k =⎧⎨=⎩所以，解得， 216413k -=k =所以直线l 的斜率为k =20．已知函数，． ()()21e xf x x x =+-()()4R g x a a x=-∈(1)若关于x 的方程在区间上有且仅有一个解，求实数t 的取值范围；()()21f x x tx x =+-()0,2(2)对任意的，，，求证：． 1x [)21,x ∈+∞12x x ≠()()()()1212f x f x g x g x ->-【答案】(1)(],e ∞-(2)证明见解析【分析】（1）化简得到，是方程的唯一解，在上无零点，()()01e xx tx --=1x =e x y tx =-()0,2x ∈或零点为，设，确定函数有最小值为，无最大值，恒成立，得到答案.1()e xF x x=e e 0x tx ->（2）确定单调递增，单调递减，不妨设，构造，求导得到()f x ()g x 121x x ≤<()()()h x f x g x =+函数单调递增，得到证明.【详解】（1），即，，()()()221e 1x f x x x x tx x =+-=+-()()01e xx tx --=()0,2x ∈方程仅有一解，故是方程的唯一解， 1x =故在上无零点，或零点为， e x y tx =-()0,2x ∈1当零点为时，，解得；e x y tx =-1e 0t -=e t =当无零点时，设，则， e xy tx =-()e xF x x =()()2e 1x x F x x='-当时，，函数单调递减， ()0,1x ∈()0F x '<当时，，函数单调递增，()1,2x ∈()0F x '>当趋近时，趋近于正无穷，，故函数有最小值为，无最大值. x 0()F x ()1e F =e 当时，即恒成立，即；e 0xtx ->e xt x<e t <当时，即恒成立，无解；e 0xtx -<e xt x>综上所述：(],e t ∈-∞（2），恒成立，函数单调递增，()()21e x f x x x =+-()()()01e 22e e x x xx x x f x '=++=+>-，函数在单调递减， ()4g x a x=-[)1,+∞不妨设，，121x x ≤<()()()()1212f x f x g x g x ->-即，即，()()()()2112f x f x g x g x ->-()()()()2211f x g x g x f x +>+设， ()()()()241e xa h f x g x x x x x+=+=-+-， ()32242e 42e x xh x x x x x x x '+-+==-设，恒成立，函数单调递增，()32e 4x k x x x =+-()()21e 06xx x x k ++=>'且，故恒成立，单调递增， ()2e 401k +=->()0h x '>()h x 故，即，得证.()()21h x h x >()()()()2211f x g x g x f x +>+【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用函数得到单调性去掉绝对值符号，再构造新函数，将不等式转化为函数的单调性是解题的关键.。

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}2.在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=5，则{a n }的前5项和S 5=（ ） A ．7 B ．15 C ．20D ．253.函数f （x ）=2sinxcosx 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数4.已知向量，不共线，=k +，（k ∈R ），=﹣如果∥那么（ ） A ．k=﹣1且与反向 B ．k=1且与反向 C ．k=﹣1且与同向 D ．k=1且与同向5.已知a ＜b ＜|a|，则（ ） A ．＞B ．ab ＜1C ．＞1D ．a 2＞b26.已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面a 、β，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m ⊥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ⊥n B ．若m ⊥a ，n ∥β，a ⊥β，则m ⊥n C ．若m ∥a ，n ∥β，a ∥β，则m ∥n D ．若m ∥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ∥n7.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．8.若函数y=log a （x 2﹣ax+1）有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a≠1 C ．1＜a ＜2D ．a≥29.点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 所在平面上，E 是A 1A 的中点，且∠EPA=∠D 1PD ，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线10.已知△ABC 的顶点A （3，0），B （0，1），C （1，1），P （x ，y ）在△ABC 内部（包括边界），若目标函数z=（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a ，b ）的轨迹可能是（ ）二、填空题1.已知点A （﹣2，4），B （4，2），直线l ：ax ﹣y+8﹣a=0，若直线l 与直线AB 平行，则a= _________ ．2.函数y=的值域是 _________ ．3.设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q= _________ ．4.函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx 的最大值为 _________ ．5.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为 _________m 3．6.已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y=x ﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为 _________ ． 7.已知函数f （x ）=，对任意的x ∈[0，1]恒有f （x+a ）≤f （x ）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题1.在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=1，b 1=2，b n ＞0（n ∈N *），且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3+2成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若S n +a n ＞m 对任意的正整数n 恒成立，求常数m 的取值范围． 2.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acosC+﹣b=0．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为，求bsinB+csinC 的最小值．3.如图，已知三角形△ABC 与△BCD 所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC ，CB=CD ，点P ，Q 分别在线段BD ，CD 上，沿直线PQ 将△PQD 向上翻折，使D 与A 重合． （Ⅰ）求证：AB ⊥CQ ； （Ⅱ）求BP 的长；（Ⅲ）求直线AP 与平面ABC 所成的角．4.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），直线l ：y=kx+m （k≠0，m≠0），直线l 交椭圆C 与P ，Q 两点．（Ⅰ）若k=1，椭圆C 经过点（，1），直线l 经过椭圆C 的焦点和顶点，求椭圆方程；（Ⅱ）若k=，b=1，且k OP ，k ，k OQ 成等比数列，求三角形OPQ 面积S 的取值范围．5.已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0）．（Ⅰ）（i ）若b=﹣2，且f （x ）在（1，+∞）上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （ii ）若b=﹣1，c=1，当x ∈[0，1]时，|f （x ）|的最大值为1，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （0）≥1，f （1）≥1，f （x ）=0的有两个小于1的不等正根，求a 的最小正整数值．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}【答案】D【解析】由交集的定义且可知，答案选D.【考点】集合的运算2.在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=5，则{a n }的前5项和S 5=（ ） A ．7 B ．15 C ．20D ．25【答案】B 【解析】由可知，答案选B.【考点】等差数列的通项公式（或性质）与求和公式3.函数f （x ）=2sinxcosx 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数【答案】C【解析】由二倍角公式可知f （x ）=2sinxcosx=sin2x ，因此答案选C. 【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与奇偶性4.已知向量，不共线，=k +，（k ∈R ），=﹣如果∥那么（ ） A ．k=﹣1且与反向 B ．k=1且与反向 C ．k=﹣1且与同向 D ．k=1且与同向【答案】A【解析】由已知易知，而，因此，解得，所以，答案选A. 【考点】向量的位置关系5.已知a ＜b ＜|a|，则（ ） A ．＞B ．ab ＜1C ．＞1D ．a 2＞b2【答案】D【解析】由a ＜b ＜|a|可知，由不等式的性质可知，而，所以a 2＞b 2，答案选D. 【考点】不等式的性质6.已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面a 、β，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m ⊥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ⊥n B ．若m ⊥a ，n ∥β，a ⊥β，则m ⊥n C ．若m ∥a ，n ∥β，a ∥β，则m ∥n D ．若m ∥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ∥n【答案】A【解析】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中记ABCD 为平面a ，CDC 1D 1为平面β，直线AA 1为m ，直线BB 1为n ，则m ∥n ，因此选项B 为假；同理选项D 也为假，取平面r ∥a ∥β，则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n ，因此选项C 为假，答案选A.【考点】空间几何中直线与直线的位置关系7.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】C【解析】将双曲线的渐进线方程代如抛物线方程y=x 2+1中化简得，由只有一公共点可知即，所以即，答案选C.【考点】1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系8.若函数y=log a （x 2﹣ax+1）有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a≠1 C ．1＜a ＜2D ．a≥2【答案】C 【解析】令，则，当0＜a ＜1时，为减函数，而的，因此原函数定义域为R ，在上增，上减无最小值；当a≥2时，为增函数，而的，原函数的定义域为两开区间，且在这两个区间上具有单调性，无最值，排除了A 、B 、D ，答案选C.【考点】1.对数函数的单调性；2.二次函数的单调性；3.复合函数的单调性与最值9.点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 所在平面上，E 是A 1A 的中点，且∠EPA=∠D 1PD ，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线【答案】B 【解析】由已知得即，在平面ABCD 内以AD 所在直线为x 轴，AD 中点为坐标原点建立直角坐标系，设A （1，0），B （-1，0），P （x ，y ），由建立等式化简得轨迹方程为，是圆的一般方程，所以答案选B 。

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2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥44．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．26．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．57．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．29．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是，渐近线方程是．12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为，∴直线y=x+1的倾斜角α满足tanα=，∴α=60°故选：B2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选A．3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与B1C所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，2），=（﹣2，0，﹣2），设异面直线DE与B1C1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴异面直线DE与B1C所成角的大小是30°．故选：D．5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选A．6．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．5【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选B．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．9．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P ﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是6，渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；渐近线方程为：y=x．故答案为：；12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量的坐标利用向量模的公式求，进一步求得，代入数量积求夹角公式求得向量与之间的夹角．【解答】解：由=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），得，，，∴cos＜＞=，∴向量与之间的夹角是120°．故答案为：．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是2，三角形OMF的面积是3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积．【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2；纵坐标为：y==．三角形OMF的面积是：=3．故答案为：；15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键．【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：===﹣=故答案为：16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是（4，6）．【考点】圆的一般方程．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，结合图形可得满足条件的圆的半径的范围．【解答】解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）是以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，圆心到原点的距离为．要使圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1．则4＜r＜6．故答案为：（4，6）．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），则得到x1•y1+x2•y2=（sin2α+sin2β）=﹣，即sin2α+sin2β=﹣2，根据三角函数的性质，可得sin2α=sin2β=﹣1，即可求出α=，β=，即可求出答案．【解答】解：设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）∴x1•y1+x2•y2=sinαcosα+sinβcosβ=（sin2α+sin2β）=﹣，∴sin2α+sin2β=﹣2，∵﹣1≤sin2α≤1，﹣1≤sin2β≤1，∴sin2α=sin2β=﹣1，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，∴不妨令α=，β=，∴y12+y22=sin2α+sin2β=+=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由题意得l1的斜率为﹣1，即可求直线l2的方程；（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①，由|AB|=4得，②，联立①②，求点B的坐标．【解答】解：（1）由题意得l1的斜率为﹣1，…则直线l2的方程为y+2=﹣x即x+y+2=0．…（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①…由|AB|=4得，②…联立①②解得，或即点B的坐标为B（2，0）或B（﹣2，4）．…19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．【解答】证明：（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1∴EF∥BC1．又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l1的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），…因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，则圆心M到直线l1的距离为，…因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（x M，y M+2，z M）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）联立，消去y得：，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m1+m2=0．（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，得到，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．…故a2=2．所以椭圆的标准方程为．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）由消去y得：，△=（4km1）2﹣4（2m12﹣2）（1+2k2）=8（1+2k2﹣m12）＞0x1+x2=，x1x2=…所以=同理…因为|AB|=|CD|，所以．得，又m1≠m2，所以m1+m2=0．…（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．…又m1≠m2，所以，所以…．…（或）所以，当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…2017年2月17日。

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