相似三角形的判定-高中数学知识点讲解
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单在数学的世界里，三角形相似是一个重要的概念。
判定三角形相似不仅是解决几何问题的关键，也是进一步理解和应用数学知识的基础。
那么，怎样才能准确地判定三角形相似呢？让我们一起来探索。
一、定义与性质首先，我们要明确三角形相似的定义。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形具有一些重要的性质，比如对应边的比值相等，对应角相等，对应高、对应中线、对应角平分线的比值也都相等。
二、判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定三角形相似的一个常用方法。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
为什么这个方法可行呢？因为三角形的内角和是 180 度，如果两个角分别相等，那么第三个角也必然相等。
三个角都相等的三角形，其形状是相似的。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
这个方法的关键在于夹角相等，因为只有夹角相等，边的比例关系才能决定三角形的相似性。
3、三边成比例的两个三角形相似如果三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与三角形 A'B'C'的三条边A'B'、B'C'、A'C'的比值相等，即 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么这两个三角形相似。
通过比较三条边的比例，可以直接判断三角形是否相似。
三角形的相似性知识点
三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。
本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。
在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。
正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
通常用符号~表示相似关系。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。
3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。
以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。
如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。
解决这个问题可以利用相似三角形的性质。
我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。
结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。
高中几何知识解析相似三角形的判定方法
高中几何知识解析相似三角形的判定方法相似三角形是高中几何学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
相似三角形的判定方法主要有三种：AAA相似、AA相似和相似比例判定法。
1. AAA相似判定法AAA相似是指两个三角形的对应角度相等，对应边的长度比例相等，即全等。
具体来说，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。
这种判定方法常用于证明两个三角形的相似关系。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么可以断定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似判定法AA相似是指两个三角形的两个对应角度相等，对应边长成比例，即对应边的长度比例相等。
具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们可能是相似的。
为了确定它们是否相似，我们还需要比较第三个角的大小。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以猜测它们相似。
为了确认相似关系，我们还需要比较∠C和∠F的大小。
如果两个角相等，则可以得出三角形ABC与三角形DEF相似。
3. 相似比例判定法相似比例判定法是指通过对应边的长度比例来判定两个三角形是否相似。
具体来说，如果两个三角形的三条对应边的长度比例相等，那么它们一定是相似的。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么可以断定三角形ABC与三角形DEF相似。
在实际问题中，我们常常利用相似三角形的性质来求解未知长度或角度的值。
例如，通过构建相似三角形的比例方程，在已知条件下，可以求解出未知边的长度。
这为解决实际问题提供了有力的工具。
综上所述，相似三角形的判定方法包括AAA相似、AA相似和相似比例判定法。
这些方法在高中几何学中有着重要的应用，能够帮助我们理解和解决复杂的几何问题。
通过运用这些判定方法，我们可以提高解题效率，并且深化对几何知识的理解。
相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
三角形全等相似知识点总结
三角形全等、相似知识点比较总结 !■三角形特点及相似全靠等的概：［特点：三角形的稳定性，这一特征的本质就是“边长确定，大小、形状也就确定 :概念：1、相似三角形是指形状相同的三角形。
2、全等三角形指的是两个三角形的 形状、大小完全相同。
:结论：1、可见全等三角形要在相似三角形的基础上多加几个个条件才能确定。
2、判断三角形的全等与相似实际上是看由哪几个元素能确定一”，三角形的一个元素变化，相应的边和角都会跟着变化。
两三角形相似。
AAX SSA判V角形相似。
AA平行线分线段成比例A疋SXDX XSCBF 性 质(2) (AAA)(6) (SSA)(4) (SSA)(7)斜边和一(3) (ASA)两角和它们的夹边对应 相等的两个三角形全等。
V (5) (SAS)两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。
V(1) (SSS)三边对应成比例，V(2) (AA)两角对应相等，两三(3) (SAS)两边对应成比例且 夹角相等，两三角形相似V(4) (AAS)两角和其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等。
V(1) (SSS 三边对应相等的两个三 角形全等。
V S A(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比。
(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三角形全等I戒三主三爭爭E-3^/［个唯一的一个大小或形状相同的三角形。
3、要保证三角形相似(形状一样)，对应角必须相等；要保证对应角相等，对应边变化必须成比例。
三角形相似。
三角形相似的判定定理
三角形相似的判定定理相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
判定两个三角形是否相似是数学学习中的一个关键问题。
在本文中，我们将介绍三角形相似的判定定理，帮助读者更好地理解这一概念。
什么是三角形相似在几何学中，两个三角形被称为相似三角形，如果它们的三个对应角相等，或者它们的三条边成比例。
具体来说，如果两个三角形的对应角全部相等，则这两个三角形为全等三角形；如果两个三角形的对应角不全等，但三个对应边的长度成比例，则这两个三角形为相似三角形。
相似三角形之间的对应边之比称为这两个三角形的相似比例。
相似的判定定理判定两个三角形是否相似有一些定理可以帮助我们做出判断。
以下是几条常用的相似判定定理：AA 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。
这个定理也被称为角-角相似判定定理。
SSS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的三条对应边成比例，则这两个三角形相似。
详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
这个定理也被称为边-边-边相似判定定理。
SAS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的一个角相等，两个对边成比例，则这两个三角形相似。
详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且 AB/DE = AC/DF，那么这两个三角形相似。
这个定理也被称为边-角-边相似判定定理。
总结通过学习三角形相似的判定定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质，对解决几何学中的一些问题有所帮助。
在实际问题中，利用相似三角形的性质可以简化计算，快速求解各种几何问题。
因此，掌握相似三角形的判定定理是数学学习中的一个重要内容。
希望本文能够帮助读者更深入地理解三角形相似的概念，掌握判定相似三角形的方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。
相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版
与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形知识点
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理相似三角形是指两个或者更多个三角形的对应边成比例，并且对应角相等。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有重要作用。
下面是关于相似三角形的知识点的详细梳理。
1.相似三角形的定义：两个三角形相似，意味着它们的对应角相等，并且对应边成比例。
也就是说，如果两个三角形的对应角相等，并且它们的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
2.相似三角形的性质：a.对应角相等：相似三角形的对应角相等，即对应角角度相等。
b.对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的长度之比相等。
例如，如果两个相似三角形的边长比为a/b，那么它们的各边的比例为a/b。
3.相似三角形的判定方法：a.AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两边成比例，并且它们夹角相等，则它们是相似三角形。
c.SSS判定法：如果两个三角形的三边成比例，则它们是相似三角形。
4.相似三角形的性质：a.相似三角形的高和底边之比等于高和底边对应的边之比。
b.相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
c.相似三角形的内角之比等于边长之比的平方。
5.相似三角形的应用：a.实际问题中的尺寸比较：相似三角形的边长比例可以用来比较不同尺寸的物体之间的大小关系。
例如，可以用相似三角形的原理来比较建筑物的高度，或者计算地球与月球之间的距离。
b.利用相似三角形进行测量：可以利用相似三角形的原理来测量高度、距离等不可测量的物理量。
例如，在无法直接测量一棵树的高度时，可以使用相似三角形的原理来间接测量树的高度。
c.相似三角形的证明：在证明几何定理和性质时，常常会用到相似三角形的概念。
通过证明相似三角形，可以推导出其他几何定理和性质。
相似三角形是几何学中重要的概念，它是许多几何问题的基础。
通过研究相似三角形，我们可以更好地理解几何学中的其他概念和定理，并将它们应用到实际问题中。
相似三角形的概念课件
面的问题。
解决工程问题
在工程问题中，可以利用相似三角 形解决建筑、机械、水利等方面的 问题。
解决数学问题
在数学问题中，可以利用相似三角 形解决代数、几何、概率等方面的 问题。
05
相似三角形的扩展知识
相似多边形的概念
相似多边形
如果两个多边形的对应角相等， 并且对应边的长度成比例，则这 两个多边形被称为相似多边形。
证明过程
设两个三角形为$triangle ABC$和$triangle ABD$，其中$AB parallel CD$。由于平行 线性质，我们知道$angle BAC = angle DCA$，同时$angle ABC = angle ADC$。根据 三角形的相似性质，如果两个角相等，则两个三角形相似。
在测量中的应用
测量长度
利用相似三角形的性质， 可以测量难以直接测量的 长度，如建筑物的高度、 河道的宽度等。
确定角度
通过相似三角形的应用， 可以确定角度的大小，如 测量角度、确定方位角等。
解决实际问题
在测量中，可以利用相似 三角形解决实际问题，如 土地测量、工程测量等。
在解决实际问题中的应用
解决物理问题
相似三角形的判定条件
角角判定
如果两个三角形有两个对应的角 分别相等，则这两个三角形相似。
边边判定
如果两个三角形有三组对应的边 分别成比例，则这两个三角形相
似。
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的一对对应的角相等， 并且这两个三角形的一组对应的 边成比例，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
角-角-边判定法
总结词
高考数学中的相似三角形相关知识点总结
高考数学中的相似三角形相关知识点总结相似三角形作为数学中重要的几何运算，是高考中的必考知识点之一。
本文将从相似三角形的定义、性质、题目解法等方面进行总结，带领读者深入了解相似三角形在高考中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指有相同形状但大小有所不同的三角形。
对于两个三角形ABC和DEF，若它们对应的角度相等，则它们是相似三角形。
通常用∆ABC∼∆DEF表示两个相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的相应边成比例对于∆ABC∼∆DEF，在相似三角形中，对应边的比值是相等的。
通常用以下比例式表示：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中，AB、BC、AC分别表示∆ABC的边长，DE、EF、DF分别表示∆DEF的边长。
2. 相似三角形的对应角度相等对于∆ABC∼∆DEF，它们的三个角度对应相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
3. 相似三角形的周长比例等于边长比例对于∆ABC∼∆DEF，它们的周长比例等于边长比例，即(AB+BC+AC)/(DE+EF+DF)=AB/DE三、相似三角形的题目解法1. 相似三角形的证明（1）证明∆ABC和∆DEF相似在证明∆ABC和∆DEF相似时，需要证明它们对应的角度相等以及对应边长成比例。
如果两个三角形的任意两个角度相等，则它们是相似三角形。
同时，如果两个三角形的一组对应边长成比例，则另外两组对应边长也成比例。
（例如AB/DE=BC/EF，则AC/DF也成比例）（2）应用相似三角形求解在求解问题时，通常要利用相似三角形的性质进行计算。
例如，假设∆ABC和∆DEF是相似的，已知AB=6cm，DE=8cm，BC/EF=2/3，求AC/DF的值。
首先，可以利用比例式BC/EF=2/3求出BC和EF的值。
BC=2/3×EF=16/3cm。
由于已知AB=6cm和BC=16/3cm，可以求出AC的值。
根据勾股定理得AC=√（AB²+BC²）=√（36+256/9）=2√（229/9）cm。
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
人教版高中数学选修41教材用书第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质1.相似三角形
三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．相似三角形的判定如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB解析：选C 在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD中，AEEB＝AFFD，BGGC＝DHHC，EH，FG相交于点O.求证：△OEF∽△OHG.证明：如图，连接BD.∵AEEB＝AFFD，∴EF∥BD.又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF . ∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ， 则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ， 所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa ＝2， 所以AD EC ＝DE CF. 又因为∠D ＝∠C ＝90°， 所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC. 相似三角形的应用如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD .∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得CDFA ＝DE AE.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC ＝DF AF.证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DB AD， ∴AB AC ＝DFAF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ， 因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角， 所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ， 所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：选B 因为∠A＝∠C，BCAE ＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.二、填空题5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC ＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：∵∠BAC＝∠ADC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC.又∵AC＝8，BC＝16.∴CD＝4.答案：46．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC 的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BFAF.∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB . 求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC. ∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AFAD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD.∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE .∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD，∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
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相似三角形的判定
1．相似三角形的判定
【知识点的知识】
相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
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