解解析几何的常用方法

y x

A

B

C

A 1

O

F

解解析几何的常用方法

一、利用12x x -=

（或12y y -=

）将与长度或面积有

关问题与韦达式联合

例1，从抛物线2

2y p x =外一点(2,4)A --引倾角为0

45的直线交抛物线于12,P P 两点。若

1122,,AP P P AP 成等比数列，求抛物线方程。

分析：设111(,)P x y ,222(,)P x y 由已知易得，直线方程为2y x =-，代入2

2y p x =中，可得

2(42)40x p x -++=，所以2

(42

)160p ∆=+->，解得0p >或4p <-，且

1212

42,4x x p x x +=+=（＊）,因为1122,,AP P P AP 成等比数列，所以，11212

2

AP P P P P AP =

,利用

平几知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（x 轴）上的长度之比，即

12121

222

x x x x x x +-=

-+，即

2

121212122()4()4x x x x x x x x +++=+-,将（＊）式代入可化得，2

44p p p +=+， 若0p >，

则有2

44p p p +=+，解的1,4p p ==-（舍去）

若40p -≤<，此时无解。若4p <-，解的4,1p p =-=-，均应舍去。故1p =。

例2（2007年高考全国卷）已知椭圆

2

2

13

2

x

y

+

=的左、

右焦点分别为12,F F .过1F 的直线交椭圆于B D 、两点，过2F 的直线交椭圆于A C 、两点， 二、利用

1212

1

2

11y y y y y y +=

+

（或

1212

1

2

11x x x x x x +=

+

）实施消元变形。

例2：已知椭圆

2

2

12

x

y +=的右准线为l ,过右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,经过B 点与x 轴平

行的直线交右准线于C 点,求证直线A C 过一定点. 解题分析：

1.1首先用特殊直线探究定点位置。

当A B 垂直x 轴时就可以找到定点位置。（普遍性寓于特殊性之中的哲学道理学生是清楚的）即解如下方程组：2

2

122

x x y =⎧⎨

+=⎩，

得到1,

2A ⎛

⎪⎝⎭

，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝

⎭和

2,2C ⎛- ⎪⎝⎭,

故有1)20

AC y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩

：轴：,由此得到直线A C 过定点3,02⎛⎫

⎪⎝⎭. 1.2如何进行规范的解析证明？直线A C 过定点()00,x y 的一般形式是怎样的？

00()y y k x x -=-，

k 是一个变数。我们写出直线A C 的方程。

设()()1122,,,A x y B x y ，则()22,C y ，所以1212

AC y y k x -=

-,所以A C 的方程为

()122122

y y y y x x --=

--——————————————————————————（1）

同学们对方程（1）一筹莫展，不知如何处理才能找到定点。问题是在方程（1）中涉及到三个参变数112,,x y y ，

必须尽量减少变元个数,这些变元与那些因素有关呢？我们将直线A B 的方程与椭圆方程联立，并应用韦达定理进行处理试试看。

第一种想法：设A B 方程为()1y k x =-（不包括平行于y 轴的直线），代入2

2

22x y +=中，化简得：

()2222

124220k x k x k +-+-=，由韦达定理，得2

1222

1224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

接下来大家对消去参变元的运算量产生了畏难情绪。的确，关于12,x x 的韦达定理对消去参变元十分麻烦，同学们可以试试看。

第二种想法：设A B 方程为1x m y =+，（不包括x 轴）代入2

2

22x y +=中，化简得：

()22

2210m y my ++-=，∴1221222212m y y m y y m -⎧

+=⎪⎪+⎨

-⎪=⎪+⎩

_______________________（2） 根据方程（1）的形式，大家观察上述两个不同的韦达定理形式，用那一个更好？对直线方程不同形式的选取会产生不同的韦达定理形式，进而会产生繁简不同运算量,这在解析几何综合问题中是经常碰到的事。因而很有必要让学生加以体验和辨析。

大家思考后可以发现，第二个关于12,y y 的韦达定理形式比较简单，而且从方程（1）来看含有纵坐标的变数较多，因而我们应选用关于y 的韦达定理形式进行代入，但仍然比较麻烦！有一位同学这样写道：

1212

AC y y k x -=

-,把

()12

2

1

2y m y -=

+和

111x my =+代进来，化简可得：