人教版数学九上221《一元二次方程》(第二课时)
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时)公开课 精品教案
21.3 实际问题与一元二次方程教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程方法通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.情感态度在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知课本45页探究1分析：○1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.○2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？○3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？点题，板书课题.教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，联系上节课内容，进一步学习一元二次方程的应用弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.○4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.课本47页探究3分析：○1正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？○3若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？○4“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x ㎝.尝试列出方程.○5方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.归纳：○1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决○2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.三、课堂训练补充练习：1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识教师总结，学生体会学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.让学生掌握这一类题型将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?四小结归纳谈一节课的收获和体会.五、作业设计必做：P18：4-8选做：P19：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？教学反思。
人教版数学九上课件22.1一元二次方程课件
活动3
小结 本节课你学到了什么知识？
从中得到什么启发？
ax2一般形式．其中ax2是二次项， a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数 项．
活动2
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形 式，并指出各项系数.
3x(x 1) 5(x 2)
一般形式： 3x2 8x 10 0
（2）若x＝2是方程的ax一2个 4x 5 0
根，你能求出a的值吗？
根的作用： 可以使等号成立.
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1）； x2 36 0
（2）. 4x2 9 0
2．有人解这样一个方程 ( x 5)( x 1) 7
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如 何？
2
活动2
1．观察下列方程，你能通过观察得到 它们的共同特点吗？
特点： （1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
活动2
1．观察下列方程，你能通过观察得到它们的共 同特点吗？ 归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个 未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元 二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理，都能化成如下形式：
活动1
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
活动2
1．观察下列方程，你能通过观察得到 它们的共同特点吗？
(1)x2 75x 350 0; (2)x2 x 56 0; (3) 1 x(x 1) 28.
数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程(第2课时)教案.1 一元二次方程(第2课时)教案
第课时1.了解一元二次方程根的概念.2.会判定一个数是否为一个一元二次方程的根,以及利用它们解决一些具体问题.3.理解方程的解在实际问题中的意义.1.通过观察归纳一元二次方程根的概念,培养学生归纳、分析问题及解决问题的能力.2.应用一元二次方程根的定义计算,体会整体思想在数学中的应用,进一步培养学生数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.体验数学来源于生活、又应用于生活中,理解知识与现实世界的联系.【重点】判定一个数是否为方程的根.【难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后,检验根是否符合实际问题.【教师准备】多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习一元二次方程的定义.导入一:根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一般形式.一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长比宽多2 m,苗圃的宽为x m.【学生活动】分析等量关系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式为x2+2x-48=0.【师生活动】导入二:把x=1,2,0,分别代入一元二次方程3x2=2x中,哪些数可以使方程左右两边相等?【师生活动】学生思考计算,独立回答问题,老师点评.[设计意图]从实际问题中抽象出一元二次方程数学模型,既复习了上节课内容,又利于对本节课新知识的接受,同时通过计算从已有的旧知识很自然地构建新知识.思路一问题:(1)观察导入一所填表格,x取什么值时,代数式x2+2x-48的值为0?(2)通过表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么?(3)下列数:1,2,0,,哪些是方程3x2=2x的解?〔答案〕(1)x=6时,代数式x2+2x-48的值为0.(2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6.(3)0,.【师生活动】学生独立思考后,教师引导学生回答,并及时补充.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思路二【学生活动】思考并回答:什么是一元一次方程的解?教师及时补充.自主学习课本第3页,小组讨论交流,并回答以下问题:(1)什么是一元二次方程的根?【课件1】使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考:一元二次方程的根是不是唯一的?【师生活动】学生思考回答,教师点评.[设计意图]通过教师的引导(思路一),或自主学习后小组讨论交流(思路二),让学生经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握概念,同时培养学生自主学习能力和分析问题的能力.(2)导入中的两个方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?〔答案〕x=6;x=0或x=.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【师生活动】学生思考计算后,以抢答形式回答问题,并说明理由.教师及时对学生给出的答案和理由做出评价.解:把这些数分别代入方程,使方程左右两边相等的数是方程的根.-4,3是方程的根.[设计意图]通过该练习,进一步强化一元二次方程的根的概念,采取抢答的形式,提高学生学习的竞争意识.(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.解:设覆盖的系数为a.把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,即20-2a-3=0,解得a=.∴覆盖的系数为.(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1,求2014-a-b的值.解:把x=1代入方程可得a+b+5=0,∴a+b=-5,∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5)=2014+5=2019.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,学生板书解题过程,教师进行点评后,引导学生归纳:已知方程的根时,常采用的解题思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右两边相等,求出待定系数的值,注意整体思想在解题中的应用.)[设计意图]通过小组讨论,加深对一元二次方程的根的概念的理解,培养学生合作意识和归纳总结能力.课件展示练习(2)(3)的解答过程,强化学生书写的严谨性,培养学生整体思想在数学中的应用,同时让学生体会生活中处处有数学,数学应用于生活中.[知识拓展]1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法:将这个数代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,那么该数是方程的根;如果方程左右两边不相等,那么该数不是方程的根.2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值.【课件2】1.一元二次方程的根的概念使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判定一个数是不是某个一元二次方程的根时,把这个数代入方程,满足方程的数就是方程的根,不满足方程的数就不是方程的根.3.已知一元二次方程的根,求某个待定系数的值时,将方程的根代入方程求解.。
2019-2020年新人教版初中数学九年级上册21.1一元二次方程2教案.doc
通过类比，迁
2
系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号， 不是运算符号减号
移提高
一元二次方程的根的概念
学生思考，讨论完 加深对概念理
1 类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程 成， 的根的概念
解和运用，同 时对一元二次
2 下面哪些数是方程 2+5+6=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
联系曾经学 习过的方程 知识衔接本 章，明确本节 课内容
1
元二次方程的有关概念
学生读题找等量关系
二、探究新知
列方程
探究课本问题 2
学生观察所列方程整 淡化列方程
分析：Βιβλιοθήκη 理后的特点，把握方 难度，重点突
1 参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 程结构，初步感知一 出方程特点 2 全部比赛场数是多少？若设应邀请个队参赛，如 元二次方程概念
3 特殊形式： ax2 bx 0a 0 ； ax2 c 0a 0 ；
学生根据相关概念作
ax2 0a 0
答，复习巩固
课本例题
识记、理解相
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同 学生类比一元一次方 关概念
类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项 程的解尝试叙述
方程的根的情 况初步感知
3 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）2-64=0（2）2+1=0 （3）2-3=0 （4）x2 2x 1 0
4 思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方 程呢？
5 排球邀请赛问题中，所列方程 x2 x 56 的根是 8 和 -7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
教学时间
2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案 实际问题与一元二次方程(第2课时)
21.3 实际问题与一元二次方程第2课时一、教学目标【知识与技能】1.继续探索实际问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.【过程与方法】经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体验解决问题策略的多样性,发展数学应用意识.【情感态度与价值观】通过构建一元二次方程解决身边的问题,体会数学的应用价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.二、课型新授课三、课时第2课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】列一元二次方程解决有关增长率（或降低率）的应用问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系,列出方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元,生产1t 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t 甲种药品的成本是3000元,生产1t 乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?（出示课件2）有关增长（下降）率问题,应该如何解答呢？（二）探索新知下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？（出示课件4） 出示课件5:师生共同分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元).乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元).乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.师生共同完成解答过程.解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元,两年后甲种药品成本为5000（1-x ）2元,依题意得 :5000（1-x ）² =3000.解方程,得:120.225, 1.775(,).x x ≈≈不合题意舍去答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.出示课件6:师生共同分析:设乙种药品成本的年平均下降率为y,一年后乙种药品成本为6000（1-y ）元,两年后乙种药品成本为6000（1-y ）2元,依题意得6000（1-y ）2=3600,解方程得y 1≈0.225,y 2≈-1.775答:乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.出示课件7:思考:为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?学生自主思考后口答:经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同.成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.出示课件8:教师归纳:类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n 次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a （1±x ）n =A,其中增长取“+”,降低取“－”.出示课件9:例4 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.（精确到0.1%）学生自主思考后,师生共同解答.解:设原价为1个单位,每次降价的百分率为 x.根据题意,得()211.2x -=解这个方程,得211x =+=-1x答:每次降价的百分率为29.3%.出示课件10:某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？学生自主思考后解答.解:设平均每次降价的百分率为x,根据题意得:36（1- x ）2=25.解得1216.7%,117%().x x ≈≈舍去答:平均每次约降价16.7%.（三）课堂练习（出示课件11-16）1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为（ ）A ．80（1+x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=80C ．80（1+2x ）=100D ．80（1+x 2）=1002.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%3.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=7201129.3%.x x =∴=-≈但不合题意，舍去C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5004.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.5.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计:2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.（1）求该企业从2014年到2016年的平均增长率.（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？6.某电脑公司2001年的各项经营,一月份的营业额为200万元,一、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.参考答案:1.A2.C3.B4.2（1+x）+2（1+x）2=85.解:（1）设年平均增长率为x,依题意得:2(1+x)2=2.88.解得x=0.2,所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.(2)该企业2017年的利润为2.88×（1+20%）=3.456（亿元）.因为3.456＞3.4.所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.6.分析:设这个增长率为x,一月份的营业额200万元,二月份的营业额是200(1+x)万元、三月份的营业额200(1+x)2万元,由三月份的总营业额列出等量关系．解:设平均增长率为x,得200+200(1+x)+200(1+x)2=950.整理,得200x2+600x=350.解得x1≈0.5,x2≈-3.5（舍去）.答:这个增长率是50%.（四）课堂小结通过这节课的学习,你对增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3第3课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:1.本设计有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.增长(减少）率问题是一元二次方程中的重点问题,本设计问题中反映出不同的增长（减少）率,有利于学生更好地掌握.。
一元二次方程人教数学九年级上册PPT课件
探究新知
方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系 数、一次项、一次项系数、常数项等都是针 对一般形式而言的.
（3）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的符号.
探究新知
知识点 3 一元二次方程解的概念
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根.
50cm
（100-2x）（50-2x）=3600
整理，得
x2-75x+350=0
3600cm2 100cm
探究新知
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比 赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天 安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各
课堂检测
（2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
人教版 数学 九年级 上册
21.1 一元二次方程
素养目标
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数.
人教版初中数学2011课标版九年级上册21.2解一元二次方程(共18张PPT)
分类讨论
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个不相等的实数根，分别是：
x 1 b2 b a 24 a c,x2 b2 b a 24 a c
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个相等的实数根，分别是：
x1
x2
b 2a
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
用公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式为：
b b2 4ac x
2a
2.公式法解一元二次方程的步骤如下：
变形
确定系数
计算
代入
定解
3.一元二次方程根的判别式为： b24ac
△>0△=0方程有两个Fra bibliotek不相等的实数 根。
方程有两个 相等的实数根。
△<0
方程没有实 数根。
16
布置作业 必做题
教材17页 4，5 同步练习册
1.变形:化已知方程为 一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.
2.确定系数:用a,b,c
x b b2 4ac
写出各项系数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac的值;
25
10
4.代入:把有关数值
28
代入公式计算;
5
x1
6 5 ; x2
解：x 2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b2 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
b
b2 4ac
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程(2) 教案
教学时间 课题 21.1 一元二次方程 课型 新授教学媒体多媒体教 学 目 标知识 技能1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 过程 方法 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念， 情感 态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教学重点 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知● 探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ； 0621=-+x x ● 概念归纳： 1.一元二次方程定义： 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： ○1.为什么规定a ≠0？ ○2.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？ 3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax● 课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.学生尝试叙述，然后师生归纳 师生分析概念和一般形式.学生根据相关概念作答，复习巩固.学生类比一元一次方程的解尝试叙述联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出方程特点通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握识记、理解相关概念通过类比，迁移提高是性质符号负号，不是运算符号减号. 一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：○1一元二次方程的根的情况 ○2一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2）.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________．3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________ 4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.五、作业设计必做：P4：1.2.4.6.7选做：.P29：3.5.7学生思考，讨论完成，学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知使学生巩固提高， 了解学生掌握情况纳入知识系统 教学反 思。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程(第2课时)课件
1.3 2.29
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C
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答à答案n)案(dá
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2
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4
5
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4.要做一个容积为750 cm3,高为6 cm,底面长比宽多5 cm的无盖长方体铁盒.
(1)若设长方体底面宽x cm,则长方体底面长为
,根据题意,可列
方程为
.
(2)将(1)中方程化为一般形式是 .
(3)x可能大于9.1吗?x可能小于8.9吗?请说说你的理由,与同伴们进行交流.
第二(dì èr)课时
12/11/2021
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1.使一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
左右两边的(liǎxn值gbi是ān)这相等个方程的
解.
2.估计一元二次方程的解,只是(zhǐshì)估计“解”的
取值范围(f,à比nwé如i) 在哪
两个数之间,再通过具体的
进计行算两边
,逐步夹获逼得其近似
关闭
C
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答à答案n)案(dá
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3.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表(liè biǎo)如下:
x x2+px+q
0 0.5
1 1.1
1.2
-15 -8.75 -2 -0.59 0.84
则方程x2+px+q=0的正数解满足( ) A.解的整数部分是0,十分位是5 B.解的整数部分是0,十分位是8 C.解的整数部分是1,十分位是1 D.解的整数部分是1,十分位是2
(4)你能知道长方体底面宽为多少吗(精确到1 cm)?
关闭
实际问题与一元二次方程(二)平均变化率问题(课件)数学九年级上册(人教版)
a(1-x)2=b （其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次
数，b为降低后的量.）
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. 比较：两种药品成本的年平均下降率. (相同)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等 同于年平均下降率(百分数).
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本
是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，
生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
2
2
答：每次降价的百分率为29.3%.
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样， 求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ，
2021年人教版九年级数学上册教案： 一元二次方程(2)
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