2013届高考数学(理)一轮复习课件：第九篇 解析几何第5讲 椭 圆)

y2 x2 又2a＝3· 2b，∴a＝9，∴方程为81＋ 9 ＝1. x2 2 y2 x2 综上所述，椭圆方程为 ＋y ＝1或 ＋ ＝1. 9 81 9 3 3 2 (2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝ |MN|＝ × b＝1.∴b 2 2 3 x2 y2 ＝ 3.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3
三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点 的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小 距离为a－c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结 合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标 准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为 坐标轴．
2a＝5＋3， 由已知条件得 2c2＝52－32，
解得a＝4，c＝2，b2＝12. x2 y2 y2 x2 故所求方程为16＋12＝1或16＋12＝1.
运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方 程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有 时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．
2 c 2 ＞0)．∵e＝ 2 ，∴ a ＝ 2 ，根据△ABF2的周长为16得4a＝ x2 y2 16，因此a＝4，b＝2 2，所以椭圆方程为16＋ 8 ＝1. 答案 x2 y2 16＋ 8 ＝1
考向一 椭圆的定义 x2 y2 【例1】►(2011· 青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b → → ＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2 .若△PF1F2 的面积为9，则b＝________. [审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋
考向四 椭圆中的定值问题 【例4】►(2011· 重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝ 2 2 ， 一条准线的方程为x＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点P满足： ，其中M、N是椭圆上的点，
由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
∴周长为4a＝4 3(F是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C
考向二 求椭圆的标准方程 x2 y2 【例2】►(1)求与椭圆 4 ＋ 3 ＝1有相同的离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆方程． (2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距 离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦 点，求椭圆的方程． [审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点
解析
设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△
ABC为直角三角形， 2＋ 2 ∴1＋1＋ 2＝4a，则a＝ 4 ， 设|FA|＝x，
x＋1＝2a， ∴ 1－x＋ 2＝2a， 2 2 ∴x＝ 2 ，∴1＋ 2＝4c2， 2
6 c ∴c＝ 4 ，e＝a＝ 6－ 3. 答案 6－ 3
解得－3＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜
x2 y2 5”是“方程 ＋ ＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 5－m m＋3 答案 B
x2 y2 4 4．(2012· 淮南五校联考)椭圆 9 ＋ ＝1的离心率为 5 ，则k的 4＋k 值为( A．－21 19 C．－25或21 )． B．21 19 D.25或21 5－k，
2 2
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝
64k4m2 44k2m2－4 － 1＋k2 1＋4k22 1＋4k2
4 3|m| ＝ 2 . m ＋3 由于当m＝± 1时，|AB|＝ 3， 4 3|m| 所以|AB|＝ 2 ，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． m ＋3 4 3|m| 4 3 因为|AB|＝ 2 ＝ 3 ≤2， m ＋3 |m|＋ |m| 且当m＝± 3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹(或集合)叫椭圆 ．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间 的距离叫做 焦距 ． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0， 且 a，c 为常数： (1)若 a＞c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a＜c ，则集合 P 为空集．
→ → |PF2|＝2a，再利用PF1⊥PF2，进而得解．
→ → 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1||PF2| 1 ＝2×2b2＝b2＝9. ∴b＝3. 答案 3
位置是否确定．
x2 y2 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝t(t＞0)，
2 22 － 3 ∵椭圆过点(2，－ 3)，∴t＝ 4 ＋ 3 ＝2，
x2 y2 故所求椭圆标准方程为 8 ＋ 6 ＝1. (2)设所求的椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)或a2＋b2＝1(a＞b＞0)，
第5讲 椭
圆
【2013年高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系．
【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结 合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方 法解决几何问题．
当m＝－1时，同理可得|AB|＝ 3. 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
y＝kx－m， 2 由x 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. ＋y2＝1. 4 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 4k2m2－4 8k2m x1＋x2＝ 2，x1x2＝ 2 . 1＋4k 1＋4k |km| 又由l与圆x ＋y ＝1相切，得 2 ＝1， k ＋1
考向三 椭圆几何性质的应用 x2 【例3】►(2011· 北京)已知椭圆G： 4 ＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋ y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点． (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值． [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2) 可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式 列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．
x2 y2 3．(2012· 兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程 ＋ ＝1表 5－m m＋3 示椭圆”的( )． B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 x2 5－m ＋ y2 m＋3 ＝1表示椭圆，应满足
A．充分不必要条件 C．充要条件 解析 要使方程 5－m＞0， m＋3＞0， 5－m≠m＋3，
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝ 5－k 4 c 4 19 由 ＝ 即 ＝ ，得k＝－ ； a 5 3 5 25 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝ k－5，
k－5 4 c 4 由a＝5，即 ＝5，解得k＝21. 4＋k 答案 C
5．(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心 2 为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于 2 A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． 解析 x2 y2 根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为 2 ＋ 2＝1(a＞b a b
B1(0，－b)，B2(0，b)
，a) 2b
B1(－b,0)，
(0,1) B2(b,0)
轴
焦距
长轴A1A2的长为
；短轴B1B2的长为 a2－b2
|F1F2|＝2c
一条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系： x2 y2 给出椭圆方程 m ＋ n ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0； 椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n. 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位 置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形 式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解 出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．
解 (1)由已知得，a＝2，b＝1， 所以c＝ a2－b2＝ 3. 所以椭圆G的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)， c 3 离心率为e＝a＝ 2 . (2)由题意知，|m|≥1. 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为
1，
3 3 ，1，－ ，此时|AB|＝ 3. 2 2
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长 与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( x2 y2 A. 9 ＋16＝1 x2 y2 x2 y2 C. ＋ ＝1或 ＋ ＝1 25 16 16 25 解析 x2 y2 B.25＋16＝1 D．以上都不对 )．
∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2
求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组， 解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方 程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过 取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【训练3】 (2012· 武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果 一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在 AB上，则这个椭圆的离心率为________．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1 (a>b>0)