高等数学A(一)教学大纲

《高等数学A （一）》教学大纲本课程依据全校理工类专业2015版人才培养方案，理工类本科数学基础课程教学基本要求制定，也依据了2015年教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会关于大学数学课程教学的基本要求。

课程名称：高等数学A （一） 课程代码：B1509001A-1课程管理：数理学院（或部）高等数学教研室 教学对象：全校理工类专业教学时数：总时数 80 学时，其中理论教学 80 学时，实验实训 0 学时。

课程学分：5.0 课程开设学期：1课程性质：专业基础课 课程衔接：（1）先修课程 初等数学 （2）后续课程 高等数学（二），线性代数，概率论与数理统计一、课程教学目标及要求通过本课程的学习，要使学生获得极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分，微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

要求学生理解数学的基本概念和基本定理，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。

熟悉高等数学的基本公式和基本方法，掌握常用公式和方法，提高计算能力。

二、教学内容及要求第一章 函数、极限与连续 （一）教学目标极限方法是高等数学的基本方法。

通过本章教学使学生掌握极限的概念以及运算。

培养学生用极限观点与方法分析问题的能力。

（二）知识点及要求 第一节 映射与函数1、在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解，了解函数性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。

2、理解复合函数概念，了解反函数的概念。

3、会建立简单实际问题中的函数关系式。

第二节 数列的极限1、理解数列极限的概念，了解数列极限的“N -ε”定义；2、了解收敛数列的性质。

第三节 函数的极限1、理解函数在有限点处以及在无穷大处的极限概念，了解函数在有限点处的“δε-”定义以及在无穷大处的“X -ε”定义，了解左右极限的定义；2、了解函数极限的性质（唯一性、有界性、保号性）。

第四节 无穷小与无穷大1、了解无穷小量与无穷大量的概念，会用无穷小的运算法则。

第五节 极限运算法则1、 熟练掌握极限的四则运算法则，会用变量代换法则求某些简单复合函数的极限。

第六节 极限存在准则与两个重要极限1、了解极限存在的夹逼准则和单调有界收敛准则。

2、熟练掌握两个重要极限xx x)11(lim +∞→与1sin lim0=→x x x 求极限的方法。

第七节 无穷小的比较1、了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念。

2、会用等价无穷小替换求极限。

第八节 函数的连续性与间断点1、 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念。

2、 了解函数间断点的概念，会判断间断点的类型。

3、了解初等函数的连续性。

第九节 闭区间上连续函数的性质1、了解闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

（三）教学重点与难点1、重点：复合函数的概念、极限的概念、极限的计算方法、复合函数的极限、幂指数函数的极限、判断极限存在的准则及两个重要极限公式的应用、无穷大与无穷小的概念以及二者之间的关系、等价无穷小的运用、连续性与间断点的概念及其判断、闭区间上连续函数的性质。

2、难点：极限的概念、幂指函数极限的计算、判断极限存在的两个准则及两个重要极限公式、复合函数的极限、等价无穷小的代换、间断点的判断与分类。

第二章 导数与微分 （一）教学目标通过本章学习，在掌握导数概念的基础上，熟练掌握导数的计算，培养学生的分析和推理的能力，以及简单的应用能力。

（二）知识点及要求 第一节 导数的定义1、理解导数的概念及其几何意义。

2、理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

3、了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

4、了解左右导数的概念。

5、了解函数的可导性与连续性之间的关系。

第二节 函数求导法则1、掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法则，了解反函数求导法则。

2、熟练掌握基本初等函数的导数公式。

第三节 高阶导数1、了解高阶导数的概念，掌握初等函数二阶导数的求法。

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数1、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

第五节 函数的微分1、理解函数微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式的不变性。

（三）教学重点与难点1、重点：导数和微分的概念、导数的几何意义、导数和微分的计算、复合函数的导数、隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

2、难点：函数在某一点的导数与函数的导数之间的关系、反函数的导数、复合函数的导数求法、隐函数和由参数方程所确定的函数导数的求法。

第三章微分中值定理与导数的应用（一）教学目标掌握微分学的主要定理——微分中值定理，掌握导数的应用。

（二）知识点及要求第一节微分中值定理1、了解费马引理;2、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理；3、了解柯西中值定理。

第二节洛必达法则1、会用洛必达法则求未定式的极限。

第三节泰勒公式1、了解泰勒中值定理以及用多项式逼近函数的思想第四节函数的单调性与曲线的凹凸性1、掌握用导数判断函数的单调性，会利用函数单调性证明某些不等式。

2、会利用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点。

第五节函数的极值与最大最小值1、理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数极值的方法。

2、会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

第六节函数图形的描绘1、会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。

第七节曲率1、了解曲率和曲率半径的概念，会求曲率和曲率半径。

（三）教学重点与难点1、重点：微分中值定理，尤其是罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理、应用罗必(L'Hospital)法则求不定式极限、利用导数判断函数的单调性、凹凸性、极值以及拐点的求法。

2、难点：在应用中值定理过程中关于辅助函数的构造、泰勒(Taylor)公式、罗必塔(L'Hospital)法则的应用、极值点与驻点的关系、函数的最大值与最小值的求法、极值与最值的关系。

第四章不定积分（一）教学目标掌握不定积分的概念、性质与计算技能，为下一章定积分的学习打基础。

（二）知识点及要求第一节不定积分的概念与性质1、理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。

2、熟练掌握不定积分的基本积分公式。

第二节换元积分法1、掌握不定积分的两类换元法。

第三节分部积分法1、掌握不定积分的分部积分法。

第四节有理函数和可化为有理函数的积分1、对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练。

（三）教学重点与难点1、重点：不定积分的计算方法。

2、难点：积分法的应用。

第五章定积分（一）教学目标掌握定积分的概念，熟练进行定积分的计算，定积分在几何方面的应用，掌握定积分元素法，培养学生用元素法解决问题的能力。

（二）知识点及要求第一节定积分的概念与性质1、理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质。

2、了解积分中值定理。

第二节微积分基本公式1、理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。

2、掌握牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。

第三节定积分的换元法和分部积分法1、掌握定积分的换元公式和分部积分公式。

第四节反常积分1、理解两类反常积分及其收敛性的概念。

2、会计算某些反常积分。

第五节定积分的应用1、掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

（三）教学重点与难点1、重点：定积分的计算方法。

2、难点：积分法的应用。

第六章常微分方程简介（一）教学目标使学生掌握变量可分离方程和一阶线性微分方程的解法，理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（二）知识点及要求第一节常微分方程的基本概念1、了解常微分方程、微分方程的解、通解、初值条件和特解的概念。

第二节一阶常微分方程的初等解法1、熟练掌握变量可分离的方程的求解方法。

2、掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法。

3、会解齐次方程，了解用变量代换求解微分方程的思想。

第三节 可降阶的高阶微分方程1、会用降阶法求下列三种类型的高阶微分方程：),()(x f y n =),(y x f y '=''，),(y y f y '=''。

第四节 高阶线性微分方程1、 理解二阶线性微分方程解的结构。

第五节 高阶常系数线性微分方程1、理解二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，通解的求法。

2、掌握求解二阶常系数齐次线性微分方程的通解方法。

3、会求自由项形如xn x P αe )(与)sin cos (e x B x A x ββα+的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中)(x P n 为实系数n 次多项式，B A ,,,βα为实数。

（三）教学重点与难点教学重点：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。

三、课程时数分配表四、考核内容（一）基本要求1、要求学生对“了解”的内容，应该知道所涉及问题的基本概念，并能对它们进行定性解释。

2、要求学生对“理解”的内容（包括定理、推论等的内容、意义及适用条件）都应明了、并能用以分析和计算基本的数学问题。

3、要求学生对“掌握”的内容，能够准确、熟练地使用它们进行有关推导和计算，并能解决简单的应用问题。

（二）考核内容1、函数、极限与连续（1）函数、反函数以及复合函数概念，函数的性质。

（2）极限的有理运算法则，两个重要极限。

（3）无穷小，无穷大，无穷小的比较，利用无穷小量性质简化求极限。

（4）函数连续性的概念，闭区间上连续函数的性质以及间断点的分类，闭区间上连续函数的性质。

2、导数与微分（1）复合函数，隐函数及由参数方程确定的函数的一阶导数。

（2）微分的计算。

（3）初等函数的一阶、二阶导数。

3、微分中值定理与导数的应用（1）洛必达法则求未定式的极限。

（2）函数的极值，最值，拐点，判别函数的单调性，凸性，解决简单的最值实际应用问题；（3）能利用导数以及微分中值定理证明常用的不等式。

4、不定积分（1）原函数。

（2）换元积分法、分部积分法计算不定积分；5、定积分（1）积分上限函数。

（2）换元积分法和分部积分法求定积分。

（3）广义积分的计算。

（4）用定积分计算图形的面积、体积、曲线弧长。

6、常微分方程简介（1）求可分离变量的方程和一阶线性方程。

（2）求二阶常系数线性微分方程的解。

（3）会用降阶法求下列三种类型的高阶微分方程：),()(xfy n=),(yxfy'=''，),(yyfy'=''。