人教版高中数学必修一期末测试题
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案人教版高一数学必修1必修4期末测试卷姓名：__________ 班级：___________ 学号：____________ 分数：______________一、选择题（每题5分，共40分）1.集合A={x∈N*｜-1<x<3}的子集的个数是（。
）。
A。
4.B。
8.C。
16.D。
322.函数f(x)=1/(1-x)+lg(1+x)的定义域是（。
）。
A。
(-∞,-1)。
B。
(1,+∞)。
C。
(-1,1)U(1,+∞)。
D。
(-∞,+∞)3.设a=log2,c=5-1/3,b=ln22，则（。
）。
A。
a<b<c。
B。
b<c<a。
C。
c<a<b。
D。
c<b<a4.函数y=-x^2+4x+5的单调增区间是（。
）。
A。
(-∞,2]。
B。
[-1,2]。
C。
[2,+∞)。
D。
[2,5]5.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在区间(-2,2)上为增函数，则a的取值范围是（。
）。
A。
a≤2.B。
-2≤a≤2.C。
a≤-2.D。
a≥26.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（。
）。
A。
y=x-2.B。
y=x-1.C。
y=x^2.D。
y=x^37.若函数f(x)=x/(2x+1)(x-a)为奇函数，则a=（。
）。
A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
1/88.已知α是第四象限角，XXX(π-α)=5/12，则sinα=（。
）。
A。
1/5.B。
-1/5.C。
5.D。
-59.若tanα=3，则sinαcosα=（。
）。
A。
3.B。
3/2.C。
3/4.D。
9/410.sin600°的值为（。
）。
A。
3/2.B。
-3/2.C。
-1/2.D。
1/211.已知cosα=3/5，π/4<α<π，则XXX(α+π/4)=（。
）。
A。
1.B。
-1.C。
5/8.D。
-5/812.在△ABC中，sin(A+B)=sin(A-B)，则△ABC一定是（。
【人教版】高中数学必修一期末试卷(附答案)
一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．45．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．387．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14，8．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 10．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或211．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃12．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 14．（文）已知函数2cos ,1()21,1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个．15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.18．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________19．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________20．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________三、解答题21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式：（2）根据解析式在图画出()f x 图象． （3）讨论函数()()g x f x m =-零点的个数．23．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间.25．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．26．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃； （2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.3．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称．函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．4．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1243a ---=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；10．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a ≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集. 12．C解析：C【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，1==，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++， ,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.14．5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图：则由图可知实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题解析：5【分析】先解方程2()3()20f x f x -+=，再根据()f x 图象确定实根个数.【详解】2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =，2cos ,1()21,1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩图象如图：则由图可知，实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可.【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立.故实数k 的取值范围是[)0,4.故答案为：[)0,4【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =，令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.18．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域．【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-．【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．19．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果： ()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3，()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12，()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2，()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.20．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣ 解析：12(,]23由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10 {120 311aaa-≤--≤＜，解得12＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题三、解答题21．（1）2160500,080281001680,80x x xyx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】 （1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）当0x <时，0x ->，运用已知区间的解析式和奇函数的定义结合()00f =，即可求解；（2）根据（1）中的解析式作出图象即可；（3）()()g x f x m =-零点的个数即等价于()y f x =与y m =两个函数图象交点的个数，数形结合讨论m 的值即可.【详解】（1）当0x =时，()00f =，当0x <时，0x ->，()241f x x x -=++，因为()f x 时奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()241f x x x f x -=++=-，即()()2410f x x x x =---<，所以()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩（2）()f x 图象如图所示：（3）由()f x 图象知：()23f -=，()23f =-，①当3m <-或3m >时，()y f x =与y m =两个函数图象有1个交点，函数()()g x f x m =-有1个零点；②当3m =±时，()y f x =与y m =两个函数图象有2个交点，函数()()g x f x m =-有2个零点；③当31m -<≤-或13m ≤<时，()y f x =与y m =两个函数图象有3个交点，函数 ()()g x f x m =-有3个零点；④当11m -<<且0m ≠时，()y f x =与y m =两个函数图象有4个交点，函数 ()()g x f x m =-有4个零点；⑤当0m =时，()y f x =与y m =两个函数图象有5个交点，函数()()g x f x m =-有5个零点；综上所述：当3m <-或3m >时，()g x 有1个零点；当3m =±时，，()g x 有2个零点；当31m -<≤-或13m ≤<时，()g x 有3个零点；当11m -<<且0m ≠时，()g x 有4个零点；当0m = 时，()g x 有5个零点；【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.23．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.24．（1）32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】 （1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可； （2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】 解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3x y =在R 上单调递增,所以()2221x x -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞, 设245u x x =--,35log y u =, 因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间, 因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增,所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.25．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k =-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n =⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a b b a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+ （2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k =- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k <-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ （3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132 132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =- 4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围.26．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可;（2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围.【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.。
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学必修一期末试卷及答案
高一数学必修1复习检测试题一、选择题。
（共10小题，每题4分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2 ⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。
3，0。
37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ）A 、 70。
3，0.37，，㏑0.3,B 、70。
3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。
3，，㏑0.3,D 、㏑0.3, 70。
3，0.37，6、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.57、函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为（ ）8、设()log a f x x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A 、f(xy)=f(x)f(y)B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是 （ ）（年增长率=年增长值/年产值）A 、97年B 、98年C 、99年D 、00年二、填空题（共4题，每题4分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为 ；13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数；②定义域为{|0}x R x ∈≠； ③在(0,)+∞上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。
人教版高中数学必修一期末测试题及答案
人教版高中数学必修一期末测试题一、选择题(每小题5分,共60分)1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋14．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2xB ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝1－1－2x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元8．方程2x＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)9．若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，则( ).A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜010．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x1 B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).A ．－2B ．－1C ．0D ．1二、填空题(每小题4分 , 共16分)13．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ⊆B ，则a 取值范围是 ． 14．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ． 15．函数y ＝2－log 2x 的定义域是 ． 16．求满足8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是 ．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知全集R U =, A =}52{<≤x x ，集合B 是函数lg(9)y x =-的定义域．（1）求集合B ；（2）求)(B C A U ．（8分）18．(12分) 已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．19．(12分)已知函数(),2c bx x x f ++=且()01=f ．（１）若0b =,求函数()x f 在区间[]3,1-上的最大值和最小值；（２）要使函数()x f 在区间[]3,1-上单调递增，求b 的取值范围.（12分）20．(12分)探究函数),0(,4)(+∞∈+=x xx x f 的图像时，.列表如下：⑴ 函数)0(4)(>+=x xx x f 的递减区间是 ，递增区间是 ； ⑵ 若对任意的[]1,3,()1x f x m ∈≥+恒成立，试求实数m 的取值范围．21. (12分)求函数212log (43)y x x =-+的单调增区间.22．(14分) 已知0,1a a >≠且， ()211x x a f x a a a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．（１）判断()f x 的奇偶性并加以证明； （２）判断()f x 的单调性并用定义加以证明；（３）当()f x 的定义域为(1,1)-时，解关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<．参考答案一、选择题 1．B解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}．2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．10．C解析：∵ 4x＞0，∴0≤16－ 4x＜16，∴x 416－∈[0，4)．11．A解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 12．A 13．D 14．B解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，x－11是一个绝对值很大的负数，从而保证 f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，x－11可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0．故正确选项是B ． 二、填空题15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)． 17．参考答案：[4，＋∞)． 18．参考答案：(－8，＋∞)． 三、解答题19．参考答案：(1)由⎩⎨⎧0303＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3，∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)． (2)函数f (x )是偶函数，理由如下：由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝lg(3－x )＋lg(3＋x )＝f (x )， ∴ 函数f (x )为偶函数．20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩⎨⎧1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a因为a ＞2，所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2 (x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ； 另外，y 2＝(a －2)x －2 (x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ． 所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩⎨⎧0022＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)． 21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为500003600 3－＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛50000 3100－－x (x －150)－50000 3－x ×50＝－501(x －4 050)2＋307 050． 所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。
新课标人教版高一数学上学期期末试卷及答案
上学期期末考试卷年级：高一科目：英语注意事项: 1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上,否则无效。
(试卷总分：150分；考试时间：120分钟)第I卷第一部分听力（共两节,满分30分）做题时,先将答案标在试卷上。
听力结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10称钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.15.C. ￡9.18.答案是B。
1. What would the man like?A. A cold drink.B. Sleeping pills.C. A cup of coffee.2. Where is the bus station?A. Opposite a stadium.B. Next to a car park.C. On the left of a bridge.3. What does the man dislike about the sweater?A. The price.B. The material.C. The color.4. What does the man think of the course?A. Easy.B. Interesting.C. Difficult.5. What are the speakers mainly talking about?A. A sports game.B. An animal.C. An actor.第二节 (共15小题; 每小题1.5分, 满分22.5分）听下面5段对话或独白。
新人教版高中数学必修第一册第一章章末检测试卷
14.设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取 值范围是_{_a_|_－__3_<_a_<_－__1_}_.
借助数轴可知aa<＋－8>15，， ∴－3<a<－1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
分，有选错的得0分)
9.设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可 以是
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10 分 ) 已 知 全 集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0} ， B ＝ {x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}.求 (1)A∪(B∩C)；
20.(12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a，9}，分别求适 合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B)；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
∵9∈(A∩B)， ∴2a－1＝9或a2＝9， ∴a＝5或a＝3或a＝－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}； 当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}， 所以a＝5或a＝－3.
人教A版高一数学上学期期末测试卷(带答案)
高一数学本卷共三大题，时量120分钟，满分120分，试卷总页4页一.选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个不同的答案，其中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来） 1.函数f(x)=x x ln 1+-的定义域为（ ）A.]1,(-∞B.(0,+∞)C.(0,1]D.(0,1)),1(+∞⋃2.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A . y=-2xB . x y 2= C. x y lg = D . 3x y = 3. 已知空间直角坐标系中一点A(-3,1,-4)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为（ ）A ．（-3，－1，4） B.（-3，-1，-4） C.（3，1，4） D.（3，-1，-4） 4．函数()3log 82f x x x =-+的零点一定位于区间（ ） A. ()5,6 B. ()3,4 C. ()2,3 D. ()1,2 5．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）A.(1)(2)B.（2）（3）C.(3)(4)D.(1)(4)6．半径为R 的球的内接正方体的表面积是（ ）A.234R B.22R C.24R D.28R7.已知,αβ,γ是三个不同的平面， m,n 是两条不同的直线 ，下列命题中正确．．的是（ ） A.若m//α，n//α，则m//n B. 若m//α，m//β，则α//β C.若γα⊥，γβ⊥则α//βD .若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α8、若0,0ac bc <<，则直线0ax by c ++=不经过（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9、若直线L ：ax+by=1与圆C ：122=+y x 相切，则点P （a,b)与圆C 的位置关系是 （ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能 10、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A.3B.5C.5D.5二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．圆心在（2，-1）且与y 轴相切的圆的标准方程为 。
人教版高一上学期期末数学试卷(有答案)
人教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．的定义域是（，1）∪（1，+∞）．∴函数f（x）=log（2x﹣1）故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）∴V P=S▱ABCD•PC=．…（3分）﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。
必修一数学期末测试卷(含答案)
必修一数学期末测试卷(含答案)高一数学必修一期末测试题本试卷分为两部分，选择题和非选择题，满分120分，考试时间60分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1.已知集合M⊂{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个2.已知S={x|x=2n,n∈Z}，T={x|x=4k±1,k∈Z}，则（）A) S⊂T (B) T⊂S (C) S≠T (D) S=T3.已知集合P={y|y=−x^2+2,x∈R}，Q={y|y=−x+2,x∈R}，那么P∩Q等于（）A) （，2），（1，1） (B) {（，2），（1，1）} (C) {1，2} (D) {y|y≤2}4.不等式ax+ax−4<0的解集为R，则a的取值范围是（）A) −16≤a−16 (C) −16<a≤0 (D) a<−165.已知f(x)=⎧⎨⎩x−5(x≥6)f(x+4)(x<6)则f(3)的值为（）A) 2 (B) 5 (C) 4 (D) 36.函数y=x−4x+3,x∈[0,3]的值域为（）A) [0,3] (B) [−1,0] (C) [−1,3] (D) [0,2]7.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数，则（）A) k>1/2 (B) k−1/2 (D) k<1/28.若函数f(x)=x+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]内递减，那么实数a的取值范围为（）A) a≤−3 (B) a≥−3 (C) a≤5 (D) a≥39.函数y=(2a−3a+2)a是指数函数，则a的取值范围是（）A) a>0,a≠1 (B) a=1 (C) a=−1 or a=1 (D) a=010.已知函数f(x)=4+ax−1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（）A) (1，5) (B) (1.4) (C) (−1,4) (D) (4，1)11.函数y=log2(3x−2)的定义域是（）A) [1,+∞) (B) (2/3,+∞) (C) (−∞,1] (D) (−∞,2/3]12.设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，则下列正确的是（）A) 1/c=1/a+1/b (B) 2/c=1/a+1/b (C) 1/c^2=1/a^2+1/b^2 (D)2/c^2=1/a^2+1/b^2第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题：（每小题5分，共10分，答案填在横线上）13．若$log_a2^3<1$，则$a$的取值范围是$\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\cup(1,+\infty)$。
人教版高中数学选择性必修第一册-第1章 空间向量与立体几何 章末测试卷(含解析)
第一章空间向量与立体几何章末测试卷(原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是()A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，则P ，A ，B ，C 四点()A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为()，12，，23，，13，，29，4.2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1E 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为()A.23 B.223C.233 D.435．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为()A.105B ．－105C ．－1010 D.10106．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为()A.2B ．211C ．32D ．427.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于()A ．1 B.12C ．2－2D ．2－38．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于()A.13B.23C.33D.23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有()A.A 1B 1→·AC →＝a 2 B.AB →·A 1C →＝2a 2C.CD →·AB 1→＝a 2D.AB →·A 1O →＝12a 210．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是()A ．若AD →＝13AC →＋23AB →，则BC →＝3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →C ．若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则AC →·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝111.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27712．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是()A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________．16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4.(1)若PM∶MD＝1∶2，求证：PB∥平面ACM；(2)求二面角A－CD－P的正弦值；(3)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63，求MD的长．1．设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断错误的是() A．向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c，d的值无关)B．u·v的最大值为2C．u与v夹角的最大值为3π4D．ad－bc的最大值为12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在体对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1B．线段CA1的中点C．线段CA1的三等分点，且靠近点CD．线段CA1的四等分点，且靠近点C3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1－A1B1－D的平面角为θ3，则()A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ34.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则()A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF →，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE →，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为125．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为()A.6B.3C.66D.626.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为()A.23B.66C.33D.637．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是()A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是()A ．(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2B.A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0C ．向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|10．【多选题】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π211．【多选题】在正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，所有棱长均为1，BC ′与B ′C 交于点O ，则()A.AO →＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→B ．AO ⊥B ′CC ．三棱锥A －BB ′O 的体积为324D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π612．已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝x ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．①对任意x ∈(0，2)，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；②对任意x ∈(0，2)，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD ；③对任意x >1，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；④对任意x >1，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD .13.如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.若AC 1→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________，AC 1的长为________．14.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．15．如图1在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (如图2)．(1)求证：AP ∥平面EFG ；(2)求二面角G－EF－D的大小．16.如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)求证：EF∥B1C；(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长是1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD ＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)求证：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．19.如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点C为圆O上一点，且BD＝PD＝3，AC＝2AD＝2.(1)求证：PA⊥CD；(2)求二面角B－CP－D的余弦值．20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0<a<2)．(1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值；(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．第一章空间向量与立体几何章末测试卷(解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是()A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底答案D解析因为{a ，b ，c }为空间的一个基底，设a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )＝1，＝1，＋λ＝0，无解，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故D 正确；因为31＝－3－1≠63，所以a ＝(1，－1，3)和b ＝(3，－3，6)不平行，故A 错误；△ABC 为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A ，所以无法推出AB →·AC →＝0，故B 错误；若a ·b ＝0即可得出C 项错误．综上所述，本题的正确答案为D.2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，则P ，A ，B ，C 四点()A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断答案B解析因为OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，且12＋14＋14＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为()，12，，23，，13，，29，答案D解析取BC 中点E ，连接AE ，OE ，则OE →＝12(OB →＋OC →)，G 1是△ABC 的重心，则AG 1＝23AE ，所以AG 1→＝23AE →＝23(OE →－OA →)，因为OG ＝2GG 1，所以OG →＝23OG 1→＝23(OA →＋AG 1→)＝23OA →＋49(OE →－OA →)＝29OA →＋49OE →＝29OA →＋29(OB →＋OC →)＝29OA →＋29OB →＋29OC →，所以x ＝y ＝z ＝29.4.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为()A.23B.223C.233D.43答案D解析以D 1为坐标原点，分别以射线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B 1(2，2，0)，C 1(0，2，0)，E (2，1，2)，F (1，2，2)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，B 1E →＝(0，－1，2)，B 1F →＝(－1，0，2)，则n ·B 1E →＝0，n ·B 1F →＝0，即－y ＋2z ＝0，－x ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，2，1)．又因为B 1C 1→＝(－2，0，0)，所以点C 1到平面B 1EF 的距离h ＝|n ·B 1C 1→||n |＝|－2×2＋0＋0|22＋22＋1＝43.5．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为()A.105B ．－105C ．－1010 D.1010答案A解析不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，S (0，0，0)，M 12，12，0，N 0，0，12.因为SM →＝12，12，0，BN →＝0，－1，12所以|SM →|＝22，|BN →|＝52，SM →·BN →＝－12，所以cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－105.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.故选A.6．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为()A.2B ．211C ．32D ．42答案B解析作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N .则AM ＝3，BN ＝2，MN ＝5.又AB →＝AM →＋MN →＋NB →，∴AB →2＝AM →2＋MN →2＋NB →2＋2(AM →·MN →＋AM →·NB →＋MN →·NB →)．又AM ⊥MN ，MN ⊥NB ，〈AM →，NB →〉＝60°，故AB →2＝9＋25＋4＋6＝44.∴AB ＝|AB →|＝211.故选B.7.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于()A ．1B.12C ．2－2D ．2－3答案D解析以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE ＝m (0≤m ≤2)．D (0，0，0)，P (0，0，1)，E (1，m ，0)，C (0，2，0)．可取平面ABCD 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面PEC 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，PC →＝(0，2，－1)，CE →＝(1，m －2，0)，2·PC →＝0，2·CE →＝0.b －c ＝0，＋b （m －2）＝0，＝2b ，＝b （2－m ），令b ＝1，得n 2＝(2－m ，1，2)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2（2－m ）2＋1＋4＝22.∴m ＝2－ 3.即AE ＝2－ 3.8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于()A.13 B.23C.33 D.23答案B解析如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设边长为1，则0－3，12，所以AB 1→，12，易知平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈AB 1→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有()A.A 1B 1→·AC →＝a 2 B.AB →·A 1C →＝2a 2C.CD →·AB 1→＝a 2D.AB →·A 1O →＝12a 2答案AD解析以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，B 1(a ，a ，a )，O (a 2，a 2，a 2)．对于A ，A 1B 1→·AC→＝(0，a ，0)·(－a ，a ，0)＝a 2，所以A 正确；对于B ，AB →·A 1C →＝(0，a ，0)·(－a ，a ，－a )＝a 2，所以B 不正确；对于C ，CD →·AB 1→＝(0，－a ，0)·(0，a ，a )＝－a 2，所以C 不正确；对于D ，AB →·A 1O →＝(0，a ，0)·(－12a ，12a ，－12a )＝12a 2，所以D 正确．故选AD.10．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是()A ．若AD →＝13AC →＋23AB →，则BC →＝3BD→B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC→C ．若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则AC →·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝1答案ABC解析对于A ，∵AD →＝13AC →＋23AB →，∴3AD →＝AC →＋2AB →，∴2AD →－2AB →＝AC →－AD →，∴2BD →＝DC →，∴3BD →＝BD →＋DC →，即3BD →＝BC →，∴A 正确；对于B ，若Q 为△ABC 的重心，则QA →＋QB →＋QC →＝0，∴3PQ →－QA →－QB →－QC →＝3PQ →，∴3PQ →＝PA →＋PB →＋PC →，即PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →，∴B 正确；对于C ，若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则PA →·BC →＋PC →·AB →＝PA →·BC →＋PC →·(AC →＋CB →)＝PA →·BC →＋PC →·AC →＋PC →·CB →＝PA →·BC →＋PC →·AC →－PC →·BC →＝(PA →－PC →)·BC →＋PC →·AC →＝CA →·BC →＋PC →·AC →＝AC →·CB →＋PC →·AC →＝AC →·(CB →＋PC →)＝AC →·PB →，∴AC →·PB →＝0，∴C 正确；对于D ，∵MN →＝PN →－PM →＝12(PB →＋PC →)－12PA →＝12(PB →＋PC →－PA →)，∴|MN →|＝12|PB →＋PC →－PA →|.∵|PB →＋PC →－PA →|(PA →2＋PB →2＋PC →2－2PA →·PB →－2PA →·PC →＋2PB →·PC →)12＝(22＋22＋22－2×2×2×12－2×2×2×12＋2×2×2×12)12＝22，∴|MN →|＝2，∴D 错误．故选ABC.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277答案ABCD解析对于A ，由∠DAB ＝π3，AB ＝2AD 及余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得BD ⊥PD .又AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，故PA ⊥BD .故A 正确．对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，又tan ∠PBD＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝π6.故B 正确．对于C ，显然∠PCD 是异面直线PC 与AB 所成的角，易得cos ∠PCD ＝CD PC ＝255.故C 正确．对于D ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设AD ＝1，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)，所以AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，－x 1＋3y 1＝0，31－z 1＝0，取y 1＝1，可得n ＝(3，1，3)是平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，32－z 2＝0，－x 2＝0，取y 2＝1，可得m ＝(0，1，3)是平面PBC 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277所以平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277.故D 正确．12．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是()A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114答案CD解析依题意作图，如图所示，由于AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故∠BDC 是二面角C －AD －B 的平面角，则∠BDC ＝120°，因为BD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .过B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于E ，因为AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BE .因为BE ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BE ⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B －ACD 的高．在原图中，BC ＝3＋6＝3，AD ＝AB ·AC BC＝3×63＝2，BD ＝3－2＝1，CD ＝AC 2－AD 2＝6－2＝2，BE ＝BD ×sin 60°＝1×32＝32，所以V D －ABC ＝V B －ACD ＝13×12×AD ×CD ×BE ＝16×2×2×32＝66，故B 错误．以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，0，－12，32C (0，2，0)，AB →－2，－12，32AC →＝(－2，2，0)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )n ·AB →＝－2x －12y ＋32z ＝0，n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，取x ＝6，则y ＝3，z ＝5，所以n ＝(6，3，5)，平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，则m ·n ＝5≠0，所以平面ACD 与平面ABC 不垂直，故A 错误．平面BCD 的一个法向量为a ＝(1，0，0)，cos 〈n ，a 〉＝n ·a|n ||a |＝634＝317，sin 〈n ，a 〉＝1－cos 2〈n ，a 〉＝＝1417.设二面角A －BC －D 的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则tan θ＝|tan 〈n ，a 〉|＝|sin 〈n ，a 〉cos 〈n ，a 〉|＝423，故C 正确．BC →，52，－ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，cos 〈m ，BC →〉＝m ·BC →|m |·|BC →|＝－2114，所以BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)答案12a ＋14b ＋14c解析OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案(－1，－2，－3)6解析由题意得B (－1，2，3)关于x 轴的对称点B ′的坐标为(－1，－2，－3)；点C (1，－1，2)关于Oxy 平面的对称点为C ′(1，－1，－2)，所以|B ′C ′|＝（－1－1）2＋（－2＋1）2＋（－3＋2）2＝ 6.15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________．答案3解析如图，可设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，于是可得AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ，同理可得BD 1→＝－a ＋b ＋c ，于是有AC 1→·BD 1→＝(a ＋b ＋c )·(－a ＋b ＋c )＝－a 2＋b 2＋c 2＋2b ·c＝－4＋1＋4＋2×1×2×cos 60°＝3.16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．答案322解析设AA 1＝m (m >0)，CM ＝n (0≤n ≤m )，如图建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，m )，M (0，1，n )，A (3，0，0)，所以D 1M →＝(0，1，n －m )，AM →＝(－3，1，n )．又MD 1⊥MA ，所以D 1M →·AM →＝1＋n (n －m )＝0，所以m －n ＝1n(n ≠0)．所以S △MAD 1＝1D 1M ·AM ＝121＋（m －n ）2·3＋1＋n 2＝121＋1n2·4＋n 22＝125＋n 2＋4n 2≥125＋2n 2·4n 2＝32，当且仅当n ＝2，m ＝322时，等号成立，所以当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝322.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解析k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0a )0)b ，a ，0)，B (b ，0，0)，因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M b 2，0，0N b 2，a 2，a 2易知AB →为平面PAD 的一个法向量.AB →＝(b ，0，0)，又MN →＝0，a 2，a 2，所以AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →.又MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知P (0，0，a )，C (，0)，M b2，0，0，且D (0，a ，0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝b2，0，－a PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1(x 1，y 1z 1)，n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，n 2·PC →＝0，n PD →＝0，bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，x 2＝0，y 2＝z 2，令z 21，则n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解析(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M 0，12，12，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝0，12，12，AD →＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0.取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63.即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解析(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又BC 綉DE ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线y 轴、z A 1B ＝A 1E ＝BC ＝＝1，BC ∥，所以0，－22，0，A ，0C (0，22，0)，则BC →－22，22，A 1C →＝，22，－CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ.1·BC →＝0，1·A 1C →＝0，x 1＋y 1＝0，1－z 1＝0，可取n 1＝(1，1，1)．2·CD →＝0，2·A 1C →＝0，2＝0，2－z 2＝0，可取n 2＝(0，1，1)．从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值．解析(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC .又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又由于△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又DO ＝AO ，AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以BO ⊥OD .又AC ⊂平面ADC ，OD ⊂平面ADC ，AC ∩OD ＝O ，所以BO ⊥平面ADC .又BO ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而点E 到平面ABC 的距离为点D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得0，32，12故AD →＝(－1，0，1)，AC →＝(－2，0，0)，AE →－1，32，12设n ＝(x ，y ，z )是平面DAE 的法向量，n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋1z ＝0，令x ＝1，可得n ＝1，33，1.设m 是平面AEC m ·AC →＝0，m ·AE →＝0.同理可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝77.由图知二面角D －AE －C 为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为77.22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝PA ＝4.(1)若PM ∶MD ＝1∶2，求证：PB ∥平面ACM ；(2)求二面角A －CD －P 的正弦值；(3)若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长．解析(1)证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN .因为BC ∥AD ，所以BN ND ＝BC AD ＝12.又因为PM ∶MD ＝1∶2，所以MN ∥PB .又因为MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)，CD →＝(－2，2，0)，PD →＝(0，4，－4)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·CD →＝0，·PD →＝0，2x ＋2y ＝0，y －4z ＝0，令x ＝1＝1，＝1，即n ＝(1，1，1)．又平面ACD 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝13＝33故二面角A －CD －P ＝63.(3)设MD →＝λPD →(0≤λ≤1)，则MD →＝(0，4λ，－4λ)，所以AM →＝(0，4－4λ，4λ)，由(2)得平面PCD 的一个法向量n ＝(1，1，1)，且直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，所以cos 〈AM →，n 〉＝|4－4λ＋4λ|（4－4λ）2＋（4λ）2·3＝63，解得λ＝12，即MD →＝12PD →.又|PD →|＝42＋42＝42，故|MD →|＝12|PD →|＝22.1．设向量u ＝(a ，b ，0)，v ＝(c ，d ，1)，其中a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，则下列判断错误的是()A ．向量v 与z 轴正方向的夹角为定值(与c ，d 的值无关)B ．u ·v 的最大值为2C ．u 与v 夹角的最大值为3π4D ．ad －bc 的最大值为1答案B 解析在A 中，设z 轴正方向的方向向量z ＝(0，0，t )，t >0，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值cos α＝z ·v|z ||v |＝t t ·c 2＋d 2＋1＝22，所以α＝45°.所以向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°(与c ，d 的值无关)，故A 正确；在B 中，u ·v ＝ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u ·v 的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得|u ·v |≤1，所以－1≤u ·v ≤1.所以cos 〈u ，v 〉＝u ·v|u ||v |＝ac ＋bda 2＋b 2·c 2＋d 2＋1≥－11×2＝－22，所以u 与v 的夹角的最大值为3π4，故C 正确；在D 中，ad －bc ≤|ad －bc |≤|ad |＋|bc |≤a 2＋d 22＋b 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1，所以ad －bc 的最大值为1.故D 正确．2.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，BB 1的中点，点P 在体对角线CA 1上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是()A ．线段CA 1的三等分点，且靠近点A 1B ．线段CA 1的中点C ．线段CA 1的三等分点，且靠近点CD ．线段CA 1的四等分点，且靠近点C 答案B解析设正方体的棱长为1，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．取MN 的中点为Q ，连接PQ .则0，，00A 1(0，0，1)，C (1，1，0)，则A 1C →＝(1，1，－1)．设P (t ，t ，z )，PC →＝(1－t ，1－t ，－z )，由A 1C →与PC →共线，可得1－t ＝1－t ＝－z ，所以P (1－z ，1－z ，z )，其中0≤z ≤1.因为|PM →|＝3z 2－3z ＋54，|PN →|＝3z 2－3z ＋54，所以|PM →|＝|PN →|，所以PQ ⊥MN ，即|PQ →|是动点P 到直线MN 的距离．|PQ →|＝3z 2－3z ＋98＝所以当z ＝12时，PQ 取得最小值64，此时P 为线段CA 1的中点，由于MN ＝22为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段CA 1的中点．3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱BC 的中点，记直线B 1D 与直线AC 所成角为θ1，直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成角为θ2，二面角C 1－A 1B 1－D 的平面角为θ3，则()A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ3答案A解析由题可知，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 轴，AA为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1，0，2)，B 1(31，2)，C (0，2，0)，，32，A (0，0，0)，AC →＝(0，2，0)，B 1D →－32，12，－A 1B 1→＝(3，1，0)．因为直线B 1D 与直线AC 所成的角为θ1，θ1，π2，所以cos θ1＝|B 1D →·AC →||B 1D →||AC →|＝125.因为直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成的角为θ2，θ2∈0，π2，平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(0，0，1)，所以sin θ2＝|B 1D →·n ||B 1D →||n |＝25，所以cos θ2＝15.设平面A 1B 1D 的法向量m＝(a ，b ，c )，·A 1B 1→＝3a ＋b ＝0，·B 1D →＝－32a ＋1b －2c ＝0，取a ＝3，取m 3由图可知，θ3所以cos θ3＝|m ·n ||m ||n |＝32574＝1579，所以cos θ2>cos θ3>cos θ1.由于y ＝cos θ在区间(0，π)上单调递减，故θ2<θ3<θ1，则θ2<θ1，θ2<θ3.4.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则()A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF →，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE →，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为12答案B解析以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，E (1，0，1)，F (1，1，1)，G (0，1，1)，H (0，0，1)．易知GD ∥AF ，且△AFC 为等边三角形，所以异面直线CF 与GD 所成的角为∠AFC ＝60°，而CF →＝(1，0，1)，GD →＝(0，－1，－1)，所以cos 〈CF →，GD →〉＝－12×2＝－12，所以〈CF →，GD →〉＝120°，故A 错误；FD →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(－1，1，0)，AH →＝(－1，0，1)，则FD →·AC →＝(－1)×(－1)－1×1＝0，FD →·AH →＝(－1)×(－1)－1×1＝0，所以FD →⊥AC →，FD →⊥AH →，即FD ⊥AC ，FD ⊥AH ，又AC ∩AH ＝A ，所以FD ⊥平面ACH ，所以向量FD →是平面ACH 的法向量，故B 正确；设直线CE 与平面ACH 所成角为θ，CE →＝(1，－1，1)，FD →＝(－1，－1，－1)，所以sin θ＝|cos 〈CE →，FD →〉|＝13，所以sin 2θ＋cos 2〈CE →，FD →〉＝19＋19＝29，故C 错误；连接EG ，设EG ∩FH ＝M ，则M 为FH 的中点，连接AM ，CM ，因为AH ＝AF ，CH ＝CF ，M 为中点，所以AM ⊥FH ，CM ⊥FH ，所以∠AMC 为二面角A －FH －C 的平面角，易得M 12，12，1，MA →＝12，－12，－1，MC →＝(－12，12，－1)，所以cos 〈MA →，MC →〉＝1232×32＝13，故D 错误．5．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为()A.6 B.3C.66D.62答案A解析设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，2，0)，C (3，1，0)，P (0，0，2)．所以BP →＝(0，－2，2)，BC →＝(3，－1，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量，·n ＝0，·n ＝0，y ＋2z ＝0，－y ＝0.令y ＝1.则x ＝33，z ＝1.即n 1，易知m ＝(1，0，0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝331×213＝77.所以正切值tan 〈m ，n 〉＝ 6.故选A.6.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为()A.23B.66C.33D.63答案B解析以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，3，0)，P (0，0，3)，D (3，3，0)，E (0，2，1)，∴BE →＝(0，2，1)，BD →＝(3，3，0)设平面BED 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，·BE →＝2y ＋z ＝0，·BD →＝3x ＋3y ＝0，取z ＝1，得n ，－12，平面ABE 的法向量为m ＝(1，0，0)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66，∴平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.7．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝（a ＋b ）·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是()A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心答案ABC解析对于A ，如图，取EF 的中点H ，连接PH ，DH ，由△PEF 和△DEF 为等腰三角形，得PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，又PH ∩DH ＝H ，PH ，DH ⊂平面PDH ，所以EF ⊥平面PDH ，又PD ⊂平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确．对于B ，根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确．对于C ，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的AB ＝2，则P (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，0，0)，D (0，2，0)，故EF →＝(1，0，－1)，FD →＝(－1，2，0)．易知PD →＝(0，2，0)为平面PEF 的一个法向量，设平面EFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·EF →＝0，·FD →＝0，－z ＝0，x ＋2y ＝0，令x＝2，则y ＝1，z ＝2，则n ＝(2，1，2)为平面EFD 的一个法向量，|cos 〈PD →，n 〉|＝|PD →·n ||PD →||n |＝22×3＝13，所以平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13.故C 正确．对于D ，由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，故D 错误．9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是()A ．(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2B.A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0C ．向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|答案AB解析由向量的加法得到A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝A 1C →，因为A 1C 2＝3A 1B 12，所以(A 1C →)2＝3(A 1B 1→)2，A 正确；因为A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，AB 1⊥A 1C ，所以A 1C →·AB 1→＝0，B 正确；因为△ACD 1是等边三角形，所以∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，所以异面直线AD 1与A 1B所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是120°，C 错误；因为AB ⊥AA 1，所以AB →·AA 1→＝0，故|AB →·AA 1→·AD →|＝0，D 错误．10．【多选题】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的值可能是()A.π6 B.π4C.π3 D.π2答案ABC解析以D 点为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝2，易得BC →＝(－2，0，0)，CA 1→＝(2，－2，2)，EF →＝(1，0，－1)，设CM→＝λCA 1→＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则BM →＝BC →＋CM →＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos〈BM →，EF →〉|＝|BM →·EF →||BM →||EF →|＝22×（2λ－2）2＋8λ2＝12×3λ2－2λ＋1＝≤λ≤1)．当λ＝13时，cos θ取到最大值32，此时θ＝π6；当λ＝1时，cos θ取到最小值12，此时θ＝π3，所以θ的取值范围为π6，π3.故选ABC.11．【多选题】在正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，所有棱长均为1，BC ′与B ′C 交于点O ，则()A.AO →＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→B ．AO ⊥B ′CC ．三棱锥A －BB ′O 的体积为324D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6答案AC解析由题意，画出正三棱柱ABC －A ′B ′C ′如图所示，向量AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12(BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→，A正确；在△AOC 中，AC ＝1，OC ＝22，OA1，OA 2＋OC 2≠AC 2，所以AO 和B ′C 不垂直，B 错误；在三棱锥A －BB ′O 中，S △BB ′O ＝14，点A 到平面BB ′O 的距离即△ABC 中BC 边上的高，所以h ＝32，所以V A －BB ′O ＝13S △BB ′O h ＝13×14×32＝324，C 正确；。
人教A版新教材高一上学期期末考试数学试卷(共五套)
人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}210A x x =-<，{}01B x x =≤≤，那么A B 等于（ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x ≤C ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tan x 的值等于（ ） A ．125 B ．125-C ．512D ．512-3．若2log 0.5a =，0.52b =，20.5c =，则,,a b c 三个数的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b <<D ．c a b <<4．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于（ ）A ．14B ．14-C ．32D ．32-5．已知5()tan 3,(3)7f x a x bx cx f =-+--=，则(3)f 的值为（ ） A ．13-B ．13C ．7D ．7-6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且有(3)(1)f f >．则下列各式中一定成立的是（ ） A ．(1)(3)f f -< B ．(0)(5)f f < C ．(3)(2)f f >D ．(2)(0)f f >7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()5x f x m =+（m 为常数)，则5(log 7)f -的值为（ ） A ．4 B ．4-C ．6D ．6-8．函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，73ππ2α<<， 则cos sin αα+=（ ） ABC．D．10．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且满足对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)11．已知ππ()sin(2019)cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．π2019B ．2π2019C ．4π2019D ．π403812．已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+，则不等式[()]()f f x f x <的解集为（ ） A ．(3,0)(3,4]-B ．(4,3)(1,0)(1,3)---C ．(1,0)(1,2)(2,3)-D ．(4,3)(1,2)(2,3)--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．5log 30.75333322log 2log log 825169-+-+=_______． 14．已知()1423x x f x +=--，则()0f x <的解集为_______．15．方程22210x mx m -+-=的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m 的取值范围是______．16．若实数a ，b 满足0a ≥，0b ≥，且0ab =，则称a 与b 互补．记(,)a b a b ϕ=-，那么“(,)0a b ϕ=”是“a 与b 互补”的 条件．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合{}123A x m x m =-≤≤+，函数2()lg(28)f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B 、()A B R ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）当1a >时，求使()0f x >的x 的解集．19．（12分）已知函数()2πcos sin()1()3f x x x x x =+∈R ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值．20．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）求函数()f x 在(,0)-∞上的解析式；（3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围．21．（12分）设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且()21f =，当0x >时，()0f x >． （1）求(0)f 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．22．（12分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1[,3]2x ∈时，2()(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．【答案解析】 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为12A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =≤≤，所以102A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．2．【答案】D【解析】因为x 为第四象限的角，所以5sin 13x =-，于是5tan 12x =-，故选D ． 3．【答案】C【解析】2log 0.50a =<，0.521b =>，200.51c <=<，则a c b <<，故选C ． 4．【答案】B【解析】因为1(1)232f x x -=+，设112x t -=，则22x t =+，所以()47f t t =+，因为()6f m =，所以476m +=，解得14m =-，故选B ．5．【答案】A 【解析】5()tan 3f x a x bx cx =-+-，()()6f x f x ∴+-=-，(3)7f -=，(3)6713f ∴=--=-．故选A ． 6．【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(1)(1)f f =-， 又(3)(1)f f >，∴(3)(1)f f >-，故选A ． 7．【答案】D【解析】由奇函数的定义可得(0)10f m =+=，即1m =-，则5log 755(log 7)(log 7)51716f f -=-=-+=-+=-．故选D ．8．【答案】A 【解析】函数111y x=-，22sin π(24)y x x =-≤≤的图象有公共的对称中心(1,0)， 如图在直角坐标系中作出两个函数的图象，当14x <≤时，10y <，而函数2y 在(1,4)上出现1.5个周期的图象，且在3(1,)2和57(,)22上是减函数，在35(,)22和7(,4)2上是增函数．∴函数1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H ， 相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D ， 且2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=， 故所求的横坐标之和为8，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， ∴1tan tan k αα+=，21tan 31tan k αα⋅=-=， ∵73ππ2α<<，∴0k >， ∵24k =，∴2k =，∴tan 1α=，∴π3π4α=+，则cos α=，sin α=，则cos sin αα+=C ． 10．【答案】D【解析】∵对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立， ∴函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递增， 1114021(4)122a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴->⎨⎪⎪≥-⨯+⎪⎩，解得[4,8)a ∈，故选D ． 11．【答案】B【解析】ππ()sin(2019)cos(2019)63f x x x =++-，112019cos 2019cos 201920192222x x x x =+++2019cos 2019x x =+π2sin(2019)6x =+，∴()f x 的最大值为2A =， 由题意得，12x x -的最小值为π22019T =， ∴12A x x -的最小值为2π2019，故选B ． 12．【答案】B【解析】∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，∴当0x =时，(0)0f =，先求出当[4,0)x ∈-时()f x 的表达式， 当[4,0)x ∈-时，则(0,4]x -∈，又∵当0x >时，2()4f x x x =-+，∴22()()4()4f x x x x x -=--+-=--， 又()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，∴2()()4f x f x x x =--=-+，∴224,[4,0]()4,(0,4]x x x f x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩，令()0f x =，解得4x =-或0或4，当[4,0]x ∈-时，不等式[()]()f f x f x <，即2222(4)4(4)4x x x x x x +++<+， 化简得222(4)3(4)0x x x x +++<，解得(4,3)(1,0)x ∈---；当(0,4]x ∈时，不等式[()]()f f x f x <，即2222(4)4(4)4x x x x x x --++-+<-+， 化简得222(4)3(4)0x x x x --++-+<，解得(1,3)x ∈， 综上所述，(4,3)(1,0)(1,3)x ∈---，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】原式=253log 94433332log 4log log 825(2)9-+-+ 339log (48)98log 91132=⨯⨯-+=-=．14．【答案】2{|log 3}x x <【解析】当()0f x <，即14230,023x x x +--<<<，解得2log 3x <． 15．【答案】(1,2)【解析】设22()21f x x mx m =-+-，则由题意知：函数()f x 的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，则有222210(0)0(1)020(2)0430(3)0680m f f m m f m m f m m ⎧->>⎧⎪⎪<-<⎪⎪∴⇒⎨⎨<-+<⎪⎪⎪⎪>⎩-+>⎩，解得12m <<，m 的取值范围是(1,2)．16．【答案】充要条件【解析】若(,)0a b ϕ=，a b =+，两边平方整理，得0ab =，且0a ≥，0b ≥，所以a 与b 互补；若a 与b 互补，则0a ≥，0b ≥，且0ab =，所以0a b +≥，此时有(,)()()()0a b a b a b a b ϕ=+=+-+=， 所以“(,)0a b ϕ=”是“a 与b 互补”的充要条件．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）{}27A B x x =-<≤，{}()21A B x x =-<<R ；（2）1(,4)(1,)2-∞--．【解析】根据题意，当2m =时，{}17A x x =≤≤，{}24B x x =-<<， 则{}27A B x x =-<≤， 又{1A x x =<R或}7x >，则{}()21A B x x =-<<R ．（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆， 分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-； ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是1(,4)(1,)2-∞--．18．【答案】（1）{}11x x -<<；（2）奇函数，证明见解析；（3）(0,1)x ∈． 【解析】()log (1)log (1)a a f x x x =+--，若要式子有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<，所以定义域为{}11x x -<<．（2）()f x 的定义域为(1,1)-，且()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-， 所以()f x 是奇函数．（3）又()0f x >，即log (1)log (1)0a a x x +-->， 有log (1)log (1)a a x x +>-．当1a >时，上述不等式101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得(0,1)x ∈．19．【答案】（1）πT =；（2）π4x =时，max 3()4f x =-；π12x =-时，min 3()2f x =-． 【解析】（1）2π()cos sin()13f x x x x=+-+21cos (sin )12x x x x =+-2111cos2sin cos 1sin21242x x x x x +==+-11πsin2cos21sin(2)14423x x x =--=--， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）∵[,]4ππ4x ∈-，∴5π2[,]6ππ36x -∈-， 当ππ236x -=，即π4x =时，max 113()1224f x =⨯-=-， 当ππ232x -=-，π12x =-时，()min 13()1122f x =⨯--=-． 20．【答案】（1）0(0)f =，((1))1f f =-；（2）()22f x x x =+；（3）10m -<<． 【解析】（1）0(0)f =，((1))(1)(1)1f f f f =-==-． （2）设0x <，则0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+，∵()f x 偶函数，2()()2f x f x x x -==+，∴当0x <时，()22f x x x =+．（3）设函数1()y f x =及2y m =，方程()0f x m -=的解的个数，就是函数1()y f x =与2y m =图象交点的个数． 作出简图利用数形结合思想可得10m -<<．21．【答案】（1）(0)0f =；（2）奇函数；（3）{|1}x x <． 【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-，∴(0)0f =． （2）∵()()()f x y f x f y -=-，∴()()()00f x f f x -=-，由（1）知(0)0f =，()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数．（3）设12,x x ∀∈R ，且12x x >，则120x x ->，()()()1212f x x f x f x -=-，∵当0x >时，()0f x >，∴()120f x x ->，即()()120f x f x ->， ∴()()12f x f x >，∴函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()()f x y f x f y -=-， ∴()()()f x f x y f y =-+，211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f =+=+=+-=， ∵()(2)2f x f x ++<，∴()(2)(4)f x f x f ++<， ∴()()()(2)44f x f f x f x +<-=-，∵函数()f x 是定义在R 上的增函数，∴24x x +<-，∴1x <， ∴不等式()(2)2f x f x ++<的解集为{|1}x x <．22．【答案】（1）1b =；（2）单调递减，证明见解析；（3）(,1)-∞-． 【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即1022b-+=+，则1b =， 经检验，当1b =时，12()22x x bf x +-+=+是奇函数，所以1b =．（2）11211()22221x x x f x +-==-+++，()f x 在R 上是减函数，证明如下：在R 上任取12,x x ，且12x x <，则122121211122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++，因为2x y =在R 上单调递增，且12x x <，则12220x x -<， 又因为12(21)(21)0x x ++>，所以21()()0f x f x -<， 即21()()f x f x <，所以()f x 在R 上是减函数．（3）因为2()(21)0f kx f x +->，所以2()(21)f kx f x >--， 而()f x 是奇函数，则2()(12)f kx f x >-， 又()f x 在R 上是减函数，所以212kx x <-， 即221212()x k x x x -<=-在1[,3]2上恒成立， 令1t x =，1[,2]3t ∈，2()2g t t t =-，1[,2]3t ∈， 因为min ()(1)1g t g ==-，则1k <-． 所以k 的取值范围为(,1)-∞-．人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高一上学期数学期末考测试卷(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D． 16 3
【答案】BC
【解析】作出函数 f x 的图象，如图所示，
设 f x1 f x2 f x3 f x4 t ， 由图可知，当 0 t 1时，直线 y t 与函数 f x 的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为 x1, x2 , x3, x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，
因为
x
0,
π 3
,
2x
π 6
π, 6
5π 6
，函数
y
sint
在
π 6
,
5π 6
上不单调，故
D
错误．
故选：ABC．
10．（2023 秋·江苏南通 ）下列命题中，真命题的是（ ）
A． x R ，都有 x2 x x 1
B．
x 1,
，使得
x
x
4
1
6
.
C．任意非零实数 a,b ，都有 b a 2 ab
f x 在 , 上不具单调性，故 B 错误；
f x 图象与 x 轴只一个交点，即有且只有一个零点，故 C 正确；
令
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
，解得
x
3 2
，从图象看，
f
(x)
关于
3 2
,
0
对称，下面证明：
由 f x x 1 x 2 ，
得
f
3 2
x
x
1 2
x1 2
，
f
3 2
x
x
1 2
x 1 2
x 1 2
x 1， 2
则
f
3 2
人教版高一数学必修一期末综合练习题(含答案)
人教版高一数学必修一期末综合练习题(含答案)人教版高一数学必修一期末综合练题（含答案）一、单选题1.已知实数a，b，c满足lga=10=b，则下列关系式中不可能成立的是（）A。
a>b>cB。
a>c>bC。
c>a>bD。
c>b>a2.已知函数f（x）=x（e^x+a），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A。
0B。
1C。
2D。
-13.命题：“对于任意实数x，x^2+x>0” 的否定是( )A。
存在实数x，使得x^2+x≤0B。
对于任意实数x，x^2+x≤0C。
存在实数x，使得x^2+x＜0D。
对于任意实数x，x^2+x≥04.已知sin2α=-1/2，则cos(α+π/3)=（）A。
-1/3B。
-2/3C。
1/3D。
2/35.已知ω＞0，函数f(x)=cos(ωx+π/2)，则ω的取值范围是（）A。
(0,π/12]B。
(0,π/6]C。
(0,π/4]D。
(0,π/2]6.为了得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin(2x-π/2)的图象上所有点A。
向右平移π个单位B。
向左平移π个单位C。
向右平移π/2个单位D。
向左平移π/2个单位7.下列函数中，与函数y=x相同的是（）A。
y=1/xB。
y=x^2C。
y=√xD。
y=|x|8.若2sinx-cos(π/2+x)=1，则cos2x=（）A。
-8/9B。
-7/9C。
7/9D。
8/99.设A={x|x^2-4x+3≥0}，B={x|x^2-6x+5≤0}，则“A包含于B”是“B包含于A”的（）A。
充分必要条件B。
必要不充分条件C。
充分不必要条件D。
既不充分也不必要条件10.已知集合A={x|y=ln(x+1)}，集合B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A。
(-1,2]B。
[0,2]C。
(0,∞)D。
(5,6]11.已知集合P={x|x-3≤2，x∈R}，Q={3,5,6}，则P∩Q=（）A。
2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一期末复习题目
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax ＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若－1∈B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．16.已知集合A={x|1<x<3},B={x|-1<x<m+2},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是m≥1.解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+2≥3,所以m≥1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则>;(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(4)∃x∈R,使得x2+1=0.解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,所以是假命题.(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题.(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题.18.(12分)已知命题p:3a<m<4a(a>0),命题q:1<m<,且q是p 的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:因为q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,q⇒/p,从而有或解得≤a≤.所以实数a的取值范围是≤a≤.19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判断集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的值.解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,集合B=,又因为B⊆A,所以=3或=5,解得a=或a=.综上,a的值为0或或.20.(12分)已知集合A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1<x<10},∁R A={x|x≤1,或x≥6},所以(∁R A)∩B={x|6≤x<10}.(2)因为C⊆B,①当C=⌀时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,则有解得<a≤3.所以a的取值范围是a≤3.21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,即a>.(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程,满足条件.当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.所以a=0或a=.若a=0,则有A=,若a=,则有A=.(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素.由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围;(3)若(∁R A)∩B=B,求实数a的最大值.解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B=,A∪B={x|x≤2}.(2)因为A⊆B,所以a>2,所以实数a的取值范围为a>2.(3)因为(∁R A)∩B=B,所以B⊆∁R A.又因为∁R A=,所以a≤,所以实数a的最大值为.2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一 第一章集合与常用逻辑用语 单元测试1．解析：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |0≤x <2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选C.答案：C2．解析：由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}． 答案：D 3．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＋1≤2x 0”的否定为“∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>2x ”，故选A.答案：A4．解析：联立A 与B 中方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x ＋4，消去y 得：3x －2＝x ＋4，解得：x ＝3， 把x ＝3代入得：y ＝9－2＝7，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝7，∵A ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋4}， ∴A ∩B ＝{(3,7)}，故选B. 答案：B5．解析：全集U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{0,2}，则A ＝{1,3}，故集合A 的真子集共有22－1＝3个．故选A.答案：A6．解析：∵x >1，∴x 3>1.又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.答案：C7．解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，即a ∈P ，因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1.答案：C8．解析：∵b a 为分式，∴a ≠0，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a时，a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，当a ＝－1时，即得集合{－1,0,1}，满足．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1a 2＝a时，a ＝1，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，综上，a ＝－1, b ＝0.∴a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1，故选C. 答案：C9．解析：10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B 正确；方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}， ∴B ∩C ＝{1,8}∴A ⊆(B ∩C )⇒A ⊆(1,8)，故选AC. 答案：AC 11．解析：根据venn 图，可直接得出结果．由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD. 答案：ABCD 12．解析：A 中，－1∈B,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”，故A 说法不正确；B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故B 说法正确；C 中，0∈A ，x 、y ∈A ，∴0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ，故C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A ，任取x 、y ∈A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x 、y 均不为0、1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x 、x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x (x －1)∈A ，∴x (x －1)∈A ， 进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .同理，y 2∈A ，则x 2＋y 2∈A ，(x ＋y )2∈A ，∴2xy ＝(x ＋y )2－(x 2＋y 2)∈A .∴1(x ＋y )2－x 2－y 2∈A ，结合前面的算式，知xy ∈A ，故D 说法正确；故选：BCD. 答案：BCD13．解析：因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}，(∁R B )∪A ＝{x |x <2}．答案：{x |0<x <2} {x |x <2} 14．答案：必要不充分15．解析：因为集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，且3∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＝3，2m 2＋m ≠3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m ＝3，m ＋2≠3.解得m ＝－32. 答案：－3216．解析：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由下图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． 答案：{t |t ≤2}17．解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．解析：(1)由题意，集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |－1<x <4}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤5}．(2)由题意，可得∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以(∁R A )∩B ＝{x |4≤x ≤5}．19．解析：(1)∵A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，∴m <2；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．解析：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 21．解析：x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．22．解析：(1)由题意，因为－1∈B ，即x ＝－1是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的根，可得1－2(a ＋1)＋a 2－1＝0，即a 2－2a －2＝0，解得a ＝1±3；(2)由题意，集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因为B ⊆A ，可得①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；②当B ＝{0}或{－4}时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{x |x 2＝0}＝{0}满足题意；③当B ＝{0，－4}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0，解得a ＝1， 综上可得，a ＝1或a ≤－1.。
(完整版)高中数学人教A版高一年级第一学期期末(必修1+必修4)数学考试卷(WORD文档有答案)
实数 k 的取值范围； 3
（ 2）若函数 f (x) 的图象过点 P(1, ) ，是否存在正数 2
m( m
1) ，使函数
g ( x) log m[ a 2x a 2x mf ( x)] 在 [1,log 2 3] 上的最大值为 0？
若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
高一数学试题答案
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高一数学试题答案
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3.14) 。 (12) 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f x ， 满 足 对 任 意 的 x R 有 f x 2
f x ， 且 当 x 2,3 时 ，
fx
2x 2 12x 18 ，若函数 y f (x) log a x 1 在 R 上至少有六个零点， 则 a 的取值范围是
3
，故选 A ．
3
（13） 2
1
（ 14）
2
（ 15） 5 , 4
5 （或 a ）
4
9
（ 16）
4
（13）【解析】函数 f x 的图象过点 2,4 ，可得 4 a 2 ，又 a 0 ，解得 a 2 ． （14）【解析】 cos18o cos42o cos72o sin 42o cos18o cos42o sin18o sin 42o cos60o 1 ．
D． 3
0，
) 的图象的一部分，
则该解析式为（
）
A ． y 2 sin(2x )
3
3
C． y
2 sin(y 2 sin( x ) 3 24
D． y
2 sin(2 x
2 )
3
3
y
2
7
35
标题：新人教版高中数学必修一期末考试试卷(附答案)
标题：新人教版高中数学必修一期末考试试卷(附答案)一、选择题（共30分，每小题2分）1. 下列各组数中，哪一组互质？A. 6和8B. 7和14C. 21和24D. 36和452. 已知一元二次方程x^2 - px + q = 0的根为x1 = 2, x2 = 3, 则p + q的值为多少？A. -5B. 1C. 5D. 73. 如图，三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，则AC的长度为多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 解方程x^2 + 5x + 6 = 0，得x的值为多少？A. -6, -1B. -6, 1C. -3, -2D. -3, 25. 已知α、β为两个互补角，且sinα = 0.3，求sinβ的值为多少？A. 0.3B. 0.7C. 0.9D. 1.0二、填空题（共20分，每空2分）1. 三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = __，AC = 5。
2. 在几何平面直角坐标系中，一个点在第一象限，则它的坐标_______。
3. 解不等式2x - 3 > 7，x的解为_______。
4. 如果两个事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)的值为_______。
5. 英语教材的售价为60元，折扣率为10%，则购买该教材需要支付的金额为_______元。
三、简答题（共30分）1. 解释什么是等差数列？2. 解释什么是平方根？3. 解释什么是概率？四、解答题（共20分）1. 求解方程x^2 + 7x + 10 = 0的根。
2. 解方程组：{ 2x + 3y = 5{ x - y = 1五、解答题（共20分）1. 已知两条直线的倾斜角分别为30°和60°，求这两条直线的倾斜角的和。
2. 解决下列联立方程组：{ x + y - 4 = 0{ 3x - y - 2 = 0附：选择题答案1. B2. A3. C4. D5. C附：填空题答案1. 42. (x, y)3. x > 54. 05. 54附：简答题答案1. 等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
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期末测试题
考试时间：120分钟
试卷满分：150分
姓名 分数
一、选择题(每小题5分,共60分)
1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |x ＜0}
D ．{x |x ＞1}
2．下列四个图形中，不是．．
以x 为自变量的函数的图象是( )．
A B C D
$
3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )．
A ．a 2＋a ＋2
B ．a 2＋1
C ．a 2＋2a ＋2
D ．a 2＋2a ＋1
4．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．
4log 8log 22＝4
8
log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2
D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 4
5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．
A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2x
B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x
C ．f (x )＝1
－1
－2x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x
6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ).
{
A ．一定经过点(0，0)
B ．一定经过点(1，1)
C ．一定经过点(－1，1)
D ．一定经过点(1，－1)
7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．元
B ．元
C ．元
D ．元
8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). ?
A ．(－1，0)
B ．(2，3)
C ．(1，2)
D ．(0，1)
9．若log 2 a ＜0，b
⎪⎭
⎫
⎝⎛21＞1，则( ).
A ．a ＞1，b ＞0
B ．a ＞1，b ＜0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
10．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)
B ．[0，4]
C ．[0，4)
D ．(0，4)
11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝
x
1 B ．f (x )＝(x －1)
2 C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
12．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧0≤ 30
log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).
,
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
答题卡(请把选择题答案填入下表)
￥
二、填空题(每小题4分 , 共16分)
13．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ⊆B ，则a 取值范围是 ． 14．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ． 15．函数y ＝2－log 2x 的定义域是 ．
16．求满足8
241－x ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知全集R U =, A =}52{<≤x x ，集合B 是函数lg(9)y x =
-的定义域．
（1）求集合B ；（2）求)(B C A U ．（8分）
)
18．(12分) 已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．
!
19．(12分)已知函数(),2c bx x x f ++=且()01=f ．
（１）若0b =,求函数()x f 在区间[]3,1-上的最大值和最小值；
；
（２）要使函数()x f 在区间[]3,1-上单调递增，求b 的取值范围.（12分）
20．(12分)探究函数),0(,4
)(+∞∈+
=x x x f 的图像时，.列表如下：
⑴ 函数)0(4
)(>+
=x x
x x f 的递减区间是 ，递增区间是 ； ⑵ 若对任意的[]1,3,()1x f x m ∈≥+恒成立，试求实数m 的取值范围．
）
21. (12分)求函数212
log (43)y x x =-+的单调增区间.
22．(14分) 已知0,1a a >≠且， ()211x x a f x a a a ⎛⎫
=
- ⎪-⎝⎭
．
：
（１）判断()f x 的奇偶性并加以证明；
（２）判断()f x 的单调性并用定义加以证明；
（３）当
()f x 的定义域为(1,1)-时，解关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<．
~
参考答案
一、选择题 1．B
解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}． 2．C
3．C 4．C 5．A
（
6．B 7．C 8．D 9．D
解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b
⎪⎭
⎫
⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．
10．C
解析：∵ 4x ＞0，∴0≤16－ 4x ＜16，∴x
416－∈[0，4)．
11．A
解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 12．A
—
13．D 14．B
解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，
x
－11
是一个绝对值很大的负数，从而保证 f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，
x
－11
可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0．故正确选项是B ． 二、填空题
15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)． 17．参考答案：[4，＋∞)． 18．参考答案：(－8，＋∞)． 三、解答题
19．参考答案：(1)由⎩
⎨⎧030
3＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3，
∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)． (2)函数f (x )是偶函数，理由如下：
由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝lg(3－x )＋lg(3＋x )＝f (x )，
∴ 函数f (x )为偶函数．
20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩
⎨⎧
1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a
因为a ＞2，
所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2(x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ； 另外，y 2＝(a －2)x －2(x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ． 所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．
(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩
⎨
⎧
0022＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)． 21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为50
000
3600 3－＝12，所以这时租出了100
－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
50000 3100－－x (x －150)－
50000 3－x ×50＝－501(x －4 050)2＋307 050． 所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。