空间中的垂直关系 教案
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直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.
两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
线面垂直的判定与线面角，线面垂直的性质，面面垂直的性质
平行、垂直关系的综合问题单调性的概念
教学目标
1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2.归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱 .
（I）证明 平面 ；
（II）设 证明 平面.
【解析】证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC1 平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
【解析】（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
【教学建议】
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.
2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.
3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF.
【总结与反思】本题（1）的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B.（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.
事实上，∵C1D⊥平面AA1Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，AB1 平面AA1B1B，
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
教学重点
通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线、平面与平面垂直的性质定理．
教学难点
综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线面垂直与面面垂直的相互转化．
（2）证明：（I）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，
又
则 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又 平面CDE，且 平面CDE， 平面CDE.
（II）连结FM.由（I）和已知条件，在等边 中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而 .
平面EOM，从而
而 所以 平面
【总结与反思】考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
【知识导图】
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.
【教学建议】⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l与平面α垂直记作：l⊥α.
4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用
两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个
平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
类型一线线垂直
1如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF.
【解析】证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点.
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF.
【总结与反思】以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想.
类型二：线面垂直
（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1.
1、判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条.
2、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
3、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
推理模式： .
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.
两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
线面垂直的判定与线面角，线面垂直的性质，面面垂直的性质
平行、垂直关系的综合问题单调性的概念
教学目标
1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2.归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱 .
（I）证明 平面 ；
（II）设 证明 平面.
【解析】证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC1 平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
【解析】（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
【教学建议】
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.
2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.
3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF.
【总结与反思】本题（1）的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B.（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.
事实上，∵C1D⊥平面AA1Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，AB1 平面AA1B1B，
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
教学重点
通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线、平面与平面垂直的性质定理．
教学难点
综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线面垂直与面面垂直的相互转化．
（2）证明：（I）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，
又
则 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又 平面CDE，且 平面CDE， 平面CDE.
（II）连结FM.由（I）和已知条件，在等边 中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而 .
平面EOM，从而
而 所以 平面
【总结与反思】考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
【知识导图】
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.
【教学建议】⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l与平面α垂直记作：l⊥α.
4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用
两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个
平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
类型一线线垂直
1如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF.
【解析】证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点.
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF.
【总结与反思】以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想.
类型二：线面垂直
（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1.
1、判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条.
2、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
3、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
推理模式： .